文摘
如今,电脑的使用已经成为非常重要的数学和工程科学在各个领域。很多复杂的统计数据很容易的帮助下解决不同的计算机程序在几秒钟内,特别是在计算和应用数学。在不同的计算机工具和语言的帮助下,各种各样的迭代算法可以在计算机求解不同的非线性问题。迭代算法的最重要的因素是它的效率依赖于每个迭代的收敛速度和计算成本。考虑到这些事实,本文旨在设计一种新的迭代算法derivative-free并执行好。我们构建该算法运用远期和有限差分方案Golbabai-Javidi方法的产量我们一个高效和derivative-free按迭代算法的计算成本低。我们也研究设计算法的收敛性判据和证明其quartic-order收敛。数值分析,我们认为9个不同类型的数值测试实例和解决这些证明其准确性、有效性和适用性。考虑问题也涉及公民权利和化学工程的一些实际的应用程序。获得的测试例子的计算结果表明,新设计的算法更好的工作对其他类似的算法在文献中。 For the graphical analysis, we consider some different degrees’ complex polynomials and draw the polynomiographs of the designed quartic-order algorithm and compare it with the other similar existing methods with the help of a computer program. The graphical results reveal the better convergence speed and the other graphical characteristics of the designed algorithm over the other comparable ones.
1。介绍
电脑的作用领域的现代应用数学是不可否认的。使用不同的计算机程序如数学、Matlab和枫树,大量的不同类型的复杂的问题很容易被解决。近年来,过度使用电脑使用的数学家在不同领域的数学。其中最重要的是多项式的根发现它扮演了一个重要的角色在应用和计算数学和现代科学的许多其他领域。存在一些问题在工程非线性方程组的形式出现。为解决这种类型的工程问题,我们需要迭代算法,因为在大多数情况下,分析方法不工作。著名的经典迭代算法是由牛顿(1在最后的十五世纪。在现代,研究者改进现有的秩序和效率的方法,介绍了多步算法。更多细节,请参阅[2- - - - - -11)和参考引用。通常,多步算法具有较高的收敛计算成本更大,因为高阶导数的参与这些算法的缺点。这真的是一个艰巨的任务来平衡计算成本和收敛的顺序,因为如果我们增加其中的一个,另一个将会减少。
在过去的几年里,研究人员修改现有的迭代计划采用不同的数学技术,提出了多步迭代方法的新品种。在[12),作者介绍了预估方法给出 quartic-order算法提出的特劳布(TM)的根发现标量非线性方程组。
努尔et al。13),2012年,引入了迭代算法的形式: 被称为努尔的方法(全国抵抗运动)的根源找到标量非线性方程组。
2010年,Zhanlav et al。14)引入了一个新三步迭代算法给出 标量quartic-order根发现算法的非线性方程组称为Zhanlav的方法(ZM评选)。
目前的研究文章中,我们介绍了一个新的四阶和derivative-free算法解决工程和任意标量非线性函数的形式问题。这个算法是基于远期建设——Golbabai-Javidi的方法和有限差分方案。我们还证明,所设计的算法具有四阶收敛,然后应用到不同的真实工程和任意问题来演示它的适用性在其他四阶算法在文献中。设计算法的动态对比与其他类似的已经给出了通过计算机技术使用Mathematica 12.0的程序。
剩下的纸是划分如下。一个高效和derivative-free算法一直在构建部分2。设计算法的收敛性判据一直在讨论部分3。节4,9个任意和工程问题已解决。的图形化分析设计算法提出了部分5。最后,给出本文的结论部分6。
2。主要结果
让 , 是一个函数在一个变量;然后,采用修改后的同伦摄动方法,Golbabai和Javidi15]介绍了root-finding算法如下: 这被称为Golbabai-Javidi立方收敛的方法(15]。在[16),作者修改,提出了一个两步迭代计划下面的形式: 这是一个两步迭代方案计算非线性标量方程的零。上述算法的主要缺点是其高每个迭代计算成本,因为它需要执行第一和第二衍生品。降低计算成本,使其更有效,我们近似其衍生品和让它derivative-free,以便它可以很容易地应用于非线性函数的一阶导数成为无限或不存在。近似 ,我们采用有限差分近似
