文摘
本文应用连续时间随机漫步的行人流量模拟的方法。在模型中,行人可以向前或向后走,左转或右如果没有块。行人流量的速度向前移动或扩散系数。前的等待时间每一跳都要遵循一个指数分布。解决模型中,二阶二维偏微分方程,一个高阶压缩方案的交替方向隐式方法,采用。在数值实验中,行走领域第一个是二维的两个入口和一个出口,和第二个是二维有一个入口和一个出口。流的场景都是一个方法。数值结果表明,该模型可以用于行人流量模拟。
1。介绍
近年来,建模行人流量已经吸引了相当大的关注,部分原因是有效的人群疏散模型作为基础管理和行人设施操作。然而,这项研究仍处于初级阶段由于人类行为的复杂性。
大多数现有的行人流量模型的微观性质,详细描述行人之间的交互、行人和障碍物。这些模型包括等,元胞自动机模型(1- - - - - -7],晶格气体模型[8- - - - - -12),社会力模型(13],离心力模型[14),和地板领域模型(15,16]。在元胞自动机模型中,步行空间是二维的,分为细胞。每个单元可以是空的,是被一个行人,或者包含一个障碍。元胞自动机模型是广泛用于捕获行人行走行为,如双向运动(1,3,4),行人逆流与不同行走速度(2)或者向右移动的偏好(5),冻结过渡现象(6),和移动行人的反应一个障碍(7]。像元胞自动机模型,晶格气体模型由一组随机规则平方晶格。应用晶格气体模型,先前的研究已经系统地研究这一现象的干扰从运动状态转换在更高的密度低密度到停止状态(8- - - - - -11]。江和吴晶格气体模型检查大对象之间的交互和行人在狭窄的通道(12]。社会力模型,提出了海尔宾和Molnar (13),包括三个力项措施的运动动机一个行人。模型能够再现行走的集体现象的自组织行为。通过考虑进展和行人之间的相对速度,离心力模型能够描述巷形成的行为(14]。地板领域模型是另一种类型的细胞自动机模型延长实际考虑行人的行为在退出(15,16]。
宏观模型往往偏微分方程的形式。而不是描述单个行人的行为,这种类型的模型将整个人群和守恒定律适用于捕获速度之间的关系,流和人流密度(17- - - - - -21]。直接从流守恒,休斯(17)派生的偏微分方程与单个或多个行人流量类型。同样,科伦坡和Rosini18]介绍了另一个偏微分方程模型与一个新的参数叫做行人流动特征密度,用于揭示最大密度的恐慌。亨德森(19)人群的运动视为一个类似的系统的气体分子和应用麦克斯韦理论来描述人们运动的速度分布。没有利用守恒假设在亨德森的研究中,海尔宾(20.)开发的集体运动行人的流体动力学模型基于Boltzmann-like方法。
出于工作的Barkai et al。22),本文运用的方法连续时间随机漫步(CTRW)获得一个偏微分方程模型来描述行人的运动。从统计物理CTRW是一个有用的模型,每一个粒子随机跳转之前等待一个随机时间。数学上,CTRW是随机漫步服从一个更新的过程。与传统的宏观模型不同,该模型不仅能够捕捉行人流动的宏观特征,但也描述行人之间的交互,行人和障碍物之间的参数模型。
本文组织如下。部分2介绍了连续时间随机漫步模型,制定一个偏微分方程。部分3提出了一种高阶紧凑(HOC)解决方案的交替方向隐式(ADI)方法,其次是一个数值例子4。最后,部分5总结了纸。
2。模型
考虑对有界随机沃克二维晶格与域。假设之间没有相关的步骤。让代表沃克呆在一个特定的时间点之前“跳。“以下我们只是电话随着等待时间点,假设等待时间点是独立随机变量有相同的概率密度函数。我们进一步的定义的概率在时间间隔跳跃发生。因此,没有跳跃的概率发生的时间间隔是 应用拉普拉斯变换(两边2。1)导致
请注意,代表第一跳时发生的概率直到后并没有进一步跳跃。我们因此有 在哪里和被简化为和。同样的,我们获得 拉普拉斯的形式(2。4)是由
让在现场观察沃克的概率在时间,让沃克表示的概率是位置后跳跃。然后,我们有 的拉普拉斯变换(2。6)的收益率
域的与晶格边缘的长度(如图1),总概率意味着的法则 在哪里来代表的概率沃克继续前进,左转,走回来,和右转。假定为已知和概率。
