互惠影响标准：信息质量比的升级

抽象的

理解和量化系统之间的相互影响仍然是至关重要的，但在任何科学企业中挑战任务。Pearson相关系数，相互信息和信息质量比是最广泛使用的指标，只有最后两个对非线性交互有效。鉴于他们的局限性，提出了一种新的标准，互惠影响标准，在概念上非常简单，并且不会对所涉及的随机变量的统计进行任何假设。除了作为信息质量比标准化之外，它还为噪声提供了更好的抗性以及与涉及概率分布函数的确定相关的问题的稳定性更高。还开发了一个有条件的版本，抵消了混淆变量的影响，与更传统的指标相比，显示出与相同的优势。报告了一系列具有数值例子的系统测试，以比较新指标的性质与更传统的指标，在​​几乎所有方面都证明了其清晰的优势。

1.确定数量之间的统计依赖性

对系统之间的互惠影响的调查是实际上所有学科的主要科学目标。线性和非线性效应都可能是重要的，后者在复杂现象中经常占主导地位[1］．有关系统的信息通常以各种形式的不确定性影响的测量获得。因此，测量可以被认为是随机变量，并且它们的相互影响是本质上的部分确定性和部分概率。

量化随机变量之间的依赖性是双变量和多变量数据的必要统计任务。两种数量之间最受欢迎的依赖度是Pearson Product Money相关系数或“Pearson的相关系数”（PCC）[2］．减轻其限制（见部分2)，在上世纪初，人们开发了各种基于排名变量的替代指标，如Spearmanρ或Spearman等级相关系数[3.的排序相关系数或Kendallτ.[4.］．在第二次世界大战信息之后的理论标准，如互信，变得非常流行[5.］．在新世纪的黎明时，很多工作都致力于整合距离相关性，仅当两个变量没有相关时才为零的指标[6.］．在过去的几年里，遗传学的进步也推动了各种分析高维载体之间依赖性的技术的发展。对于这种多元推断，已经提出了非常复杂的方法，包括投影相关性[7.[球协方差[8.和布朗距离[9.］．所有这些技术都是基于对所考虑的随机变量向量的统计特性的特定假设。他们在概念上和数字上都很复杂。

本文提出的指标仅涉及与生物案例相结合，因为它没有关于数据统计数据所知的，因此需要完全一般的技术。还开发了抵消混淆变量影响的条件版本。从概念背景，结果解释和实施要求的观点来看，指标也很简单。

关于纸张的结构，部分2介绍最完整的指标，通常用于评估两个变量之间的依赖性。部分3.讨论提出的替代指标背后的主要理由:相互影响标准。将RIC与PCC和IQR的性能进行比较的系统测试报告在章节中4.和5.，分别用于函数依赖和非函数依赖。对统计噪声的鲁棒性，不同于高斯噪声和对异常值的鲁棒性，将在本节中讨论6.．本节介绍了RIC的条件版本7.，然后在本节中得出结论8.．

2.量化数量之间相关性的传统和替代标准

为了充分理解本文提出的新指标的潜力，值得开始讨论审查从业者获得的传统和替代工具，以分析双变量依赖。通常用Pearson相关系数（PCC）计算两种数量之间的线性相关性。对于几个随机变量X和y，与COV为协方差和与σ.为标准差，PCC计算为[10]

即使它在实践中非常有用，PCC的一些局限性也经常被忽视。在任何情况下，两个变量之间的非线性相关性的检测是更严重的问题。为了量化非线性依赖性，从历史上看，开发的第一个技术基于排序变量（参见第一部分2.1）.第二次世界大战后，建立了基于数据概率分布函数(pdf)的指标;特别是，信息论标准是流行的(章节2.2）.距离相关是最近的发展，首次引入于2005年，以解决因变量的Pearson相关系数可能为零的问题(章节2.3）.

