raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

ddn

离散动力学性质和社会

1607 - 887 x<我年代年代npub-type="ppub"> 1026 - 0226

Hindawi

10.1155 / 2021/1052927

1052927

研究文章

注意在树的最小维纳极性指数与给定顶点数和段或分支顶点

Noureen

Sadia

¹ 巴蒂

Akhlaq艾哈迈德

https://orcid.org/0000 - 0001 - 8160 - 4196

阿里

阿克巴

² ³ Guirao

胡安·l·G。

^{1<一个ddr-line>
科学和人文学科

国立大学计算机和新兴的科学

拉合尔校园、B-Block费萨尔小镇

拉合尔

巴基斯坦

nu.edu.pk} ^{2<一个ddr-line>
数学系

理学院

哈有大学

哈有

沙特阿拉伯

uoh.edu.sa} ^{3<一个ddr-line>
单位的科学知识

大学的管理和技术

锡亚尔科特

巴基斯坦

umt.edu.pk}

2021年

23 1 2021年

2021年 4 7 2020年 2 1 2021年 11 1 2021年 23 1 2021年

2021年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

维纳极性指数图<我nl在e-formula> G ,通常用<我nl在e-formula> W p G ,被定义为无序对顶点的<我nl在e-formula> G 在距离3。树的顶点度至少3称为分支顶点。树的一个环节<我nl在e-formula> T 是一个重要的路径<我nl在e-formula> 年代的end-vertices度不同于2<我nl在e-formula> T 和其他的顶点(如果存在)<我nl在e-formula> 年代有学位2<我nl在e-formula> T 。在这个报告中,最好的可能的维纳极性指数大幅下界<我nl在e-formula> W p 派生的树木固定秩序和与给定数量的分支顶点或段,和所有的树实现这个下界为特征。

