raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

复杂性

1099 - 0526<我年代年代n聚氨酯b-type="ppub"> 1076 - 2787

Hindawi

10.1155 / 2021/3334609

3334609

研究文章

混乱的电力系统稳定的基础上的小说不相称的分数阶线性增加控制器

https://orcid.org/0000 - 0002 - 5957 - 4581 Al-Hussein

Abdul-Basset。

https://orcid.org/0000 - 0002 - 3403 - 5477 Tahir

Fadhil Rahma

https://orcid.org/0000 - 0003 - 2993 - 7182 Rajagopal

Karthikeyan

Ferraz德阿鲁达

Guilherme

^{1<一个ddr-line>
电气工程系

巴士拉大学

巴士拉

伊拉克

uobasrah.edu.iq} ^{2<一个ddr-line>
非线性系统中心

钦奈理工学院

钦奈

印度

citchennai.edu.in}

2021年

29日<米onth> 9 2021年

2021年 30.<米onth> 4 2021年 11<米onth> 9 2021年 29日<米onth> 9 2021年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

的非线性动力学不相称的分数阶单机无限大容量母线(SMIB)电力系统基准模型是探讨和研究现代非线性分析的理论,如分岔、混沌,功率谱密度(PSD)和后方法。不相称的顺序对权力的衍生品系统动力学的影响。研究表明,电力系统发生有趣的动力学,如周期运动,混沌振荡,多稳定性时系统参数值分为特定的范围。一个新的分数阶线性augmentation-based控制方案应用于电力系统混沌振荡的潮湿,改变共存状态的稳定性,从多稳定性monostability驱动系统。提出了控制系统的稳定性是利用李雅普诺夫理论派生而来。仿真结果证实了该控制方案的有效性和鲁棒性阻尼电力系统振荡和实现良好的整体性能。本文中的结果会给一个更好的理解的非线性动态行为不相称的分数阶SMIB电力系统。

