文摘

本文研究分数阶混沌系统之间的修改函数投影同步,部分与不确定参数线性金融系统。基于分数阶系统的稳定性理论和李雅普诺夫矩阵方程,得到一个控制器为分数阶金融混沌系统之间的同步。使用控制器,错误系统聚合为零时间趋于无穷时,和不确定的参数也因此估计参数畸变的现象是有效地避免。数值模拟验证了该方法的有效性和可行性。

1。介绍

近年来,研究混沌是一种最有趣的研究课题在现实和物理系统(1- - - - - -4]。1985年,混乱的行为被发现在金融体系‎5]。事实上,混乱的现象常常出现在金融体系‎(6),如超常国际油价的冲击,股市崩盘和金融危机。由于它的随机性和不可预测性,这些混乱的现象通常导致金融危机和不稳定的金融体系。因为金融风险的不确定性,重要的是介绍金融系统的未知参数(7,8]。因此,混沌行为和不确定性在金融系统中必须考虑‎(9]。有必要研究混沌控制策略为金融体系应对金融危机和其他相关问题。因此,重要的是要实现一个同步和金融市场的健康发展。

因为佩科拉和卡罗尔‎(10)在1990年提出了两个混沌系统之间的同步,混沌同步已经在各领域的广泛和深入研究[11,12]。不同类型的混沌同步已报告,包括广义同步‎(13),滞后同步‎(14),函数投影同步‎(15),修改后的投影同步‎(16),和修改函数投影同步(MFPS) [17,18]。修改函数投影同步(MFPS)意味着驱动和响应系统可以同步到一个扩展函数矩阵,但不是一个常数矩阵。最近的研究在复杂的金融系统表现出令人满意的结果使用非线性方法‎(19]。在分数阶混沌同步的金融系统也被研究近年来(20.- - - - - -22]。

金融系统的同步显示,金融系统在两个不同的地区保持同步发展,适当的控制条件。也就是说,驱动系统和响应系统可以理解为一个虚拟经济目标和控制目标,分别。因此,同步的目标是控制一个特定目的使用虚拟经济目标提出的控制器。金融系统的动力行为更为复杂。因此,金融体系并不总是完全同步,和一些复杂的同步方法20.- - - - - -22),如函数投影同步和MFPS,应考虑。与此同时,由于金融环境的复杂性,本研究强调了其理论价值和确保理论的全面性。

另外,在实践中,经常出现在分数阶混沌系统参数畸变现象。换句话说,参数不确定或漂移与时间响应和驱动系统之间的混沌同步,因为各种各样的干扰。许多混沌系统的投影同步方法与未知参数提出了近年来‎(23]。因此,实现同步和识别金融混沌系统的参数是非常重要的。

在这项研究中,我们研究了分数阶陈‎(提出的金融体系24]。提出了一种新的控制器来实现同步。控制器使驱动和响应系统保持渐近稳定。基于分数阶系统的稳定性理论和李雅普诺夫矩阵方程,实现了MFPS部分线性和分数阶(PLFO)金融混沌系统,和未知的参数也因此估计参数畸变的现象是可以避免的。数值模拟结果表明,该方法有效地消除混乱和稳定两种金融体系。

剩下的纸是组织如下。节2MFPS的定义,PLFO混沌系统,提出了一个有用的引理。节3的方案提出了MFPS PLFO混沌系统的不确定参数。数值模拟提出了部分4。最后,在得出结论部分5。

2。预赛

PLFO混沌系统的定义和耦合PLFO混沌系统在‎25]。我们会给的定义PLFO PLFO混沌系统不确定参数和耦合混沌系统不确定参数如下。

定义1。分数阶混沌系统的不确定参数定义如下: 它被称为一个不确定的PLFO混沌系统,状态向量 , 是一个变量,然后呢 是一个可微函数。它的秩序 。 表示不确定参数的矢量。系数矩阵 依赖于变量和不确定的参数。

系统(1)可以写成 在哪里 是一个系数在th微分方程, 。因此, 可以被描述为 很明显,系统(1)是一个不确定的部分线性和integer-order混沌系统 。

定义2。考虑两个不确定PLFO混沌系统(1),它可以被描述为 该系统是由变量耦合。下标的和在系统(4分别代表驱动和响应系统。 是一个控制器。未知参数的估计价值。系数矩阵 是依赖于和。系统(4)是PLFO耦合混沌系统不确定参数‎(26]。

MFPS的同步误差向量定义为 在哪里 ,是连续可微的函数,然后呢是一个扩展函数矩阵。 是一个错误状态向量。

定义3。系统(4)据说MFPS尺度函数矩阵如果存在一个矢量控制器这样 在哪里是欧几里得范数。这意味着之间的MFPS驱动和响应系统(4)可以实现或误差动态系统是全局渐近稳定的。

备注4。如果 ,MFPS转换函数投影同步。如果 代表相同或不同的常数,MFPS是简化修改投影同步(例如antisynchronization并完成同步)。如果 ,同步问题转化为一个控制问题。

引理5(见[27])。假定分数阶自治系统 在哪里 分数阶导数的订单和吗 , 系数矩阵是一个多项式矩阵和依赖于状态向量, 是一个n维状态向量。系统(7)是渐近稳定当且仅当 在哪里任意特征值的吗。在这种情况下,每个状态向量衰减到0,等。此外,当且仅当系统稳定 和关键特征值满足 几何重数。

