混乱的电力系统稳定的基础上的小说不相称的分数阶线性增加控制器

文摘

的非线性动力学不相称的分数阶单机无限大容量母线(SMIB)电力系统基准模型是探讨和研究现代非线性分析的理论,如分岔、混沌,功率谱密度(PSD)和后方法。不相称的顺序对权力的衍生品系统动力学的影响。研究表明,电力系统发生有趣的动力学,如周期运动,混沌振荡,多稳定性时系统参数值分为特定的范围。一个新的分数阶线性augmentation-based控制方案应用于电力系统混沌振荡的潮湿,改变共存状态的稳定性,从多稳定性monostability驱动系统。提出了控制系统的稳定性是利用李雅普诺夫理论派生而来。仿真结果证实了该控制方案的有效性和鲁棒性阻尼电力系统振荡和实现良好的整体性能。本文中的结果会给一个更好的理解的非线性动态行为不相称的分数阶SMIB电力系统。

1。介绍

电力系统是一个复杂的非线性动力系统由许多成分组成的相互联系,如发电机、公交车、变压器、和许多其他类型的负荷和设备。散装的持续互联电力系统,带来的经济和环境压力,导致电网日益复杂的非线性,必须操作接近其稳定极限。因此,最近的电力系统应对系统稳定性和可靠性控制挑战在当前和未来。电力系统可能受到的干扰操作,参数变化,时间延迟,噪音,和不确定性的系统,这可能会导致混乱的振荡会导致电力系统故障,如电压崩溃,角发散,或者最终灾难性停电像1966年发生在美国1和许多其他国家2- - - - - -4]。电力系统的动态行为与各种参数通常是相关的复杂非线性机电振荡。此外,由于电力需求的增长,现代电网被迫接近稳定极限运行,实现经济和环境限制安装新的输电线路和新电站。

不同于电力系统的低频振荡,混沌振荡更关键的是由于各种各样的因素,可能会引发这种行为。由于这一事实,更难以抑制这种类型的振荡(1]。在过去的几十年里,已经有越来越多的兴趣调查在电力系统混沌振荡。第一个研究混乱和分歧在电力网络提出了在5]。作者使用Melnikov理论分析二阶动力系统有两个发电机。早期作品之一是(6,7),应用数值分析的方法研究一个简单的电力系统的混沌现象两个相互关联的公共汽车。印度学者(8]研究了分岔由三节点组成的电力系统的近似软上发条的限幅器使用光滑函数简化分岔分析。的学者9揭示了各种失稳模式之间的关系和three-bus电力系统混沌现象,研究了线路混乱在这个模型。电力系统单机无限大容量母线模型withhard限制在激励反馈回路及其影响Hopfbifurcation和混乱不稳定提出了在10]。研究人员在11)提出了限定时间控制方法来抑制混沌振荡在混乱的单机无穷大总线显示复杂非线性动力学在特定的操作条件。混乱的功率振荡可以发生在电网络由于其他原因如次同步谐振(SSR)和铁磁谐振的两种现象导致旋转系统的功率振荡(12]。在苏维埃社会主义共和国,电能发电单元和输电系统之间交换频率低于基本同步的频率。它发生由于一系列机电交互补偿输电线路和发电机。它导致轴和功率振荡的振荡(13]。铁磁谐振是一个非线性共振,这发生在一个较低的饱和非线性电感和电容的电路电阻。它可以出现由于一些配置,如断路器故障在打开或关闭操作,线,工厂停电,等等。它会引起波形弄成畸形,网络中功率振荡、频率偏移(14]。介绍了一种新的混沌动力系统(15),提出了两种不同的控制器消除混沌振荡的转子速度和角度。

分数阶微积分理论可以追溯到微分学理论的诞生。但它已经开始被应用在工程和科学应用近年来由于其固有的复杂性16,17),由于混沌和分形领域的进步,显示与分数阶微积分的概念(微妙的关系18]。许多工程系统,如电磁波、电介质极化,和量子进化的复杂系统,显示一些分数阶动力学(19),因此分数阶控制理论得到了研究者的关注。

