文摘

本研究打算检查不同的混沌动力学不相称的分数阶Hopfield神经网络模型。的稳定性提出incommensurate-order连续场的数值分析模型不同的分数阶导数的值和系统参数的值。原来制定系统使用卡普托微分算子展品很多丰富复杂的动力学,包括对称、双稳性和混沌吸引子共存。另一方面,它已被发现,通过调整相应的控制常数,这样的系统拥有所谓的抵消增加的三个变量。此外,合成周期和混沌吸引子可以分散在几个形式,包括1 d, 2 d网格,和3 d网格,甚至在相空间的任意位置。几个实现数值模拟,所得结果说明通过构建分岔图、计算李雅普诺夫指数,计算李雅普诺夫维度,和草图阶段肖像的2 d和3 d预测。

1。介绍

人工神经网络,它被认为是一个最深的标题下学习技术,包括所谓的人工智能,最近收到了很多研究者大量的利益与人类大脑的实际工作伙伴(1]。为了使一个有效的进步与现代电子工程的发展,有必要不断试图改善这种智能方案。1943年,麦克洛克和皮特是第一个科学家研究了人工神经网络(2]。符合他们的调查,许多良性工程和电子应用曾在一些应用领域。例如,开关在电子电路,系统的振荡按照地震的影响,图像和信号处理,影响机器,电源电路,和干摩擦的这样的应用程序(3]。1982年,目标是处理一些优化和计算问题和征服一些与硬件相关的具体问题的执行,小说记忆神经网络建立了Hopfield称为后来Hopfield神经网络(HNN) [4]。目前,这种类型的网络已经开始把它的位置在不同的工业领域,激励很多调查人员进一步探索动态属性的状态而且推断出其他的5]。

由于使用分数微积分在制定很多的关键作用的现象,而不是使用古典微积分,HNNs化为分数是后来称为分数阶Hopfield神经网络(FoHNNs) [6,7]。FoHNNs的起源的基本思想可能欠Boroomand和Menhaj进行了更换fractance而不是普通电容器内的经典HNN模型(8]。这种替换是指真理的主要优势,分数阶导数可以更有效地描述HNN由于无限内存和其他遗传属性,可以从它的各种流程生成(9]。从不同的观点,包括进程的内存术语到HNN模型通过将分数阶导数/积分可以提供超级计算能力,这可能是必需的,例如,经济刺激预期和信息处理以及其他相关计算振荡神经元活动(10]。由于这些原因,分析FoHNNs最近被认为是最主要的一个有前途的未来受益的主题在不同应用科学领域的研究人员。

几个重要的数值结果与混沌行为和极限环的存在的动力学FoNN将在文献中讨论。例如,FoHNN完全调查通过能量函数的稳定性分析(8]。然而,理论方法,基于谐波平衡理论,用于调查的存在混乱的细胞神经网络模型(11]。提出了一种混沌神经元模型并分析了小说作为一个人工神经元模型(12]。此外,在[13),介绍了分数阶细胞神经网络模型代替传统的一阶分数阶一个细胞。这种网络的混沌同步在其他论文还讨论了。我们发现某些时滞FoNN系统中的混沌行为,研究了在(14]。同时,混沌反馈控制和同步系统构造了一个神经元网络系统周等人在15]。一年后,周等人再次说明FoNN系统的混沌同步系统(16]。在[17],拉普拉斯变换和广义Gronwall不平等是用来检查FoHNN模型的限定时间稳定,而不同的动态特性,如构建分岔图、混乱、稳定,多稳定性的FoNNs进行了研究[9]。在[18),一个 - - - - - -同步和一个 - - - - - -FoNN模型稳定性测定和研究,而均匀稳定性的模型是描述和分析时间延迟(19)的帮助下使用一种有效的误差准则。同样的,一些现代的复杂动态地图最近研究如initial-dependent极端多稳定性和offset-boosted吸引子共存。

根据FoHNN模型的多个应用程序在不同的应用科学领域和为了向前进一步发现更多的属性FoHNNs动态,本文试图研究不同混沌动力学的网络与不相称的秩序。此外,它打算分析该系统的稳定性数值通过连续的不同分数阶导数值以及系统参数的值。这种分析将通过执行几个数值模拟,如构建分岔图、计算李雅普诺夫指数,计算李雅普诺夫维度,和草图阶段肖像的2 d和3 d预测。一些丰富的复杂动力学,包括对称、双稳态和混沌吸引子共存将调查和讨论。它也将显示,通过调整一些常数控制,该系统将拥有三个变量的偏移量增加。然而,本文的结构安排在以下方式:部分2将学习和讨论不同的复杂动力学不相称的FoHNN模型通过说明不同相应的数值模拟。动力学的不相称的分数阶模型将节中讨论3。的variable-boostable流动产生的incommensurate-order节将讨论和分析模型4,其次是部分5总结整个工作。

