文摘

确定性flowshop模型是研究最广泛的问题之一;而其随机等效始终是一个挑战。此外,先发制人的网络随机flowshop问题引起了极大关注,更少,大多数以前的研究认为无优先版本。此外,人们却很少关注致力于某个时间处罚的问题发生时允许抢占。本文探讨了先发制人的随机在线flowshop最小化最大完工时间的预期的目标。所有的工作到加班,这意味着每个作业的存在和参数是未知的,直到它的发布日期。乔布斯是随机的处理时间和实际处理时间是未知的,直到完成这项工作。启发式过程提出了这个问题,只要适用工作处理时间的特点是他们的均值和标准差。的性能提出了启发式方法是探索使用一些数值例子。

1。介绍

随机flowshop问题没有渗透到很远,仍然具有挑战性。随机两flowshop问题本质上是更复杂的比它的确定性。这种复杂性更当先发制人的网络被认为是版本的问题。换句话说,工作可以被抢占并重新启动。我们假设抢占只能发生在机器1 flowshop问题。此外,所有的工作到加班,这表明每个作业的存在和参数是未知的,直到它的发布日期。在前面的随机研究,优先购买权通常被认为是“免费”这意味着每个工作可以在任何时间被抢占,恢复后不引起一个点球。然而,在实践中通常不这样。在许多情况下,如熔化炉,之前的时间被花在抢占工作丢失,视为抢占点球。

调度已成为一个研究问题,有巨大的努力提供各种解决方案策略建模配方加工车间和flowshop等。flowshop问题有许多应用程序(例如,Defersha和陈1];Mahavi et al。2];同时et al。3])。两flowshop问题极小化目标函数和确定的处理时间可以优化解决了约翰逊的规则(4]。这个问题是np难如果它由三个或三个以上的机器5]。因此,许多启发式算法在各种研究提出了解决这些问题。Framinan等人回顾了一些这样的文章(6]。鲁伊兹和Maroto称为53文章提出的启发式排列flowshop最大完工时间最小化的问题7]。

在随机flowshop问题,处理时间是一个随机变量。这个简单的区别导致许多随机复杂性问题。牧野发达排序规则找到最小化最大完工时间预计的时间表在flowshop两份工作的问题和指数分布处理时间8]。佛罗斯特和Adiri调查摘要flowshop随机调度的目标最小化调度长度的分布(9]。Sethi等人提供反馈生产计划在一个随机两flowshop基于渐近分析和计算结果10]。Elmaghraby和Thoney研究了任意两随机flowshop问题处理时间分布(11]。在两台机器和指数的随机flowshop问题处理时间,最大完工时间预计值的可能性也会被减到最小的工作排序nonincreasingly参数。该方法提出了犯错误,被称为塔瓦尔的统治12]。后来,坎宁安和Dutta证实了其最优性13]。Ku和妞妞获得随机优势的充分条件,表明三法则产生一个随机的最大完工时间最小的(14]。Soroush和Allahverdi提出了随机两flowshop调度问题总完成时间标准(15]。Laha和flowshop Chakraborty提出了一个高效的随机混合启发式调度(16]。Portougal和Trietsch约翰逊的规则应用于随机问题[17]。他们利用,意味着每个作业处理时间的处理时间在约翰逊的规则。此外,Kalczynski和Kamburowski犯错误的规则应用威布尔分布(18]。贝克和Altheimer三种启发式方法用于flowshop的问题机器,假设总体分布处理时间。他们研究这些方法的性能在使用模拟一组问题,发现这些方法算法性能(19]。贝克和Trietsch还探讨了三种启发式方法对两总体分布函数的随机模型。他们比较约翰逊的启发式方法和犯错误的启发式方法(应用平均处理时间而不是工作在这两个方法处理时间),同时改变相邻对的启发式方法(两个相邻工作分别被认为是流离失所,如果他们的顺序可以优化),发现这些方法在其他(20.]。Heydari等人提出了一个启发式方法最小化加权总完工时间的期望值抢占处罚(在单独的机器问题21]。本文提出的启发式贝克和Trietsch已经申请了测序的工作出现在了商店。

尽管不同的研究在过去的几十年里,一个相当大的研究尚未进行先发制人的在线flowshop随机加工时间的问题。摘要启发式方法提出了这个问题。逻辑应用于本研究强调减少空转时间在第二台机器。在这种方法中,决策的抢占一个工作的新工作是基于第二机器产生的闲置时间。在这项研究中,我们假设的处理时间是正态分布的随机变量,和处理不同的工作的时代,是独立于彼此。

本文的其余部分组织如下:研究假设和定义提出了部分2。在部分3和4,无优先和先发制人的随机模型进行了综述。然后,提出了启发式方法提出了部分5。节6一个数值例子用该算法解决了。提出的启发式方法的性能分析提出了部分7。最后,在上一节讨论的结论。

