ddn 离散动力学性质和社会 1607 - 887 x 1026 - 0226 Hindawi出版公司 856132年 10.1155 / 2011/856132 856132年 研究文章 一些新的身份的伯努利方程和欧拉数 金 Dae圣 1 金 Taekyun 2 李 Sang-Hun 3 Dolgy d . V。 4 Rim Seog-Hoon 5 张成泽 Lee-Chae 1 数学系 西江大学 韩国121 - 742 韩国 sogang.ac.kr 2 数学系 Kwangwoon大学 韩国139 - 701 韩国 kw.ac.kr 3 通识教育分工 Kwangwoon大学 韩国139 - 701 韩国 kw.ac.kr 4 Hanrimwon Kwangwoon大学 韩国139 - 701 韩国 kw.ac.kr 5 数学教育学系 庆北国立大学 大邱市702 - 701 韩国 knu.ac.kr 2011年 7 12 2011年 2011年 06 10 2011年 31日 10 2011年 31日 10 2011年 2011年 版权©2011圣Kim Dae et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们给一些新的身份的伯努利方程和欧拉数使用玻色子 p进积分上 ℤ p 和反射对称的伯努利方程和欧拉多项式的性质。

 1。介绍

让 p 是一个固定的质数。在这篇论文 ℤ p , ℚ p , ℂ p 表示的戒指吗 p 进理性的整数,领域 p 进有理数,完成代数关闭 ℚ p 。让 UD ( ℤ p ) 是统一的空间可微函数 ℤ p 。为 f ∈ UD ( ℤ p ) ,玻色子 p 进积分上 ℤ p 被定义为 我 ( f ) = ∫ Z p f ( x ) d μ ( x ) = lim ⁡ N → ∞ ⁡ ∑ x = 0 p N - - - - - - 1 f ( x ) μ ( x + p N Z p ) = lim ⁡ N → ∞ 1 p N ∑ x = 0 p N - - - - - - 1 f ( x ) 。 从( 1.1),我们注意到 我 ( f 1 ) = 我 ( f ) + f ′ ( 0 ) , 在哪里 f 1 ( x ) = f ( x + 1 ) , 参见[ 1]。众所周知,普通的伯努利多项式由母函数定义如下: F ( t , x ) = t e t - - - - - - 1 e x t = e B ( x ) t = ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! , 参见[ 1- - - - - - 19),我们使用的技术符号代替 B n ( x ) 通过 B n ( x ) ( n ≥ 0 ) 象征性的。在特殊情况下, x = 0 , B n ( 0 ) = B n 被称为“ n 届普通伯努利数。也就是普通的伯努利数的生成函数给出 F ( t ) = F ( t , 0 ) = t e t - - - - - - 1 = ∑ n = 0 ∞ B n t n n ! , 参见[ 1- - - - - - 19]。从( 1.4),我们可以推出以下关系: B 0 = 1 , ( B + 1 ) n - - - - - - B n = δ 1 , n , 参见[ 1, 10), δ 1 , n 克罗内克符号。

由( 1.3)和( 1.4),我们很容易 B n ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) B l x n - - - - - - l = ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l x l 。 由( 1.2)和( 1.3),我们很容易 ∫ Z p e ( x + y ) t d μ ( y ) = t e t - - - - - - 1 e x t = ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! , 参见[ 1, 10]。从( 1.7),我们可以推出威特的公式 n 多项式th伯努利方程如下: ∫ Z p ( x + y ) n d μ ( y ) = B n ( x ) , 在哪里 n ∈ Z + , 参见[ 11]。由( 1.1)和( 1.8),我们很容易看到 ∫ Z p ( y + 1 - - - - - - x ) n d μ ( y ) = ( - - - - - - 1 ) n ∫ Z p ( y + x ) n d μ ( y ) 。 因此,通过( 1.8)和( 1.9),我们得到多项式反射对称关系的伯努利方程如下: B n ( 1 - - - - - - x ) = ( - - - - - - 1 ) n B n ( x ) 在哪里 n ∈ Z + 。 定义的普通欧拉多项式生成函数如下: F e ( t , x ) = 2 e t + 1 e x t = ∑ n = 0 ∞ E n ( x ) t n n ! 。 关于取代通常的惯例 E n ( x ) 通过 E n ( x ) (见[ 8, 9])。在特殊情况下, x = 0 , E n ( 0 ) = E n 被称为“ n th欧拉数(见[ 8, 9])。

