文摘
摘要提出了一种贝叶斯网络模型估算叫做矩阵。大多数现有的贝叶斯方法采用先验OD矩阵,总是麻烦。因为交通系统通常都存储大量历史链接流,一个贝叶斯网络模型提出流动之前使用这些链接。基于一些观察到的链接流,评估结果更新。正态分布的假设下,提出了贝叶斯网络模型考虑了水平的总交通流,链接流的可变性,违反了交通流守恒定律。点估计和相应的概率区间可以由这个模型提供。为了解决贝叶斯网络模型,提出了一种特定的程序,可以避免矩阵求逆。最后,数值例子说明提出的贝叶斯网络方法。结果表明,该方法具有较高的准确性和实用性。
1。介绍
交通需求的信息,这通常意味着叫做(OD)矩阵,传统的交通规划机构来评估各种战略运输计划的影响。和实时OD矩阵对实时交通的应用程序来说都是必不可少的,特别是在智能交通系统(ITS),比如实时路线指导通过动态交通分配或各种部署方案的评价1,2]。
提出了各种方法来估计OD矩阵通过聚合数据如OD需求数量和/或一组交通计数观察到的链接。使用信息来自交通计数是很有吸引力的,因为他们是便宜,简单,直接的数据。然而,根据这些数据,我们不能获得一个独特的OD矩阵因为OD对的数量远远大于在大规模交通网络链接的数量,有无限的解决方案满足守恒定律。
为了有一个独特的解决方案必须接近实际,必须提供更多的信息。通常,人们使用先验OD矩阵,可以通过许多不同的方法,比如旧的过时的或主观猜测OD矩阵。这些方法可以分为估算OD矩阵最小二乘(3- - - - - -9和广义最小二乘法10- - - - - -12)方法,或基于信息熵方法(13,14),而基于统计的方法。
提供交通流的变化信息估计是最重要的统计方法的优势。通常,其他方法只给出特定的OD值和链接流,而统计方法也可以提供相应的概率区间。统计方法可以分类如下。经典方法(15- - - - - -17]:交通流假设多元随机变量给出一些参数的家庭,如泊松、伽马、多元正态。然后,问题降低了估计的参数和成为一个标准的统计问题。贝叶斯方法(18- - - - - -21:这些方法也考虑参数的分布,但参数视为随机变量本身。尤其是,在贝叶斯方法,使用贝叶斯网络(22- - - - - -24)可以很容易地知道所有的变量之间的关系(链接流和OD流),然后简化计算。
是否使用先验信息(历史信息或经验)之间的主要区别是贝叶斯方法和经典统计方法。在贝叶斯方法,基于一些先验信息,一些参数或变量的先验分布可以确定。然后通过更新样品信息(观察到的信息),我们可以得到后验分布,这是贝叶斯方法的基本推理工具。
一般来说,之前的信息的质量会影响估计的准确性在使用贝叶斯方法。之前的信息所使用的几乎所有现有贝叶斯方法估计OD矩阵是一个先验OD矩阵。然而,很难保证的准确性先验OD矩阵,这是过时的或主观猜测。此外,甚至是不可能得到一个先验OD矩阵在某些情况下,尤其是在一个新开发的城市。
在现实中,通常有大量的历史链接流数据存储在城市交通系统的数据基础。与先验OD矩阵相比,之前的(历史的)链接流更准确时获得的交通检测器或人工调查。因此,在本文中,为了估计OD矩阵,我们提出一个贝叶斯网络(BN)方法使用之前链接流流和一组新的观察到的链接。基于这些链接流之前,我们可以推出链接流和OD流的先验分布。然后,通过更新流组观察到的链接,我们可以修改手段,减少剩余变量的方差。使用这些更新的均值和方差,我们可以获得的所有变量的后验分布。基于后验分布、点估计和相应的概率区间可以提供。
注意,总交通流随机变化和确定性的程度在类似的情况下(假期,高峰小时,特殊天气条件下,等)(20.,24]。所以提出的BN模型还考虑总交通流的水平,这对许多实时交通应用程序非常有用。此外,BN模型还考虑了可变性的链接流和违反了守恒定律。
剩下的纸是组织如下。部分2简要介绍了贝叶斯网络和高斯贝叶斯网络。节3,提出了BN模型估算OD矩阵及其主要假设。节4使用贝叶斯网络模型,提出了估算OD矩阵的具体过程。节5,提供了一个数值例子说明该模型,明确它的一些实现细节。最后,提供了一些结论部分6。
2。贝叶斯网络和高斯贝叶斯网络
