通过概念动机和行动学习教数学

文摘

这是一个使概念篇描述选择行动意味着学习和动机各级数学教育的概念。它详细列出所使用的方法作者设计的见解数学教学的实践者。本文表明,这种方法在数学教育基于行动学习与自然动机源于常识是有效的。刺激的问题,计算机分析(包括互联网搜索),和古典著名的数学问题是重要的激励工具,特别有益的行动学习的框架。作者认为,整个K-20数学课程在一个伞下是可行的,当技术概念的动机和行动学习在广谱。这个论点是由各种各样的例子,可以帮助学校教师和大学教师的实践。作者发现务实行动学习在数学教育的原因在任何点在学生的学术生活。

1。介绍

如今,学生既需要认知和实践经验在整个连续的数学教育是21世纪富有成效的公民。这句话的起源可以追溯到约翰·杜威的著作,他强调教育活动的重要性,包括“任何形式的艺术能力的发展,特殊的科学能力,有效的公民,以及专业和商业职业”([1],p . 307)。最近,Billett [2),根据他的研究整合学习经验相关的三级学科的学生护理和支持人类需求的服务一样,认为“有可能完全集成基于实践经验在高等教育的整体生成的经验开发健壮和关键职业知识”(p . 840)。本文的主要论点是,在数学教育中,行动学习(部分中介绍的概念3)是过程赋予这些经验结合概念动机(一个术语引入部分2当整个K-20教数学的课程。为此,这使概念,详细介绍作者所使用的方法为从业者的数学教学设计的见解,提供了一个选择的调查方法行动学习在正式的数学教育的统一体中。在某种程度上,本文提出了通过实践学习的概念(3在数学教育的背景下。参数支持为所有涉及到的个人行动学习的价值(在大学水平,增加学生和数学教师的两人第三社区学院或大学nonmathematics专业)提出(部分2- - - - - -4)。还考虑集成计算机辅助签名教育学(CASP)和nondigital技术以及有效的质疑与行动学习(部分5和6)。

学生可能快乐经历正式的数学教育二十年以上,可以鼓励他们到处在广阔的数学课程。行动学习在数学教育结合机械理论给现实世界带来的数学主题。自然,基层基础重要性的实例,这是加强与中学行动学习(部分以下4.4.1和4.1.2)。数学的开放问题通常可以主要介绍给学生,中等和高等教育(部分7)。传统上,经典的结果和开放问题有助于激励不仅学生们,而且教育者本身。因为需要有效的数学教师,应该使用行动学习数学教育的各级宣传,知道未来教师在当前学生人口。当然,参与发现高度动机的可能性,包括学生和数学教师,至少。

2。好奇心和动机

虽然在小学数学学习的必要性,中学,高等学校是常识,如何教数学的问题是有争议的。为更详细地描述4),引用(5- - - - - -10),争论是由于老师准备程序的不均匀性,形式与意义之间的分歧数学教师,和各种观点的使用技术。我们相信,一个适当的各级教数学的方法是通过应用程序,而不是使用传统的讲座,强调数学机械的形式主义。实际的应用程序保持关注人们的动机在学习数学。这自然动机可以被视为一个age-dependable过程从自然的童年的好奇心小学为true求知欲为第三级。不管年龄的学习者,你可以看到好奇动机”收购或变换信息情况下提供没有立即适应价值等活动”([11],p . 76)。也就是说,好奇心和动机心理特征密切相关。

大多数研究好奇心处理初等教育的发展。然而,这些研究可以告诉我们理解如何成为高质量的职业好奇变成了动力。例如,Vidler [12区分认知和知觉的好奇心,体现,分别通过“查询有关知识和显示,例如,当一个孩子游戏在一些科学问题,他遇到…[和]增加关注孩子的周围环境中的对象,例如,当一个孩子盯着长在一个屏幕上的不对称而非对称图”(p。18)。同样,成人学习者为第三级可以成为出于他们的数学老师的要求关于信息共享问题或通过他们的经验和他们周围的世界,他们试图解释“的世界…[使用]一些最大和最小的原因”(欧拉,引用13],p . 121)。

相关的三级水平,Vidler [14成就动机定义为”的模式……行动与努力取得了一些卓越内化标准”(p . 67)。也有成人学习者“卓越本身感兴趣,而不是带来的回报”([14],p . 69)。比格斯(15]承认内在动机的研究数学与“知识独立解决问题的乐趣任何可能涉及的奖励…[认为]深度学习的目标和成就动机最终分道扬镳”(p . 62)。一个典型的例子来支持这个建议的解决方案(世纪老)庞加莱猜想的尺蠖佩雷尔曼,经过近十年的“深度学习”,拒绝多个国际奖项的工作包括菲尔兹奖(数学家的“诺贝尔奖”)和(合100万美元)粘土年奖(https://www.claymath.org/)。

好奇心是学习的动机的起源,曼德布洛特(16],在全体课实验几何和分形在第七届国际数学教育大会上,建议观众大部分是进大学前的数学教育工作者,如何在数学教学时的好奇心:主”激励学生是迷人的,希望得到的热情创造足够的动力将通过不好玩的但是是必要的”(p . 86)。这种动机,作者描述为概念的动机。更具体地说,本文的术语概念动机意味着教学策略,利用学生的好奇心作为支点,引入一个新的概念是合理的利用它作为一种工具在应用程序解决实际问题。例如,添加的操作可以出于需要记录大量的增加这样的另一个对象的数量、无理数的概念可以出于需要测量周长点阵平面多边形围场的基层(称为几何板),或积分的概念可以出于需要找到地区曲线平面数据。

另一个数学相关的动机是具体性的工具。根据大卫·希尔伯特的数学开始提出问题在具体活动的背景下提出的“世界的外部现象”([17],p . 440)。我们相信“具体性”是一个适当的动机,因为它涉及到数学教育的同义词。这个词混凝土本身表明各种成分是集合和合成。学习数学的目的是使具体化概念,理论和应用。有一个准确的理解是有帮助的。人类固有的希望“完整”某些东西的知识。通过了解细节,具体化的想法,我们减少焦虑与描述和使用这些想法。具体激励各方参与数学教育。甚至在行政层面,有理解,“FKL的知识与学习的基础核心课程将为您提供机会去探索各种重要领域的研究中,让你更多的了解和参与了解全球的挑战现实需要“([18),斜体添加),“现实”是我们的重点。这对每个人都是动机,因为我们都想利用数学理论,或者至少,看到它。因此,动机是比例更高,成人学习者在孩子可能不会看到“实用性”数学。南佛罗里达大学讲师的课程(例如微积分序列,)被要求包括FKL声明他们的教学大纲。