1。介绍</t我tle> <p>拓扑指数是数值计算的图,而图同构下保持不变(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。拓扑指数近年来吸引了很多注意力,尽可能多的人提供一个良好的化合物的分子结构之间的相关性及其属性。计算例子可以找到特定的图形的拓扑指数(<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>]。</p><p>维纳极性指数<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是最古老的拓扑指数之一,于1947年提出了化学家哈罗德·维纳(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>),预测石蜡的沸点。该指数<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一个图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被定义为无序对这些顶点的数量吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在距离3。在过去的二十年中,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>吸引了研究人员的关注;例如,看到调查[<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),论文(<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>),以及相关的引用。</p><p>进一步之前,先让我们回忆起一些定义和符号。所有的图表认为这个注意是简单的和有限的。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图的顶点集<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和边的集合<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。一个顶点的度<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>用<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(或通过<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>如果考虑图很清楚)。图中顶点的数量被称为它的秩序。图的顺序<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为一个<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点图。一个顶点的度1<我t一个l我c> 悬而未决的顶点</我t一个l我c>,而一个大于2度的顶点称为<我t一个l我c> 分支点</我t一个l我c>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>所有的顶点的集合<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>相邻的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。像往常一样,我们表示<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>明星图的路径和顺序<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,分别。一个<我t一个l我c> 段</我t一个l我c> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非凡的路径(路径长度至少1)<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>随着房地产的end-vertices<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>度不同的从2吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和其他的顶点(如果存在)<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>度2。一个树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 星形的树</我t一个l我c>(或<我t一个l我c> 广义的明星</我t一个l我c>)如果它包含一个分支点(我们称之为中央的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>)。一个路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> P</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在树上<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 悬而未决的路径</我t一个l我c>(<我t一个l我c> 内部道路</我t一个l我c>长度,分别)<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>如果两个顶点之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是下垂的,另一个是分支(顶点吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>分别分支)和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。(化学)图的符号和术语理论中定义不注意可以在[<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B26"> 26</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>]。</p><p>通过使用维纳极性指数的定义,Lukovits和Linert<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>]证明了量化组织性能关系的一系列非循环和cycle-containing碳氢化合物。相当大的工作已经完成,但是,在描述最大化或最小化的树木<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在各种附加条件:例如,给定的顺序(<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>),学位序列(<xref ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>),直径(<xref ref-type="bibr" rid="B32"> 32</xref>),和悬而未决的顶点<xref ref-type="bibr" rid="B33"> 33</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>]。Shafique和阿里<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>给了一些树的结构属性与给定数量的固定顺序和段或分支顶点最大/最小<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>价值。在这里,在这个报告中,我们特别感兴趣扩展本文获得的结果(<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>]。</p><p>杜et al。<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>)表明,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是连接顶点的边缘<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。在这里,重要的是要注意这一点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>恰逢减少第二萨格勒布指数(<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B37"> 37</xref>),对树木的情况下。</p><p>固定的整数<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,表示<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>所有的类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>段和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>分支点,分别<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。在这个报告中,我们描述所有的树达到最小值<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>从每个两类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>因此提供问题的解决方案,开在<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>),关于最低<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>价值。</p><p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>从树上<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>后应用转换,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。在这个注意,每当我们考虑这种树木,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>我们指的是学历和邻居,分别的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。锋利的上下界维纳极性指数< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M75 " > < mml: mi > n < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula >顶点树与固定数量的部分</t我tle> <p>请注意,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>只包含路径图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是空的。因此,我们在这个报告中进行假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。表示由<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>星形的树与<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>悬而未决的路径长度(见图1<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>)。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是类的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>一个内部路径和顶点树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>悬而未决的路径的长度是1。树(s)有最低维纳极性指数在所有类的成员<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们首先证明一些前题。</p><f我g id="fig1"> <label>图1</l一个bel> <p>这个图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2021/1052927.fig.001"></graphic> </fig> <statement id="lem1"> <title>引理1。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是树,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是所有的树中最小的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>最多包含一个悬而未决的路径的长度大于1。</p></年代t一个tement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>相反,假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> P</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是两个下垂的路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>(注意,顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>可能一致)。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>一个矛盾的选择<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>引理<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>确保树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>有最低<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别。另外,很明显,明星图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>给出了最低<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值(0)<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们进行假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。表示由<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>所有的子类包括星形的树木。此外,由引理<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>达到最低<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。现在,我们考虑到类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem2"> <title>引理2。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>树有最低吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的所有成员之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后每个悬而未决的路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>长度是1。</p></年代t一个tement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>我们相反假设有一个悬而未决的路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> P</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的长度<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个分支点不同<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是你的邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>躺在<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>- - - - - -<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>路径。请注意,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>这<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以配合<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,它可以观察到<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>一个矛盾的选择<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和等号(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)当且仅当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>)或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> <p>如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>包含不止一个悬而未决的路径的长度至少2,然后由引理的证明<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>,存在一个树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>最多有一个悬而未决的路径的长度至少2<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。因此,它足以证明结果的时候<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>最多包含一个悬而未决的路径的长度至少2。在剩下的证据,我们假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>最多有一个悬而未决的路径的长度至少2。</p><p>如果任何一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>,然后由基本计算,一个<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们应用感应<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>证明所需的结果。