摘要象征 ρ _年代显示扩展的查尔斯•斯皮尔曼皮尔逊相关系数。斯皮尔曼的 ρ _年代是一种非参数的统计排名的两个变量之间的依赖;因此,它如何量化两个变量之间的关系可以模仿一个单调函数 11]。斯皮尔曼的 ρ _年代计算之间的皮尔逊相关涉及的数量和评估的等级值单调它们之间的关系是如何(是否线性)。如果没有重复的数据值, ρ _年代假设值+ 1或−1的两个变量是完美的单调函数。

斯皮尔曼的计算 ρ _年代,原始数据 X _我和 Y _我转化为排名第一:排名 _X和等级 _Y;排名这两个变量的标准差与符号表示 σ 排名 X 和 σ 排名 Y 。斯皮尔曼的 ρ _年代然后,定义为 (2) ρ 年代 = 浸 排名 x , 排名 y σ 排名 x σ 排名 y 。

肯德尔秩相关系数,莫里斯·肯德尔的名字命名,是30年代末开发的,通常是用希腊字母表示 τ。它是为了测量等级相关,即。,the similarity of the ordering of the data when ranked. Intuitively, the higher the Kendall correlation between two variables, the more similar their rank; the Kendall τ也正常,它范围1 -−1 ( 11]。

在数学上,肯德尔秩相关系数计算 (3) τ = 数量的整合对 − 许多不和谐的双 n 2 , 分母是二项式系数在哪里 n 2 = n n − 1 / 2 。

一种广泛使用的指标调查非线性相互作用是互信息,量化信息共享的两个系统。香农或离散的版本被定义为( 12, 13] (4) 心肌梗死 山 = ∑ ∑ p x y 日志 p x y p x p y , 在哪里 p _x和 p _y两个随机变量的离散概率吗 X和 Y和 p _xy是他们的联合概率。

一个微分版本的指标可以制定的概率密度 f _x和 f _y: (5) f x = p x Δ x , f y = p y Δ y , f x y = p x y Δ x Δ y , Δ在哪里 x和Δ y箱子的尺寸。互信息差,MI_diff,被定义为 (6) 心肌梗死 Diff = ∫ ∫ f x y 日志 f x y f x f y d x d y 。

它可以很容易地证明了两个关系( 4)和( 6)是等价的;互信息是,因此,称为MI的纸。MI各种积极的属性,但不正常的主要限制。排除这个缺点,互信息通常是除以联合熵获取所谓的信息质量比率(差) 14]: (7) 位差 = 心肌梗死 H X , Y 。

这个量是正常的,因为它假定只有0和1之间的值。重要的是要记住,在方程( 7),离散或香农版本的联合熵是用来: (8) H 年代 , X Y = − ∑ ∑ p x y 日志 p x y 。

香农熵是较差,这也可以认为消极的价值观: (9) H D , X Y = − ∫ ∫ f x y 日志 f x y d x d y 。

方程( 7)是普遍接受的版本信息质量比,通常采用因为微分版本的联合熵可以是负的,有明显的相关问题和困难。

不幸的是,主要由于分母,差_年代有一些局限性,特别是缺乏鲁棒性噪声和强大的垃圾箱的选择的依赖。

的目标距离相关性( D_相关系数)由量化两个随机向量之间的依赖,也不需要一定维度。 D_相关系数有明显的优势,PCC相比,人口距离相关系数假设一个零值只有在两个随机向量是独立的。因此,距离相关性是为了量化两个线性和非线性两个随机变量或随机向量之间的联系( 5]。

的计算 D_相关系数需要一些初步量的定义。指示( X _k, Y _k), k= 1,2,… n,样本实值或向量值随机变量( X, Y)的元素 n通过 n距离矩阵( 一个 _{j, k})和( b _{j, k})都是成对的距离: (10) 一个 j , k = X j − X k , j , k = 1、2 , … , n , b j , k = Y j − Y k , j , k = 1、2 , … , n , 在| | | |表示欧几里得范数。定义 一个 ¯ j 和 一个 ¯ k 随着 j行均值和 kth列的意思是,分别 一个 ¯ 第一个向量相互距离的总平均 X矩阵,然后计算所有双中心距离(使用相同的符号 Y向量矩阵): (11) 一个 j , k = 一个 j , k − 一个 ¯ j − 一个 ¯ k + 一个 ¯ , B j , k = b j , k − b ¯ j − b ¯ k + b ¯ 。

所需的样本协方差距离是那么简单的算术平均产品 一个 _{j, k} B _{j, k}: (12) d 浸 n 2 X , Y ≔ 1 n 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n 一个 j , k B j , k 。

表明随着距离的方差, (13) d Var n 2 X , X ≔ 1 n 2 ∑ k , l = 1 n 一个 k , l 2 , 最后,距离相关性 (14) d 天哪 X , Y ≔ d 浸 X , Y d Var X d Var Y 。

的主要属性 d软木是它假设值在0和1之间,它是零只有两个向量是独立的。距离相关软件用于这项工作是由沈刘( 15]。

指标范围从0(没有关系)1(完全相关)。这个指标的相关性的定义是这样的。

两个变量 我和 j相关的知识吗 我有助于预测 j和 反之亦然。相关指标往往当的不确定性 我( j已知) j( 我)趋于零。相关的不确定性时,必须等于零 我( j)时不会改变 j( 我)是已知的。注意,在这个定义中,对称方程无法达到的价值;例如,对于函数 y = x 2 ,因为 y是已知的,有两种有效的值 x(排除 x= 0和 y= 0)。

