ddn 离散动力学性质和社会 1607 - 887 x 1026 - 0226 Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/7341729 7341729 研究文章 Biperiodic斐波那契的时期和Biperiodic卢卡斯号码 http://orcid.org/0000 - 0001 - 8357 - 4875 Tascı Dursun 1 http://orcid.org/0000 - 0003 - 3263 - 8685 Ozkan Kızılırmak 居尔 1 彼得森 艾伦·C。 数学系 Gazi大学 06500年土耳其 土耳其 gazi.edu.tr 2016年 26 12 2016年 2016年 01 10 2016年 22 11 2016年 2016年 版权©2016 Dursun Tascı和古尔Ozkan Kızılırmak。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

本文涉及的时期Biperiodic斐波那契和Biperiodic卢卡斯序列作为模'和'的力量。利用费马小定理,得到了二次互反性,许多结果。

 1。介绍

斐波那契序列和卢卡斯序列是众所周知的整数序列之间的序列。斐波纳契数列满足递归关系 F n = F n - - - - - - 1 + F n - - - - - - 2 与初始条件 F 0 = 0 和 F 1 = 1 。 比奈斐波那契数列的公式 (1) F n = α n - - - - - - β n α - - - - - - β , 在哪里 α = ( 1 + 5 ) / 2 和 β = ( 1 - - - - - - 5 ) / 2 特征方程的根吗 x 2 - - - - - - x - - - - - - 1 = 0 。积极的根 α 被称为“黄金比例。“斐波纳契数列及其概括有许多有趣的属性和应用科学和艺术的各个领域( 1- - - - - - 3]。特别是,埃德森和Yayenie 4]介绍了Biperiodic斐波那契序列如下: (2) 问 0 = 0 , 问 1 = 1 , 问 n = 一个 问 n - - - - - - 1 + 问 n - - - - - - 2 , 如果 n 甚至 b 问 n - - - - - - 1 + 问 n - - - - - - 2 , 如果 n 是奇数 为 n ≥ 2 , 在哪里 一个 和 b 两个非零实数。我们把 一个 和 b 为整数。如果我们把 一个 = b = 1 ,我们得到了斐波那契序列 0 1 , 1、2 , 3、5 , 8 , … 。

如果我们把 一个 = b = 2 ,我们得到了佩尔序列 0 1 , 2、5 , 12日,29日,70年 , … 。类似地,如果我们把 一个 = b = k ,我们得到的 k 斐波那契序列( 5- - - - - - 8]。比奈Biperiodic斐波那契数列的公式给出 (3) 问 米 = 一个 1 - - - - - - ξ 米 一个 b 米 / 2 α 米 - - - - - - β 米 α - - - - - - β = 1 一个 米 - - - - - - 1 / 2 b 米 + 1 / 2 α 米 - - - - - - β 米 α - - - - - - β , 在哪里 α , β = 一个 b ± 一个 2 b 2 + 4 一个 b / 2 特征方程的根吗 x 2 - - - - - - 一个 b x - - - - - - 一个 b = 0 和 ξ ( 米 ) = 米 - - - - - - 2 米 / 2 。 此外, (4) α β = - - - - - - 一个 b , α + β = 一个 b 。 这个序列及其属性可以在找到 1, 4]。

另一个著名的序列是卢卡斯序列满足相同的斐波那契数列递推关系 l n = l n - - - - - - 1 + l n - - - - - - 2 与初始条件 l 0 = 2 和 l 1 = 1 。 卢卡斯序列比奈的公式 (5) l n = α n + β n , 在哪里 α 和 β 定义在( 1)。Bilgici泛化卢卡斯序列的定义类似于Biperiodic斐波那契序列如下: (6) l 0 = 2 , l 1 = 一个 , l n = b l n - - - - - - 1 + l n - - - - - - 2 , 如果 n 甚至 一个 l n - - - - - - 1 + l n - - - - - - 2 , 如果 n 是奇数 为 n ≥ 2 , 在哪里 一个 和 b 两个非零实数。我们把 一个 和 b 为整数。这个序列和其他归纳卢卡斯序列的属性可以在找到 9, 10]。如果我们把 一个 = b = 1 卢卡斯,我们得到的序列 2、1 , 3、4 , 7、11、18 , … 。另外,如果我们把 一个 = b = k ,我们得到的 k 卢卡斯序列( 11]。 (7) l n = 一个 ξ n 一个 b n + 1 / 2 α n + β n = 1 一个 n / 2 b n + 1 / 2 α n + β n , 在哪里 α , β , ξ 定义在( 3)。