应用泰勒的扩张与RHS (2。8)在点导致 在哪里表示省略了以下的高阶项。我们因此获得以下:
定义,,在那里力的方向沿着吗设在和力沿着吗设在。因此,(2.10)可以改写为 在哪里,,,。应用拉普拉斯变换(2.11),我们有 在哪里。
的具体形式(2.13)取决于选择的等待时间分布。数分布合理的基于行人行走的本质行为。在这里,我们假设遵循指数分布, 在哪里平均的等待时间。等待时间的概率密度函数的拉普拉斯空间可以写成
重新安排上面和两边同时除以导致 在哪里作为。然后的拉普拉斯逆变换(2.17)成为以下:
我们因此获得了连续时间随机漫步模型对行人交通
3所示。数值算法
方程(2.19)被公认为福克尔普朗克方程。如果没有一个系数的函数或,那么它是一个线性二阶偏微分方程。这里我们采用高阶压缩方案与数值解这个方程的交替方向隐式方法(23,24]。进一步的指示作为,作为,作为,作为我们重写模型如下:
假设域均匀分成间隔的细胞的长度沿着设在和长度沿着设在,,,,代表第一和二阶导数的近似关于或在节点。基于标准的中央有限差分法,(3.1)可以离散如下: 在上面,截断误差,也就是说,,是 在哪里,,,第一和二阶中心差分运算符。
区分(3.1)对或一次,两次,分别产量,高阶导数的近似如下:
用(3.4)和(3.3)(3.2)导致 在哪里,,,,,,。
后Karaa和张24),我们定义四个有限差分算子, lh(之间的区别3.5),表示为 虽然RHS之间的差异(3.5),是 因此,(3.5)可以写成 由于上述两个表达式添加到(3.5)将不影响精度。应用Crank-Nicolson离散化,我们有 显然这种离散化二阶和四阶空间。
我们将与条件在上面的方程lh和添加到它。同样,我们将与条件的皇家和添加。因此,(3.10)成为以下方程后删除错误条件(24]:
采用交替方向隐式方法,我们有 在哪里是一个中间变量。
4所示。数值例子
我们应用该模型和算法来解决矩形平台行走,。行人只能从左边界走到正确的。有两个门的宽度一样行人可以进入平台,如图2。最初,没有行人的平台。边界条件是 和输入 在哪里。
我们进一步假设来是0.70,0.15,0.0和0.15,分别和。
图3快照的数值解的行人流量有时吗分别显示行人的运动模式。输入流的密度增加稳步增加,达到最大值的时间。密度集中在两组变得少而密度这两个组之间越来越大的行人是向前走的。为每个组的行人、密度中心总是比那些环境。原因是阻止周围的人比那些更容易分散在中间。随着时间接近,密度接近零,只有一些late-entering或得慢的人留在平台。从快照,我们可以观察到的现象,分散和行人流量的平流。
进一步说明模型中,额外的实验与整个左边界,也就是说,,如入口。此外,流入应该是稳定的,在那里和。图4块的密度在,分别。可以观察到有一个急剧的减少在每个曲线,表明只有很少的行人快速行走。结果是一致的现象我们可以观察现实,不管多么拥挤的一个平台,密度接近出口总是小于果酱的密度。
揭示方向选择行为的影响在流模式,人物5情节的平均密度平台在不同场景下的时间分别和概率的左和右转倒着走路的,是不允许的。结果表明,流动变得稳定的时间显著依赖。更大的流越快达到一个稳定状态。数值结果与实际行人运动行为。此外,一个更小的值导致低密度的稳定状态。
图6说明了不同输入下的平均密度在时间流强度,分别。它显示了稳定的密度仅略低于输入流强度。此外,还观察到,无论什么强度流入,其稳态流到达的时间仍然几乎相同。
5。结论
本文是一个应用程序的连续时间随机漫步的行人流量的模拟方法。模型能够描述宏观现象,比如向前移动,分散人流。此外,通过改变模型的系数,一些微观现象,比如路线/方向选择行为可以被复制。解决模式,交替方向隐式方法的高阶压缩方案。数值结果验证了模型和数值方法。
模型制定论文中只占了等待时间的分布。在未来的研究中,跳跃的概率分布长度会考虑进一步提高模型的有效性。几乎使模型更适用,我们还计划将双向流动和更实际的边界条件,如平台和列车之间的输入和输出平台。
承认
这项工作是由北京市自然科学基金(批准号8092026)。