直到最近,术语“工业”和“技术”,而轻蔑的数学教育的内涵。传统正式的讲课在大多数教室仍然占据着主导地位。然而,经常有“产业”或“技术”在研究数学理论中,这两个概念并不免费。很难确定一个海量K-20数学课程的一部分,这就排除了理论或最终的实际的应用程序。此外,理论是隐式地包含在遏制教育由于其科学组件。

在数学教师教育的背景下,关注应用程序给未来的教师的一个非常重要的能力举例数学思想方法是可用的。这个技能可以传授给自己的学生。人能认识到数学知识源于在进大学前的级别的需要解决现实生活中不同程度的复杂性。课程原理提出的数学教师全国委员会(19]包括认为所有的学生都应该提供在这个级别经验”看到数学有强大的用于建模和预测实际现象”(第15 - 16页)。这强调应用程序超出了进大学前的水平。事实上,数学已经大大发展和渗透生活的所有方面,使大学数学教育的必要但有争议的现代文化的元素。

3所示。行动学习

许多人务实,做什么工作。的时候不工作,一个是不得不问问题是如何使它工作。从1940年代开始,雷金纳德Revans开始开发行动学习的概念,一个解决问题的方法的特点是采取一个行动和反思的结果,作为业务发展的教育教学方法和解决问题的20.,21]。从那时起,行动学习来描述各种形式它可以和上下文可以观察到。在实现高质量的大学教学的背景下,“行动学习的目标是个人的教学老师”([22],p . 7)。在一般的专业性能,改善:帝尔沃斯历史学(23)认为,行动学习开始调查真正的问题,不管问题是“战术或战略…(的过程中)学习是战略”(36页)。行动学习在数学教育可以被定义为学习通过学生个人的工作在一个真正的问题之后,反思这项工作。在大多数情况下,这项工作是由一个“更有见识。”

行动学习,数学教育的起源在儿童早期经验,有自然的成熟水平。在我们成为关心的日常责任附加到成年期,我们可以自由地考虑行动学习在一个游戏形式。我们喜欢游戏和学习的获胜策略带入以后的生活,娱乐的手段,指导下一代孩子的工具。行动学习在数学教育的动机逐渐改变在现实企业赢得成功的游戏。成功的关键是解决问题的能力。研究发现,好奇心可以兴奋的特殊的特征的观察和意想不到的现象(24]。此外,“孩子们会好奇的性质在很大程度上取决于世界对他们和他们的经验”([12),33页)。学生教育水平寻求具体性,对现实世界感到好奇是很自然的,行动学习和享受的好处,特别是当他们在数学教育重复地使用它。特别是,在高等数学课程nonmathematics专业,应该适用于现实的问题。有趣的是,我们似乎回到“游戏”当我们处理纯理论,因为我们可能寻求一个抽象的解决方案解决方案本身的缘故。

马克斯•沃什米格式塔心理学的创始人之一,认为对许多孩子来说,“它使一个巨大的差异是否有真正意义上把问题”([25],p . 273)。他给了一个例子,一个9岁的女孩在她的研究在学校并不成功。特别是,她无法解决简单的问题需要使用基本的算术。然而,当给定一个问题发展而成的一个具体情况她所熟悉和解决方案”要求的情况下,她遇到不寻常的困难,经常展示优秀的意义”([25),页273 - 274)。换句话说,最好的策略来开发学生的兴趣主题教学关注的话题,在盆地的吸引力。威廉·詹姆斯,一个经典的美国心理学,谁是第一个应用于教师教育,所说,“任何对象本身不感兴趣,可能会变得有趣通过成为与对象关联的兴趣已经存在”([26],p . 62)。兴趣也可以用于开发动力在教育”是指的模式选择alternatives-patterns证明随着时间的推移一些稳定,不会出现由于外部压力”([27],p . 132)。

反射是行动一样重要。能够反思行动构成了所谓的内部控制进行当个体认为自己是为自己的行为负责,这是不同的从外部控制当看到他人或环境的主要动机的个人行为(28]。三个基本问题通常开始行动学习过程在解决一个实际问题。我们问:首先,应该发生什么?第二,是什么阻止我们这样做?第三,我们能做些什么呢?

行动学习在学术界(通常称为行动研究(29日,30.])一直在传统教学业务管理和社会科学31日,32],进行科学研究[33),和教师发展22,34- - - - - -36]。在数学教育4,37),行动学习,作为一种教学方法,采用面向教育学在self-solving反映实际问题跟进。学习是主要的目标,即使解决问题是真实的和重要的。学习是通过爆发的心态,从而呈现一个有点陌生的设置问题。我们现在有技术辅助,行动学习教育学教学数学通过现实问题,阻止教师和社区专业人员的指导下,运用项目组件(4]。数字技术被认为至少在必要的类型学的手稿。可能走得更远,当然,和包括一个基本的工具(比如,一个数字积分器,一个电子表格,或专门的软件)。最后,行动学习(在商业教育起源20.,21])提供了一个有效的和明确的数学教育方法。这种方法是不同的(开发,开始提到的部分2,有时是有争议的)活跃的无所不在学习技术在数学教育工作者在各种constructivist-oriented,以学生为中心的教学环境(38- - - - - -41]。

4所示。行动学习在数学教育的实践

我们的USF-SUNY团队(4]建立了行动学习是一个积极的教学功能全年级(K-20)。人们可能会认为,既然很多人终身学习者,我们中的一些人可能采用行动学习K-20之外(也许是数学教师)。我们的动机行动学习数学可以给青年学生认识数学的有趣的事情。基础概念可以是相当复杂的,学生可能返回到思想和把它们进一步积累经验。行动学习的例子,下面的部分讨论了教学水平。这些例子强调具体的目标,进而激发学习者。雇佣一个项目组件使伞“1 + 2”数学模型为第三级(部分可用4.2.2)。

4.1。动机和行动学习在小学和中学的水平

在小学水平,数学概念可以通过适当的设计实践活动积极支持的操作材料。这些活动必须整合丰富的数学思想与熟悉的物理工具。就像上面提到的,行动学习的一个重要方面是它面向游戏。上下文中的教学特点的游戏工具支持的数学学习是一个人的“观念”,在老师面前作为“知识渊博的其他”打开一个窗口对学生未来的学习。尽管如此,可以观察到缺乏支持,Vidler [12)所说的,“当一个孩子盯着长在一个不对称而非对称图”(p。18)认识到凭直觉,通过感性的好奇心,图的稳定性取决于它的位置。即知觉好奇心加上创造性思维往往超越活动为一层和合并的研究更先进的思想认知水平更高。以下两部分演示如何使用双向计数器和正方形瓷砖,物理工具常用现在小学数学课堂中,可以支持,分别斐波纳契数的引入,允许通过使用计算打开窗户,黄金比例的概念,和连接建设的矩形(瓷砖)的讨论特别数字周边和区域之间的关系。在这两种情况下,从基层到辅助可以通过数字技术的使用。数学思想,出生在行动学习的环境与物理工具,可以扩展到一个更高的水平通过数字计算实验支持工具。