在[20.相称的),一个二维分数阶SMIB模型分析了使用一个简单的Lyapunov-based控制方法和控制。该控制器驱动随机混沌振荡周期运动来执行。Rajagopal et al。19]讨论了分数阶相称的电力系统的非线性行为,结果显示存在的混沌振荡抑制使用一种自适应滑模控制器。尽管有许多研究电力系统的混沌动力学行为integer-order模型,文献报告的分数阶模型较少,电力系统分析和控制设计。为这些目的,从上述讨论,本文中的混乱和多稳定性不相称的分数阶与硬限制电力系统分析和控制。应用的控制器,它是最近开发的扩展控制方法基于线性增加,被利用。这是通过耦合不相称的分数阶SMIB模型,用线性反馈系统组成的一个基本的衰减函数(21]。这种方法提供了一个显著的影响在规定针对稳态解决方案(22],抑制双稳态[23),调节驱动的动态反应系统(24),和控制的动态隐藏流动(25),线性增加控制被用来稳定不动点的非线性振子。提出的控制方法的优点是简单的实现通过电子电路,它是首选的情况下,当系统内部参数或变量是无法控制。

本文组织如下。其次是介绍部分1,数学初步给出了部分2。的电力系统模型integer-order和不相称的分数阶SMIBs讨论部分3。部分4小说介绍了分数阶线性增加稳定SMIB电力系统控制策略。最后,结论部分5。

2。预赛

存在许多分数阶导数的定义。在这部作品中,Grunwald-Letnikov方法将用于解决电力系统动力学。Grunwald-Letnikov定义的顺序 (GLD)给出如下26]: 在哪里是一个连续函数,对吗 , 是整数部分, 二项式系数的吗 。这个定义的形式是非常有用的寻找分数阶微分方程的数值解(27]。衍生品是基于分数阶的数值解(3)来源于Grunwald-Letnikov (GL)定义(1)。常用的数值近似导数在点 有以下的关系(28,29日]: 在哪里是“记忆长度,” , 是计算的时间步长,二项式系数,将表示吗 。他们的计算,可以使用以下表达式(30.]:

然后,一般分数阶微分方程的数值解 有以下形式:

内存术语表达的总和,一个“健忘”的原则可以用于各种 。

3所示。分数阶动力系统模型

基本与无限汇流排单同步发电机电力系统及其励磁机呈现在图1。发电机励磁系统是由一个单一的时间常数与高增益AVR限幅器。以下描述的系统可以integer-order模型(7): 在哪里是该领域的控制信号,自动电压调节器(AVR)的输出, ,表示如下: 在发电机和母线电压总线终端被定义为 在哪里表示转子角,和代表角速度 和频率 , 表示阻尼系数( ), 和是发电机的瞬态激励和初始终端电压 ,分别表示原动力机械功率 , , ,和输电线路和站 - - - - - -轴电抗和瞬态 - - - - - -轴电抗同步电机,等效惯性矩 ,和和代表了时间常数励磁机的电枢绕组。初始条件 等于 和系统参数选为在附录a阶段画像不同预测的混沌integer-order电力系统(7)如图2。

在这部作品中,不适应电力系统的分数阶模型认为,在integer-order取而代之的是分数阶导数如下:

分数阶4 d电力系统的数值解(10)实现了Grunwald-Letnikov近似方法与步骤给出如下: 在哪里是总模拟时间, ,为 和 代表了初始条件(起点)。二项式系数计算根据关系(4)。

3.1。平衡分和特征值

平衡的分数阶动力系统模型的相同integer-order电力系统。平衡点发现(1.0409,0、1.3559、1.9229)和(2.6621,0、2.5362、4.8184)31日]。在平衡系统的特征方程可以写成: 在哪里是分母的最小公倍数的在哪里 , 和 ,和 ,为 。

因此,对于不相称的订单 , , ,和 , 和特征方程 。的条件不相称的分数阶混沌系统是满足平衡的测量不稳定点分数阶系统(IMFOS)如下32]: 这是解 。结果表明,导数的不相称的顺序影响系统的行为。因此,电力系统(10)往往是混乱的。

前面提到的相同的初始条件和系统参数的给定在附录A中,不成比例的分数阶动力系统相图给出了不同预测图3。在图所示的吸引子3反映了混沌的本质不相称的分数阶动力系统。

功率谱密度和后图给出了分数阶电力系统图4。后或归一化双频谱测量相位耦合之间的信号或两个信号量。双频谱和后都是用来评估的影响非线性系统的联合概率分布系统上输入。相耦合的估计是能量的比例在各个频率成分 。后的结果可以用来发现相干信号非常嘈杂的数据,提供了足够长时间的相干保持不变,因为噪声贡献下降迅速,越来越多的部分 。