现在,我们应用前向差分近似的一阶导数计划如下:
算法1。对于一个给定的初始猜测 ,确定近似解通过迭代计划如下: 这是一个小说derivative-free两步迭代算法计算近似非线性函数的零在一个变量中。算法的基本和重要的特性是它的适用性的区域,因为它也涵盖了这样的非线性函数的第一和第二衍生品不存在。第一和第二衍生产品的替代品减少它的每个迭代计算成本收益率更高的效率指数与其他类似的迭代计划。获得的数值结果的测试该算法的例子展示更好的性能与其他类似的文学。
3所示。收敛性分析
在本节中,我们证明了该方法的收敛阶,即。、算法1。
定理1。假设简单的零 ,在哪里确切的根附近足够光滑的吗 ;然后,算法1具有quartic-order收敛性。此外,它满足以下错误方程: 在哪里 。
证明。为了证明这个定理,假设的错误th迭代;然后, 和泰勒级数 意味着 在哪里 使用(13)和(14),我们得到 使用方程(13)- (18)算法1,我们得到以下平等: 这意味着 上述方程建立算法1quartic-order收敛。
4所示。数值比较和应用程序
在本节中,我们包括5个任意和4个工程问题证明的有效性,准确性,和鲁棒性能的新设计的迭代计划。我们比较建议的算法和努尔的方法(13),特劳布的方法(12],Zhanlav的方法(ZM评选)14通过考虑一些非线性问题)。
例1。血液流变学模型。
血液流变学是科学的一个分支,研究生理和血液的流动性质(17]。血实际上是一种非牛顿流体和视为沉箱流体。沉箱流体的模型表明,简单的流动液体在管,中心核心的液体将插头与小变形和速度梯度发生在墙附近。研究沉箱的塞流液体流,我们考虑下面的函数形式的非线性方程
计算流量减少,在哪里
。使用
在(16),我们有
来解决
,最初的猜测已经被选为
在开始迭代过程,结果在表1。
例2。发现体积从范德瓦尔斯方程。
工程、著名的和著名的范德瓦尔斯方程是用来检测气体的行为(18由范德瓦尔介绍:
通过假设可行的值出现的参数(23),我们获得以下非线性问题:
在哪里表示体积和可能会发现很容易解决
。自是一个多项式,立方程度,显然三根存在,其中只有一个是可行的正实根1.9298462428的体积气体总是正的。开始迭代过程中,我们接受
,和结果插入表2。
例3。明渠流问题。
水在明渠均匀流的条件是众所周知的曼宁的方程所描述的19]:
的参数
,
,和在(25)表示水力半径、坡度和区域的通道,分别是曼宁粗糙系数。为一个长方形通道深度和宽度
,我们有
使用这些值(25),我们得到
确定水的深度,上述关系可以写成
我们指定参数的值
,
,
,和
。我们选择的起点
初始化迭代过程,结果插入到表中3。
例4。板辐射定律。
寻找能量密度在等温黑体,普朗克辐射定律用于由普朗克介绍(20.1914年)有以下数学表达式:
确定波长的峰值能量密度
,我们将方程(29日通过考虑)的非线性方程
,给出如下:
可以转化为非线性函数的形式如下:
的近似根表示最高的辐射波长。我们选择
作为初始猜测在迭代过程中,插入表的结果4。
例5。任意的问题。
检查数值行为的算法设计,我们需要五任意问题,结果插入到表中5。
在表中1- - - - - -5详细比较著名的迭代算法,提出的算法已被提出。表的列给我们细节的数量使用迭代,最后近似根,绝对值函数的根,和积极的区别两个连续的近似。
测试例子的结果以表格的形式进行了总结1- - - - - -5表明该算法的性能,从这些结果,我们可以索赔的强劲性能设计算法的准确性、速度、数量的迭代,计算成本,可以说它是优于其它同类算法。
5。复杂的动力学
在本节中,我们研究提出的复杂动力学root-finding算法对不同复杂形式的多项式polynomiographs polynomiography的过程中产生。polynomiography这个词在2005年首次引入Bahman Kalantari [21,22)谁将它定义为一个绘图的过程采用美观的图形对象数学迭代函数的收敛性质。通过迭代函数,我们指的是这样一个函数,由上自己一次又一次如牛顿算法(23),哈雷的算法(24],户主的算法(25]。由于polynomiography,被称为polynomiographs生成的图形对象。情节上的polynomiographs复杂平面通过计算机程序通过考虑不同的复杂的多项式,我们把一个长方形 的大小 ,与准确性 和最大迭代次数 。这个矩形包含考虑多项式的根,和相应的起点在 ,我们初始化迭代过程和分配一个颜色对应 。黑色的颜色分配给这些特定点的算法不收敛。的质量和分辨率生成的图形对象依赖的离散化 ,即。,如果we discretize的网格 ,绘制polynomiographs将有更好的分辨率和图像质量。