钦奈理工学院 CIT / CNS / 2021 / RD / 022

1。介绍</t我tle> <p>电力系统是一个复杂的非线性动力系统由许多成分组成的相互联系,如发电机、公交车、变压器、和许多其他类型的负荷和设备。散装的持续互联电力系统,带来的经济和环境压力,导致电网日益复杂的非线性,必须操作接近其稳定极限。因此,最近的电力系统应对系统稳定性和可靠性控制挑战在当前和未来。电力系统可能受到的干扰操作,参数变化,时间延迟,噪音,和不确定性的系统,这可能会导致混乱的振荡会导致电力系统故障,如电压崩溃,角发散,或者最终灾难性停电像1966年发生在美国<x裁判裁判-type="bibr" rid="B1"> 1</x裁判>和许多其他国家<x裁判裁判-type="bibr" rid="B2"> 2</x裁判>- - - - - -<x裁判裁判-type="bibr" rid="B4"> 4</x裁判>]。电力系统的动态行为与各种参数通常是相关的复杂非线性机电振荡。此外,由于电力需求的增长,现代电网被迫接近稳定极限运行,实现经济和环境限制安装新的输电线路和新电站。</p><p>gydF4y2Ba不同于电力系统的低频振荡,混沌振荡更关键的是由于各种各样的因素,可能会引发这种行为。由于这一事实,更难以抑制这种类型的振荡(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B1"> 1</x裁判>]。在过去的几十年里,已经有越来越多的兴趣调查在电力系统混沌振荡。第一个研究混乱和分歧在电力网络提出了在<x裁判裁判-type="bibr" rid="B5"> 5</x裁判>]。作者使用Melnikov理论分析二阶动力系统有两个发电机。早期作品之一是(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B6"> 6</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B7"> 7</x裁判>),应用数值分析的方法研究一个简单的电力系统的混沌现象两个相互关联的公共汽车。印度学者(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B8"> 8</x裁判>]研究了分岔由三节点组成的电力系统的近似软上发条的限幅器使用光滑函数简化分岔分析。的学者<x裁判裁判-type="bibr" rid="B9"> 9</x裁判>揭示了各种失稳模式之间的关系和three-bus电力系统混沌现象,研究了线路混乱在这个模型。电力系统单机无限大容量母线模型withhard限制在激励反馈回路及其影响Hopfbifurcation和混乱不稳定提出了在<x裁判裁判-type="bibr" rid="B10"> 10</x裁判>]。研究人员在<x裁判裁判-type="bibr" rid="B11"> 11</x裁判>)提出了限定时间控制方法来抑制混沌振荡在混乱的单机无穷大总线显示复杂非线性动力学在特定的操作条件。混乱的功率振荡可以发生在电网络由于其他原因如次同步谐振(SSR)和铁磁谐振的两种现象导致旋转系统的功率振荡(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B12"> 12</x裁判>]。在苏维埃社会主义共和国,电能发电单元和输电系统之间交换频率低于基本同步的频率。它发生由于一系列机电交互补偿输电线路和发电机。它导致轴和功率振荡的振荡(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B13"> 13</x裁判>]。铁磁谐振是一个非线性共振,这发生在一个较低的饱和非线性电感和电容的电路电阻。它可以出现由于一些配置,如断路器故障在打开或关闭操作,线,工厂停电,等等。它会引起波形弄成畸形,网络中功率振荡、频率偏移(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B14"> 14</x裁判>]。介绍了一种新的混沌动力系统(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B15"> 15</x裁判>),提出了两种不同的控制器消除混沌振荡的转子速度和角度。</p><p>gydF4y2B一个分数阶微积分理论可以追溯到微分学理论的诞生。但它已经开始被应用在工程和科学应用近年来由于其固有的复杂性<x裁判裁判-type="bibr" rid="B16"> 16</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B17"> 17</x裁判>),由于混沌和分形领域的进步,显示与分数阶微积分的概念(微妙的关系<x裁判裁判-type="bibr" rid="B18"> 18</x裁判>]。许多工程系统,如电磁波、电介质极化,和量子进化的复杂系统,显示一些分数阶动力学(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B19"> 19</x裁判>),因此分数阶控制理论得到了研究者的关注。</p><p>gydF4y2B一个在[<x裁判裁判-type="bibr" rid="B20"> 20.</x裁判>相称的),一个二维分数阶SMIB模型分析了使用一个简单的Lyapunov-based控制方法和控制。该控制器驱动随机混沌振荡周期运动来执行。Rajagopal et al。<x裁判裁判-type="bibr" rid="B19"> 19</x裁判>]讨论了分数阶相称的电力系统的非线性行为,结果显示存在的混沌振荡抑制使用一种自适应滑模控制器。尽管有许多研究电力系统的混沌动力学行为integer-order模型,文献报告的分数阶模型较少,电力系统分析和控制设计。为这些目的,从上述讨论,本文中的混乱和多稳定性不相称的分数阶与硬限制电力系统分析和控制。应用的控制器,它是最近开发的扩展控制方法基于线性增加,被利用。这是通过耦合不相称的分数阶SMIB模型,用线性反馈系统组成的一个基本的衰减函数(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B21"> 21</x裁判>]。这种方法提供了一个显著的影响在规定针对稳态解决方案(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B22"> 22</x裁判>],抑制双稳态[<x裁判裁判-type="bibr" rid="B23"> 23</x裁判>),调节驱动的动态反应系统(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B24"> 24</x裁判>),和控制的动态隐藏流动(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B25"> 25</x裁判>),线性增加控制被用来稳定不动点的非线性振子。提出的控制方法的优点是简单的实现通过电子电路,它是首选的情况下,当系统内部参数或变量是无法控制。</p><p>gydF4y2B一个本文组织如下。其次是介绍部分<x裁判裁判-type="sec" rid="sec1"> 1</x裁判>,数学初步给出了部分<x裁判裁判-type="sec" rid="sec2"> 2</x裁判>。的电力系统模型integer-order和不相称的分数阶SMIBs讨论部分<x裁判裁判-type="sec" rid="sec3"> 3</x裁判>。部分<x裁判裁判-type="sec" rid="sec4"> 4</x裁判>小说介绍了分数阶线性增加稳定SMIB电力系统控制策略。最后,结论部分<x裁判裁判-type="sec" rid="sec5"> 5</x裁判>。</p></年代ec><年代ec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle> <p>存在许多分数阶导数的定义。在这部作品中,Grunwald-Letnikov方法将用于解决电力系统动力学。Grunwald-Letnikov定义的顺序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(GLD)给出如下<x裁判裁判-type="bibr" rid="B26"> 26</x裁判>]:<dgydF4y2B一个我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> lim</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个连续函数,对吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是整数部分,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> !</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> !</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> !</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>二项式系数的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。这个定义的形式是非常有用的寻找分数阶微分方程的数值解(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B27"> 27</x裁判>]。衍生品是基于分数阶的数值解(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</x裁判>)来源于Grunwald-Letnikov (GL)定义(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</x裁判>)。常用的数值近似<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mtext> th</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>导数在点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有以下的关系(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B28"> 28</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B29"> 29日</x裁判>]:<dgydF4y2B一个我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是“记忆长度,”<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是计算的时间步长,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>二项式系数,将表示吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。他们的计算,可以使用以下表达式(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B30"> 30.</x裁判>]:<dgydF4y2B一个我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,一般分数阶微分方程的数值解<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:none></mml:none> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>有以下形式:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>内存术语表达的总和,一个“健忘”的原则可以用于各种<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代ec><年代ec id="sec3"> <title>3所示。分数阶动力系统模型</t我tle> <p>基本与无限汇流排单同步发电机电力系统及其励磁机呈现在图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig1"> 1</x裁判>。发电机励磁系统是由一个单一的时间常数与高增益AVR限幅器。