以下4.4.1。从双边计数器通过行动学习黄金比例

考虑下面的行动学习的场景:

确定的数量的不同安排1、2、3、4,等等两面(红/黄)计数器中没有出现连续两个红色计数器。

实验,我们可以得出这样的结论:一个柜台可以安排在两个方面,两个计数器在三个方面,三个计数器在五个方面,和四个计数器在八种方法(图1)。特别是,图1显示所有的安排有四个计数器可以通过递归计算加法3 + 5 = 8,因为它们可以放在两组在第一组(基数3),极右翼计数器是红色的,和第二组(5基数),极右翼计数器是黄色的。通过将这个想法付诸行动的指导下一个老师,一个年轻的学生可以发现下一次迭代(五counters-13方面,13 = 5 + 8)同意图的描述1。增加,为了一致性,序列2,3,5,8,由两个的13(假设一个空的柜台只有一个安排)允许一个描述完成上述行动学习的场景(也就是说,反思的结果作用于混凝土材料根据一定规则)通过序列1,1,2,3,4,5,8,13,…,(前两个数字等于1,每个数字开始从第三是前面两个数字的总和)——最著名的数字序列在整个数学的斐波纳契(1270 - 1350)的名字命名,意大利最著名的数学家。作为反映场景的一部分,年轻的学生可以被告知像斐波纳契数列看起来深奥,他们可能会遇到他们了。

事实上,在二级水平,斐波纳契数列可以探讨在连续两届的比率方面, 。为此,可以使用电子表格来表明一比率 方法1.61803n增加,不管序列的前两个条件,和 。的确切值 ,被称为黄金比例。这的一个例子是使用计算机可以为学生和他们的老师都提供一个非正式的桥连接较低认知水平更高。不易于计算连续两个斐波纳契数的比率提供了一个电子表格,这将是更加困难连接一个简单的行动学习活动的具体安排双边计数器的认知更复杂想法的收敛率从古代被称为黄金比例。动力由一台计算机,黄金比例的上下文中可以发现探索一个特殊的数字序列描述一个动作适合孩子的学习问题。换句话说,一个电脑可以自然地打开窗户学生未来的行动(见报告了解阿尔茨海默氏症的研究部分6下文)。

与使用双向计数器在斐波纳契数列的背景下,应该注意的是,许多教师候选人认为,混凝土材料在小学阶段只能利用和超出这一水平,他们是无用的。有鉴于此,作者认为,就像斐波那契数列、混凝土材料可以用来介绍,而复杂的概念以添加具体的因素抽象概念的研究。特别是,两面计数器可以作为二进制算术的化身在计算机科学入门课程。更具体地说,如果一个人写下的第一个16个自然数二进制形式,然后,双向计数器的支持下,可以看到下面的。有两个1位数没有1出现在一行(没有红计数器背对背),三个两位数没有1的连续出现,五个三位数的数字没有1的连续出现,和八个四位数的数字没有1的连续出现。数字2、3、5、8是连续斐波那契数,因此,可以作为学生的先前知识的发展中通过行动学习新思想。更多二(三)层次的探索与斐波那契数列,看到43]。

显然,动机就连接到一个预期未来的成功由于青春期。学生现在寻求更大的概念具体化。当学生在中学有强烈动机的行动学习,他们可以做,产生大学生素质项目,作为大学生节描述4所示。2在下面。有一个渐进的“严重性”伴随“成熟”项目工作。行动学习的好例子中学学生在大学水平被认为与劳伦·伍德布里奇Publix交付项目“托盘物理学”([44)诉3 2 (8)),Bo月球的量子计算项目“子集和问题:降低时间复杂度的np完全与量子搜索”([44),v . 4, 2(2)),洛根白色的火箭项目“低摩擦近似建模火箭飞行”([44),1 (5)),v 6日罗山Warman spin-based计算项目“自旋电子电路:spin-based计算的基石”([44),v . 7, 1 (1))。

4.1.2。创造力和行动学习

人类创造性的动机时,一个可能更有创造力一般后,形成思想的具体化。早期识别学生的创造力是很重要的。教育家认为创造力是“21世纪的一个重要技能…至关重要的个人和组织的成功”([45],p . 1)。教师创造性学生的识别能力可能隐藏在不成熟的课堂表现对成功的教学和富有成效的学习至关重要。如果学生的创造力是隐藏不承认和支持的老师,很可能潜伏如果不消失46]。下面的故事,从一个小学二年级的教室,支持教师的观念演变的主要管理者的创造性潜力的年轻的孩子。

一位小学老师候选人,分别与一个二年级的学生(老师)的监督下教室,问他来构造所有可能的矩形的正方形瓷砖(二年级的一个实际问题),期望学生构建两个矩形,1和10的2 5,每一个都代表一个乘法事实10号,事情将会研究后(三年级)。老师候选人惊讶地看到三个矩形,如图2。大量的教学理念对行动学习源于矩形的验收有洞藏体现孩子的创造力。一些想法可以与中学数学。澄清,认为探索这个矩形的面积和周长之间的关系有一个洞,包括外部和内部周长(一种新型反思由学生使用混凝土材料)采取行动。你会发现面积10平方单位和周长是20线性单元。数值,周边地区的两倍。比较长方形周长的区域已经知道从毕达哥拉斯的时间47]。行动学习的方式,探索可以如下情况:是否有其他矩形矩形孔的周边区域的两倍吗?为此,在二级水平,可以引入四个变量,一个,b,c,d长度和宽度更大的和更小的矩形。从这里,的关系ab−cd=一个+b+c+d遵循。使用Wolframα的计算知识引擎免费在线词典可以要求程序求解上述方程的正整数。下面的结果:

设置一个=b= 3,一个人可以选择c= 1那里d= 1。这给了我们一个平方(图方形孔3)。这个例子展示了如何了解代数和相应的技术可以通知练习与幼儿教师工作在促进批判性思维和培养创造力。再次,激励技术作为一个非正式的桥连接两个不同年级的数学课程。而老师未必看到丰富的学习环境在非传统学生响应,这样的反应的事实被接受和赞扬会激励和其他学生继续被“开箱即用”的思想家。

结束这一节,注意三驾马车,一个小学的学生,课堂上老师,和一名教师候选人,可以比较的行动学习与本科学生,数学教师和学科领域顾问如下所述4.2.2。两个环境的相似性(年)的双重监督学生行动学习数学的两人“更加知识渊博的人。”