2。预赛和数学模型

这部分将描述一些重要基本面方面的分数微积分,尤其是卡普托微分算子和Riemann-Liouville积分算子的报道(20.]。此外,HNN模型的新版本将会提出的不相称的分数阶导数。

定义1。的Riemann-Liouville分数阶积分算子的功能可以表示为 在哪里 , , ,和 。

定义2。卡普托的分数阶微分算子的功能可以表示为 在哪里 , , ,和 。
在[9],FoHNN数学模型,建立了环形结构及其稳定性分析讨论了针对某些特性的参数。该模型由以下三维系统: 在哪里和系统参数,卡普托微分算子的秩序 ,和 , ,和系统的状态。事实上,Kaslik和Sivasundaram研究和分析上述系统的稳定性通过的分数阶导数commensurate-order情况(9]。为了说明这个神经网络系统的混沌运动integer-order情况(即。系统(4)当 ),我们把图1显示其相图在不同的飞机所产生的状态。这盆的吸引力integer-order系统也显示在图2,初始条件(ICs)可以显示在黄色和蓝色区域,导致极限环和混沌吸引子,分别。
在这项工作中,我们断言,如果我们改变这些衍生品在其incommensurate-order情况下,这样的系统将展示更加丰富复杂的动力学和混乱的模式比在前面模型报道(9]。因此,新的不相称的分数阶之前版本的HNN模型,这将被视为从现在开始,可以制定如下: 在哪里 , , , ,和上面定义的,而卡普托微分算子的秩序这样 和 。实际上,为了解决上述系统,可以实现预估方法在[Diethelm等人提出的21]。虽然这种方法可以提供一个精确的解决方案给定非线性分数阶系统的数值(22),一个增强的方法称为Adams-Bashforth-Moulton计划成立于(23,24]。

3所示。动力学的不相称的分数阶模型

在本节中,不同的复杂动力学不相称的FoHNN模型(4)将数值研究和分析,包括讨论的稳定性分析和采取不同的值不相称的系统参数和分数阶导数也呈现一些特殊现象,可以从该模型生成等所谓的对称和吸引子共存。为此,一些数值工具将用于执行一些需要模拟,包括构建分岔图、草图阶段肖像的2 d和3 d系统动力学预测,策划景点的盆地,并计算李雅普诺夫指数/维度。

3.1。稳定与不同不相称的分数阶导数

在这里,我们将系统的两个参数 和 以及我们会考虑美国的集成电路系统(4), 。在本部分中,我们的目标是研究模型的稳定性(4)按照下列三种情况:第一种是由固定 不断变化的价值 ,第二个是由固定 不断变化的价值 ,最后,第三个是实施修复 不断变化的价值 。因此,分岔图和李雅普诺夫指数等三种情况是绘制在图3- - - - - -5,分别。基于这些数据,人们可以观察到的存在正的李雅普诺夫指数,证实FoHNN系统(4)显示混乱的行为。此外,人们可能会注意到,再从这些数字,系统(4)是渐近稳定极限环的时候 ,当它开始失去其稳定和行为在一个混乱的模式开始 , ,和 。它可能被进一步注意到,一旦不成比例的值分数阶衍生品增加,不同周期窗口将显示。例如,处理上述三个案例,我们可以把分数阶导数的值 和 ,直接,这意味着三个李雅普诺夫指数, , ,和 ,与 。另一方面,如果一个人 和 ,然后将产生以下三个李雅普诺夫指数: , ,和 ,与 。最后,以 和 给以下三个李雅普诺夫指数: , ,和 ,与 。因此,相应的李雅普诺夫维度,这被认为是一个估计的复杂性从系统生成的吸引子,可以根据前面的三个案例计算通过考虑以下公式: 在哪里满足是最大的整数吗 和 。换句话说,系统的计算李雅普诺夫维(4)根据前面的值不成比例的分数阶导数 , ,和 ,分别。因此,这使我们推断出有一个系统的混沌吸引子(4)。看到这个数据6- - - - - -8目前系统(复杂的混沌吸引子4)在不同的2 d预测根据三个考虑情况下:( 和 ),( 和 ),和( 和 ),分别。此外,数据9- - - - - -11表现出相应的三维预测的混沌吸引子是由系统生成的4)。