在本节中,我们简要回顾贝叶斯网络和高斯贝叶斯网络,这是本文的基本工具。
定义1(贝叶斯网络)。贝叶斯网络是一对,在那里是一个有向无环图(DAG)上定义的一组节点,是一组条件概率密度(cpd),组节点的父母吗在。一组定义了相关的联合概率密度(詹妮弗)
这个图包含所有的定性信息的变量之间的关系。作为一个补充,概率量化的定性信息图。
在贝叶斯网络中,詹妮弗隐含的分解(1)通常是非常简单的和有条件的独立变量之间的关系可以直接从图中推断出来,这使得证据容易传播。由于这些优势,贝叶斯网络模型被广泛应用来解决各种各样的实际问题(25,26]。
贝叶斯网络可以应用于许多发行版。为了说明,我们考虑的重要和特殊情况下高斯贝叶斯网络的流量分布应该是正态分布。交通流量的正态分布是合理的,因为这些随机变量的和大量的独立的伯努利实验用户决定旅行路线选择。在文献中,高斯贝叶斯网络经常(24,27]。
定义2(高斯贝叶斯网络)。一个贝叶斯网络据说是一个高斯贝叶斯网络当且仅当联合概率分布(詹妮弗)与其变量关联是一个多元正态分布,与联合概率密度函数,即:
在哪里是均值向量,是协方差矩阵,的决定因素,的转置。
变量的詹妮弗在高斯贝叶斯网络中可以指定为(1)由一组cpd的产物,其联合概率密度函数
在哪里的回归系数的回归在其父母。
和条件的方差是
在哪里的无条件方差是吗,之间的协方差矩阵是吗和变量,的协方差矩阵是吗。
3所示。提出了贝叶斯网络模型
从贝叶斯网络有很多优点介绍部分2在本节中,我们提出一个贝叶斯网络(BN)模型复制的概率结构链接和OD流。
3.1。模型的假设
假设我们有一些(历史的)链接流之前,为了给链接的先验分布流,我们做出以下假设。
假设3。流是由的链接
假设4。的变量是一个正常的随机变量与的意思吗和variance-covariance矩阵,在那里是一个正常的随机变量和措施总平均流量的水平。它反映了交通流随机变化和确定性在类似的情况下(假期,高峰小时,特殊天气条件下,等等)。是一个向量,其元素的相对权重链接流对总交通流;是一个独立的正常随机变量与零均值向量;和措施的差异的链接就其意思。
注意,交通流随机变化和确定性在类似的情况下(假期,高峰小时,特殊天气条件下,等)(20.,24]。假设3可以考虑这个。的分布因情况而异。基于流和考虑到类似的情况,之前联系的分布和初始向量确定。然后我们可以很容易地导出链接流的先验分布,这将在稍后显示。假设4是一个正常的假设,也采用马赫(18],Hazelton [20.),卡斯蒂略et al。24),等等。
给OD流的先验分布,我们首先考虑知名守恒律方程:
在哪里和流动的OD对吗和链接,分别。是发病率元素;也就是说,它需要值1如果链接属于路线OD对的和0,否则。用户从OD对的比例吗选择路线。摘要路径选择比例由logit模型定义如下:
在哪里是一个参数测量旅客的敏感性之间的成本差异路线;与路径相关的成本吗OD对的。
方程(6)可以写成
集从OD对代表用户的比例选择链接。然后(8)可以重写以矩阵的形式
矩阵不一定是可逆的,因为它不一定是一个正方形。所以我们做下面的转换(9):
如果矩阵是满秩的,它是可逆的。然后,(10)可以写成
集根据(11),我们做如下假设。
假设5。的OD流 在哪里正常是相互独立的随机变量与的意思吗和方差。的变量代表OD流除了那些认为网络的使用链接。设置的所有变量null或评估他们的价值观,能满足守恒律方程。
3.2。完整的模型
基于定义1和2为了完成我们的BN模型,我们需要定义一个相关图。例如,考虑图的简单网络左边所示1有2个节点,2个链接,和1个OD对1 - 2。右边的图1显示了关联贝叶斯网络。流程节点的联系作为父母相应的节点和。OD流节点作为父母相应的节点和。
然后根据假设3和4,我们的variance-covariance矩阵: 在哪里和对角矩阵。variance-covariance矩阵吗。
基于的假设5,我们得到
然后,意思是是
和variance-covariance矩阵是 在哪里方差矩阵吗。
总之,所有参与我们的模型是随机变量相关的线性表达式:
的意思是是
