注意在树的最小维纳极性指数与给定顶点数和段或分支顶点

文摘

维纳极性指数图 ,通常用 ,被定义为无序对这些顶点的数量吗在距离3。树的顶点度至少3称为分支顶点。树的一个环节是一个重要的路径的end-vertices度不同于2和其他的顶点(如果存在)有学位2 。在这个报告中,最好的可能的维纳极性指数大幅下界派生的树木固定秩序和与给定数量的分支顶点或段,和所有的树实现这个下界为特征。

1。介绍

拓扑指数是数值计算的图,而图同构下保持不变(1]。拓扑指数近年来吸引了很多注意力,尽可能多的人提供一个良好的化合物的分子结构之间的相关性及其属性。计算例子可以找到特定的图形的拓扑指数(2- - - - - -4]。

维纳极性指数是最古老的拓扑指数之一,于1947年提出了化学家哈罗德·维纳(5),预测石蜡的沸点。该指数对于一个图被定义为无序对这些顶点的数量吗在距离3。在过去的二十年中,吸引了研究人员的关注;例如,看到调查[6,7),论文(8- - - - - -25),以及相关的引用。

进一步之前,先让我们回忆起一些定义和符号。所有的图表认为这个注意是简单的和有限的。让是一个图的顶点集和边的集合 。一个顶点的度 用(或通过如果考虑图很清楚)。图中顶点的数量被称为它的秩序。图的顺序被称为一个 - - - - - -顶点图。一个顶点的度1悬而未决的顶点,而一个大于2度的顶点称为分支点。让(或 )所有的顶点的集合相邻的顶点 。像往常一样,我们表示和明星图的路径和顺序 ,分别。一个段 树是一个非凡的路径(路径长度至少1)随着房地产的end-vertices度不同的从2吗和其他的顶点(如果存在)度2。一个树被称为星形的树(或广义的明星)如果它包含一个分支点(我们称之为中央的顶点 )。一个路径 在树上被称为悬而未决的路径(内部道路长度,分别) ,如果其中一个两个顶点 , 是下垂的,另一个是分支(顶点吗和分别分支)和 如果 。(化学)图的符号和术语理论中定义不注意可以在[1,26- - - - - -28]。

通过使用维纳极性指数的定义,Lukovits和Linert29日]证明了量化组织性能关系的一系列非循环和cycle-containing碳氢化合物。相当大的工作已经完成,但是,在描述最大化或最小化的树木在各种附加条件:例如,给定的顺序(15),学位序列(30.,31日),直径(32),和悬而未决的顶点33,34]。Shafique和阿里35给了一些树的结构属性与给定数量的固定顺序和段或分支顶点最大/最小价值。在这里,在这个报告中,我们特别感兴趣扩展本文获得的结果(35]。

杜et al。15)表明,树可以写成 在哪里是连接顶点的边缘 。在这里,重要的是要注意这一点恰逢减少第二萨格勒布指数(35- - - - - -37),对树木的情况下。

固定的整数和 ,表示由和所有的类 - - - - - -顶点树段和分支点,分别 和 。在这个报告中,我们描述所有的树达到最小值从每个两类和因此提供问题的解决方案,开在35),关于最低价值。

让从树上后应用转换,这样 。在这个注意,每当我们考虑这种树木,和我们指的是学历和邻居,分别的顶点 在 。

2。维纳极性指数大幅下界 - - - - - -顶点树与固定数量的部分

请注意,只包含路径图 ,和是空的。因此,我们在这个报告中进行假设 。表示由 星形的树与悬而未决的路径长度(见图11)。让 是类的 - - - - - -一个内部路径和顶点树悬而未决的路径的长度是1。树(s)有最低维纳极性指数在所有类的成员 ,我们首先证明一些前题。

引理1。让和是正整数,这样 。如果 是树,这样是所有的树中最小的 ,然后最多包含一个悬而未决的路径的长度大于1。

证明。相反,假设 和 是两个下垂的路径 ,在哪里 和 (注意,顶点和可能一致)。如果 ,然后 ,我们有 一个矛盾的选择 。
引理1确保树和有最低值的类和 ,分别。另外,很明显,明星图给出了最低值(0) 。因此,我们进行假设 。表示由 所有的子类包括星形的树木。此外,由引理1,达到最低值的类 。现在,我们考虑到类在哪里 。

引理2。让和是正整数,这样 。如果 树有最低吗值的所有成员之一 ,然后每个悬而未决的路径长度是1。

证明。我们相反假设有一个悬而未决的路径 的长度 在 ,在哪里 和 。让 是一个分支点不同,让是你的邻居躺在 - - - - - -路径。请注意, 这可以配合 。让 ,它可以观察到 ,我们有 一个矛盾的选择 。

