文摘

我们开发一个蜘蛛网模型与离散时间延迟,描述生产周期的长度。我们假定市场由均匀生产商作为适配器通过(预期)运营利润最大化作为目标来调整生产数量和消费者的边际支付意愿被等弹性的需求。经济的特点是一个一维的动态延迟微分方程。在这种背景下,我们表明,(1)如果市场需求的弹性是足够高,稳态平衡是局部渐近稳定和(2)如果市场需求弹性很低,准周期的振荡时出现时滞(代表生产周期的长度)是足够高的。

1。介绍

nonstorable商品价格的时间序列观察每天受到强烈的波动,而生产的商品需要更长的时间(例如,从播种到收获关于农业的)。蛛网模型,最初由Kaldor开发(1与线性供给和需求),(参见以西结2]。)已经被广泛研究离散时间确定的上下文(例如,[3- - - - - -8])。(离散时间蛛网模型的随机版本看到Brianzoni et al。9]。)它解释了农业大宗商品的价格波动的原因。根据这种模式,农民在市场上生产操作之前必须选择价格观察(即。,存在时间上的滞后供应)。因此,生产商的选择取决于价格在收获时他们希望获胜。通过假设农民以当前价格为估计的预期价格(静态)预期,显示了市场均衡的稳定性取决于需求和供给的相对弹性。假设农民种植小麦和玉米在特定日期,他们被迫出售其整个生产。如果他们预计,小麦的价格将会高的玉米低,他们将植物在未来大量的小麦。不过,可能是市场供给和需求之间的相互作用,或者其他原因有关,例如,意想不到的天气事件等等;参见[9)做导致小麦价格低于预期。因此,生产者的决策将会修改相应引起价格波动。传统的蛛网模型与静态预期,因此,代表了一个非常有用的工具价格动态的分析。然而,只能观察到三种不同的现象如果供给和需求都是线性的:收敛到稳态平衡,两个时期,和无限的循环波动。

价格动力学的研究兴趣使得Hommes [3]扩展离散时间蜘蛛网模型通过引入自适应预期(原蜘蛛网模型中引入了自适应预期Nerlove [10]。)和非线性供给和需求曲线。在他的作品中,他表明,价格混乱的行为会发生即使供给和需求是单调的。(Artstein [11和詹森和城市12)发现,混乱的价格动态与静态预期模型中也可能出现如果供给曲线和需求曲线非单调)。随后,加拉和Nusse [13加深了一些与适应性预期模型的数学性质,而Mammana和Michetti [14,15]分析了记忆和期望在这样一个背景下的角色。

通过考虑数量而不是价格为主要变量,Onozaki et al。4,5)提供的例子的重要性以外的行为理性预期的复杂动力学的蛛网模型。特别是,前者论文考虑自适应调整产量,而不是自适应预期价格(如[3])。这种行为规则,部分农民调整生产的方向最好的回应(由利润最大化预期的数量)。通过假设一个非线性(单调)的市场需求,他们展现出了使用同宿点定理拓扑混乱可能发生在其动力学模型的特点是一维的地图。从经济角度看,混乱发生可能性更大更快的供应商调整生产和市场需求越缺乏弹性。后者延伸前通过引入行为的异质性生产商之一。

更好地捕捉市场的运作每天价格波动的观察,本文扩展了Onozaki et al。(4通过考虑一个连续时间蛛网模型与离散时间延迟。介绍了时间延迟来描述农业大宗商品市场的一个特定的方面:nonstorable商品的生产周期,事实上,从播种收获时间运行(参见[16),一个连续时间的分析蜘蛛网模型与时间延迟)。在本文中,我们考虑一个经济与消费者的边际支付意愿是由一个等弹性的需求,和均匀的农民面临二次成本。生产商像适配器和考虑到利润最大化作为目标来调整生产数量。的动态经济的特点是一个延迟微分方程。在这种背景下,我们表明,(1)如果市场需求的弹性是足够高,稳态平衡是局部渐近稳定(价格充分反应清除市场)和(2)如果市场需求弹性很低,准周期的振荡时出现时滞(代表生产周期的长度)是足够高的。

剩下的纸是组织如下。部分2设置操作的蛛网模型与均匀生产商适配器。部分3正是当地稳定性能和分岔的平衡产生的一维时滞微分方程。部分4研究稳定属性和霍普夫分岔的方向。部分5提供了一些数值试验来验证理论结果建立在以前的部分。部分6概述了结论。