2．1.Rank-Based标准

在本文中，符号ρ_S.表示对Charles Spearman引入的Pearson相关系数的推广。斯皮尔曼的ρ_S.是两个变量排名之间统计相关性的非参数测度;因此，它量化了两个变量之间的关系如何能用单调函数来建模[11］．斯皮尔曼的ρ_S.计算为涉及数量的等级值之间的Pearson相关性，并评估它们之间的关系是如何（无论是线性的）。如果没有重复的数据值，ρ_S.当两个变量互为完全单调函数时，假定值为+1或−1。

计算Spearman的ρ_年代,原始数据X_一世和y_一世首先被转换为排名：排名_X和等级_y；这两个排序变量的标准差用符号表示和 ．斯皮尔曼的ρ_S.然后定义为

以莫里斯·肯德尔(Maurice Kendall)命名的肯德尔等级相关系数是在30年代末发展起来的，通常用希腊字母表示τ.．它旨在测量排名相关，即数据排序时的排序的相似性。直观地，两个变量之间的Kendall相关性越高，他们的等级越相似;肯德尔τ.在1到1之间的意义上也是归一化的[11］．

在数学上，计算Kendall等级相关系数是计算为的 其中分母是二项式系数 ．

２.２.信息理论的标准

用于调查非线性交互的广泛使用的指标是相互信息，它量化了两个系统共享的信息。Shannon或离散版本被定义为[12那13] 在哪里P._X和P._y是两个随机变量的离散概率X和y和P._xy是它们的联合概率。

这个指标的微分版本可以用概率密度来表示F_X和F_y： 其中δ.X和Δy是垃圾箱的尺寸。差分互信息，mi_差，被定义为

可以很容易地证明这两个关系（4.） 和 （6.）是等同的;因此，相互信息在纸张的其余部分中称为MI。MI具有各种积极性质，但呈现出没有标准化的主要限制。为了避免该缺点，互信息通常由关节熵除以获得所谓的信息质量比（IQR）[14]：

此数量是归一化的，它假设仅在零和一个之间的值之间。重要的是要记住，在等式中（7.)，将使用联合熵的离散或香农版本:

将香农熵与微分熵进行比较，微分熵也可以假设为负值:

等式（7.）是信息质量比的常见版本，通常采用，因为联合熵的差异版本可能是负的，具有明显的相关问题和困难。

不幸的是，主要是由于分母，IQR_S.具有一些局限性，特别是对噪音缺乏鲁棒性以及对垃圾箱的选择的强烈依赖。

2.3。距离相关

距离相关的目的（D._corr)由量化两个随机向量之间的依赖关系组成，这两个随机向量不一定具有相同的维数。D._corr与PCC相比，具有明显的优势，即只有当两个随机向量相互独立时，总体距离相关系数才为零。因此，距离相关意味着量化两个随机变量或随机向量之间的线性和非线性关联[5.］．

计算的计算D._corr需要一些其他的初始量的定义。指示(X_K.那y_K.），K. = 1, 2, …,N，来自一对真实值或矢量值随机变量的样本（X那y)的元素N经过N距离矩阵（一种_j那K.） 和 （B._j那K.)都是成对的距离: 哪里||||表示欧几里德的规范。定义和作为j第一行的均值和K.th列分别是指，分别为第一个矢量相互距离的大平均值X矩阵，然后可以计算所有的双中心距离(用相同的符号y矢量矩阵）：

然后，所需的样本距离协方差仅仅是产品的算术平均值一种_J，KB._J，K：

用距离方差表示， 最后，距离相关是

主要属性D.Cor是它假设值在0和1之间，只有当这两个向量是独立的时它才为0。本研究使用的距离相关软件是由Shen Liu发表的[15］．

3.交互影响标准:理论基础

如本文其余部分所示，前一节中总结的所有标准都有几个缺点。在这项工作中，介绍了一种能够量化变量之间的线性和非线性相关性的新指标。基于信息理论量和命名互易影响标准（RIC）的新指标旨在具有以下属性。