从( 1.11),我们注意到 2 e t + 1 e x t = 2 1 + e - - - - - - t e - - - - - - ( 1 - - - - - - x ) t = ∑ n = 0 ∞ ( - - - - - - 1 ) n E n ( 1 - - - - - - x ) ( t ) n n ! , 通过比较双方的系数( 1.11)和( 1.12),我们获得以下为欧拉多项式反射对称关系如下: E n ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n E n ( 1 - - - - - - x ) , 在哪里 n ∈ Z + 。 方程( 1.10)和( 1.13在推导我们的主要结果是有用的。

为 n , k ∈ ℤ + 伯恩斯坦多项式的定义 B k , n ( x ) = ( n k ) x k ( 1 - - - - - - x ) n - - - - - - k , 参见[ 13]。由( 1.14),我们很容易 B k , n ( x ) = B n - - - - - - k , n ( 1 - - - - - - x ) 。

在本文中,我们考虑的 p 进伯努利方程和欧拉多项式的积分。从这些 p 进积分,我们得出一些新的身份伯努利方程和欧拉数。

 2。身份的伯努利方程和欧拉数

首先,我们考虑 p 进积分上 ℤ p 为 n 届普通多项式伯努利方程如下: 我 1 = ∫ Z p B n ( x ) d μ ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l ∫ Z p x l d μ ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l B l , 在哪里 n ∈ Z + 。 另一方面,通过( 1.3)和( 1.10),一个人 我 1 = ( - - - - - - 1 ) n ∫ Z p B n ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) 。 从( 1.5),( 1.6),( 1.8)和( 2。2),一个指出 我 1 = ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ) l d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l ( l + B l + δ 1 , l ) = ( - - - - - - 1 ) n n B n - - - - - - l ( 1 ) + ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l B l + ( - - - - - - 1 ) n n B n - - - - - - l 。 将( 2。1)和( 2。3),一个人 ( 1 + ( - - - - - - 1 ) n + 1 ) ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l B l = ( - - - - - - 1 ) n n ( δ 1 , n - - - - - - l + B n - - - - - - 1 ) + ( - - - - - - 1 ) n n B n - - - - - - 1 = 2 ( - - - - - - 1 ) n n B n - - - - - - l + ( - - - - - - 1 ) n n δ 1 , n - - - - - - 1 。 让 n ∈ ℕ 与 n ≡ 1 ( 国防部 2 ) 。然后,通过( 2。4),有 ∑ l = 0 2 n - - - - - - 1 ( 2 n - - - - - - 1 l ) B 2 n - - - - - - 1 - - - - - - l B l = - - - - - - ( 2 n - - - - - - 1 ) B 2 n - - - - - - 2 。 因此,通过( 2。4)和( 2。5),我们获得以下定理。

定理2.1。

为 n ∈ ℕ ,一个 ( 1 + ( - - - - - - 1 ) n + 1 ) ∑ l = 0 n ( n l ) B n - - - - - - l B l = 2 ( - - - - - - 1 ) n n B n - - - - - - 1 + ( - - - - - - 1 ) n n δ 1 , n - - - - - - 1 。 特别是, ∑ l = 0 2 n - - - - - - 1 ( 2 n - - - - - - 1 l ) B 2 n - - - - - - 1 - - - - - - l B l = - - - - - - ( 2 n - - - - - - 1 ) B 2 n - - - - - - 2 。

