Biperiodic斐波那契的时期和Biperiodic卢卡斯号码

文摘

本文涉及的时期Biperiodic斐波那契和Biperiodic卢卡斯序列作为模'和'的力量。利用费马小定理,得到了二次互反性,许多结果。

1。介绍

斐波那契序列和卢卡斯序列是众所周知的整数序列之间的序列。斐波纳契数列满足递归关系与初始条件和比奈斐波那契数列的公式 在哪里和特征方程的根吗。积极的根被称为“黄金比例。“斐波纳契数列及其概括有许多有趣的属性和应用科学和艺术的各个领域(1- - - - - -3]。特别是,埃德森和Yayenie4]介绍了Biperiodic斐波那契序列如下: 在哪里和两个非零实数。我们把和为整数。如果我们把,我们得到了斐波那契序列。

如果我们把,我们得到了佩尔序列。类似地,如果我们把,我们得到的斐波那契序列(5- - - - - -8]。比奈Biperiodic斐波那契数列的公式给出 在哪里特征方程的根吗和此外, 这个序列及其属性可以在找到1,4]。

另一个著名的序列是卢卡斯序列满足相同的斐波那契数列递推关系与初始条件和卢卡斯序列比奈的公式 在哪里和定义在(1)。Bilgici泛化卢卡斯序列的定义类似于Biperiodic斐波那契序列如下: 在哪里和两个非零实数。我们把和为整数。这个序列和其他归纳卢卡斯序列的属性可以在找到9,10]。如果我们把卢卡斯,我们得到的序列。另外,如果我们把,我们得到的卢卡斯序列(11]。 在哪里,定义在(3)。

另一方面,一些研究人员取得了重大研究递归序列的周期(2]。墙(12)定义重复的周期长度系列通过降低模量的斐波纳契数列。作为一个例子,斐波那契序列是 和周期8。文森(3和罗宾逊13]扩展墙的研究。此外,他们研究了斐波那契序列为质数主模和显示斐波那契序列的周期长度分,而对于质数斐波那契序列的周期长度分

古普塔et al。14]给出的替代证明这个结果也使用斐波那契矩阵。他们将其特征多项式的根在一个适当的分割领域。雷诺(15)检查的行为斐波那契序列模量。

卢卡斯学习了斐波那契序列广泛。他分配和推断,如果二次剩余(即非零完全平方),然后如果是二次非剩余同时,罗杰斯和坎贝尔研究斐波那契序列的周期(16]。他们调查了斐波那契序列模'然后广义'权力。

2。段Biperiodic斐波那契序列

在本节中,我们研究Biperiodic斐波那契序列模'然后概括'权力。

定义1。的周期Biperiodic斐波那契序列模一个正整数是最小的正整数吗这样 由上面的定义中,唯一的成员,可能回到起点的倍数这可以归结为声明,如果的时间是那么,

定理2。让是一个',让是一个正整数。如果 然后,

我们的话,这个定理的证明2可以看到在16]。

定理3。让是一个质数,让是一个正整数,并让和Biperiodic斐波那契数列的基本根源。如果的时间是,

证明。为和是一个素数,我们有什么 然后 我们也获得 如果是偶数,那么 从,我们得到 因此,从定理2, 如果是奇数, 为和, 因此,。从定理2,

定理4。让是一个奇怪的',让表示的,让是一个非零的二次剩余;然后

证明。众所周知从费马小定理, 因此,我们有 从,我们有 然后 这 因此,(10)意味着

引理5。如果是一个二次非剩余,然后

引理6。让和的两个根在。是一个二次非剩余;然后

定理7。让是一个奇怪的',让表示的,让是一个二次非剩余;然后

证明。从二项式定理,我们得到的由此可见, 从引理6,我们获得 因此,同时,我们有 因此,从(10),

定理8。让是一个质数,让表示的,让表示的如果是即便如此如果是奇怪的

证明。我们已经证明在定理3。这 如果是偶数,那么 从并利用定理3,接下去 然后, 因此,从(10),
如果是奇怪的 自和那么, 因此,

3所示。段Biperiodic卢卡斯序列

在本节中,我们研究Biperiodic卢卡斯序列模'类似于Biperiodic斐波那契序列。

定义9。Biperiodic卢卡斯的周期序列模一个正整数是最小的正整数吗这样

出于同样的原因,Biperiodic斐波那契序列,如果的时间是,然后

定理10。让是一个奇怪的',让表示的,让是一个非零的二次剩余;然后

证明。我们利用费马小定理 所以 我们知道;因此 同时,我们有 通过使用(10),我们得到

定理11。让是一个奇怪的',让表示的,让是一个二次非剩余;然后

证明。从引理6和(3),我们得到 因此,从(10),

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。