文摘

当市场环境变化时,我们扩展自励的价格影响模型,并进一步分析投资者的清算行为。假设模型是伴随着一个指数衰减系数时临时及其系数线性和非线性的影响。利用最优控制方法,我们获得的最优清算行为满足二阶非线性变系数常微分方程的线性和非线性的情况下暂时的影响。接下来,我们解决了常微分方程的形式,让投资者的最优清算行为在四种情况下。此外,我们证明了降低性能的最优清算行为下的线性暂时的影响。通过数值模拟,我们进一步解释改变参数的影响 , , , ,和在投资者的清算战略在十二个场景。发现了一些有趣的属性。

1。介绍

Bertsimas和罗1)提出了最优执行模型有线性和离散价格影响模型在一个固定的时间。他们得到了最优清算行为在某些情况下的最优控制方法。两年后,Almgren和克里斯2)使用均值-方差函数的最小化预期的成本和风险。他们获得一个最优的静态的封闭解的行为。提出了这个模型的时候,快速研究了大量的学者在不同的情况下。Almgren [3)进一步扩展前面的模型假设临时的影响是非线性的,形式的最优清算行为。

胡伯曼和Stanzl4]研究了线性和非线性固定的影响,发现只有当市场不存在套利现象的影响是线性的。Gatheral和Schied5)提供最优期望交易成本的行为感到满意HJB方程。本文两个基准模型得到的最优行为,并发现两种模型的最优行为是无关紧要的,除非是极其不现实的情况和参数。Gatheral et al。6]研究最优交易策略的临时市场影响的衰减系数。他们证明某种属性的最优投资清算行为,给一些特定形式的最优行为在某些特殊的衰减函数。Lehalle和纽曼7]介绍了马尔可夫过程的信号最优交易框架下提出Gatheral et al。6),得到了最优交易行为的存在性和唯一性。此外,作者给了投资者的最优投资行为的情况下奥恩斯坦乌伦贝克和指数衰减信号,暂时的市场影响。基于的前提没有动态套利,Gatheral [8)研究了最优投资行为与衰减因素条件下的市场影响。他给了最优投资行为的具体形式的固定和临时市场影响因素与不同的衰变。Curato et al。9]研究了最优的执行一个大型贸易当模型和衰减因素有非线性瞬态的影响。他们得到了最优策略的具体形式在一些特殊的情况。Barger和Lorig10]研究了最优清算行为当价格影响的参数随机过程。他们获得的最优清算行为的形式通过求解HJB方程。基于贝叶斯学习和动态编程技术、铋等。11]研究了最优投资组合选择,投资组合清算、投资组合过渡问题。通过最优控制方法,他们发现最优行为是HJB方程的解。当Almgren-Chriss模型规避风险代理,Schied和张12]讨论了纳什均衡和封闭的解决方案的最优清算解决ODE方程。基于Almgren-Chriss框架,弗吉尼亚州和豪泽(13)视为一个体积不确定性模型,证明了规避风险的交易者有好处时,他推迟交易。与此同时,Ekren和Nadtochiy [14]研究欧洲式的基于用途的最优套期保值行为选择。从解决PDE的解决方案,他们获得的最优行为。

基于Almgren-Chriss框架(2),一个自激Caye和Muhle-Karbe提出的价格影响模型15]。他们认为一个大销售订单创建持续抛售压力,不仅会导致价格的影响,而且增加了执行成本。然而,他们只讨论,暂时的影响是一个线性函数。当存在一个市场上的衰减系数,暂时的影响及其系数是非线性函数,和相关的问题并没有被研究过。相关文献后,我们加入指数衰减的因素。此外,当暂时的影响及其系数是线性和非线性,得到最优清算行为具有变系数的二阶非线性常微分方程。

本文组织如下。节2介绍影响价格过程中,自励的价格模型,执行成本和目标函数。节3,我们介绍我们的主要结果:利用最优控制方法,给出了形式的最优清算行为当暂时的影响及其系数线性和非线性并讨论最优清算行为的性质。节4,从七个不同的数值例子,我们讨论的影响参数变化对清算行为和显示相应的财务解释。节5研究,我们得出结论,给未来的研究方向。