4.2。本科数学和行动学习

4.2.1。准备在实践中学习理解抽象性

数学语言是抽象的上级更抽象。传统上,大学数学教授nonmathematics专业距离从现实没有联系学生的专业兴趣。在这种背景下,相当多的即将专业人员看不到他们的潜在领域的数学的重要性(48]。此外,抽象性教学往往导致沟通的问题。如前所述(49),与教学有关的工程数学,之间可能存在不一致的术语和想法所使用的数学家讲师由学生和他们的解释。由于过于理论化,大学数学教育水平成为无效:nonmathematics专业研究主题”,因为他们必须。“数学教育的一个替代方法是基于著名的和务实的概念“通过实践来学习”(例如,50- - - - - -54])这使得它可能有意义的相互作用的纯粹与应用的想法。这种方法有巨大的潜力将经验学习calculus-a基础课程高等数学课程的顺序。

4.2.2。数学伞模型

整个大学数学课程nonmathematics专业可以从行动学习中受益。发现,尤其是在大学层面,应该有一个“中立”立场相对权重理论和应用。数学的雨伞集团(杯子)南佛罗里达大学的(普遍服务基金),由Arcadii Grinshpan 1999年(55),这种“立场。“这桥梁数学教育和应用程序之间的差距,而鼓舞人心的阻止学生获得基本的数学技能在各自学科的成功。这一行动导致了数学发展的伞模型干涉及数以百计的跨学科的教育(数学应用程序)学生项目。十年以来报道,杯子程序是第一个组织促进个性化的数学项目,会建议数学和主题区域顾问,为专业教学nonmathematics阻止学生(56),杯子依然独特的区别。每个项目完成双重监督下:数学顾问(数学老师)和一个主题区域顾问(大学或社区专业)通常表明一个问题(4,48,55,57- - - - - -59]。

杯的标志是其战略的互连一个至少本科学生两个专业人士。情况见图4。因此,学生接触到更广泛的专业知识比通常的数学老师。

另一个强大的特性是可能的社区关系或跨学科的联系,至少发生以外的机构的数学教师。行动学习带来“现实”的抽象数学。甚至当数学教师试图供应问题与应用,实用性不知道第一手,直到学生使用它了。这是一种激励方法对各方在三人。后来学生可能选择进行研究与项目经验。同时,他们很可能会保留超过他们可能参与的概念“纯讲座”的方法。

4.2.3。行动学习在上层微积分课程

行动学习是一个强有力的激励因素为所有参与者参与数学伞状组织。这个因素似乎是一个共同的主线贯穿整个K-20行动学习频谱。参与者的行动学习的兴趣可能与个人经验成正比。数学老师可能获得的最大好处,但学生将知道足够的理论动机。的本科数学课程,如微积分II和III,它被认为是足够的为学生说服几个较小的测试和作业对行动学习,然后把它们的能量,而不是要求他们在期末考试取得成功。特别是,这种行动学习教学法有助于学生“略微成功”,让他们最终成绩组件包括一个行动学习理由在这个课程的总体评分有很大的重量。

多,有“标准成就”可能具有非常高的工作效率,他们的行动学习项目。有潜在的学生工作要发表,或甚至荣幸4,57),很多学生已经过去二十年。这些都是很好的激励因素对各方的行动学习努力。因为行动源于动力,重要的是认识到“行动激励因素的作用。”三级学生,一个强大的激励因素通常是在学习一些有用的东西和一些建立或增强一个成功的职业生涯。

值得注意的是,学生们自然出于成功的数学课程。行动学习的影响,分析了在南佛罗里达大学的微积分课程的工程涉及成千上万的学生参加这些课程和后续课程从2003年春到2015年春季59]。一些结果(按种族和民族分组)在图5(59]。这个图展示了行动学习的影响,同时行动学习部分,和历史(传统的)部分。这部分调查涉及1589行动学习的学生和1405名学生从课程不使用行动学习的元素。最后,2316人被贴上“历史”,这意味着他们已经在2003年春季之前(即。之前,这样的一个区别是,使用或不使用行动学习在他们的课程)。研究人员谨慎地包括结果的置信区间。很明显,在这个相对较大的子群与更大的研究中,所有四个种族类别的支持行动学习的参与者。有很多的信息(59为考虑。无论如何,这和其他结果表明学术优势在行动不行动学习。务实的结论是提供行动学习,它的工作原理。

4.2.4。行动学习是一个普遍的教育理念

数学教师的动机源于暴露与行动学习新体验。现在有成百上千的行动学习项目,代表了一系列广泛的话题。此外,总有一些很好的行动学习,这是从来没有记录。可用的这些项目在本科《数学建模:1 + 2 (UJMM) [44),很明显,几乎所有的字段可以使用行动学习。有项目工程的处理非常具体的分支,如生物医学纳米技术。外还有许多其他项目”工程,“像那些音乐甚至教育。其他人则跨域类型分类也不清楚。特殊利益的桥梁类型经常。它促使教育者看到出现在混合和哪些字段可以通过行动学习连接。的跨学科特性所需的所有课程(教育)的“宇宙课程”。一些细节主要可从数学的雨伞集团网站(见工业中心和跨学科的数学)。杂志上显示一个选择小组自2000年以来,超过2400名学生项目提交。的项目主题的不同性质和学生贡献者是显而易见的从各种题材的最新UJMM标题([44],v . 8, 1 - 2):“简单的谐波建模应用冲击”Kai雷蒙德,“力量影响帆船”凯莉Stukbauer,“优化燃料电池”爱德华多·希内斯“分析降雨在坦帕”艾米标注,“近似表面积波动脂质传单使用加权网格镶嵌”由Ahnaf西迪基,葡萄糖对压力的反应”的“基本模式Nasha Rios-Guzman,共同实践”的“有机农业分析:效率,这样布拉德利Biega”使用熵率平衡来确定内部传热和工作在一个可逆的,广食性的,稳态流动过程”草原格里芬,“女子1500米世界纪录的函数模型改善随着时间的推移,”安妮Allmark,“多晶硅太阳能模块Max”Jaynil Patel水煤气转移反应的“优化”,阿里•Albuloushi,萨曼莎Pennino“海啸”。

除了许多出版本科项目,有“行动学习场景,”这可能被视为汞合金不同的行动学习经验。有这种混合经验推导一些理想主义的问题。可能会被认为是典型的的问题可能被认为是在一个项目中,而不是实际的例子。这些场景提供数学老师的动机主要包括与通常的行动学习理论课程内容。经验可能会共享任何数学教师在数学教育相似的立场。这里的直接动机是扩大我们的理解之间关系的数学理论和在现实世界中解决实际问题。