另一方面,一些研究人员取得了重大研究递归序列的周期( 2]。墙( 12)定义重复的周期长度系列通过降低模量的斐波纳契数列 米 。作为一个例子,斐波那契序列 国防部 ⁡ 3 是 (8) 0 1 , 1、2 , 0,2 , 2、1 , 0 1 , 1 , … 和周期8。文森( 3和罗宾逊 13]扩展墙的研究。此外,他们研究了斐波那契序列为质数主模和显示 p ≡ 1、4 ( 米 o d 5 ) 斐波那契序列的周期长度 国防部 ⁡ p 分 p - - - - - - 1 ,而对于质数 p ≡ 2、3 ( 国防部 ⁡ 5 ) 斐波那契序列的周期长度 国防部 ⁡ p 分 2 ( p + 1 ) 。

古普塔et al。 14]给出的替代证明这个结果也使用斐波那契矩阵。他们将其特征多项式的根在一个适当的分割领域。雷诺( 15)检查的行为 ( 一个 , b ) 斐波那契序列模量。

卢卡斯学习了 ( 一个 , b ) 斐波那契序列广泛。他分配 Δ = 一个 2 + 4 b 和推断,如果 Δ 二次剩余(即非零完全平方) 国防部 ⁡ p ,然后 α ( p ) ∣ p - - - - - - 1 。 如果 Δ 是二次非剩余 α ( p ) ∣ p + 1 。 同时,罗杰斯和坎贝尔研究斐波那契序列的周期 国防部 ⁡ j ( 16]。他们调查了斐波那契序列模 p '然后广义'权力。

 2。段Biperiodic斐波那契序列

在本节中,我们研究Biperiodic斐波那契序列模 p '然后概括'权力。

定义1。

的周期Biperiodic斐波那契序列模一个正整数 j 是最小的正整数吗 米 这样 (9) 问 米 ≡ 0 国防部 ⁡ j , 问 米 + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ j 。 由上面的定义中,唯一的成员,可能回到起点的倍数 米 。 这可以归结为声明,如果 米 的时间是 问 n ( 国防部 ⁡ j ) 那么, (10) 问 k ≡ 0 国防部 ⁡ j 问 k + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ j ⇕ 米 ∣ k , 对于任何 k ∈ Z 。

定理2。

让 p 是一个',让 n 是一个正整数。如果 (11) 一个 ≡ 1 国防部 ⁡ p 然后, (12) 一个 p n ≡ 1 国防部 ⁡ p n + 1 。

我们的话,这个定理的证明 2可以看到在 16]。

定理3。

让 p 是一个质数,让 k 是一个正整数,并让 α 和 β Biperiodic斐波那契数列的基本根源。如果 米 的时间是 问 n ( 国防部 ⁡ p ) , (13) α 米 p k - - - - - - 1 ≡ β 米 p k - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p k 。