2。研究假设和定义

在随机的情况下,是用来表示(随机)处理时间的工作吗在机,但是我们保留代表其期望值。而且,的释放时间的工作吗,这是已知的或之后。每个任务的处理时间是正态分布的随机变量和工作是相互独立的。我们的目标是找到一个时间表来最小化最大完工时间的预期。应用符号如下: :处理时间的工作在机。 :平均处理时间的工作在机。 :方差处理时间的工作在机。 :第二个机器的空闲时间完成这项工作直到开始工作。

本文认为假设如下:(我)机恒速,不能变化。(2)订单处理的工作在第一次和第二次的机器上是一样的。(3)机器已经准备好被利用在零时间。(iv)每台机器一次最多只能操作一个工作。(v)开始在第二台计算机上有任何工作将完成后的第一个机器上工作。(vi)抢占的工作只能发生在机器1。我们考虑的preemption-repeat模型工作目前正在处理可能在任何时间被抢占。然而,通过预防工作,所有正在进行的进程被认为是失去了。因此,如果重新启动工作在某个时刻时间晚,那么从一开始就必须被处理。

3所示。无优先随机Flowshop问题

对于一般分布没有任何特殊条件对处理时间,只有一个彻底解决方案以随机flowshop问题,提出的牧野(8]。

定理1。在两随机flowshop问题有两个工作,工作之前的工作如果在一个最优序列

基于定理1,贝克和Trietsch提出一个方法,使用一对相邻的属性明智的交换(API) (20.]。他们认为,处理时间与正态分布的随机变量。在这种方法中,条件的工作之前的工作采用以下形式: 这种形式的API程序使用正态分布的性质,称为API启发式。在这种方法中,预期至少与正态分布是由两个变量 在哪里和表示密度函数和标准的运作正常。此外,和和(22]。本文对测序工作出席了商店,这种启发式方法被利用。

4所示。先发制人的随机Flowshop问题

最大完工时间预计从本研究的目标函数最小化,最大完工时间和考虑到增加将增加在第二个机器空转时间,本文侧重于最小化预期空转的总和乘以第二个机。

如图1考的价值如下: 在哪里是机器2的空转时间开始之前的工作吗。科学的价值是恒定的;最小化导致最大完工时间的最小值。空转机器2的时间如下: 因此,第二个的总空闲时间机器会计算如下: 假设 因此,空转的总和乘以2是由机器 在两随机在线flowshop问题,如果在表1中工作之前的工作和表2,这两个工作是取代如果 在哪里和的预期值的总和空转时间机器2在表1和2。

如前所述,最小化总空转时间的期望值在机器2导致预期的时间最小化。因为考的期望值小于它的价值机器2的空闲时间会不到它的价值吗。

先发制人的网络问题,假设工作处理时间在处理机器1。让剩下的处理时间的工作和时间处理工作是。因此,我们有 假设新工作与处理时间和释放时间到达商店(图2)。新工作成为已知的释放时间。

让的子集在机器1和完成工作未完成工作的子集。首先,工作的优先级确定与API的启发式方法。如果工作的优先级不仅仅是工作吗然后其中一个和时间表将出现如图2;否则,它将被添加到列表的未完成的工作。在工作被抢占,因为更高的优先级的工作吗,但在工作将加工完成后的工作吗。如前所述,总空闲时间机器2直到开始工作和在和日程安排如下: 因此,考的期望值小于它的价值和抢占会发生 在子集的处理工作在机器1已经完成,他们的总处理时间是一个常数的值。因此,我们假设 在哪里是一个常数的值。一些工作的子集已经完成,其中一些还没有完成,直到时间吗。让机器2上完成工作的子集,并让这台机器上未完成的工作的一部分。因此, 因此,是恒定值是一个随机变量正态分布 在哪里是一个常数的值。因此,和与正态分布的随机变量,均值和方差如下: 此外,对于和我们有 为了抢占决策,以下不平等应该探索: 假设 预期的最低的两个变量正态分布计算的讨论。因此,对于计算的我们有 和如下: 因此,抢占条件将在引理2。

引理2。preemption-repeat随机在线flowshop两台机器的问题,工作将被抢占的工作吗(假设这个工作优先级大于工作基于API)当且仅当

证明。如前所述,抢占的工作在工作的到来总空转时间在机器2的期望值降低。

5。算法

在本节中,提出了一种启发式算法以最小化最大完工时间的期望值的先发制人的两台机器随机在线flowshop问题。此外,提供了一个算法的示意图说明图3。

一步0(参数定义)。的参数表示的总数在商店里工作是工作计数器参数些微的主要价值1。处理时间每个工作都是一个随机变量的正态分布。到达的时间工作用。参数表示到达商店的新工作。

一步1。优先考虑与API启发式方法,所有未完成的工作来。

一步2。处理工作直到它完成后,或一份新工作到达商店。如果新工作到达商店,那么分配指数其特点和步骤4,否则进入下一步。

一步3。完成后的工作,如果是最后一个工作然后完成算法;否则,增加计数器由一个步骤1。 一步4。如果新工作的优先级根据API启发式方法不仅仅是工作然后按照算法,否则转到步骤7。