2。该模型

我们考虑一个连续时间的版本离散时间延迟模型的开发Onozaki et al。4]。存在相同的和竞争的公司经营在农业部门。我们假设的技术生产需要一段时间把生产过程完成,产品市场。的数量最大化预期的利润解决下面的问题被称为在时间吗: 在哪里是一个常数参数和,,价格预计在时间吗,农业的数量好,二次成本函数在时间,分别。重要的是要注意,预期价格出现在(1)。这是因为价格会占上风不知道当时预期利润的最大化问题被称为;也就是说,。假设现在生产商有静态预期价格;也就是说,。然后,最大化项目(1)给

让公司(预期的)利润创造和使用的数量对应于最大期望利润,作为一个目标来调整生产的选择。特别是,如果在时间产生的数量是小(分别地。),超过,农民将会增加(分别地。,减少)生产。然后,我们假设以下每一个农民的生产决策行为的规则: 在哪里是调整的速度。这条规则可以被视为一种预防性的行为对市场价格的演变。(见布鲁克和Hommes [17),Bischi et al。18,19),Chiarella et al。20.,范蒂et al。21)对不同经济主体的行为规则没有理性预期)。

因为有同类公司,总供给可以很容易地确定如下:

关于消费者的方面,按照范蒂et al。22),我们假设存在一个连续相同的消费者的偏好对农产品(其价格是)和计价单位好(价格正常化的一个不失一般性),由竞争公司,由以下拟线性效用函数: 与 在这里,不断的需求弹性和吗代表市场需求的程度。代表消费者最大化效用函数(6)受预算限制,在那里是消费者的外生名义收入(被认为是足够高,以避免角落解的存在性)。这最大化项目意味着等弹性的逆需求的好决定如下: 因此,农产品的市场需求如下:

因此,市场均衡意味着总需求等于总供给,也就是说,对于任何。然后,通过使用(2)- (8)我们发现下面的时滞微分方程表示的动态模型:(见霍尔丹(23]的开创性贡献的使用延迟微分方程应用到一个模型的价格动态。) 在哪里。

3所示。平衡和地方分岔的存在

稳态的平衡(9)满足对所有所以时间导数消失相同。它是直接的平衡(9)配合的。直接计算显示独特的存在积极的平衡这样。线性化的9)附近的平衡产生以下方程: 因此对应的特征方程 当没有延迟,在(11),特征方程。因此,是局部渐近稳定自。

现在假设在(11)。我们将调查超越方程的根的位置。首先,我们检查的时候这个方程为零或纯虚根。现在,它是直接的,前者不能发生。

引理1。让。特征方程(11)与(9)有一对纯虚根在一系列的关键值,在那里

证明。让特征方程的根(11),。用这个(11),分离的实部和虚部得到的方程,我们得到的解决方案(11)如下: 这将导致 看到,如果是直接的成立,那么(15)只有一个积极的根。接下来,从(14)获得一个关键值被注意到。

引理2。 是一个简单的纯虚根的特征方程(11)和所有其他的根源满足对于任何一个整数。

证明。如果不简单,,然后我们会,这是一个矛盾。为了建立引理的最后一部分,我们假设存在一个根这样和,对于一些。从(14),我们得到,即。这就完成了证明。

引理3。下面的横截性条件: 是满意的。

证明。让表示的根(11附近)满足的条件和。差异化特征方程(11)对使用(11),求解项,我们得到 这给了 因此,我们有

前一个引理意味着特征方程的根(11附近)穿过虚轴从左到右不断变化的数量不足一个大于Rouche定理。

命题4。如果,所有的根(11)有负的实际部分。如果,所有的根(11)除了有负的真实部分。如果,因为,(11)根用积极真实部分。

总结,我们可以以下结果(见图1)。

定理5。让和被定义为(12)和(13),分别。(9是真的),下面的语句。(1)如果,积极的平衡是局部渐近稳定吗。(2)如果,积极的平衡是局部渐近稳定和不稳定。(3)如果,(9)的霍普夫分岔经历积极的平衡当,。