3.2。稳定性与系统参数的不同值

本节将探讨系统的稳定性4)连续不同系统参数的值和和修复不相称的分数阶导数值 以及修复的IC 。立即,数据12和13代表了分岔图和系统的李雅普诺夫指数(4)当 和 ,分别。一个可以观察基于这样的情节,当系统参数的值下降,系统(4)将渐近稳定,然后它会表现出周期性振荡混乱。此外,周期性的windows将混乱的范围 和 。显然,这些范围内存在一定的正的李雅普诺夫指数,证实了系统的混沌行为4)。

3.3。对称、双稳性和混沌吸引子共存

对称动力系统通常得到当他们经常表现出一双对称的吸引子共存。这个属性已经吸引了相当大的兴趣领域的非线性动态系统。获得这个属性的完整概述,读者可以参考(25]。在我们的研究中,我们将假定系统参数 和 我们将选择两个ICs 红色的轨迹和 蓝色的轨迹。根据这些值后,我们观察到系统(4),例如,生成一对对称共存的极限环 (见图(14日)),它将生成一个对称的双周期吸引子共存的 (见图14 (b)),此外,它将生成一个对称的一对共存的混沌吸引子 (见图14 (c))。

另一方面,双稳态特性,被认为是一个最近的动态系统的现象,近年来吸引了很多研究人员。关于这个属性的更多说明,读者可以参考(26]。然而,为了显示内双稳态系统(4),我们画出分岔图在图(15日)当 , ,和 。值得注意的是,两组ICs被认为是执行的仿真图。第一个是 已考虑到红色的情节,而第二个是吗 已考虑到蓝色的阴谋。这两个情节显示系统(当然4)将展示双稳态现象如果不相称的分数阶值增加。为 , ,和 ,该系统的吸引子共存都绘制在图15 (b)根据两个集成电路, 红色的情节和 蓝色的阴谋。此外,系统(盆的吸引力4可以如图)16相对应的数据(15日)和15 (b)黄色和蓝色区域所示,ICs导致极限环和混沌吸引子,分别。

4所示。Variable-Boostable流动不成比例的分数阶模型

目标是完成信号的完整的范围的线性变换,偏移量增加可能与振幅控制。据报道在27),插入一个新的开发提高控制器可能摧毁variable-boostable模型的对称性。从这个角度来看,我们将添加到系统的状态 , ,和三个额外的标量控制 , ,和 ,分别。在视图,系统(4)将变为以下形式:

在下面几节中,我们打算解决系统(6)在三种不同情况下的系统参数 和 。此外,我们将选择不相称的分数阶值 。评论对初始条件的选择,应该注意的是,当系统有无界解,变量增加应该伴随着初始条件的修改,而系统的初始条件可以忽略与全球吸引力。

4.1。流动的变量

一个变量混沌吸引子可以分散在一维线尤其是当我们正在进行一定的控制,以便抵消增加参数以下列情形:(我)当参数通常是不同的,另两个参数作为吗 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的 - - - - - -轴,表现出图(17日)(2)当参数通常是不同的,另两个参数作为吗 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的 - - - - - -轴,表现出图17 (b)(3)当参数通常是不同的,另两个参数作为吗 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的 - - - - - -轴,表现出图17 (c)

4.2。变量流动的格子

,将同时调整两个控制参数和其他参数保持为零。这将产生一个二维晶格变量混沌和周期吸引子。特别是,一个可能会考虑以下三种情况:(我)当两个参数和经常变化,第三个参数是作为 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的晶格,表现出图(18日)(2)当两个参数和经常变化,第三个参数是作为 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的晶格,表现出图18 (b)(3)当两个参数和经常变化,第三个参数是作为 ,我们将获得几个变量混沌吸引子分散的晶格,表现出图18 (c)

4.3。一个3 d网格变量流动

在本节中,某些值的三个控制参数 , ,和将同时调整。这将产生,在分数阶值,例如, ,一个3 d网格变量混沌和周期流动如图19。此外,系统(盆的吸引力4),如图20.这对应于图19黄色和蓝色区域所示,ICs导致极限环和两个混沌吸引子,分别。

5。结论

这项工作已经制定的小说版本Hopfield神经网络模型与不适应的部分订单使用卡普托微分算子。通过不断变化的系统参数的值以及分数阶导数值,数值分析了该模型的稳定性,和许多丰富复杂的动力学,包括对称、双稳态,和混沌吸引子共存,已经生成。事实证明,通过调整某些额外的控制常数抵消增加的模型具有三个变量。此外,它已被证明,合成周期和混沌吸引子产生这样的模型可以分布在几个形式,包括1 d, 2 d网格,和3 d网格甚至在相空间的任意位置。

数据可用性

的数据支持本研究的结果可按照客户要求定制相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是支持的塔伊夫大学的研究人员数量TURSP-2020/229支持项目,塔伊夫大学,塔伊夫,沙特阿拉伯。