5。学习数学的激励问题的主要手段

5.1。问题行动学习的工具

通常问题变得更复杂,因为学生成熟。各级教师的数学教育使用的知识和经验来回答问题。反应所需的混凝土和自信,和偶尔的可能性(一般上级),问题可能需要额外的反射在博览会。上下文中的problem-posing和解决问题,是很重要的一个区分两种类型的问题,可以成为一个问题:制定问题寻求信息和请求的解释获得的信息(60]。类似于两种类型的迹象表明,一阶符号和二阶象征意义(61年)——可以参考问题寻求信息为一阶问题,这些请求解释为二阶问题[46]。而一阶问题可以用不同的方法回答,看来,并不是所有的方法都可以用来提供一个解释获得的搜索信息,也就是说,一个二阶的问题提供答案。通常,要求解释是一个聪明的反思提供信息的一种方法。

这是什么意思,老师需要具备“深刻理解”的数学吗?为什么他们需要有这样的理解?有几个原因未来数学教师彻底准备为了对年轻的学习者的进步有积极作用的数学。首先,在现代数学课堂,预计各个年龄段的学生,甚至鼓励提问。在美国,国家标准已经成绩pre-K-2建议,“必须培养学生问问题的自然倾向…(甚至)当答案不明显”([19],p . 109)。支持这个建议可以在下面找到一位小学老师候选人发表评论:“这是好的不知道问题的答案,但它并不是好离开这个问题回答。”候选人将自己描述为“教育家的类型,总是鼓励我的学生同样问自己一些问题,让他们参与一些深刻的思考”。

5.2。国际角色的学习通过问问题

就与美国边境,在加拿大安大略省教育部,通过早期的数学课程成绩,教师的期望能够“让学生开放式的问题…鼓励学生问自己类似的问题…[和]模型的方法可以回答各种各样的问题”([62年],p。17)。为了培养这样的能力,“老师应该知道如何利用数学图纸,图、操作材料,和其他工具来照射,讨论,并解释数学思想和程序”([63年),33页)。在智利,数学教师将“使用表示,呼吁先验知识,提出好的问题,并刺激一个好奇的学生的态度和推理”([64年),37页)。在澳大利亚,数学老师知道如何激励“好奇心、挑战学生的思维,数学意义和谈判模型的数学思维和推理”([65年],p。4)。学习机会的曲目老师提供学生包括连续寻找替代的方法来解决问题,以及帮助学生更好的学习一门具体的解决问题的策略,他们一直在苦苦挣扎。国家数学课程在英国使用等方面“实践与日益复杂的问题随着时间的推移…[和]可以解决问题与日益成熟…”([66年],p . 1)。为此,教师必须准备好应对情况自然寻求调查导致学生对这种复杂性和增加数学思想的复杂性。需要这样的老师准备是证实了老师候选人如下:“如果一个学生问为什么,老师不能解释的东西来了,学生失去了所有的信心和兴趣主题和对老师的尊重。”

在本科层面,二阶经常讨论的问题。数学教师意识到这样的问题可以为刺激进一步调查是有价值的。也许真的在初级和二级早期遇到的数学水平应该无懈可击地理解数学教师和学生可以“确定”的教育。集理论说,当我们开始处理或两个/三维几何形状,可以有神秘的结果真正刺激学习者认为学习高等数学。数学的好奇心是学习者可能会发现有吸引力的事情。当然,这有利于主题的数学老师有深刻的理解;然而,可能有详细答案,藐视立即魔术。在一些罕见的情况下,答案是没有。预计学生的成熟将允许他们接受高等数学水平不失去信心和对老师的尊重,如果一个解释是递延。在数学教育的早期阶段,学习者认为数学是完美的。 However, mathematics is just as imperfect as anything else devised by human beings. Students should know this.

6。计算机辅助签名教育学和3 p模型的学习和教学

好奇心和动机也可以使用数字工具支持的行动学习的工具。从进大学前的数学教育是通过例子显示,电脑可以方便从一个认知水平过渡到另一个(高)。这是符合现代使用计算机在数学研究新结果源于计算实验。为例,从视觉过渡到象征性的喜悦时提出了双向计数器作为递归方式发展中斐波纳契数列,它可以模拟在一个电子表格,可能意外,一个明确的模式在连续两届的比率可能的行为被发现。这一发现激励的正式解释比率以某种方式运行的原因。同样,从数字描述矩形的周长,面积导致他们正式表示。而一个矩形和一个洞被发现通过思考”的盒子,“数字工具的可用性促进了从视觉符号与后续使用后者表示在数学建模的情况下。

计算模型可以作为动力的力量来开发,然后探索更复杂的比斐波纳契数列递推关系。如前所述(58),使用电子表格模型可以应用在阿尔茨海默氏症研究的背景下,研究转基因小鼠人口集中采购的财务可行性两个母老鼠(男性和女性)和提高人口的一个指定大小的老鼠。这个问题的一个有效方法,包括递归关系的理论,介绍了最初通过斐波纳契数列在二级水平。获得的结果通过表格建模可以用于验证理论结果。在这个项目的更多细节,参见[55]。

这一切都导致了计算机辅助签名教育学的概念(CASP)鼓励反射和支持分析时采取行动的一个学生在行动学习的背景下,为比赛提供了深(而不是表面)的结构教学(67年受雇于一个老师作为一个“更有见识。“同样的,在前面的出版物,比格斯(15)区分学生的表层和深层结构的方法学习通过描述前的方法的学生”投资最少的时间和精力一致似乎满足要求…[而后者方法]基于兴趣主题的任务;最大化的战略理解”(p。6)。采用邓肯和比德尔(68年]presage-context-process-product的课堂教学模式,比格斯(15]介绍了现在著名的学生学习旋转3 p模型一般由学生认为学习和他们当前的学习环境(预示着),学生学习方式(流程)和学生的学习成果(产品)。调查的拳头P模型如何影响其第二个P和,因此,第三页是由Lizzio,威尔逊和西蒙斯(69年推出了七个理论命题。其中一个命题是基于一个论点,如果大学生感知他们的教授的课程的教学,那么他们更有可能选择深层学习方式。作者发现这种说法是真实不仅对高等数学内容的课程,但也为未来的学校教师对数学方法的课程。在现代数学教学,适当使用的技术是一个重要的学习环境的特征。特别是,在学生学习方式在CASP伞下的深层结构,可以放大使用一个单一的数字工具与电子表格由其他现代技术比如Wolfram Alpha。为此,CASP、结构化的深度教学和学习方法,包括使用所谓的集成电子表格(70年)支持数学教学教育水平与学生学习计算的鲁棒性。