同样的动机,也让我们考虑的 p 进积分上 ℤ p 对欧拉多项式如下: 我 2 = ∫ Z p E n ( x ) d μ ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l ∫ Z p x l d μ ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l B l , 在哪里 n ∈ Z + 。 另一方面,通过( 1.12)和( 1.13),一个人 我 2 = ( - - - - - - 1 ) n ∫ Z p E n ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ) l d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l ( l + B l + δ 1 , l ) = n ( - - - - - - 1 ) n E n - - - - - - l ( 1 ) + ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l B l + ( - - - - - - 1 ) n n E n - - - - - - l 。 从( 1.12)和欧拉数的定义 E n ( x ) = ∑ l = 0 n ( n l ) E l x n - - - - - - l = ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l x l = ( E + x ) n , E 0 = 1 , ( E + 1 ) n + E n = 2 δ 0 , n , 参见[ 8, 9)取代通常的惯例 E n 通过 E n 。由( 2。9),( 2.10)和( 2.11),一个人 我 2 = n ( - - - - - - 1 ) n ( 2 δ 0 , n - - - - - - 1 - - - - - - E n - - - - - - 1 ) + ( - - - - - - 1 ) n n E n - - - - - - 1 + ( - - - - - - 1 ) n ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l B l 。 将( 2。8)和( 2.12),有 ( 1 + ( - - - - - - 1 ) n - - - - - - 1 ) ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l B l = 2 n ( - - - - - - 1 ) n δ 0 , n - - - - - - 1 。 因此,通过( 2.13),我们获得以下定理。

定理2.2。

为 n ∈ ℕ ∪ { 0 } ,一个 ( 1 + ( - - - - - - 1 ) n - - - - - - 1 ) ∑ l = 0 n ( n l ) E n - - - - - - l B l = 2 ( - - - - - - 1 ) n n δ 0 , n - - - - - - 1 。 特别是, ∑ l = 0 2 n + 1 ( 2 n + 1 l ) E 2 n + 1 - - - - - - l B l = 0 , 为 n ∈ N 。

让我们考虑以下 p 进积分上 ℤ p 伯努利方程和欧拉多项式的产品如下: 我 3 = ∫ Z p B 米 ( x ) E n ( x ) d μ ( x ) = ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l ∫ Z p x k + l ( x ) d μ ( x ) = ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l B k + l 。 另一方面,通过( 1.10)和( 1.13),一个人 我 3 = ( - - - - - - 1 ) 米 + n ∫ Z p B 米 ( 1 - - - - - - x ) E n ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) 米 + n ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ) k + l d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) 米 + n ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l ( k + l + B k + l + δ 1 , k + l ) = ( - - - - - - 1 ) 米 + n 米 B 米 - - - - - - 1 ( 1 ) E n ( 1 ) + ( - - - - - - 1 ) 米 + n n B 米 ( 1 ) E n - - - - - - 1 ( 1 ) + ( - - - - - - 1 ) 米 + n ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l B k + l + ( - - - - - - 1 ) 米 + n ( 米 B 米 - - - - - - 1 E n + n B 米 E n - - - - - - 1 ) 。 将( 2.16)和( 2.17),一个人 ( ( - - - - - - 1 ) 米 + n + 1 + 1 ) ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 n ( 米 k ) ( n l ) B 米 - - - - - - k E n - - - - - - l B k + l = ( - - - - - - 1 ) 米 + n 米 ( B 米 - - - - - - 1 + δ 1 , 米 - - - - - - 1 ) ( 2 δ 0 , n - - - - - - E n ) + ( - - - - - - 1 ) 米 + n n ( B 米 + δ 1 , 米 ) ( 2 δ 0 , n - - - - - - 1 - - - - - - E n - - - - - - 1 ) + ( - - - - - - 1 ) 米 + n ( n B 米 E n - - - - - - 1 + 米 B 米 - - - - - - 1 E n ) 。 为 n ∈ ℕ ,( 2.18),一个人 ( ( - - - - - - 1 ) 米 + 1 + 1 ) ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 2 n ( 米 k ) ( 2 n l ) B 米 - - - - - - k E 2 n - - - - - - l B k + l = ( - - - - - - 1 ) 米 + 1 2 n ( B 米 + δ 1 , 米 ) E 2 n - - - - - - 1 + ( - - - - - - 1 ) 米 ( 2 n B 米 E 2 n - - - - - - 1 ) = ( - - - - - - 1 ) 米 + 1 2 n δ 1 , 米 E 2 n - - - - - - 1 。 因此,通过( 2.19),获得以下定理。