证明。

为 一个 ≠ 0 和 p 是一个素数,我们有什么 (14) 问 米 = 一个 1 - - - - - - ξ 米 一个 b 米 / 2 α 米 - - - - - - β 米 α - - - - - - β ≡ 0 国防部 ⁡ p , 然后 (15) α 米 ≡ β 米 国防部 ⁡ p 。 我们也获得 (16) 问 米 ≡ 问 米 + 1 - - - - - - 问 1 国防部 ⁡ p ≡ 一个 1 - - - - - - ξ 米 + 1 一个 b 米 + 1 / 2 α 米 + 1 - - - - - - β 米 + 1 α - - - - - - β - - - - - - α - - - - - - β α - - - - - - β 国防部 ⁡ p ≡ 0 国防部 ⁡ p 。 如果 米 是偶数,那么 (17) 问 米 ≡ 1 一个 b 米 / 2 α α 米 - - - - - - 1 - - - - - - β β 米 - - - - - - 1 α - - - - - - β 国防部 ⁡ p 。 从 α 米 ≡ β 米 ( 国防部 ⁡ p ) ,我们得到 (18) 问 米 ≡ 1 一个 b 米 / 2 α 米 - - - - - - 1 ≡ 0 国防部 ⁡ p 。 因此, α 米 ≡ β 米 ≡ 1 ( 国防部 ⁡ p ) 。 从定理 2, (19) α 米 p k - - - - - - 1 ≡ β 米 p k - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p k 。 如果 米 是奇数, (20) 问 米 ≡ 一个 一个 b 米 + 1 / 2 α 米 + 1 - - - - - - β 米 + 1 α - - - - - - β - - - - - - α - - - - - - β α - - - - - - β 国防部 ⁡ p 。 为 α 米 ≡ β 米 ( 国防部 ⁡ p ) 和 一个 / 一个 b 米 + 1 / 2 ≠ 0 , (21) 问 米 ≡ 一个 一个 b 米 + 1 / 2 α 米 - - - - - - 1 ≡ 0 国防部 ⁡ p 。 因此, α 米 ≡ β 米 ≡ 1 ( 国防部 ⁡ p ) 。从定理 2, (22) α 米 p k - - - - - - 1 ≡ β 米 p k - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p 。

定理4。

让 p 是一个奇怪的',让 米 表示的 问 n ( 国防部 ⁡ p ) ,让 ∆ = 一个 2 b 2 + 4 一个 b 是一个非零的二次剩余 国防部 ⁡ p ;然后 米 ∣ p - - - - - - 1 。

证明。

众所周知从费马小定理, (23) α p - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p , β p - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p 。 因此,我们有 (24) 问 p - - - - - - 1 ≡ 1 一个 p - - - - - - 2 / 2 b p - - - - - - 1 / 2 α p - - - - - - 1 - - - - - - β p - - - - - - 1 α - - - - - - β ≡ 0 国防部 ⁡ p , 问 p = 1 一个 p - - - - - - 1 / 2 b p / 2 α p - - - - - - β p α - - - - - - β ≡ 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 α - - - - - - β α - - - - - - β ≡ 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 国防部 ⁡ p 。 从 一个 b = - - - - - - α β ,我们有 (25) 一个 b p - - - - - - 1 / 2 = - - - - - - α β p - - - - - - 1 1 / 2 ≡ 1 国防部 ⁡ p , 然后 (26) 问 p ≡ 1 国防部 ⁡ p 。 这 (27) 问 p - - - - - - 1 ≡ 0 国防部 ⁡ p , 问 p ≡ 1 国防部 ⁡ p 。 因此,( 10)意味着 米 ∣ p - - - - - - 1 。

引理5。

如果 ∆ 是一个二次非剩余 米 o d p ,然后 ∆ p = - - - - - - ∆ 。

引理6。

让 α 和 β 的两个根 x 2 - - - - - - 一个 b x - - - - - - 一个 b = 0 在 F = F p 2 。 ∆ 是一个二次非剩余 米 o d p ;然后 β p + 1 = α p + 1 。