和variance-covariance矩阵是
然后,先验分布(联合概率密度函数)的所有变量可以作为
4所示。估计OD矩阵使用提出了BN模型
使用提出了BN模型,在本节中,我们描述了如何估计OD矩阵当一些新观察到的链接流是可用的。
因为我们得到的所有变量的先验分布,我们可以使用以下方程更新变量的均值和协方差矩阵(23,24基于一些观察到的变量)。注意,只需要考虑的变量条件在观察到的变量,然后更新预期值和协方差的变量。这些方程是 在哪里和分别是未被注意的和观察到的变量的集合;和均值向量和协方差矩阵的吗;和均值向量和协方差矩阵的吗;和的协方差矩阵是吗和。
给定一组证据节点知道是谁的价值观,(21)和(22),我们可以推出的均值向量和协方差矩阵难以察觉的节点。因此,的条件分布可以获得。方程(23)和(24)状态,观察到的变量的预期值与观测值和方差和方差是空的。为了简化计算,我们可以用增量法,也就是说,更新的证据一个接一个。因此,我们不需要计算矩阵的逆操作,因为一个标量的矩阵退化。在这种情况下,是一个列向量和是一个标量(例如,)。
如果我们想给点估计以及相应的概率区间,我们可以解决以下最大后验分布问题点估计,其结果通常是有条件的意思是: 在哪里是观察到的变量的集合,包括那些观察到的链接流和/或OD流。
总之,估算OD矩阵的具体过程和那些未被注意的链接流给出如下。
步骤0。初始化模型。根据假设3和4基于(历史的)链接流之前,我们可以确定的分布和初始矩阵。然后我们可以获得初始链接流。因此,初始路径选择比例计算如下: (在哪里26)成本函数的联系,是自由流动的成本条件下,是链接能力,和常量定义如何与交通流量成本上升;(27)是路由代价函数;(28)中定义的路径选择比例计算(7)。
步骤1。解决了BN模型。根据模型假设,使用初始路径选择比例矩阵,我们可以得到交通流的先验分布(先验均值和方差)使用以下公式: (在哪里29日)是计算回归系数矩阵给出了(12)。方程(30.)和(31日)的计算方法和在(17)。方程(32)定义的对角方差矩阵;也就是说,,在那里变异系数。方程(33)(36)定义variance-covariance矩阵(19)。
步骤2。观察到的链接更新流,使用公式 (在哪里37)和(38)更新手段和variance-covariance无法观测变量的矩阵,和指未被注意的和观察到的组件(),分别。方程(39)和(40)状态,观察到的变量的期望值是观测值和方差和协方差为零,在(23)和(24)。方程(41)条件意味着作为OD点估计和链接流,结果给出了最大后验分布问题(25)。
步骤3。比例计算新的路由选择。由于链接流动更新步骤2比例,路线的选择也需要更新。考虑到矩阵获得的是(41),新路线的选择比例计算使用以下表达式: (在哪里42)是守恒律方程给出了(6)。
步骤4。收敛性测试。如果,在那里是少数控制收敛的过程,然后停止流程并返回OD流,链接流和路径选择的比例。否则,继续步骤5。
第5步。更新路径选择比例和矩阵使用表达式 然后转到步骤1,(46)是更新路径选择比例矩阵,,是一个放松的因素;(47)是更新矩阵。变量的值获得的(42)。
5。例如:Nguyen-Dupuis网络
在本节中,我们说明了提出方法使用知名Nguyen-Dupuis网络,如图2。它由13节点,19个链接和4 OD对:1 - 2、1 - 3、4 - 2和4 - 3。
网络数据如表所示1和相关的参数(26)被认为是,对于任何链接。
认为真正的OD矩阵,后来用于测试的质量评估,如表所示4在标题“真正的流。“真正的链接流是通过解决多项罗吉特机率分配模型与参数随机加载。
假设先验信息如下:总交通流的水平的期望值及其标准偏差和分别和初始矩阵是
观察到的流假定为链接,,,,。这应该是他们在这个秩序。因为它们是观察,它们的值等于真正的链接流(如表所示4)。