定理2.3。

为 n ∈ ℕ ,一个 ( ( - - - - - - 1 ) 米 + 1 + 1 ) ∑ k = 0 米 ∑ l = 0 2 n ( 米 k ) ( 2 n l ) B 米 - - - - - - k E 2 n - - - - - - l B k + l = ( - - - - - - 1 ) 米 + 1 2 n δ 1 , 米 E 2 n - - - - - - 1 。 特别是,对 米 ∈ ℕ ,一个 ∑ k = 0 2 米 + 1 ∑ l = 0 2 n ( 2 米 + 1 k ) ( 2 n l ) B 2 米 + 1 - - - - - - k E 2 n - - - - - - l B k + l = 0 。

同样的动机,我们认为的 p 进积分上 ℤ p 伯努利和伯恩斯坦多项式的产品如下: 我 4 = ∫ Z p B 米 ( x ) B k , n ( x ) d μ ( x ) 在哪里 米 , n , k ∈ N ∪ { 0 } 。 从( 1.6)和( 1.14),一个人 我 4 = ∑ l = 0 米 ( 米 l ) B 米 - - - - - - l ∫ Z p x l B k , n ( x ) d μ ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 米 ( 米 l ) B 米 - - - - - - l ∫ Z p x k + l ( 1 - - - - - - x ) n - - - - - - k d μ ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( n - - - - - - k j ) B 米 - - - - - - l B k + l + j 。 另一方面, 我 4 = ( - - - - - - 1 ) 米 ∫ Z p B 米 ( 1 - - - - - - x ) B n - - - - - - k , n ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) B 米 - - - - - - l ( n - - - - - - k + j + l + B n - - - - - - k + l + j + δ 1 , n - - - - - - k + l + j ) = ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ( n - - - - - - k ) B 米 ( 1 ) δ 0 , k + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) 米 B 米 - - - - - - 1 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) 米 B 米 ( 1 ) k δ 0 , k - - - - - - 1 + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) B 米 - - - - - - l B n - - - - - - k + l + j + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ( 米 B 米 - - - - - - 1 - - - - - - k B 米 ) δ n , k + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) B 米 δ n , k + 1 。 将( 2.23)和( 2.24),一个人 ( - - - - - - 1 ) 米 ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( n - - - - - - k j ) B 米 - - - - - - l B k + l + j = ( ( n - - - - - - k ) B 米 ( 1 ) + 米 B 米 - - - - - - 1 ( 1 ) ) δ 0 , k - - - - - - k B 米 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - 1 + ( 米 B 米 - - - - - - 1 - - - - - - k B 米 ) δ n , k + B 米 δ n , k + 1 + ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) B 米 - - - - - - l B n - - - - - - k + l + j 。 由( 2.25),我们获得以下定理。

定理2.4。

为 n , 米 ∈ ℕ ,一个 ∑ l = 0 2 米 ∑ j = 0 2 n ( - - - - - - 1 ) j ( 2 米 l ) ( 2 n j ) B 2 米 - - - - - - l B l + j = 2 n B 2 米 + ∑ l = 0 2 米 ( 2 米 l ) B 2 米 - - - - - - l B 2 n + l 。

现在,我们考虑 p 进积分上 ℤ p 欧拉和伯恩斯坦多项式的产品如下: 我 5 = ∫ Z p E 米 ( x ) B k , n ( x ) d μ ( x ) = ∑ l = 0 米 ( 米 l ) E 米 - - - - - - l ∫ Z p x l B k , n ( x ) d μ ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( n - - - - - - k j ) E 米 - - - - - - l B k + l + j 。 另一方面,通过( 1.13)和( 1.14),一个人 我 5 = ( - - - - - - 1 ) 米 ∫ Z p B n - - - - - - k , n ( 1 - - - - - - x ) E 米 ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) E 米 - - - - - - l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ) n - - - - - - k + l + j d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) ( n - - - - - - k + l + j + B n - - - - - - k + l + j + δ 1 , n - - - - - - k + l + j ) E 米 - - - - - - l = ( - - - - - - 1 ) 米 ( n - - - - - - k ) ( n k ) E 米 ( 1 ) δ 0 , k + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) 米 E 米 - - - - - - 1 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) E 米 ( 1 ) k δ 0 , k - - - - - - 1 + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) E 米 - - - - - - l B n - - - - - - k + l + j + ( - - - - - - 1 ) 米 ( n k ) ( δ n , k + 1 E 米 + δ n , k ( 米 E 米 - - - - - - 1 - - - - - - k E 米 ) ) 。 将( 2.27)和( 2.28),一个人 ( - - - - - - 1 ) 米 ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( n - - - - - - k j ) E 米 - - - - - - l B k + l + j = ( n - - - - - - k ) E 米 ( 1 ) δ 0 , k + 米 δ 0 , k E 米 - - - - - - 1 ( 1 ) - - - - - - k E 米 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - 1 + ∑ l = 0 米 ∑ j = 0 k ( - - - - - - 1 ) j ( 米 l ) ( k j ) E 米 - - - - - - l B n - - - - - - k + l + j + δ n , k + 1 E 米 + ( 米 E 米 - - - - - - 1 - - - - - - k E 米 ) δ n , k 。 因此,通过( 2.11)和( 2.29),我们获得以下定理。