7所示。问题和猜想,鼓舞和激励

数学的学生(在任何教育水平)可能遇到数学完美的“徒劳”。在数学中,有容易表达问题(猜想),藐视答案(证据)。似乎类似于海森堡测不准原理,寻找有“极限精度”的位置和动量,例如。重要的概念是,并不总是有“标准”的数学问题的解决办法。知道了这一点,学生能进一步发展数学来解决一些问题。有一个“非标准”行动学习在这些情况下工作。最初的考虑主要是理论,但最终应用程序将召见。注意,不需要解决的问题,一定会学会的。这个过程是动机。同时,反射带来的具体问题中的概念和相关的整体“自然”问题和解决问题。

现实生活中的数学应用程序提供大量的各种研究刺激在主题领域,涉及专业的数学家和不同专业的学生。这并不是说,应用数学是唯一有意义的数学思想的发展的源泉。事实上,有许多问题在数学本身用来激励和保持激励那些寻求获得完整欣赏数学作为基础科学。其中一些问题(有时称为猜想)可以推荐成为数学课程的一部分nonmathematics专业以及教师候选人。作者的经验表明,定理和起源的纯粹和应用数学猜想有可能引发想象力和思维过程的那些思想开放的挑战。

例如,语句和历史的细节等激动人心的问题费马最后定理证明了安德鲁·怀尔斯(71年由De Branges[]和Bieberbach猜想的证明72年)(参见[73年)可能包括为nonmathematics专业的一些基本的数学课程。证明这些定理不仅比基本意味着还需要更多是极为复杂的。然而,当斯图尔特(74年)指出,“这一事实证明是重要的专业数学家并不意味着给定的观众的数学教学必须限于想法的证明可观众”(p . 187)。让我们看一看他们。

费马最后定理指出方程 没有非零的整数解x, y,和z什么时候 。特别是,这个定理可以介绍给不同人群的数学学生来回答这个问题:是否可以延长毕达哥拉斯的解释三元组作为分区广场到两个正方形的总和包括类似的表示更高的权力吗?其他地方的详细(75年),使用电子表格和中学老师候选人使一种可视化建模nonexisting费马大定理的解决上述方程在一样 。同样地,很可能在技术的帮助下,或通过其他手段,一个自然的费马最后定理的陈述之间的桥梁和一些模块化的椭圆曲线的几何性质诡计的证据会访问未来数学的学生。

Bieberbach猜想的州和每一个解析函数一对一的单位圆盘 ,的不平等成立。这个传奇的结果仅以其惊人的纪录(见,例如,76年)能激发学生的学习兴趣等重要的数学概念一对一的函数,幂级数,收敛,和泰勒系数,特别是与工程专业相应的讨论。深几何Bieberbach猜想这里值得一提的根源。例如,它的证明基于展示一组平面区域围道积分,因此它是访问nonmathematics专业报名参加了一个上层微积分课程。

还有著名的哥德巴赫猜想(77年)断言,每个偶数大于两个可以写成两个素数之和(也许在一个以上的方式)。这将是不可思议的,如果这个猜想被发现是假的。到目前为止,没有发现反例。而寻找一个反例似乎毫无结果,经验证明,所有偶数哥德巴赫猜想是真的大于,小于一些已知数量有17位。

另一个著名的还容易理解问题是回文猜想(78年]。它涉及回文的性质(即。,integers that read the same backward as forward) to attract whole numbers under the following procedure: start with any whole number, reverse its digits, and add the two numbers; repeat the process with the sum and continue to see that it leads to a palindrome. Remarkably, this “number game” has been mentioned recently as one of the twelve unsolved problems in contemporary mathematics [79年]。这个问题,如上所述在学校数学的原则和标准19潜力,其教育中学生“欣赏数学的真正的美”(21页),促使中学教师候选人工作与作者之一发展中计算学习环境的教学演示和实验与大型类休闲问题的解决和未解决的(80年]。高斯所说,“在算术中最优雅的定理经常出现实验的结果或多或少的意外的好运,而他们证明谎言深深地嵌入在黑暗中,他们击败最调查”(引用(81年],p . 112)。

看来,使用有意义的实验技术和数字CASP的伞下有可能激发和激励学生已经在进大学前的层面对新发现的初等数论。通过扩大我们对数学的理解,我们可能扩大我们的能力”。“这是行动学习的内在价值和动机。数学是所有的推测提供应用程序。我们只需要主动地设计这些应用程序。

8。结论

本文使用作者的数学教学经验和管理应用程序的主题在公立学校和行业的实践,介绍了行动学习的共同使用的框架和概念的上下文中动机K-20数学教育。不同的行动学习的个人工作的例子一个真正的问题,其次是反射的监督下“知识渊博的其他”——被提供。这样的监督可能包括一个“别人的两人”——教室的老师和一名教师候选人在k - 12学校,和数学教师和学科领域顾问在大学。数学的论文证明行动学习与概念的激情,教学方法,引入数学概念是出于(合适的)级真实对象的应用程序可能包括学生行动导致这一行动的正式描述通过数学的象征意义。这种方法是基于著名的建议由数学家(5,16,17和教育心理学家1,25,26,61年]。

论文的主要结论消息是通过反复利用概念的动机和行动学习各级数学教育,整体学生成功有巨大的潜力来改善。这个消息是由创造性思维年轻的学习者在课堂上的例子基于全面合作的学校教师和大学教师(福尔摩斯集团的精神82年])。同样,学生兴趣的例子支持的信息是通过行动学习研究微积分在实际设置。看来,新兴的学生数学是由于行动学习的兴趣和动机概念被用来纠正数学教学普遍形式主义,特别是,已成为成功的障碍阻止教育(4,7,8]。当学生有经验的行动学习数学在学校期间,他们很可能会继续学习同样的主题,从而避免许多疙瘩的第二级转变。就像前面提到的4.2.3工程,研究实施行动学习微积分,涉及成千上万的南佛罗里达大学的学生(4,59),表明,虽然学生的行动学习的兴趣可能与个体的经验成正比,其学习成果展示学术优势的行动学习微积分交付的其他教学手段。

开始正式的数学教育,学生应该开始经历行动学习教育学和概念动机增强,适当的,通过询问和回答问题,学习使用技术。如本文所示,许多国家的中小学数学课程不仅支持学生学习通过问问题也是他们的未来教师欣赏这样的数学学习。同样,计算机辅助签名教育学(37)可以用来最大化学生的理解数学和鼓励他们的深层学习方式15]。大学本科生有更大的动机比小学生为了处理作为成年人的责任。然而,两个学生的数量仍然可以出于自然“抗老化”的好奇心。在这方面,刺激问题,使用电脑的亲和力,和古典著名问题是数学研究的重要激励工具。将整个K-20数学课程在一个伞下是可行的,当技术概念的动机和行动学习在教育领域。最后,显然是一个切实的理由,让学生们的行动学习彩虹,这是因为在今天的学生就是明天的教师。这个过程应该继续蓬勃发展。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