混沌系统的auto-bispectrum是由Pezeshki和他的同事在33]。他们计算auto-bispectrum借助傅里叶系数: 在哪里和弧度频率和吗表示时间序列的傅里叶系数。的归一化光谱级双频谱称为平方后给出 在哪里和代表的功率谱和 。

计算双频谱除以时间序列段的长度 ,计算biperiodogram和傅里叶变换,然后取平均合奏。虽然后两个频率的函数,这个函数是一个一维的默认输出输出,与后精制的函数只有两个频率之和。从图4,后显著非零和非常数的,表明美国之间的非线性关系。此外,黄色阴影的非线性关系表明,国家不是一个窄带过程。功率谱密度(PSD)为100时间波形和采样周期为0.005的变量图中给出了4。PSD的变化统一在整个频率范围内,而且没有锋利的面前。因此,该系统符合混沌特征。在图5随时间变化的,结果两个变量和演示了。分析波形图的时间5,它可以观察到系统周期性行为 往往表现出一种准周期的或者混乱的行为 。因此,不相称的分数阶导数的影响明显混乱的电力系统的动态行为。

探索系统参数的影响在考虑电力系统发生混沌的可能性,分岔的阴谋被描述。这个图揭示了完整的动态行为的系统控制参数的变化。局部极大值的状态变量值绘制对控制参数的不同阻尼系数系统的来 。图6显示了分数阶动力系统的分岔图国家对 。可以看到从图6,系统以一个逆周期减半退出混乱的地区。地区可以看到混沌振荡 。低阻尼系数,电力系统可以表现出混沌振动时振幅增加减少。

的机械功率有很大的影响在电力系统稳定运行,确定发电机的速度。为了进一步证实了分数阶的动态电力系统(10),分岔图的参数 如图7对两种不同的初始值。图7显示的倍周期分岔通向混沌在电力系统(10)和显示两个范围的吸引子的存在 。绿线代表一个时期1极限环,红色线表示第二阶段极限环的存在。此外,这两个流动的相图绘制在图所示8。

非线性系统的吸引子共存的经常出现同样的参数值与不同的初始条件,提出了一种引人注目的和有趣的多稳态系统的特点。开关的存在“跳”运动从第一阶段到第二阶段可以观察到在图7由于非光滑的效果上发条的限幅器。限幅器的另一个有趣的和具有挑战性的对电力系统的动态行为的影响,可以发现通过改变的斜率限制器,提高增益的线性限幅器的一部分,加强了共存多稳定性和引发混乱的分数阶动力系统(10)。图9显示分数阶动力系统的分岔图(10),限幅器增益等于线性区域对两种不同的初始值。很明显,斜率增加混乱行为延伸到更广泛的 。此外,图9说明了多稳定性现象,单波段混沌吸引子和极限环吸引子共存 。系统的相图(10)在这个范围内图所示10。这证实了非光滑系统动力学上发条的限幅器有很大影响,不仅导致混乱,还通过改变共存的自然流动。从所有上述动力学和结果,重要的是要找到一个合适的方法来抑制电力系统混沌振荡和控制多稳定性提高系统性能和稳定的分数阶动力系统。在下一节中,将分数阶线性增加的控制方法。最好的作者的知识,这是第一次使用这种方法在分数阶意义上。

4所示。小说分数阶线性增强控制方法

电力系统控制的主要目的是抑制功率振荡发生突然变化等对扰动负荷或短路发生的事件。这些振荡阻碍功率流显著,可能会导致无法满足电力需求,甚至可能最终的失去同步,在最坏的情况下,停电。

基于线性增加的理论控制方法(34,35),此部分介绍了该方法的推广和扩展来处理分数阶非线性系统。新提出分数阶线性增加控制方法是基于分数阶非线性耦合动力系统到另一个分数阶线性系统 。然后,通过改变两个分数阶系统之间的耦合强度,可以实现控制目标。控制系统可以定义为follows.where 是一个通用的不相称的分数阶非线性动力系统,是一个m维向量动态变量,是它的向量场。的参数代表分数阶非线性振荡器之间的耦合强度和分数阶线性控制系统。向量描述了分数阶线性系统的动态 ,在哪里充分体现了衰减参数。如果没有耦合 ,分数阶线性系统的方法指数与衰减率等于零 。为了证明前面的sql语句,引理1(36)将采用与定理1证明增分数阶线性系统的渐近稳定性。