4所示。稳定和霍普夫分岔的方向

在前面的部分中,我们已经获得了霍普夫分岔条件时发生,。在本节中,我们将研究方向,局部稳定性,周期的周期解分叉的平衡在这些关键的值。这里使用的方法是基于标准形式和中心流形理论引入Hassard et al。24]。不失一般性,我们将调查临界值在(9)经历了霍普夫分岔。为了方便起见,我们,。然后霍普夫分岔值(9)。设置,然后扩大(9)第一,第二,第三,和其他高阶术语在琐碎的平衡

为,让 黎兹表示定理,有一个有界变差函数在这样 事实上,我们可以选择 在哪里狄拉克δ函数。为,我们设置 然后(20.)可以写成 在哪里,因为。为,定义 为和使用双线性形式 我们知道和伴随运营商。讨论的部分3,我们知道的特征值。因此,它们的特征值。很明显,是一个特征向量对应的特征值,是一个特征向量对应的特征值,在那里 因此,我们有和。

使用相同的符号如Hassard et al。24),我们首先计算坐标来描述中心流形在。让的解决方案(20.)当。定义 中心流形上,我们有,在那里 在哪里和是当地的中心流形坐标吗的方向和,分别。为解决方案(25),因为,我们有 在哪里 重写(31日), 在哪里 由(29日)和(31日)我们有 也就是说, 在哪里 请注意,。因此,我们得到 从(34),使用和比较系数,我们获得

因为有和在,我们仍然需要计算。从(36),我们有 因此,我们发现 另一方面,中心流形, 接下来,使用(30.)和(33我们得到的另一个表达式。然后比较(36)导致方程: 从(25)和(36),它遵循 因此, 在哪里和都是真正的常数,可以通过设置确定吗在。事实上, 现在,(30.)和(36)给 用(47)(46),我们可以计算和。

基于上述分析,我们可以看到,每个在(39)确定。因此,我们可以计算下列值: 众所周知,决定了霍普夫分岔方向:如果(职责。霍普夫分岔),然后是超临界(分别地。,subcritical) and the bifurcating periodic solutions exist for(职责。);确定分支周期解的稳定性:中心流形上的分支周期解是稳定的(分别地。,不稳定)(职责。);决定的分支周期解:这段时间增加(分别地。,减少)(职责。)。讨论的部分3我们知道。因此,我们有以下结果。

定理6。让是在(48)。霍普夫分岔的方向(9在平衡当超临界(分别地。,subcritical) and the bifurcating periodic solutions on the center manifold are stable (resp., unstable) if 分别地,)。

5。数值模拟

我们现在说明理论结果在前面部分通过执行一些数值模拟。为此,我们解决以下参数设置:,,,,,让有所不同。用这个参数值,稳态平衡霍普夫分岔和发生在。当(但足够高),由农民数量的动态振荡和收敛到平衡(如图2)。霍普夫分岔后的价值,存在一个吸引封闭数量不变曲线的动态显示持续振荡。为了这个目的,图3显示的长度的依赖封闭的直径不变曲线的时间差。特别是,图中描述了三个不同的封闭的不变曲线的三个不同的值,也就是说,(蓝色曲线),(红色曲线)和(黑色曲线)。它清楚地表明,封闭的直径不变曲线的长度增加了。这意味着,当是足够高(例如,the length of productive cycle is large), the amplitude of fluctuations of quantities (and prices) may be relevant (see Figure4)。

6。结论

本文扩展了离散时间由Onozaki蛛网模型等。4与离散时间延迟),描述生产周期的长度。经济模型由均匀农民像适配器和参考预期利润最大化数量(静态预期)作为生产指导的目标;即生产者部分调整输出通过向最好的回应。“这样的调整是一个行为反应的不确定性和调整成本”(4,102页)。在离散时间框架中,Onozaki et al。4)表明,该模型可以生成拓扑应用同宿点定理和可观察到的混乱。在连续时间版本的模型中,我们发现,时滞的大小在生产中出现的非线性动力学问题。特别是,通过Hassard技术我们描述存在和稳定霍普夫分岔特性,当时间延迟是足够高的。超临界霍普夫分岔后,可以观察到当时间延迟增加准周期的振荡。此外,一些数值模拟(不是在报纸上报道)似乎表明,更复杂的现象(如高周期或混沌吸引子,(所示4)不能在这种情况下发生。

这个模型可以延长特别是考虑异构生产商,强调多小扰动可以生成动态系统的重要结构的变化和不同的动态行为比公司是均匀的。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。