我们知道,如果是一个th-degree多项式,然后它必须具备th 0代数根据定理和可以表示为
如果 根(0)吗 ,然后(33)可以写成 在哪里 复系数。
任何涉及的算法迭代过程可能适用于上述的表情绘制的图形对象。策划的一般算法polynomiographs给出算法2。
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我们认为一个算法是聚合收敛测试 返回TRUE,分化如果它在算法返回False1。的标准试验研究给出了一个算法的收敛或发散 在哪里 的准确性和和在迭代过程中两个连续的估计。在这项研究中,我们还考虑方程(20.)作为停止准则。策划各种不同的颜色图形对象可以通过改变参数和和迭代计划。关于polynomiography及其应用详情,请参阅[26- - - - - -38)和引用。
我们采取以下四种不同的复杂的复平面多项式绘制图形对象:
着色迭代,我们采用colormap图1。
例6。Polynomiographs为通过各种迭代计划。
在第一个例子中,我们调查和比较动态结果通过不同的迭代计划的新设计quartic-order quadratic-degree多项式算法具有两种不同的零:1和
。我们执行类似的算法实现简单的根,而结果可以显示在图2。
(一)
(b)
(c)
(d)
例7。Polynomiographs为通过各种迭代计划。
在第二个例子中,我们调查和比较动态结果通过不同的迭代计划的新设计quartic-order cubic-degree多项式算法具有三个不同的零:1、
,和
。我们执行类似的算法实现简单的根,而结果可以显示在图3。
(一)
(b)
(c)
(d)
示例8。Polynomiographs为通过各种迭代计划。
第三个例子,我们考虑quartic-degree多项式
,1根,
,
,和
。我们画了美观的图形对象通过执行所有类似的算法,可以可视化图和结果4。
在例子6- - - - - -8,我们所有的同类算法绘制美观polynomiographs 12.0数学在计算机程序的帮助。从获得的图形对象,我们可以很容易地检查不同的算法的图形化行为和稳定性。应该注意的是,新设计的算法的收敛区域比其他的要大得多。颜色的色调表现出的性能算法的polynomiograph。两个主要特征可以发现通过这些图形对象的收敛速度和动力学的考虑迭代计划这些图表生成。第一个可以描述分析图像的色调的颜色。丰富的图形对象中的颜色显示强劲的用更少的迭代收敛。第二个属性可以被可视化研究polynomiographs画的颜色的变化。小变化的区域显示低动态区和动态高区大变化的颜色。提出了图形对象的黑色显示算法的散度区,即,欧元区给出的解决方案是不可能获得的准确性和迭代次数。 The identical color zones represent the same number of iterations utilized by different iteration schemes for finding the solution up to given accuracy, and their graphical view to the contour lines on the map is similar.
(一)
(b)
(c)
(d)
6。结束语
在目前的研究中,一种新的高效derivative-free算法计算根的非线性方程采用了向前和Golbabai-Javidi的有限差分方案。建议的算法的收敛性分析讨论,建立了提出算法具有quartic-order收敛。证明算法的鲁棒性能和有效性,我们假设任意和工程问题,转换非线性函数的形式,然后解决。数值结果,包含在表1- - - - - -5表明,新设计的算法优于其它同类算法对不同的数值收敛速度等条件,收敛精度,计算顺序。新算法的健壮的工作也可以通过观察判断的准确性连续近似,对其他类似的要好得多。研究表明算法的复杂的动态特性,polynomiographs已经吸引了一些复杂的多项式,利用计算机程序Mathematica 12.0。获得的图形对象新颖美观,揭示了更好的收敛速度和其他图形的特点设计算法在其他可比的。本研究使用相同的想法,我们可以获得一个新家庭的derivative-free算法计算非线性方程的根。
数据可用性
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的利益冲突
作者没有任何利益冲突。
作者的贡献
所有作者同样的贡献。