3．1.属性1

该指标的范围从零(无相关)到一(完全相关)。该指标相关性的定义如下。

两个变量一世和j当知识时都是相关的一世有助于预测j和反之亦然．当不确定度为时，相关指标趋向于1一世（j）已知j（一世)趋于零。相关性必须等于零时的不确定性一世（j)不改变时j（一世）是已知的。注意，在此定义中，对称方程无法达到一个;例如，对于该功能 那自y已知，有两个有效值X（被排除在外X = 0 andy = 0).

３．２．属性2

该指标不会随用于概率密度或分布函数计算的仓的函数而变化，即: 其中ΔrΔr表示在没有异常值的情况下计算的指示值之间的差异。

３．３．财产3

可以为离散或连续随机变量漠不关时地计算指示器。

3．4．性质4

对异常值的小敏感性量化为

RIC的制定，确保了前者的属性

RIC指示符基于两个变量相对于其各个信息的总和（不确定性）共享的信息量（不确定性）之间的比率。在某些方面，其定义与IQR指示器非常相似，主要区别于RIC基于熵的指数一种^H．该方法允许获得更可靠的指示器，其满足上述四个期望的性质，如下所示，并呈现了一些额外的正质量，即对称性，渐近稠度和无偏见，其在附录A中讨论。

关于自由参数A，可以根据数据的性质和调查的目标来优化其数值的选择。在其余文件中报告的结果是通过设置获得的一种= 10，在线性相关的情况下，最大化RIC与PCC的一致性;下面的方程也针对这个数值进行了详细的说明。附录B提供了参数A的RIC行为的详细讨论。

上述四种性质中的一些可以通过分析论证。首先，性质1可以证明如下。对于不相关变量， 和 ⟶ 0; thus,

在部分相关量的情况下，RIC总是积极的，并且对于高相互信息，它倾向于一个。更具体地，众所周知，对于高相关水平，关节熵趋于两个变量的最低熵（ ）[16，这意味着 ．假设H_y > H_X,它是

性质3也可以证明。实际上，用微分信息理论量来写RIC，记住熵的和等于互信息和联合熵的和，是有可能证明RIC的_D.与ric相同_S.：

此外，RIC与相互信息值直接相关;此外，预计财产2将满足（并且它在部分中验证4.）.

在解释方面，RIC仍然是一种信息理论指标，因为它依赖于相互信息。相反，(15)提供了一个实际的标准化指标，而不必求助于联合熵。下一节将借助数值试验详细说明这种重新提法的优点。

4.倒数影响标准：功能依赖性的数值测试

在本节中，通过一系列数值试验研究了RIC的性能。衡量RIC绩效的参考指标是本节所述的指标2，从业者最常使用。考虑了由于功能关系引起的双变化依赖;非功能依赖性是部分的主题4.1．首先提供结果的一般概述，并且在专用部分中讨论了一些具体方面。

4.1。比较概述

对RIC和其他标准的函数依赖性进行了第一次比较，线性、二次、正弦和指数。表中报告了一系列代表性病例的结果1．图形概述是在图中提供的1．所有变量均加入高斯分布的随机噪声，标准差为量值的10%。

表的值1并检查数字1揭示了RIC的性能从来没有明显差于线性依赖的其他标准。在非线性函数的情况下，RIC开始优于所有其他指标。此外，如预期的那样，当函数依赖是非单调的，甚至当排序的方法都严重失败时，RIC提供了更可靠和合理的结果。此外，基于pdf、IQR和距离相关性的指标显示，为非单调相关性提供可接受的结果非常困难。所有这些都是一般性质，不仅对报告的例子是正确的，而且在所有测试的案例中也得到了证实。