1. j .杜威民主主义与教育美国,自由出版社,纽约,纽约,1916年。
2. 美国Billett”,实现教育价值的整合工作经验在高等教育,“高等教育研究,34卷,不。7,827 - 843年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. s . Billett”学习实践的情况下,“国际终身教育杂志》上,34卷,不。7,827 - 843年,2014页。视图:谷歌学术搜索
4. 阿布拉莫维奇,j·伯恩斯,s·坎贝尔,a . z . Grinshpan“STEM教育:行动学习在小学,中学,高等数学,”IMVI开放数学教育笔记》第六卷,第106 - 65页,2016年。视图:谷歌学术搜索
5. h·巴斯”,数学家作为教育者,“美国数学协会的通知,44卷,不。1、21页,1997页。视图:谷歌学术搜索
6. j . Baumert m . Kunter w·布卢姆et al .,“教师的数学知识,认知激活课堂,学生的进步,”美国教育研究杂志卷,47号1,第180 - 133页,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. 总统行政办公室,与Excel:生产一百万额外的大学毕业生学位科学,技术,工程和数学,总统科学技术顾问委员会的,华盛顿特区,2012年美国。
8. j·e·m·弗里德兰德t . s .霍尔姆尤因et al .,“数学家”在教育干工作,2012年,http://www.ams.org/policy/govnews/pcast-statement。视图:谷歌学术搜索
9. d .豹头王和l . Trouche”工具转化为数学工具的复杂的过程:计算器的情况下,“国际期刊的计算机数学学习,3卷,不。3、195 - 227年,1999页。视图:谷歌学术搜索
10. p·w·汤普森,m . Artigue g .墨粉和e·德·沙利特,“数学和数学教育之间的合作”数学和数学教育:寻找共同点m·弗里德和t·德雷福斯Eds。,第333 - 313页,2014年。视图:谷歌学术搜索
11. n . Livson“走向差异化构建的好奇心,”《遗传心理学杂志》上,卷111,不。1,第84 - 73页,1967。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. d . c . Vidler“好奇”动机在教育,球,艾德。,页17-43,学术出版社,纽约,纽约,美国,1977年。视图:谷歌学术搜索
13. g .聚归纳和类比在数学,卷1,普林斯顿大学出版社,普林斯顿,新泽西,美国,1954年。
14. d . c . Vidler“成就动机”动机在教育,美国球,艾德,页67 - 89,学术出版社,纽约,纽约,美国,1977年。视图:谷歌学术搜索
15. 库存j·比格斯,“学生的学习过程真的测量吗?理论回顾和澄清。”英国教育心理学杂志》上,卷63,不。1,3-19,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. 比比曼德布洛特,“分形,计算机,数学教育”第七届国际数学教育大会学报》(全体讲座)Gaulin c, b·r·霍德森d·h·惠勒和j . c . Egsgard, Eds。,pp. 77–98, Les Presses de L’université Laval, Sainte-Foy, Québec, Canada, August 1994.视图:谷歌学术搜索
17. d·希尔伯特“数学问题”,《美国数学学会,8卷,不。10日,437 - 480年,1902页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. 普遍服务基金,”FKL核心课程为学生”,2018年,https://www.usf.edu/undergrad/fkl/。视图:谷歌学术搜索
19. 全国数学教师理事会,学校数学的原则和标准,国家数学教师委员会,华盛顿特区,2000年美国。
20. r . Revans行动学习:新技术管理金发和布里格斯,伦敦,英国,1980年。
21. r . Revans行动学习的起源和发展Chartwell-Bratt Brickley,英国,1982年。
22. j·比格斯,教学质量在大学学习:学生做什么,社会对高等教育的研究与开放大学出版社,费城,宾夕法尼亚州,美国,2003年。
23. r:帝尔沃斯历史学,“行动学习”简而言之,性能改进的季度,11卷,不。1,28-43,1988页。视图:谷歌学术搜索
24. d·比斯维克”理论和测量人的好奇心,”哈佛大学,剑桥,妈,美国,1965年,未发表的博士论文。视图:谷歌学术搜索
25. m·沃什米富有成效的思考Harper &兄弟,纽约,纽约,美国,1959年。
26. w·詹姆斯,谈判心理学老师、哈佛大学出版社、剑桥、妈,美国,1983年。
27. l . w .生锈,“利益”动机在教育,美国球,艾德,页131 - 146,学术出版社,纽约,纽约,美国,1977年。视图:谷歌学术搜索
28. g . c .把“控制点”,动机在教育,美国球,艾德,45 - 66页。学术出版社,纽约,纽约,美国,1977年。视图:谷歌学术搜索
29. j·艾略特,行动研究教育的变化英国开放大学出版社,白金汉1991。
30. d .梳行动学习和行动研究:改善教与学的质量,Kogan页面,伦敦,英国,2000年。
31. a . Lizzio k·威尔逊,“行动学习高等教育:一个调查的潜在发展专业能力,”高等教育研究卷,29号4、469 - 488年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
32. 我解释,“在高等教育行动学习,”教育管理和管理,24卷,不。2、193 - 205年,1996页。视图:谷歌学术搜索
33. d·格林伍德·m·莱文,介绍行动研究美国CA、鼠尾草出版物,千橡市,第二版,2007年版。
34. l·诺顿在教学行动研究:实用指南在大学开展教学研究劳特利奇,纽约,纽约,美国,2009年。
35. l .菲利普斯使用行动学习支持初级教师的数学知识的发展国家教师研究小组,2010年英国考文垂。
36. g . j .松教师行动研究:建立民主国家的知识美国CA、鼠尾草出版物,千橡市,2008年。
37. 阿布拉莫维奇,j·伊斯顿,v . o·海斯,“平行结构的计算机辅助签名教育学:集成的电子表格中,“电脑在学校卷,29号1 - 2、174 - 190年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
38. c . Kyrlacou“主动学习在中学数学中,”英国教育研究杂志,18卷,不。3、309 - 318年,1992页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
39. j·s·罗森塔尔”,活跃在高等数学课程,学习策略”高等教育研究,20卷,不。2、223 - 228年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
40. n . f . Ellerton”参与职前中学教师学生提出数学问题:发展一个主动学习的框架,“数学教育研究,卷83,不。1,第101 - 87页,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
41. m . Kogan和s . l .劳尔森”研究性学习评估长期的影响:一个案例研究从大学数学,”创新高等教育,39卷,不。3、183 - 199年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
42. 阿布拉莫维奇和g·a·列昂诺夫,”斐波纳契数列的再现:technology-motivated调查two-parametric差分方程,”国际数学教育在科学和技术杂志》上,39卷,不。6,749 - 766年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