根据之前的信息,我们可以得到交通流的先验分布。之前的均值和方差的第二列所示表2和3,分别。为了简化计算,在本例中,期望和variance-covariance假定为零(即。,there is no uncertainty in the conservation law). In addition, to obtain the variance-covariance matrix,我们有选择在(32)。
表2显示了更新后的流量改变观察的方法链接流。每次更新后,链接流动的点估计和OD流提供。可以看出,一次和成为已知的和更新的点估计在表2没有改变及其方差表3成为零(粗体的表中)。因为,由于流保护节点6日一次和成为已知,就知道。同样的,成为已知的一次给出;成为已知的一次给出; 成为已知的一次和给出了;成为已知的一次给出;成为已知的一次,,给出了。换句话说,由于守恒定律,观察到的链接流在这个顺序:,,,,,,,,,,。
表3显示交通流量变化的方差更新后观察到的链接流。注意,在一些链接流(包括观察到的链接流和那些来自于观察到的链接流和守恒定律)是已知的,意味着保持不变,他们的差异成为零(粗体的表)。和通常的方差未知变量(OD流和那些未被注意的链接流)减少每次更新。请注意,方差越小,估计的精度就越高。经过一系列的更新,估计更准确。这源自一个方法来确定有多少链接和链接时需要观察估计流量的贝叶斯网络模型,即网络传感器定位问题(NLSP) [28]。注意,方差更新方程(22)与观察到的值没有相关性链接流。所以我们可以解决NLSP没有观察到任何链接。首先,通过贝叶斯网络模型,我们可以得到的先验分布变量所示(19)。接下来,我们可以把链接,可以减少OD流最大限度地通过更新的方差作为第一个观察到的链接。然后我们更新交通流量的变化,确定第二个观察到的链接,和迭代,直到方差估计精度的降低来满足要求或直到预算超过限制。
通过更新的方式(点估计)和方差,我们可以获得后验分布的OD流流动和那些未被注意的链接。图3说明的边际密度OD流和那些未被注意的链接流从他们最初的形式发展他们的最终形式(粗体的)观察到的链接更新流动。可以看出,未知变量的方差通常随每次更新。
总之,根据表2和3和图3,使用提出的贝叶斯网络方法,观察到一些变量后,这些观察到的方式保持不变,其方差变成零。其余变量(那些未被注意的),他们的差异通常随每次更新。该方法可以提供一种控制的守恒定律。最后的形式(粗体)的图3的后验密度流OD流和那些未被注意的链接。这些后密度提供完整的关于未知变量的统计信息。通过这些后密度,我们可以提供点估计以及相应的概率区间。
为了测试的质量评估、表4比较真实的流动和提出BN的点估计模型。因为,,,,,,,,,,观察到,它们的值等于真正的流。和研究OD对那些未被注意的链接(粗体的表),可以看出,估计和真正的流基本上是一样的。相对误差都很小,最大相对误差值的OD流估计只有4.70%。这说明拟议的BN模型具有很高的精度。
6。结论
在本文中,我们使用一个贝叶斯网络模型来估计叫做矩阵基于之前链接流和一组观察到的链接流。正常情况下,大量的历史链接流存储在城市的交通系统。而过时的或者主观猜测OD矩阵之前,之前联系流动更准确,因为他们获得的交通检测器或手动调查。提出的贝叶斯网络模型可以利用这些历史链接还流和考虑总交通流的程度,这是许多实时交通应用程序非常有用,尤其是在它。
使用贝叶斯网络模型和更新观察到的变量(包括观察到的链接流和那些来自于观察到的链接流和守恒定律)可以修改的方法,减少剩余变量的方差。这些更新让我们获得后验分布的均值和方差的未被注意的基于这些观察到的变量。因此,不仅可以提供点估计的方法也相应的概率区间。此外,增量开发过程求解贝叶斯网络模型没有密集计算的矩阵求逆,使这个模型很容易适用于大规模的网络。
此外,在本文中,一个正态分布的交通流量。这是合理的因为这些随机变量的和大量的独立的伯努利实验用户决定旅行路线选择。为未来的研究,值得放松的正态分布假设。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究是由中国国家自然科学基金(没有。51178110也没有。51378119)和江苏省研究生创新项目(没有。CXZZ12_0113)。匿名裁判感谢提供的评论。