4.2。线性相关性：高斯噪音和烧结的影响

本节，在数字的帮助下2，旨在支持RIC可以很好地再现PCC的线性相关性值的说法。为了完整性，还显示了其他指标的行为。图的情节2请参阅数量之间完美线性相关性的情况：y = X．在X- 报道，报道了附加噪声的标准偏差和从高斯分布中随机采样。结果是完全一般的。RIC再现了PCC的价值，而IQR可以更容易受到噪音和排放的影响。类似的分析表明RIC对异常值的存在也更加强大;实际上，它可以容忍甚至比IQR更多的异常值更高，确认属性4的部分3.满意(在5%的异常值下，平均Pearson系数变异约为10%，IQR变异约为12%，而ΔRIC变异为0.7%)。

4.3。非线性相关性：高斯噪音和烧结的影响

在非线性相关的情况下，RIC的竞争优势更加明显。图中报告了三个例证案例3.，将提出的新准则与IQR进行了比较_S.．报告的函数依赖项如下y = X²那y=罪(X）， 和y = exp (X）.

正如预期的那样，IQR对选择的选择和噪音水平更敏感。RIC在非常接近1的值下保持稳定，以获得更广泛的这些因素。此外，IQR即使两个变量与两个变量之间的完美相关性也不会输出值1。这是指定者不是归一批数量的结果。同样，在非线性相关的情况下，RIC也在存在大量异常值（比较弹性与线性相关的情况类似）中提供了更大的一致结果。

与PCC和IQR相比，RIC的正质量在实践中并不代表忽略不计，因为，在现实生活中，噪音的影响和对PDF的细节的影响可能对该结论有很大的影响。

应该注意的是，从作为衬砌的函数进行的分析中，清楚的是部分的属性3.很满意，即， ．

5.互惠影响标准：非功能依赖性的数值测试

在本节中处理的病例，以举例说明对非功能依赖性的RIC的性质（具有等于零和标准偏差等于0.1的平均值的高斯高斯噪声，如图所示4.．这些类型的依赖关系非常复杂，而且很难解决。它们是完全非线性的，甚至不能用函数来表示。在所有这些病例中，RIC的表现明显优于其他所有指标。表中报告了结果的综合概述2．

检查表2和图4.结果表明，RIC标准总比其他标准高一个因子。菱形依赖的部分情况总是提供0.8或更高的值，而其他指标更接近于零。因此，RIC提供了一个更加可靠的迹象，表明所涉及的两个变量之间有很强的相关性。即使是另外两个最复杂的标准，IQR和距离相关性，在所有调查的例子中都表现得很差。

6.对不同统计量和异常值噪声的鲁棒性

在许多科学学科中获得的信号和数据通常受到噪声的影响。高斯统计的假设通常是合理的，但也有其他重要类型的噪声具有很大的实践和理论重要性。两个最相关的分布当然是泊松分布和伽玛分布。

泊松分布:

伽玛分布：

数字5.举报关于这两个分布的各种指标性能的一些比较例。报告的案件是一系列系统测试的全部代表，以调查这一点。一般来说，如图所示的高斯分布5.作为参考，RIC受不同分布的加性噪声影响较小。

数据污染的另一个潜在来源是异常值的存在，它具有很大的实际意义。如果使用者意识到问题的存在，并有一些关于离群值的统计资料，在应用依赖指标之前，可采取一些补救措施[17那18］．这些措施属于稳健统计的家族，可以相当有效。相反，实践人员并不总是意识到这个问题，因此调查各种异常值依赖标准的稳健性仍然是一个重要的主题。为评估这方面而进行的一系列系统测试的一些具有代表性的结果如图所示6.用于函数依赖关系的主要类。在这些情况下，异常值是随机高斯点生成的，其均值为零，标准偏差与函数的范围相当。正如预期的那样，最脆弱的指标是PCC。基于排名的标准和距离相关性略不敏感;异常值必须在数量和幅度上都相对较高，才能影响排名，然后才会对这些指标的值产生不利影响。无论如何，即使存在异常值，RIC仍然是最稳健的标准。