定理7。

让 p 是一个奇怪的',让 米 表示的 问 n ( 国防部 ⁡ p ) ,让 ∆ 是一个二次非剩余 国防部 ⁡ p ;然后 米 ∣ 2 p + 2 。

证明。

从二项式定理,我们得到的 α - - - - - - β p ≡ α p - - - - - - β p ( 国防部 ⁡ p ) 。 由此可见, (28) 问 p = 1 一个 p - - - - - - 1 / 2 b p / 2 α p - - - - - - β p α - - - - - - β = 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 α p - - - - - - β p α - - - - - - β ≡ 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 α - - - - - - β p α - - - - - - β 国防部 ⁡ p ≡ 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 ∆ p ∆ 国防部 ⁡ p ≡ 1 一个 b p - - - - - - 1 / 2 - - - - - - ∆ ∆ 国防部 ⁡ p ≡ - - - - - - 1 国防部 ⁡ p , 问 p + 1 = 1 一个 p / 2 b p + 1 / 2 α p + 1 - - - - - - β p + 1 α - - - - - - β = 1 一个 p - - - - - - 1 / 2 b p + 1 / 2 α p + 1 - - - - - - β p + 1 α - - - - - - β 。 从引理 6,我们获得 (29) 问 p + 1 ≡ 0 国防部 ⁡ p 。 因此, 米 ∤ p + 1 。 同时,我们有 (30) 问 2 p + 2 = 1 一个 2 p + 1 / 2 b 2 p + 2 / 2 α 2 p + 2 - - - - - - β 2 p + 2 α - - - - - - β = 1 一个 b p α p + 1 2 - - - - - - β p + 1 2 α - - - - - - β ≡ 0 国防部 ⁡ p , 问 2 p + 3 = 1 一个 2 p + 2 / 2 b 2 p + 3 / 2 α 2 p + 3 - - - - - - β 2 p + 3 α - - - - - - β = 1 一个 b p + 1 α p + 1 2 α - - - - - - β p + 1 2 β α - - - - - - β = 1 一个 b p + 1 α p + 1 2 α - - - - - - β α - - - - - - β ≡ α p + 1 2 一个 b p + 1 ≡ α p + 1 2 - - - - - - α β p + 1 ≡ α p + 1 β p + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p 。 因此,从( 10), 米 ∣ 2 p + 1 。

定理8。

让 p 是一个质数,让 米 表示的 问 n 米 o d p ,让 米 ′ 表示的 问 n 米 o d p k 。 如果 米 p k - - - - - - 1 是即便如此 米 ′ ∣ 米 p k - - - - - - 1 如果 米 p k - - - - - - 1 是奇怪的 米 ′ ∣ 4 米 p k - - - - - - 1 。

证明。

我们已经证明 α 米 p k - - - - - - 1 ≡ β 米 p k - - - - - - 1 ≡ 1 ( 国防部 ⁡ p k ) 在定理 3。这 (31) 问 米 p k - - - - - - 1 = 一个 1 - - - - - - ξ 米 p k - - - - - - 1 一个 b 米 p k - - - - - - 1 / 2 α 米 p k - - - - - - 1 - - - - - - β 米 p k - - - - - - 1 α - - - - - - β ≡ 0 国防部 ⁡ p k , 问 米 p k - - - - - - 1 + 1 = 一个 1 - - - - - - ξ 米 p k - - - - - - 1 + 1 一个 b 米 p k - - - - - - 1 + 1 / 2 α 米 p k - - - - - - 1 + 1 - - - - - - β 米 p k - - - - - - 1 + 1 α - - - - - - β ≡ 一个 1 - - - - - - ξ 米 p k - - - - - - 1 + 1 一个 b 米 p k - - - - - - 1 + 1 / 2 国防部 ⁡ p k 。 如果 米 p k - - - - - - 1 是偶数,那么 (32) 问 米 p k - - - - - - 1 + 1 ≡ 1 一个 b 米 p k - - - - - - 1 / 2 国防部 ⁡ p k 。 从 α β = - - - - - - 一个 b 并利用定理 3,接下去 (33) 一个 b 米 p k - - - - - - 1 / 2 = - - - - - - α β 米 p k - - - - - - 1 / 2 = - - - - - - α β 米 p k - - - - - - 1 1 / 2 ≡ 1 国防部 ⁡ p k 。 然后, (34) 问 米 p k - - - - - - 1 + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p k 。 因此,从( 10), 米 ′ ∣ 米 p k - - - - - - 1 。

如果 米 p k - - - - - - 1 是奇怪的 (35) 问 4 米 p k - - - - - - 1 = 一个 1 - - - - - - ξ 4 米 p k - - - - - - 1 一个 b 4 米 p k - - - - - - 1 / 2 α 4 米 p k - - - - - - 1 - - - - - - β 4 米 p k - - - - - - 1 α - - - - - - β ≡ 0 国防部 ⁡ p k , 问 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 = 一个 1 - - - - - - ξ 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 一个 b 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 / 2 α 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 - - - - - - β 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 α - - - - - - β ≡ 1 一个 b 2 米 p k - - - - - - 1 国防部 ⁡ p k 。 自 α β = - - - - - - 一个 b 和 α 米 p k - - - - - - 1 ≡ β 米 p k - - - - - - 1 ≡ 1 ( 国防部 ⁡ p k ) 那么, (36) 一个 b 2 米 p k - - - - - - 1 = - - - - - - α β 2 米 p k - - - - - - 1 = - - - - - - α β 米 p k - - - - - - 1 2 ≡ 1 国防部 ⁡ p k , 问 4 米 p k - - - - - - 1 + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p k 。 因此, 米 ′ ∣ 4 米 p k - - - - - - 1 。