43. 阿布拉莫维奇和g·a·列昂诺夫通过计算实验回顾斐波那契数列Nova科学出版社,纽约,纽约,美国,2019年。
44. 《大学生数学建模:1 + 2、2019年,http://scholarcommons.usf.edu/ujmm/。
45. a . Beghetto j·考夫曼和j·贝尔,共同核心创造力的课堂教学美国纽约哥伦比亚大学,纽约,2015年。
46. s .阿布拉莫维奇集成计算机和数学教师教育问题提出,世界科学,新加坡,2018年。
47. b . l . Van der Waerden科学的觉醒,牛津大学出版社,纽约,纽约,美国,1961年。
48. 阿布拉莫维奇和a . z Grinshpan”,通过应用欠佳的教数学专业,”博智金融,18卷,不。5,411 - 428年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
49. w·莫尔和j·贝瑞,”问卷引出数学概念的图像工程的学生,“国际数学教育在科学和技术杂志》上没有,卷。31日。6,899 - 917年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
50. j .杜威我们如何思考:重述的关系反思教育的过程吗美国,希思,波士顿,MA, 1933。
51. l . v . Ahlfors”高中的数学课程,“美国数学月刊,卷69,不。3、189 - 193年,1962页。视图:谷歌学术搜索
52. r·诺斯和c .待遇”意义的可见性:银行业的数学建模,”国际期刊的计算机数学学习,1卷,不。1,3-31,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
53. c . r . Hadlock数学建模的环境美国数学协会,华盛顿特区,美国,1998年。
54. a·e·凯利,r . a . Lesh j.y.门敏,手册的设计教育研究方法:创新科学,技术,工程和数学学习和教学劳特利奇,纽约,纽约,美国,2008年。
55. a . z Grinshpan”数学伞:建模和教育。”在服务社区:数学概念和模型在数学科学的服务培训、MAA笔记# 66,页59 - 68,华盛顿特区,美国,2005年。视图:谷歌学术搜索
56. d . Milligan”可选的真实世界的应用程序的影响项目对大学生数学成就,“毕业论文和学位论文,2007年,http://scholarcommons.usf.edu/etd/2290。视图:谷歌学术搜索
57. a z Grinshpan,“跨学科的数学在遏制教育:本科保留和研究”NSF的受让人会议步:确定最佳实践,华盛顿特区,美国,2014,http://stem-central.net/groups/posts/936/,http://ciim.usf.edu/docs/NSF_STEP_2014_-_Interdisciplinary_Mathematics_in_STEM_Education.pdf。视图:谷歌学术搜索
58. 阿布拉莫维奇和a . z . Grinshpan“缩小中小学和大学数学:建筑的楼梯,“IMVI开放数学教育笔记,卷2,21,2012页。视图:谷歌学术搜索
59. g·福克斯,s·坎贝尔,a z Grinshpan et al .,”实施项目大规模微积分在南佛罗里达大学,”干教育杂志,18卷,不。3,此前,2017页。视图:谷歌学术搜索
60. n .艾萨克斯”儿童为什么的问题,”知识增长的孩子美国艾萨克斯,艾德,页291 - 349,劳特利奇& Kegan保罗,伦敦,英国,1930年。视图:谷歌学术搜索
61. l·s·维果斯基在社会思想美国马剑桥,麻省理工学院出版社,1978年。
62. 安大略省教育部,“安大略课程,1 - 8年级,数学(修订)(在线材料),”2005年,http://www.edu.gov.on.ca。视图:谷歌学术搜索
63. 数学科学的会议委员会,教师的数学教育美国数学协会,华盛顿特区,美国,2012年。
64. p . Felmer r·列文s马丁内斯et al。小学数学标准职前教师在智利,世界科学,新加坡,2014年。
65. 澳大利亚数学教师协会”的卓越标准教数学在澳大利亚学校(在线材料),”2006年,https://www.aamt.edu.au。视图:谷歌学术搜索
66. 教育部门,“英国国家课程:数学规划的研究中,“皇冠版权,2013年,https://www.gov.uk/government/publications/national-curriculum-in-england-mathematics-programmes-of-study。视图:谷歌学术搜索
67. l·s·舒尔曼“签名教育学专业,“代达罗斯,卷134,不。3,52-59,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
68. m·j·邓肯和b·j·比德尔教学的研究霍尔特,莱因哈特和温斯顿,纽约,纽约,美国,1974年。
69. a . Lizzio k·威尔逊,r·西蒙斯:“大学生认知的学习环境和学术成果:对理论和实践,“高等教育研究,27卷,不。1,27-52,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
70. s .阿布拉莫维奇探索数学教师教育一体化的电子表格,世界科学,新加坡,2016年。
71. g . Faltings“费马大定理的证明r·泰勒和a·怀尔斯”美国数学协会的通知,42卷,不。7,743 - 746年,1995页。视图:谷歌学术搜索
72. l . De Branges Bieberbach猜想的证明,“数学学报,卷154,不。1 - 2、137 - 152年,1985页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
73. a . z . Grinshpan“Bieberbach猜想和Milin的泛函,,”美国数学月刊,卷106,不。3、203 - 214年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
74. 斯图尔特,“变化”在巨人的肩膀上:计算的新方法、洛杉矶Steen埃德。,页183 - 217,美国国家科学院出版社,华盛顿特区,美国,1990年。视图:谷歌学术搜索
75. 阿布拉莫维奇,“回顾通过当代话语,一个古老的问题”学校科学和数学,卷99,不。3、148 - 155年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
76. a . z Grinshpan”,对数几何、乘方和系数的理论界限单价的功能和不重叠的领域,”手册的复杂分析:几何函数论,r·K 'uhnau Ed, 1卷,第332 - 273页,北荷兰,阿姆斯特丹,荷兰,2002年。视图:谷歌学术搜索
77. e . w . Weisstein“哥德巴赫猜想”CRC简洁的数学百科全书p。742年,查普曼&大厅/ CRC,华盛顿特区,1999年美国。视图:谷歌学术搜索
78. e . w . Weisstein“回文数字猜想,”CRC简洁的数学百科全书,第1302 - 1301页,查普曼&大厅/ CRC,华盛顿特区,美国,1999年。视图:谷歌学术搜索
79. s·w·威廉姆斯,“Million-buck问题”,数学情报员,24卷,不。3日,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
80. 阿布拉莫维奇和t·斯特洛克,”部门测量模型作为一种工具在计算机应用中,“国际数学教育在科学和技术杂志》上,33卷,不。2、171 - 185年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
81. d·e·史密斯,数学书,卷2,多佛,纽约,纽约,美国,1959年。
82. 福尔摩斯,明天学校的教育美国小姐,福尔摩斯集团,东兰辛,1995。

版权

版权©2019谢尔盖·阿布拉莫维奇等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。