一些新的身份的伯努利方程和欧拉数

文摘

我们给一些新的身份的伯努利方程和欧拉数使用玻色子p进积分上和反射对称的伯努利方程和欧拉多项式的性质。

1。介绍

让是一个固定的质数。在这篇论文,表示的戒指吗进理性的整数,领域进有理数,完成代数关闭。让是统一的空间可微函数。为,玻色子进积分上被定义为 从(1。1),我们注意到 参见[1]。众所周知,普通的伯努利多项式由母函数定义如下: 参见[1- - - - - -19),我们使用的技术符号代替通过象征性的。在特殊情况下,,被称为“届普通伯努利数。也就是普通的伯努利数的生成函数给出 参见[1- - - - - -19]。从(1。4),我们可以推出以下关系: 参见[1,10),克罗内克符号。

由(1。3)和(1。4),我们很容易 由(1。2)和(1。3),我们很容易 参见[1,10]。从(1。7),我们可以推出威特的公式多项式th伯努利方程如下: 参见[11]。由(1。1)和(1。8),我们很容易看到 因此,通过(1。8)和(1。9),我们得到多项式反射对称关系的伯努利方程如下: 定义的普通欧拉多项式生成函数如下: 关于取代通常的惯例通过(见[8,9])。在特殊情况下,,被称为“th欧拉数(见[8,9])。

从(1.11),我们注意到 通过比较双方的系数(1.11)和(1.12),我们获得以下为欧拉多项式反射对称关系如下: 方程(1.10)和(1.13在推导我们的主要结果是有用的。

为伯恩斯坦多项式的定义 参见[13]。由(1.14),我们很容易。

在本文中,我们考虑的进伯努利方程和欧拉多项式的积分。从这些进积分,我们得出一些新的身份伯努利方程和欧拉数。

2。身份的伯努利方程和欧拉数

首先,我们考虑进积分上为届普通多项式伯努利方程如下: 另一方面,通过(1。3)和(1.10),一个人 从(1。5),(1。6),(1。8)和(2。2),一个指出 将(2。1)和(2。3),一个人 让与。然后,通过(2。4),有 因此,通过(2。4)和(2。5),我们获得以下定理。

定理2.1。为,一个 特别是,

同样的动机,也让我们考虑的进积分上对欧拉多项式如下: 另一方面,通过(1.12)和(1.13),一个人 从(1.12)和欧拉数的定义 参见[8,9)取代通常的惯例通过。由(2。9),(2.10)和(2.11),一个人 将(2。8)和(2.12),有 因此,通过(2.13),我们获得以下定理。

定理2.2。为,一个 特别是,

让我们考虑以下进积分上伯努利方程和欧拉多项式的产品如下: 另一方面,通过(1.10)和(1.13),一个人 将(2.16)和(2.17),一个人 为,(2.18),一个人 因此,通过(2.19),获得以下定理。

定理2.3。为,一个 特别是,对,一个

同样的动机,我们认为的进积分上伯努利和伯恩斯坦多项式的产品如下: 从(1。6)和(1.14),一个人 另一方面, 将(2.23)和(2.24),一个人 由(2.25),我们获得以下定理。

定理2.4。为,一个

现在,我们考虑进积分上欧拉和伯恩斯坦多项式的产品如下: 另一方面,通过(1.13)和(1.14),一个人 将(2.27)和(2.28),一个人 因此,通过(2.11)和(2.29),我们获得以下定理。

定理2.5。为,一个

最后,我们考虑进积分上产品的欧拉伯努利,伯恩斯坦多项式如下:

另一方面,通过(1.10),(1.13)和(1.14),一个人 将(2.31)和(2.32),我们很容易看到 因此,通过(1。5)和(2.11),我们获得以下定理。

定理2.6。为,一个

确认

作者表达自己真诚的感谢裁判对他们有价值的建议和意见。本文支持部分Kwangwoon大学2011年的研究资助。