注意,如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>或4,然后通过引理<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>,它认为,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当与平等<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。同样,如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后通过使用前题<xref ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xref>和<xref ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xref>,我们有<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当与平等<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。接下来,假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mn> 6</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>这适用于每一个结果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mi> P</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个最长的路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。注意,每个两个顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>正好有一个nonpendent邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>最多包含一个悬而未决的路径的长度至少2,至少两个顶点之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是分支。不失一般性,我们假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是分支。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于每一个<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。请注意,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。因此,通过使用归纳假设,我们<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3所示。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,那么平等<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,要么<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,那么平等<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>(因为在这种情况下,这棵树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>包含一个悬而未决的路径的长度至少2)。因此,我们的结论<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当与平等<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>或<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。这就完成了感应,因此证明。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。锋利的上下界维纳极性指数< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M205 " > < mml: mi > n < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula >顶点树顶点与给定数量的分支</t我tle> <p>回想一下,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>类的吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>分支点,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,明星图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>达到最低<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>价值(见[<xref ref-type="bibr" rid="B36"> 36</xref>])。因此,在本节中,我们假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。请注意,引理<xref ref-type="statement" rid="lem3"> 3</xref>可能是完全类似的方法证明引理的吗<xref ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xref>。</p><年代t一个tement id="lem3"> <title>引理3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B35 " > < / xref > 35])。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>树有最低吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的所有成员之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的,那么每一个悬而未决的路径<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>长度是1。</p><p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在一棵树边的数量<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>连接顶点的度<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem4"> <title>引理4。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>树有最低吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的所有成员之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不包含任何两个相邻分支顶点。</p></年代t一个tement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle> <p>相反,假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一对相邻分支顶点,让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个悬而未决的顶点相邻的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的学位至少4。请注意,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以配合的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,那么它可以观察到<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是积极的,因为函数<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>严格增加两个吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们来到了一个矛盾的选择<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem5"> <title>引理5。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个和最小树吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在树林里从<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> E</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后是一个树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>可以获得<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是nonpendent的邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> <p>它,因为它很容易看到<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。同样,使用的事实<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (6)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mstyle> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem6"> <title>引理6。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>树有最低吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>值的所有成员之一<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后每个顶点的度大于3<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>正好有一个nonpendent邻居。</p></年代t一个tement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle> <p>我们相反假设顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,至少有两个nonpendent邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们考虑以下情况:</p></年代t一个tement> <statement id="casee1"> <title>案例1。</t我tle> <p>顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>至少有一个悬而未决的邻居。</p><p>不失一般性,我们假设<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>因为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>至少有两个nonpendent邻居。引理<xref ref-type="statement" rid="lem4"> 4</xref>确保<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于每一个<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>因此,因为事实<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是一个矛盾。</p></年代t一个tement> <statement id="casee2"> <title>例2。</t我tle> <p>顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>nonpendent邻居。</p><p>在这种情况下,我们有<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于每一个<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。在这里,前题<xref ref-type="statement" rid="lem3"> 3</xref>- - - - - -<xref ref-type="statement" rid="lem5"> 5</xref>确保有一个悬而未决的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>让你的邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是你的邻居<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>独特的谎言<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>- - - - - -<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>路径。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munder> <mml:mo stretchy="true"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这又是一个矛盾的选择吗<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="thm2"> <title>定理2。</t我tle> <p>让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是正整数,这样<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和,等号成立当且仅当<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>:<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>树的每个顶点与学位<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>正好有一个nonpendent邻居和每个内部路径长度至少2},然后呢<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>序列是一个类的树木与学位<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mn> 3,3</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ︸</mml:mo> </mml:munder> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:munder> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:munder> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mn> 2、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ︸</mml:mo> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:munder> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mn> 1,- 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ︸</mml:mo> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样每一个悬而未决的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>只是一些分支顶点相邻。</p></年代t一个tement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle> <p>表示由<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>顶点的度的数量<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M325"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在一个图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M326"> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M327"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个最小化的树<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M328"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在类<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M329"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。引理<xref ref-type="statement" rid="lem3"> 3</xref>和引理<xref ref-type="statement" rid="lem4"> 4</xref>得出结论,无论何时<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M330"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,每个分支的顶点<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M331"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>学位3这样的顶点度2相邻顶点的度之间放置3这样不相邻的两个顶点的度2如果有相邻顶点的度3。