定理1。让和是正整数,这样 。如果 ,然后 和等号(3)当且仅当 (见图1)或 。

证明。如果 包含不止一个悬而未决的路径的长度至少2,然后由引理的证明1,存在一个树最多有一个悬而未决的路径的长度至少2 。因此,它足以证明结果的时候 最多包含一个悬而未决的路径的长度至少2。在剩下的证据,我们假设 最多有一个悬而未决的路径的长度至少2。
如果任何一 或 ,然后按照基本的计算,一个 。我们应用感应证明所需的结果。注意,如果 或4,然后通过引理1,它认为, 当且仅当与平等 。同样,如果 ,然后通过使用前题1和2,我们有 当且仅当与平等 或 。接下来,假设 这适用于每一个结果令人满意的 。
让 是一个最长的路径 ,在哪里 。注意,每个两个顶点和正好有一个nonpendent邻居 。自最多包含一个悬而未决的路径的长度至少2,至少两个顶点之一和是分支。不失一般性,我们假设是分支。让 在哪里 和 对于每一个 。让 。请注意, 当 ,和 当 。因此,通过使用归纳假设,我们 如果 ,然后,平等 当且仅当 ,要么 或 。如果 ,然后,平等 当且仅当 和 (因为在这种情况下,这棵树包含一个悬而未决的路径的长度至少2)。因此,我们的结论 当且仅当与平等 或 。这就完成了感应,因此证明。

3所示。维纳极性指数大幅下界 - - - - - -顶点树顶点与给定数量的分支

回想一下,类的吗 - - - - - -顶点树分支点, 。为 ,明星图达到最低价值(见[36])。因此,在本节中,我们假设 。请注意,引理3可能是完全类似的方法证明引理的吗2。

引理3(见[35])。让和是正整数,这样 。如果 树有最低吗值的所有成员之一 ,然后每一个悬而未决的路径长度是1。
让在一棵树边的数量连接顶点的度和 。

引理4。让和是正整数,这样 。如果 树有最低吗值的所有成员之一和 对于一些 ,然后不包含任何两个相邻分支顶点。

证明。相反,假设 是一对相邻分支顶点,让 是一个悬而未决的顶点相邻的顶点 的学位至少4。请注意,可以配合的顶点和 。如果 ,然后可以观察到 ,我们有 这是积极的,因为函数 严格增加两个吗和在哪里 。因此,我们来到了一个矛盾的选择 。

引理5。让和是正整数,这样 。如果 是一个和最小树吗在树林里从 ,这样 与 和 ,然后一个树 可以获得作为 ,在哪里是nonpendent的邻居 ,这样 。

证明。它,因为它很容易看到 。同样,使用的事实 和 ,我们有 这意味着 。

引理6。让和是正整数,这样 。如果 树有最低吗值的所有成员之一 ,然后每个顶点的度大于3正好有一个nonpendent邻居。

证明。我们相反假设顶点 ,与 ,至少有两个nonpendent邻居在哪里 。我们考虑以下情况:

案例1。顶点至少有一个悬而未决的邻居。
不失一般性,我们假设 为 和 为 。然后, 因为至少有两个nonpendent邻居。引理4确保 对于每一个令人满意的 。如果 ,然后 因此,因为事实 ,我们有 这是一个矛盾。

例2。顶点nonpendent邻居。
在这种情况下,我们有 对于每一个令人满意的 。在这里,前题3- - - - - -5确保有一个悬而未决的顶点 让你的邻居这样 为 ,在哪里 。让是你的邻居独特的谎言 - - - - - -路径。如果 ,然后 ,我们有 这又是一个矛盾的选择吗 。

定理2。让和是正整数,这样 。如果 ,然后 和,等号成立当且仅当 ,为 ,在哪里 : 树的每个顶点与学位正好有一个nonpendent邻居和每个内部路径长度至少2},然后呢 ,为 ,在哪里序列是一个类的树木与学位 这样每一个悬而未决的顶点 只是一些分支顶点相邻。

证明。表示由顶点的度的数量在一个图 。让是一个最小化的树在类 。引理3和引理4得出结论,无论何时 ,每个分支点的学位3这样的顶点度2相邻顶点的度之间放置3这样不相邻的两个顶点的度2如果有相邻顶点的度3。注意,对 ,我们有 , 和 。因此, 。
现在,前题3- - - - - -6得出结论:每一个内部路径都有至少2的长度。此外,引理5确保获得最小的图 ,要么我们必须插入顶点的度2之间的任意顶点的度2和3度的顶点,或我们必须添加一个星形的悬而未决的顶点,这样每个顶点与学位正好有一个nonpendent邻居呢 。因此, ,为 ,这就完成了证明。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

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