2。声明的背景

以下假设的自励的价格影响模型。交易时间是固定的 。 代表了控股在时间 ,在哪里 和 。与此同时,绝对连续,导数有界和 满足 。

自励的价格影响模型包含影响价格的过程如下: 在哪里是标准布朗运动。因此,具体形式被认为是自励的价格的影响 在哪里 和 。

因此,投资者的总执行成本

只有当执行成本最低,投资者可以得到最大的回报。因此,投资者的目标函数

3所示。主要结果

Caye和Muhle-Karbe15]只讨论清算行为时暂时的影响系数是线性的。当存在一个市场上的衰减系数,相关的文献并没有被研究过。在这篇文章中,我们介绍了经典的指数衰减因子自励的价格影响模型。接下来,我们研究投资者的最优清算行为当4例下的市场指数衰减。

定理1。当方程(2)和指数衰减 ,的优化策略是唯一解变系数非线性ODE的如下: 与边界条件如下:

方程解(5)是

证明。当市场有一个指数衰减,方程(2)是 从方程(3)和(8),我们得到 结合伊藤积分的性质和方程(4),上述方程是改变 为了得到方程的解决方案(10),我们用欧拉方程得到下列二阶变系数非线性ODE的: 让 ,方程(11)改变如下: 从[16),方程的解决方案(12)是 因此,方程的解决方案(5)是

备注1。在定理1,我们解决最优清算行为当有自励的模型与指数衰减,给最优清算行为的具体形式。即暂时影响系数乘以指数函数。事实上,当 ,我们的模型是减少Caye价格模型和Muhle-Karbe [15]。

定理2。假设下的定理1最优策略从方程(14)是确定的,绝对连续下降。

证明。 让 ,然后我们得到 根据模型的基本假设,结合数值模拟后,我们发现满足 。第六步是通过分部积分和 。因为满足方程(5),第三部分第七步是移除。使用 ,第三部分第七步是积极的。我们从分部积分获得第八步。通过方程(14)和数值模拟,验证。因此,是减少的。

备注2。在定理2,我们发现最优清算行为仍有相同的属性作为清算行为没有衰变Caye和Muhle-Karbe [15市场衰退时)。
在最后一部分,我们将讨论投资者的最优清算行为时,临时市场影响是一个线性函数。与此同时,Almgren [3],Gatheral [8),Curato et al。9),霍斯特和Naujokat [17]研究了投资者的最优清算行为时,临时在不同情况下的影响是非线性的。当市场伴随着衰减系数和临时市场的影响是非线性的,投资者的最优清算行为不是由Caye和Muhle-Karbe[研究15]。通过现有文献的研究,我们假设临时影响是幂函数。因此,当市场有一个指数衰减,新价格影响模型

定理3。当方程(17)和指数衰减 ,平均优化行为的唯一解变系数非线性ODE的如下: 与边界条件如下:

方程解(18)是

证明。从方程(3)和(17),我们得到 根据伊藤积分方程的性质(4),我们得到 使用欧拉方程,得到下列二阶非线性ODE变量系数: 让 ,方程(23)改变如下: 从[16),方程的解决方案(24)是 因此,方程的解决方案(18)是 从方程(12)和(18),我们发现方程(12)是特殊形式的方程(18)当 。

备注3。在定理3,我们研究的最优清算行为当市场指数衰减和临时市场影响是一个非线性函数。我们可以很容易地发现Caye和Muhle-Karbe[的价格影响模型15在这种情况下)是我们的特殊形式 和 。
接下来,我们研究下的清算行为作为临时系数的影响 。因此,方程(4)改变

定理4。当方程(27)和指数衰减 ,平均优化行为的唯一解变系数非线性ODE的如下: 与边界条件如下:

方程解(28)是

证明。从方程(3)和(27),我们得到 从伊藤积分方程的性质(4),我们有 使用欧拉方程,得到下面的变系数非线性ODE的: 从[16),方程的解决方案(33)是

备注4。在定理4,我们研究的最优清算行为当暂时的影响系数是一个非线性函数和临时影响基于Caye指数衰减和Muhle-Karbe [15]。

定理5。假设下的定理4最优行为从方程(34)是确定的,绝对连续下降。

证明。 让 ,然后我们得到 的属性 , ,和积分定理的证明5很容易获得。

备注5。在定理5,我们研究一个属性的最优清算行为,当市场指数衰减和临时影响的系数是非线性函数。
当暂时的影响是幂函数,方程(27)改变

定理6。当方程(37)和指数衰减 ,平均优化行为的唯一解变系数非线性ODE的如下: 有两点边界条件如下: 方程解(38)是

证明。从方程(3)和(37),我们得到 结合伊藤积分的性质和方程(4),我们得到 使用欧拉方程,得到下面的变系数非线性ODE的: 从[16),方程的解决方案(43)是