注意,对<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M332"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M333"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M334"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M335"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M336"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>现在,前题<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 3</xref>- - - - - -<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>得出结论:每一个内部路径都有至少2的长度。此外,引理<xref ref-type="statement" rid="lem5"> 5</xref>确保获得最小的图<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M337"> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们必须插入顶点的度2之间的任意顶点的度2和3度的顶点,或我们必须添加一个星形的悬而未决的顶点,这样每个顶点与学位<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M338"> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>正好有一个nonpendent邻居呢<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M339"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ≅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="double-struck"> T</mml:mi> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M340"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M341"> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,完成了证明。</p></年代t一个tement> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>使用的数据来支持这个研究的发现可以从相应的作者。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Trinajstić</年代urn一个me> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 化学图论</我t一个l我c> <year> 1992年</year> <edition> 2日</edition> <publisher-loc> 美国佛罗里达州波卡拉顿的</publ我年代her-loc> <publisher-name> CRC的新闻</publ我年代her-name> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Basavanagoud</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 德赛</年代urn一个me> <given-names> 诉R。</given-names> </name> <name> <surname> 帕蒂尔</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M342"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>连通性指数图</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和非线性科学</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 2</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 21</fp一个ge> <lpage> 30.</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.21042 / AMNS.2017.1.00003</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贝格</年代urn一个me> <given-names> 答:问。</given-names> </name> <name> <surname> Naeem</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 高</年代urn一个me> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Revan和hyper-Revan指数的八面体和二十面体网络</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和非线性科学</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 3</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 33</fp一个ge> <lpage> 40</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.21042 / amns.2018.1.00004</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sardar</年代urn一个me> <given-names> m . S。</given-names> </name> <name> <surname> 征服者</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Zahid</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 计算拓扑指数香蕉树图和线图的爆竹图</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和非线性科学</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 2</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 83年</fp一个ge> <lpage> 92年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.21042 / amns.2017.1.00007</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 维纳</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 结构测定石蜡沸点</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国化学学会杂志》上</我t一个l我c> <year> 1947年</year> <volume> 69年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 17</fp一个ge> <lpage> 20.</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1021 / ja01193a005</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 8544254107</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lei</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 悦</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数的调查</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2021年</year> <volume> 86年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <comment> 在新闻</comment> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="incollection"> <label>7</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 悦</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> 达斯</年代urn一个me> <given-names> k . C。</given-names> </name> <name> <surname> Furtula</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 古特曼</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Milovanović</年代urn一个me> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> Milovanovi</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳的极性指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 边界在化学图Theory-Basics (MCM NO.19)</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <publisher-loc> Kragujevac,塞尔维亚</publ我年代her-loc> <publisher-name> Kragujevac大学Faculity Kragujevac</publ我年代her-name> <fpage> 283年</fp一个ge> <lpage> 302年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 关于化学的树木与最低维纳极性指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 335年</volume> <fpage> 231年</fp一个ge> <lpage> 236年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2018.04.051</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85047074612</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="misc"> <label>9</l一个bel> <element-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> Zaineb</年代urn一个me> <given-names> 美国年代。</given-names> </name> <name> <surname> Alraqad</年代urn一个me> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在第二个最大维纳极性指数的化学固定秩序的树木</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际量子化学杂志》上</我t一个l我c> <comment> 发表</comment> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ashrafi</年代urn一个me> <given-names> a。R。</given-names> </name> <name> <surname> Ghalavand</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 排序由维纳极性化学树索引</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 313年</volume> <fpage> 301年</fp一个ge> <lpage> 312年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2017.06.005</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85021148450</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 陈</年代urn一个me> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urn一个me> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 晶格的维纳极性指数网络</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《公共科学图书馆•综合》</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 11</volume> <issue> 12</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> e0167075</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1371 / journal.pone.0167075</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85002659584</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 邓</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 极值维纳极性指数的化学树</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2011年</year> <volume> 66年</volume> <fpage> 305年</fp一个ge> <lpage> 314年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 最大的烷烃维纳极性指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 分子信息学</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 37</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1800076</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 逆维纳化学极性指数问题树</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《公共科学图书馆•综合》</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 13</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> e0197142</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1371 / journal.pone.0197142</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85046956364</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> W。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urn一个me> <given-names> X。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 算法和维纳极性指数极值问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2009年</year> <volume> 62年</volume> <fpage> 235年</fp一个ge> <lpage> 244年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ghalavand</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Ashrafi</年代urn一个me> <given-names> a。R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数排序化学单循环的图表</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际量子化学杂志》上</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 17</volume> <issue> 119年</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / qua.25973</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85066034950</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 华</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 达斯</年代urn一个me> <given-names> k . C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数的图表</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 280年</volume> <fpage> 162年</fp一个ge> <lpage> 167年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2016.01.043</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84957837878</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="incollection"> <label>18</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hosoya</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Rouvray</年代urn一个me> <given-names> d . H。