引理1。让 是一个连续和可诱导的功能。然后,在任何时候 ,

证明。证明表达式(17)相当于证明是正确的 它可以写成 在相同的方式, 因此,表达式(18)可以写成 辅助变量定义为 ,这意味着 。通过这种方式,表达式(21)可以写成 让我们分部积分表达式(22)定义 这样的话,表达式(22)可以写成 让我们检查第一项的表达式(24),它有一个不确定 ,所以让我们分析相应的限制。 考虑到函数是可诱导的,可以应用洛必达法则。然后, 因此,表达式(24)是减少到 表达式(27)显然是真的,这就是证明。

定理1。考虑下面的分数阶系统, ;然后,系统渐近稳定。

证明。让我们考虑以下李亚普诺夫候选: 现在,应用引理1,它可以发现 我们可以看到从(30.),李雅普诺夫函数的分数阶导数负定,所以可以得出结论:系统的起源(28)是渐近稳定的。
现在,回头的选择参数 ,有一个非常重要的角色在影响所需的多稳态系统的吸引子。值可以选择作为一个常数附近的国家规定。通常,不变的特征所需的系统如平衡点吸引子是首选。在特殊情况下隐藏的吸引子的吸引子不位于附近的不动点,可以被视为平均系统的变量(例如, )(23]。现在描述的控制策略应用于分数阶动力系统。介绍了耦合的变量的耦合强度 ,和 和 ,在哪里表示转置。完整的控制系统动力学描述了以下方程: 由于这种方法,合成抑制的混乱,没有必要控制模型的所有的州,但就可以平息混乱使用单标量耦合。这对资源优化的优势,相比与其他在这一领域工作,例如,但不限于19,37,38),有一个控制项为每个状态的模型来实现电力系统中的混沌抑制。除了线性扩增方法,在几乎所有其他现有的混沌控制方法,系统的控制是应用于一个参数或系统变量。但是一般来说,它不可能修改系统参数删除所有初始条件的特色之一。因此,外部控制线性增大等方法将优先(39]。
结果应用分数阶控制方案在电力系统分岔图的图11当不同耦合强度在[0,5]。图11显示了从混沌振荡过渡到monostability行为的价值更高的耦合强度参数。此外,它可以观察到从图11分数阶线性增强电力系统控制(31日)逆周期减半退出混乱的地区,和更高价值的角振幅明显降低耦合强度参数 。
进一步研究提出控制方法,实现控制器在不同情况下的结果提出了数字12和13。图12显示了状态变量的时域波形的提议下的电力系统控制器已应用于模拟的开始 。另一方面,时域波形的观点电力系统的状态变量图所示13当控制器在任意时间生效,系统处于混沌振荡状态。的两个场景说明了能力提出分数阶线性增加控制策略减少混沌振荡的振幅,驱动系统状态规定的稳态操作点,和稳定整个动力学的分数阶控制的电力系统。换句话说,该控制器具有良好的鲁棒性在整个过程和达到预期的控制目标。

5。结论

分数阶的丰富的动态电力系统研究了在当前论文通过改变不同的系统参数。基于非线性动态分析方法,丰富的电力系统的混沌行为调查和描述通过平衡点,功率谱密度,后,分岔图和相图。派生的数值分析结果非常有用和有价值的理解系统行为。多稳定性现象和共存周期/电力系统非线性分数阶动力学的混沌吸引子显示相同的系统参数。这是一个有趣的和有挑战性的现象稳定概念,应该认真考虑控制设计方法。构造一个新的分数阶线性增加控制器稳定不稳定的状态,抑制混沌振荡行为,并实现monostability电力系统的闭环动态。利用李雅普诺夫方法证明提出的稳定控制策略。数值模拟证实了设计的控制器的有效性在抑制混沌振荡和实现预期的目标在不同的情况下。

附录

答:系统参数

数据可用性

提到的所有数值模拟参数在各自的文本部分,并且没有额外的数据仿真结果的要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究的部分资金由非线性系统中心印度钦奈理工学院(基金号CIT / CNS / 2021 / RD / 022)。

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