3所示。段Biperiodic卢卡斯序列

在本节中,我们研究Biperiodic卢卡斯序列模 p '类似于Biperiodic斐波那契序列。

定义9。

Biperiodic卢卡斯的周期序列模一个正整数 j 是最小的正整数吗 t 这样 (37) l t ≡ 2 国防部 ⁡ j , l t + 1 ≡ 一个 国防部 ⁡ j 。

出于同样的原因,Biperiodic斐波那契序列,如果 t 的时间是 l n ( 国防部 ⁡ j ) ,然后 (38) l k ≡ 0 国防部 ⁡ j , l k + 1 ≡ 1 国防部 ⁡ j ⇕ t ∣ k 。 对于任何 k ∈ Z ,

定理10。

让 p 是一个奇怪的',让 t 表示的 l n ( 国防部 ⁡ p ) ,让 ∆ 是一个非零的二次剩余 米 o d p ;然后 t ∣ p - - - - - - 1 。

证明。

我们利用费马小定理 (39) α p - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p , β p - - - - - - 1 ≡ 1 国防部 ⁡ p , 所以 (40) l p - - - - - - 1 = 1 一个 p - - - - - - 1 / 2 b p / 2 α p - - - - - - 1 + β p - - - - - - 1 ≡ 2 一个 b p - - - - - - 1 / 2 国防部 ⁡ p 。 我们知道 一个 b p - - - - - - 1 / 2 ≡ 1 ( 国防部 ⁡ p ) ;因此 (41) l p - - - - - - 1 ≡ 2 国防部 ⁡ p 。 同时,我们有 (42) l p = 1 一个 p / 2 b p + 1 / 2 α p + β p ≡ 1 一个 p - - - - - - 1 / 2 b p + 1 / 2 α + β 国防部 ⁡ p ≡ 一个 b 一个 b p - - - - - - 1 / 2 ≡ 一个 b b 国防部 ⁡ p ≡ 一个 国防部 ⁡ p 。 通过使用( 10),我们得到 t ∣ p - - - - - - 1 。

定理11。

让 p 是一个奇怪的',让 t 表示的 l n ( 国防部 ⁡ p ) ,让 ∆ 是一个二次非剩余 国防部 ⁡ p ;然后 t ∣ 2 p + 2 。

证明。

从引理 6和( 3),我们得到 (43) l 2 p + 2 = 1 一个 2 p + 2 / 2 b 2 p + 3 / 2 α 2 p + 2 + β 2 p + 2 ≡ 1 一个 b p + 1 α p + 1 2 + β p + 1 2 国防部 ⁡ p ≡ 2 β p + 1 2 一个 b p + 1 国防部 ⁡ p ≡ 2 β p + 1 2 α p + 1 β p + 1 国防部 ⁡ p ≡ 2 β p + 1 α p + 1 国防部 ⁡ p ≡ 2 国防部 ⁡ p , l 2 p + 3 = 1 一个 2 p + 3 / 2 b 2 p + 4 / 2 α 2 p + 3 + β 2 p + 3 = 1 一个 p + 1 b p + 2 α 2 p + 3 + β 2 p + 3 = 1 一个 p + 1 b p + 2 α p + 1 2 α + β p + 1 2 β = 1 α + β α p + 1 2 一个 b p + 1 b = 1 一个 b α p + 1 2 一个 b p + 1 b = 1 一个 α p + 1 2 α p + 1 β p + 1 = 1 一个 α p + 1 β p + 1 = 1 一个 国防部 ⁡ p 。

因此,从( 10), 米 ∣ 2 p + 2 。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

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