指标没有变化的函数使用的装箱或概率密度分布函数的计算,例如, (15) Δ N 本 N 本 ≫ Δ 里克 里克 , 在ΔRIC表示指标计算值之间的差异,没有离群值。

指标可以计算地为离散的或连续的随机变量。

小敏感异常值量化 (16) N 离群值 N ≫ Δ 里克 里克 。

里克的配方确保前者属性 (17) 里克 = 1 − 一个 H x y 一个 H x + H y = 1 − 一个 H x y 一个 H x + H y = 1 − 1 一个 心肌梗死 。

RIC指标是基于信息量之间的比例(不确定性)共享的两个变量对个人信息(不确定性)的总和。在某些方面,它的定义非常类似于差指标,与里克的主要区别是基于熵的指数 一个 ^H。这种方法允许获得更可靠指标,满足上述四个可取的属性,如下面所示,这提供了一些额外的积极品质,即对称,渐近一致性,和无偏性,讨论了在附录a。

关于自由参数,其数值的选择可以优化,根据数据的性质和目标的调查。结果,在本文的其余部分,报告已经获得的设置 一个= 10,最大化里克的连贯性与PCC的线性相关性;下面的方程也particularised数值。详细讨论的RIC行为参数在附录B提供。

一些可以分析证明了上述四个属性。首先,财产1可以证明如下。不相关的变量, H x + H y = H x y 和 心肌梗死 ⟶0;因此, (18) lim 心肌梗死 ⟶ 0 里克 = lim 心肌梗死 ⟶ 0 1 − 10 H D , x y 10 H D , x + H D , y = lim 心肌梗死 ⟶ 0 1 − 1 10 心肌梗死 = 0。

在部分相关量的情况下,里克总是正的,对于高互信息,它往往比一。更具体地说,它是已知的,高度的相关性水平,联合熵往往最低熵两个变量( H x y ⟶ 最小值 H x , H y )[ 16),这意味着 心肌梗死 ⟶ 马克斯 H x , H y 。假设 H _y> H _x,它是 (19) lim H x y ⟶ H x R 我 C = lim H x y ⟶ H x 1 − 10 H x y 10 H x + H y = lim H x y ⟶ H x 1 − 10 H x 10 H x + H y = lim H x y ⟶ H x 1 − 1 10 H y > 0。

财产3也可以证明。事实上,写作RIC使用微分信息理论数量和记住熵之和等于之和互信息和联合熵,可以证明里克_D里克是一样的吗_年代: (20) 里克 D = 1 − 10 H D , x y 10 H D , x + H D , y = 1 − 1 10 米 我 = 1 − 10 H 年代 , x y 10 H 年代 , x + H 年代 , y = 里克 年代 。

此外,里克是直接相关的互信息值;同时,产权2预计将满足(节中进行验证 4)。

在解释方面,里克仍然是一个信息的理论指标,因为它依赖于互信息。相反,单调的变换( 15)提供了一个几乎正常指标而无需求助于联合熵。这样一个再形成的优势将会详细说明,借助数值测试,在接下来的部分。

第一次比较里克和其他标准进行函数依赖线性,二次,正弦和指数。一系列的结果代表了病例报告表格 1。中提供了一个图形化的概述图 1。高斯分布的随机噪声标准差等于10%的数量值,添加了所有变量。

表的值 1并检查图 1显示,里克从未执行明显比其他标准线性依赖关系。里克开始超越其他所有指标的非线性函数。此外,正如所料,里克提供更加可靠和合理的结果只要功能依赖非单调甚至当失败的排名方法。基于pdf的指标,相关性差,距离显示重大困难提供可接受的结果非依赖性。这些都是一般性质不仅适用于报告的例子也证实在所有情况下进行测试。

这一节中,图的帮助下 2,只是针对支持声明,里克PCC的可以复制的值线性相关性。的行为的其他指标也显示完整性。块图 2参考的情况下完美的量之间的线性相关性: y= x。在 x设在,添加剂噪声的标准差和零均值和报告从高斯分布进行随机采样。结果是完全通用。RIC繁殖相当PCC的值,而差更容易受到噪声和装箱。类似的分析表明,里克也更健壮的异常值的存在;事实上,它可以容忍甚至比差一个数量级多个异常值,确认财产的第4部分 3满意(5%的离群值,皮尔森系数变化约10%,平均差变化为12%,而ΔRIC是0.7%)。

里克的竞争优势更加明显的非线性关系。在图三个范例的情况下 3,提出新准则较差_年代。据函数依赖 y= x², y=罪( x), y= exp ( x)。

正如所料,IQR更敏感的选择装箱和噪音水平。里克仍然稳定在一个值非常接近1更大范围的这些因素。此外,差不输出值甚至完美的两个变量之间的相关性。这是一个分母不正常数量的结果。还在非线性相关性的情况下,里克提供更一致的结果也存在相当数量的异常值(比较弹性类似于线性相关性的情况下)。

里克的积极品质,PCC和差相比,并不是一个微不足道的问题在实践中,因为在真实的应用程序中,噪声的影响和不确定性pdf文档的细节可以有强烈影响的结论。

应该注意的是,从分析面元的函数执行,很明显,房地产的第2部分 3满意,也就是说, Δ N 本 / N 本 ≫ Δ 里克 / 里克 。