定理2.5。

为 n , 米 ∈ ℕ ,一个 ∑ l = 0 2 米 ∑ j = 0 2 n ( - - - - - - 1 ) j ( 2 米 l ) ( 2 n j ) E 2 米 - - - - - - l B l + j = - - - - - - 2 米 E 2 米 - - - - - - 1 + B 2 米 + 2 n 。

最后,我们考虑 p 进积分上 ℤ p 产品的欧拉伯努利,伯恩斯坦多项式如下: 我 6 = ∫ Z p B r ( x ) E 年代 ( x ) B k , n ( x ) d μ ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ( r l ) ( 年代 j ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j ∫ Z p x k + l + j ( 1 - - - - - - x ) n - - - - - - k d μ ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ∑ 我 = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) 我 ( r l ) ( 年代 j ) ( n - - - - - - k 我 ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j B k + l + 我 + j 。

另一方面,通过( 1.10),( 1.13)和( 1.14),一个人 我 6 = ( - - - - - - 1 ) r + 年代 ∫ Z p B r ( 1 - - - - - - x ) E 年代 ( 1 - - - - - - x ) B n - - - - - - k , n ( 1 - - - - - - x ) d μ ( x ) = ( - - - - - - 1 ) r + 年代 ( n k ) ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ∑ 我 = 0 k ( - - - - - - 1 ) 我 ( r l ) ( 年代 j ) ( k 我 ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ) n - - - - - - k + l + 我 + j d μ ( x ) 。 将( 2.31)和( 2.32),我们很容易看到 ( - - - - - - 1 ) r + 年代 ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ∑ 我 = 0 n - - - - - - k ( - - - - - - 1 ) 我 ( r l ) ( 年代 j ) ( n - - - - - - k 我 ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j B k + l + 我 + j = ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ∑ 我 = 0 k ( - - - - - - 1 ) 我 ( r l ) ( 年代 j ) ( k 我 ) ( n - - - - - - k + l + 我 + j + B n - - - - - - k + l + 我 + j + δ 1 , n - - - - - - k + l + 我 + j ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j = ( n - - - - - - k ) B r ( 1 ) E 年代 ( 1 ) δ 0 , k + r B r - - - - - - 1 ( 1 ) δ 0 , k E 年代 ( 1 ) + 年代 B r ( 1 ) E 年代 - - - - - - 1 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - k B r ( 1 ) E 年代 ( 1 ) δ 0 , k - - - - - - 1 + ∑ l = 0 r ∑ j = 0 年代 ∑ 我 = 0 k ( - - - - - - 1 ) 我 ( r l ) ( 年代 j ) ( k 我 ) B r - - - - - - l E 年代 - - - - - - j B n - - - - - - k + l + 我 + j + δ n , k + 1 B r E 年代 + ( r B r - - - - - - 1 E 年代 + 年代 B r E 年代 - - - - - - 1 - - - - - - k B r E 年代 ) δ n , k 。 因此,通过( 1.5)和( 2.11),我们获得以下定理。