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个me> <given-names> r B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 数学和化学分析的小香肠极性数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 化学拓扑离散数学的分子</我t一个l我c> <year> 2002年</year> <publisher-loc> 英国奇切斯特</publ我年代her-loc> <publisher-name> 霍尔伍德中校</publ我年代her-name> <fpage> 57</fp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个me> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 悦</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在维纳极性双环网络的指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 科学报告</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 6</volume> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1038 / srep19066</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84954176777</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="unpublished"> <label>20.</l一个bel> <element-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Noureen</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 巴蒂</年代urn一个me> <given-names> 答:一个。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 对极值问题的解决方案关于烷烃的维纳极性指数</我t一个l我c> <publisher-name> 混沌分形孤波</publ我年代her-name> <comment> 在新闻</comment> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shafiei</年代urn一个me> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> Saeidifar</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 部分的一些物理化学性质研究磺胺类药使用拓扑和量子化学指标</一个rt我cle-title> <source> <italic> 巴基斯坦的化学学会杂志》上</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 39</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 366年</fp一个ge> <lpage> 373年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Safari</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Shafiei</年代urn一个me> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 天然氨基酸的物理化学性质的分子结构模型使用拓扑指数和高钙的方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 巴基斯坦的化学学会杂志》上</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 39</volume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 752年</fp一个ge> <lpage> 757年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Tratnik</年代urn一个me> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数计算公式,应用图表和苯苯环型的</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学化学杂志</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 57</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 370年</fp一个ge> <lpage> 383年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10910 - 018 - 0957 - 7</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85055174327</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 胡</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性的Nordhaus-Gaddum-type不平等指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 273年</volume> <fpage> 880年</fp一个ge> <lpage> 884年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2015.10.045</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84946600334</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Noureen</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 巴蒂</年代urn一个me> <given-names> 答:一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在萨格勒布极值指数的<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M343"> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点化学与固定数量的树木段或分支顶点,Commun相匹配</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2020年</year> <volume> 84年</volume> <fpage> 513年</fp一个ge> <lpage> 534年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="book"> <label>26</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bondy</年代urn一个me> <given-names> j . A。</given-names> </name> <name> <surname> Murty</年代urn一个me> <given-names> 美国R。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 图论</我t一个l我c> <year> 2008年</year> <publisher-loc> 柏林,德国</publ我年代her-loc> <publisher-name> 施普林格</publ我年代her-name> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="incollection"> <label>27</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 埃斯特拉达</年代urn一个me> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> Bonchev</年代urn一个me> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> 总值</年代urn一个me> <given-names> j·L。</given-names> </name> <name> <surname> 耶伦</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 张</年代urn一个me> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 化学图论</一个rt我cle-title> <source> <italic> 手册的图论</我t一个l我c> <year> 2013年</year> <edition> 2日</edition> <publisher-loc> 美国佛罗里达州波卡拉顿的</publ我年代her-loc> <publisher-name> CRC的新闻</publ我年代her-name> <fpage> 1538年</fp一个ge> <lpage> 1558年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="book"> <label>28</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Harary</年代urn一个me> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 图论</我t一个l我c> <year> 1969年</year> <publisher-loc> 阅读,马</publ我年代her-loc> <publisher-name> addison - wesley</publ我年代her-name> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lukovits</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Linert</年代urn一个me> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Polarity-numbers cycle-containing结构</一个rt我cle-title> <source> <italic> 化学信息和计算机科学杂志》上</我t一个l我c> <year> 1998年</year> <volume> 38</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 715年</fp一个ge> <lpage> 719年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1021 / ci970122j</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0011927549</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lei</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urn一个me> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> 史</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数及其泛化树</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 78年</volume> <fpage> 199年</fp一个ge> <lpage> 212年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 刘</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 第二个萨格勒布指数和维纳极性指数的树木与给定的度序列,Commun相匹配</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2012年</year> <volume> 67年</volume> <fpage> 439年</fp一个ge> <lpage> 450年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 邓</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 肖</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 唐</年代urn一个me> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 极值维纳极性指数的树木与给定直径</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2010年</year> <volume> 63年</volume> <fpage> 257年</fp一个ge> <lpage> 264年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 邓</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 肖</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 树木的最大维纳极性指数<我nl在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M344"> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>吊坠</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学的信</我t一个l我c> <year> 2010年</year> <volume> 23</volume> <fpage> 710年</fp一个ge> <lpage> 715年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 刘</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 侯</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 维纳极性指数的树木与最大程度或给定数量的叶子</一个rt我cle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我t一个l我c> <year> 2010年</year> <volume> 60</volume> <issue> 7</我年代年代ue> <fpage> 2053年</fp一个ge> <lpage> 2057年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2010.07.045</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77957903765</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>35</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shafique</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 树木的减少第二萨格勒布指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 大陆桥数学杂志</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 10</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1750084</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s179355711750084x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85030865689</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B36" content-type="article"> <label>36</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Furtula</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 古特曼</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Ediz</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在萨格勒布指数的差异</一个rt我cle-title> <source> <italic> 离散应用数学</我t一个l我c> <year> 2014年</year> <volume> 178年</volume> <fpage> 83年</fp一个ge> <lpage> 88年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.dam.2014.06.011</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84907711924</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B37" content-type="article"> <label>37</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 古特曼</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Furtula</年代urn一个me> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 居然</年代urn一个me> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 三个新/旧vertex-degree-based拓扑指数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在数学和计算机化学相匹配</我t一个l我c> <year> 2014年</year> <volume> 72年</volume> <fpage> 617年</fp一个ge> <lpage> 632年</lp一个ge> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>