一步5。如果然后去下一个步骤,否则转到步骤7。

一步6。工作的优先级不仅仅是工作。因此,工作将被抢占,工作吗将优先考虑。自那时以来,该指数将用于工作吗。递增计数器,一个接一个,然后转到第2步。 一步7。不允许抢占和处理工作将会持续。递增计数器,一个接一个,然后转到第2步。

6。数值例子

在本节中,该算法的性能评估是通过一个数值例子。假设一个随机两flowshop问题6工作和规范给定的表1。

在表1,到达的时间是工作吗。此外,我们假设在每台机器上工作的实际处理时间等于其均值处理时间机器。根据该算法,首先,就业出现在商店在时刻0应该与API将启发式方法。我们运行API算法从序列1-2-3-4。表2显示之间的差异和对于这些工作,而工作行和对应一个列。例如,计算如下: 同样的,和第一个条目在表2的区别是。

在表2根据API方法,负值表示稳定序列。例如,1 - 2不是一个稳定的序列,因为第一行的值和第二列是正的。因此,这两个工作应该取代。因此,API启发式序列改变秩序的工作产量稳定的4-2-3-1,如图4(4.1)。

机器将开始处理工作根据序列4-2-3-1。工作与释放时间5到达商店,如图4(4.1)。在处理工作2。根据API,工作的优先级5小于2的优先级的工作,因为如果我们安排工作2、5使用这种方法,那么工作5将会有更少的优先级。因此,抢占是不允许的。处理工作的继续,在处理工作3、工作与释放时间6到达商店,如图4(4.2)。根据API,工作6比优先级的优先级的工作3。因此,此时的参数如下: 根据该算法,满足的不等式应该探索为了抢占的决策: 同样的,。科学,抢占是被允许的。工作3将被抢占,6将开始工作。因此,工作的调度机器1将如图4(4.3)。

工作的完成时间机器的计算表提供了1和23,在那里工作的完成时间吗在机器。

如前所述,假设的实际处理时间的工作等于平均处理时间。因此,考的期望值等于85这个例子。

7所示。性能分析

为了评估算法的性能,这是应用于各种不同大小的问题。因此,20000个问题在20个类别与不同数量的工作和处理时间规范生产。结果相比,下界的最佳时间定义如下: 参数该方法的性能保证(MB)和近似因子如果 在哪里和MB的期望值最大完工时间的方法和优化方法,分别实现对每个实例。

其他假设如下:(1)发布日期生成使用区间内的均匀分布。(2)所有工作都preemption-restart。(3)假设实际处理时间等于平均处理时间。(4)我们为每个类别产生了1000个问题,基于每个方法的比较结果,最大的价值因素计算出这些问题(更糟糕的情况下)。比较了该方法的性能(MB)与选择;第一,性能分析对就业人数从10到100和10个类别。处理时间遵循正态分布。我们假设处理时间的均值和标准偏差的处理时间间隔内的随机值和,分别。从处理时间是均匀分布的均值,处理时间的期望值。表4和图5总结我们的实现的细节。第二和第三列的表4考的意思是1000年生产的每个类别的问题。而第四列的最大价值因素1000个问题中每个类别。可以观察到,该方法提高了1.2209倍(MB)执行比另一个当就业人数接近65人。注意,当超过65年,乔布斯的密度将增加不合逻辑地和我们而。当乔布斯的密度增加不合逻辑地,等待时间的工作增加和机器2的空闲时间减少。因此,几乎提高了算法的性能。

该方法的性能也被评估为不同值的平均处理时间。十类生产和就业的数量和标准偏差的价值已经被固定在恒定值(,)。结果如表所示5和图6。当平均处理时间间隔的方法算法的性能,因为在最坏的条件和几乎等于1000。在接下来的时间间隔,乔布斯的密度增加不合逻辑地和机器2的空闲时间减少。因此,MB几乎提高了算法的性能。

此外,该方法的性能评估对过程时间分布为均匀分布变异系数是0.05,0.1,和0.2。就业人数变化从10到100年,和十个类别也被搬上了舞台。这种模式的修复处理时间分布可以产生更好的了解算法的计算性能的评价。使用生成的处理时间间隔内的均匀分布。假设发行日期区间内随机值。考虑到这一事实的处理时间是均匀分布的,处理时间的期望值。实现的细节已经被总结在表6和图7。当价值60多,一个不合逻辑的增长将发生在我们工作和密度而。因此,增加工作和等待时间的观察到第二台机器的空闲时间减少。因此,该算法的性能得到改善。

8。结束语

摘要先发制人的随机在线调度问题追究两flowshop。目标函数是最小化最大完工时间的期望值。灵感来自约翰逊的启发式方法随机flowshop问题重点是最小空闲的时候第二个机,提出了一种启发式方法。的实现方法是通过一个算例演示了。的性能评价方法做了比较优化的一个下界。主要结果表明该方法的逼近系数小于2范围广泛的问题。该方法利用正态分布的性质,并使用此方法可以作为其他发行版的启发式方法,只要他们的均值和方差是可用的。调度和抢占调度领域的惩罚是一种新的研究领域尤其是在线随机问题,我们坚信,这项研究可能会随机设置时间延长问题,其他分布函数处理时间,超过2 flowshop问题机器。