7.互惠影响标准的条件版本

在相关分析的许多应用中，一个基本目标是确定存在混杂因素时变量之间的相互影响。因此，很自然地要研究一个有条件版本的RIC的潜力:

在以下情节中，RIC的性能_气孔导度与IQR的条件版本比较:

图的情节7.只报告非线性相关的个案(Z. = X²+ y那Z. = X^3.+ y那Z. = e^X + y)，但同样的结论也适用于线性效应。

此外，在本申请中，RIC提供了更好的噪声弹性，并且依赖于盒装的选择来确定所涉及的量的PDF。此外，即使对于极低的不确定性，在没有噪声的极限中，它也可以管理更清楚地识别实际在戏剧上的相互相关性。

8.讨论和结论

为了量化数量之间的相互影响，引入了一种新的指标——相互影响准则。我们还设计了一个条件版本来分离混杂因素的影响。RIC在线性相关的情况下重现PCC的结果，但对加性噪声和异常值的影响更稳健。在非线性影响下，RIC不仅优于排序标准和距离协方差，而且在许多方面优于IQR等信息理论指标;它提供了更可解释的结果，对噪声更强，对所涉及的pdf文件的分类选择更不敏感。所有这些竞争优势在实践中都非常重要。

在其他方面，在广泛应用拟议指标的角度下，不容忽视，这是RIC在概念上非常简单，易于实施，完全一般，从此没有依赖关于具体假设所涉及的随机变量的属性。在数据的要求方面，当然，必须可以使用足够的例子来正确计算PDF，但是RIC比其他指示器更加解散，需要估计所涉及量的概率分布函数。

关于未来的发展，计划研究熵以及由此衍生的量的替代版本是否有助于提高RIC的性能[19-22］．此外，也在考虑其他更适合于调查实际因果关系而不是简单相关性的公式[23-26］．在实际应用方面，一些来自对同步实验的调查和热核融合中断的一些最直接的范围[27-37]在地球科学和等离子体物理中改进测量技术和数据分析方法[38-40］．

附录

A.互酷影响标准的额外有用特性

本附录将展示RIC如何满足任何相关标准都需要的一些基本属性。它们是对称性、渐近一致性和无偏性(独立于偏移)。对称:里克(X那y)等于RIC (y那X）.这显然是对的，因为互信息对称。的确， 渐近一致性:这个性质基本上意味着当MI趋于零或变得非常大时，指标假设合适的值。在这方面，RIC的表现也非常令人满意。指标范围为0 - 1，随MI单调增加，可直接由式(19） 和 （20.）.独立于偏移量（无偏见）：这种额外的非常重要的属性确保数据中的恒定偏移或偏差不会影响结果，并且可以写作RIC（X + 一种那y + B.）= ric（X那y)∀一种那B.ϵP.．此外，此属性是相互信息的无偏见性质的直接后果。的确，

B.参数的选择一种

通常，RIC指示符被定义为

在本附录中，RIC的行为相对于一种进行了探讨。的参数一种确实可以根据分析的情况和目标进行优化。这种自由度可以在各种应用中易于方便。之所以一种已经设为10，以获得他在工作中提出的结果，即，对于这种选择，RIC相当好地产生PCC的趋势，如果分析的两个量之间的相关性是线性的。数字8.显示RIC值如何随线性相关关系而变化X和y和一种．

为了一种= 10时，RIC几乎与平方PCC线性变化，在大多数应用中，与这个非常流行的指标的一致性可以被认为是一个积极的质量。

数据可用性

用于支持研究结果的数据可根据要求从通讯作者处获得。

披露

Rossi和Gelfusa是第一作者。资助方没有参与这项研究的设计;在收集、分析或解释数据时，在撰写手稿时，以及在决定公布结果时。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者对这项研究的贡献是相同的。

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