然后,MFPS之间的驱动和响应系统(4)转化为分析误差系统的零解渐近稳定的(7)。

定理6‎(见[28])。考虑到自治系统(7),存在一个实对称正定矩阵和一个正定矩阵这样之间的MFPS驱动和响应系统(4可以实现) ,在那里是一个矩阵的共轭转置和 被称为连续的李雅普诺夫矩阵方程。

证明。假设是一个多项式矩阵的特征值的吗和相应的非零特征向量;也就是说, (9),厄密共轭转置 相乘的左边(9),我们可以获得 然后,相乘的右边(10),我们也可以获得 从(11)和(12),我们得到 自 ,然后 埃尔米特矩阵。与此同时, ,是一个真正的对称正定矩阵,然后呢是一个正定矩阵,然后呢 和 ,所以 从(14),我们可以获得 。根据引理5系统的平衡点7)是渐近稳定的。也就是说, 这表明之间的MFPS驱动和响应系统(4可以实现)。完成证明。

注7。自是一个多项式矩阵,很难求出特征值。然而,根据定理6,系统的平衡点(7)是渐近稳定当且仅当 是一个连续的李雅普诺夫矩阵方程。

3所示。设计李雅普诺夫矩阵方程

接下来,我们介绍一个方案的耦合PLFO MFPS混沌系统不确定参数(7)。

定理8。对于一个给定的尺度函数矩阵,我们可以选择一个控制器(16)和一个同步误差系统(17)如下: 在哪里 , , 。错误的系统(17可以等同于写成) 在哪里 ( , ,在那里代表的数量未知参数的误差方程,和 代表未知参数的数量th)和误差方程是一个系数在误差方程。因此,我们可以获得系统的不确定参数 在哪里 我们可以实现系统(MFPS7)通过误差系统(18)和系统的估计未知参数(19)。即误差系统和未知参数的估计是渐近稳定的。

证明。假设 ;我们有 我们选择 ;然后它 因此,我们获得一个控制器(16)和一个同步误差系统(17)。
从(18)和(19),系统误差和未知参数的估计可以简单地写成 在哪里 , , 因此,我们可以获得 ,在那里是一个真正的对称正定矩阵和是一个正定矩阵。我们通常选择 ,在那里是一个单位矩阵。然后, 根据定理6, 是一个连续的李雅普诺夫矩阵方程。与此同时,我们可以实现系统(MFPS7通过控制器()16)。因此, ,这表明在系统(MFPS17可以实现)。完成证明。

备注9。在定理的证明8,很容易看到,尺度函数矩阵没有直接影响和。结果验证该控制策略的有效性和可行性。

备注10。基于定理8,我们可以选择尺度函数矩阵实现同步的方法。例如,如果 是连续可微的函数,MFPS转换函数投影同步,如果 , 真正的常数,MFPS皈依修改投影同步(例如完成同步和antisynchronization)。

备注11。该方法具有普遍适用性当且仅当混沌系统是PLFO混沌系统(1)。

4所示。数值模拟

黄和李‎(29日财务)提出了一个动态模型包括三阶微分方程。然后,动态模型后,陈‎(24)提出了一种分数阶金融体系来描述金融体系的运行如下: 它有三个分数阶混沌系统的非线性方程组。状态变量,,代表了利率,投资需求,分别和价格指数。的变化主要受两个因素的影响:从投资市场矛盾,表明投资和储蓄之间的顺差,并从商品价格结构调整。不断变化的速度成正比的投资,但投资成本和利率成反比。的变化由供给和需求之间的矛盾控制在商业市场,并受到通货膨胀率的影响。特别是,负利率,消极的投资需求,负价格指数意味着银行的存款利率低于通货膨胀的水平,投资市场呈现过度投资,通货紧缩的速度增加,分别。

常数,,储蓄的代表数量,每项投资成本,和商业市场的需求弹性。分数阶金融系统(25)会表现出混乱的行为 , , , , , , 。当 的三维相图系统(25)如图1最大李雅普诺夫指数 。结果凸显了金融系统的分数阶混沌吸引子(25)。

很明显,系统(25)是一个PLFO混沌系统。因此,驱动和响应系统可以构造如下: 在哪里 是控制器。在耦合系统(26),独立驱动系统的发展,而反应系统是由驱动系统通过变量。也就是说,驱动系统 和系统的响应 系统(26)成为PLFO耦合混沌系统不确定参数。基于定理8和 ,我们有 , , , , , , , , , , 。根据(16),我们可以描述控制器 从(17)(19),我们可以获得系统的错误 这表明 , , , , 。因此,给出了未知参数的系统 在哪里 。

初始条件是 , , , , , 和估计参数初始条件 , , , , , 和 。让尺度函数的因素 和 ;仿真结果如图2和3。显然,在图2,误差收敛到零时间趋于无穷时,这意味着系统(MFPS26与尺度函数)实现的因素。图3显示估计未知参数的值,,,,收敛到 , , , , 分别为 。因此,不确定的参数,,,,识别。此外,与尺度函数的因素 和 驱动和响应系统的相图如图4。

5。结论

摘要MFPS是耦合不确定性研究分数阶的金融体系。基于分数阶系统的稳定性判据和连续李雅普诺夫矩阵方程,提出了一种同步控制器。然后,使用一个不确定的金融系统,我们验证了该控制器的有效性。未知参数也因此估计参数畸变的现象是有效地避免。结果表明,控制器是可行的和有效的。从理论上讲,该方法可以实现同步和金融市场的健康发展。在具有均匀的投资需求的情况下,我们可以保持利润与价格指数同步发展,这样可以避免干扰因素。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家重点项目的中国国家自然科学(没有。71232004)和基础研究基金中国中央大学(没有。CDJSK1001)。