定理2.6。

为 r , n , 年代 ∈ ℕ ,一个 ∑ l = 0 2 r ∑ j = 0 2 年代 ∑ 我 = 0 2 n ( - - - - - - 1 ) 我 ( 2 r l ) ( 2 年代 j ) ( 2 n 我 ) B 2 r - - - - - - l E 2 年代 - - - - - - j B l + 我 + j = - - - - - - 2 年代 B 2 r E 2 年代 - - - - - - 1 + ∑ l = 0 r ( 2 r 2 l ) B 2 r - - - - - - 2 l B 2 n + 2 l + 2 年代 - - - - - - r ∑ j = 1 年代 ( 2 年代 2 j - - - - - - 1 ) E 2 年代 - - - - - - 2 j + 1 B 2 n + 2 r + 2 j - - - - - - 2 。

确认

作者表达自己真诚的感谢裁判对他们有价值的建议和意见。本文支持部分Kwangwoon大学2011年的研究资助。

 金 T。 对称 p进积分不变量在 ℤ p 伯努利方程和欧拉多项式 《差分方程和应用程序 2008年 14 12 1267年 1277年 10.1080 / 10236190801943220 2462529 Bayad 一个。 金 T。 身份包括伯恩斯坦的值, 问伯努利, 问欧拉多项式 俄罗斯数学物理杂志》上 2011年 18 2 133年 143年 10.1134 / S1061920811020014 2810987 Bayad 一个。 模块化的椭圆形的伯努利方程和欧拉函数的性质 先进的研究在当代数学 2010年 20. 3 389年 401年 2676907 张成泽 l 关于Kummer领军的高阶伯努利数一致 美国Jangjeon数学学会学报》上 2002年 5 2 141年 146年 1945778 ZBL1059.11502 张成泽 l . C。 Pak h·K。 非阿基米德集成与 问伯努利数 美国Jangjeon数学学会学报》上 2002年 5 2 125年 129年 1945776 金 G。 金 B。 崔 J。 DC算法计算的连续整数和伯努利数 先进的研究在当代数学 2008年 17 2 137年 145年 2452155 ZBL1172.11312 金 T。 一些身份 问欧拉高阶多项式 问斯特灵费密子的数字 p进积分上 ℤ p 俄罗斯数学物理杂志》上 2009年 16 4 484年 491年 2587805 10.1134 / S1061920809040037 金 T。 欧拉数和多项式与ζ函数 抽象和应用分析 2008年 2008年 11 10.1155 / 2008/581582 581582年 2407279 ZBL1145.11019 金 T。 在欧拉数字和多项式 先进的研究在当代数学 2008年 17 2 131年 136年 2452153 ZBL1171.11011 金 T。 的显式公式 p进 问- - - - - - l功能 九州数学杂志 1994年 48 1 73年 86年 10.2206 / kyushujm.48.73 1269069 金 T。 对称的权力和多项式和多元费密子 p进积分不变量在 ℤ p 俄罗斯数学物理杂志》上 2009年 16 1 93年 96年 10.1134 / S1061920809010063 2486809 金 T。 问-Volkenborn集成 俄罗斯数学物理杂志》上 2002年 9 3 288年 299年 1965383 ZBL1092.11045 金 T。 一个注意 问伯恩斯坦多项式 俄罗斯数学物理杂志》上 2011年 18 2 14 50 荣誉 一个。 一个一致的广义伯努利数第一类人物 先进的研究在当代数学 2000年 2 1 8 1784622 ZBL0982.11067 奥兹登 H。 Cangul i . N。 西姆西可 Y。 评价 问伯努利与Daehee号码 先进的研究在当代数学 2009年 18 1 41 48 2479746 Rim 工程学系。 李 美国J。 月亮 e . J。 金 j . H。 在 问-Genocchi数字和多项式 问ζ函数 美国Jangjeon数学学会学报》上 2009年 12 3 261年 267年 2582790 Ryoo c·S。 广义上的巴恩斯多个类型 问欧拉多项式扭曲团结的分歧的根源 美国Jangjeon数学学会学报》上 2010年 13 2 255年 263年 2676690 Buyukyazici 我。 在广义 问伯恩斯坦多项式 全球纯粹和应用数学杂志》上 2010年 6 3 1331年 1348年 西姆西可 Y。 产生扭曲的伯努利数的函数和多项式插值函数 先进的研究在当代数学 2008年 16 2 251年 278年 2404639 ZBL1173.11064