注6。在定理6,我们研究的最优清算行为当市场指数衰减和临时市场影响及其系数是非线性函数。我们可以很容易地发现定理4是一种特殊的什么时候 。

4所示。数值模拟

在定理1,3,4,6,我们给投资者的最优投资行为的具体形式。接下来,我们 , , ,和我们讨论的影响参数 , , , ,和对投资者的最优行为在四种情况下,分别。

从数据1- - - - - -7,我们发现投资者意识到未来交易的风险是市场衰退时下降。因此,他们减少清算和速度在不同的情况下,加快清算清算期限之前。这可以从图中找到1临时影响的指数项增加时,投资者逐渐增加的速度和数量的清算的早期阶段,减少未来的不确定性风险,获得最大化的预期回报。通过方程(14)和(26),我们发现,投资者的最优行为是一个增加的功能一个。这是验证了数据2和3。数据2和3讨论改变投资者的最优清算行为对线性和非线性暂时影响,分别。增加的 ,投资者减少清算在早期阶段的速度,使他们获得最大的回报。与此同时,我们也发现,当更大的影响将逐渐减少。结合方程(14)和(26)和数字4和5,我们发现无论临时市场的影响是线性的或非线性的最优清算行为投资者的递减函数 。增加的 ,投资者意识到减少早期的清算速度以增加未来的回报清算。数据6和7讨论投资者的清算的情况下行为的改变分别在线性和非线性暂时的影响。当投资者发现越来越多,他们意识到造成的持有风险减少的在早期减少和增加的速度和数量在未来清算最大化回报。因此,当投资者面对这些清理环境,他们遵循这些清算策略来减少执行成本为了获得最大化收益。

通过方程(34)和(44),我们看到的变化一个对清算行为没有影响。从数据8- - - - - -12,我们进一步讨论最优清算行为的属性 , ,和 。在图8,我们发现,当增加,投资者意识到未来交易的风险会增加,他们将加快早期清算,以降低风险,获得更大的回报。从数据9和10,我们发现,当较大,投资者会减少的速度和数量在早期阶段,以减少风险交流和获得最大化的回报。我们研究的影响在在线性和非线性临时影响数据11和10。我们发现,当变大,投资者将加速清算在早期阶段的速度和数量,减少持有的风险资产,以最大化的回报。

从数据1和8,我们发现的变化α有相同的影响清算行为在两个不同的情况。增加的α早期清算,投资者将加快速度和数量,以获得最大的回报。从数据4,5,11,12的变化对清算的行为有同样的效果 。当快变大,投资者将清算,这样他们将降低持有的风险,获得最大的回报。数据6,7,4,10衰减系数之间的关系进行调查ρ和清算行为X_t。我们发现的变化有同样的效果在四个不同的情况。作为变大,投资者将最大化的回报通过减少交易的数量了。

5。结论

在本文中,我们扩展模型礁和Muhle-Karbe15)当市场上有一个指数衰减的因素。当临时市场影响,其系数是线性和非线性,得到最优清算行为的投资者满足二阶变系数非线性ODE的。与此同时,我们得到了特定的形式的在四个的情况。通过数值模拟,参数的影响 , , ,和和最初的控股变化对战略投资者的清算所示。当市场环境满足这些条件,这对投资者具有一定的指导意义在未来清算资产。

在本文中,我们假设随机因素是标准布朗运动和系数是时间一致。在未来,我们学习的相关研究朱18),研究最优清算行为当随机因素的价格影响模型G-Brownian运动和系数的模型是时间延迟。同时,当系数是未知的,我们指的是研究朱和王19)和使用的控制方法,进一步讨论投资者的最优清算行为。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的主要哲学社会科学研究基地四川省高校(kjjr2019 - 004),西华大学人才引进项目(w202247),基础研究基金为中央大学(JBK2101036), 2019年和宜宾大学的科研项目(2019 qd07)。