以下描述的系统可以integer-order模型(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</x裁判>):<dgydF4y2B一个我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 裁判</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是该领域的控制信号,自动电压调节器(AVR)的输出,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>表示如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在发电机和母线电压总线终端被定义为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示转子角,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>代表角速度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> rad</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和频率<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 赫兹</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示阻尼系数(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:mtext> 新墨西哥州</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> rad</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是发电机的瞬态激励和初始终端电压<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 聚氨酯</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>分别<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>表示原动力机械功率<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 聚氨酯</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>输电线路和站<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>设在电抗和瞬态<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>设在电抗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>同步电机,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>等效惯性矩<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 聚氨酯</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>代表了时间常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>励磁机的电枢绕组。初始条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>等于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1.046</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.001</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1.33</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1。9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和系统参数选为在附录a阶段画像不同预测的混沌integer-order电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</x裁判>)如图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig2"> 2</x裁判>。</p><f我g我d="fig1"> <label>图1</gydF4y2B一个label> <p>电力系统原理图。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.001"></graphic> </fig> <fig id="fig2"> <label>图2</gydF4y2B一个label> <p>阶段的画像混乱integer-order四维电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</x裁判>对不同的预测)。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.002"></graphic> </fig> <p>在这部作品中,不适应电力系统的分数阶模型认为,在integer-order取而代之的是分数阶导数如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 裁判</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>分数阶4 d电力系统的数值解(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)实现了Grunwald-Letnikov近似方法与步骤<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>给出如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 裁判</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> efdr</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> sim卡</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是总模拟时间,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1、2、3</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> sim卡</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>代表了初始条件(起点)。二项式系数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>计算根据关系(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</x裁判>)。</p><年代ec我d="sec3.1"> <title>3.1。平衡分和特征值</t我tle> <p>平衡的分数阶动力系统模型的相同integer-order电力系统。平衡点发现(1.0409,0、1.3559、1.9229)和(2.6621,0、2.5362、4.8184)<x裁判裁判-type="bibr" rid="B31"> 31日</x裁判>]。在平衡系统的特征方程可以写成:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 诊断接头</米米l:mtext> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> Mq</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> Mq</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> Mq</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> Mq</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是分母的最小公倍数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msubsup> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mtext> gcf</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2B一个因此,对于不相称的订单<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.999</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.999</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1000年</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和特征方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3998年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1.1667</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2999年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 0.15</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2998年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 9.9936</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2000年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 0.175</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1999年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 28.707</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1998年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1.499</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1000年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 31.412</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 999年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 473.66</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。的条件不相称的分数阶混沌系统是满足平衡的测量不稳定点分数阶系统(IMFOS)如下<x裁判裁判-type="bibr" rid="B32"> 32</x裁判>]:<dgydF4y2B一个我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:munder> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 参数</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mn> 0.00016945</米米l:mn> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。结果表明,导数的不相称的顺序影响系统的行为。因此,电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)往往是混乱的。</p><p>gydF4y2B一个前面提到的相同的初始条件和系统参数的给定在附录A中,不成比例的分数阶动力系统相图给出了不同预测图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig3"> 3</x裁判>。在图所示的吸引子<x裁判裁判-type="fig" rid="fig3"> 3</x裁判>反映了混沌的本质不相称的分数阶动力系统。</p><f我g我d="fig3"> <label>图3</gydF4y2B一个label> <p>阶段的画像混乱的分数阶四维电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>对不同的预测)。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.003"></graphic> </fig> <p>功率谱密度和后图给出了分数阶电力系统图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig4"> 4</x裁判>。后或归一化双频谱测量相位耦合之间的信号或两个信号量。双频谱和后都是用来评估的影响非线性系统的联合概率分布系统上输入。相耦合的估计是能量的比例在各个频率成分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。后的结果可以用来发现相干信号非常嘈杂的数据,提供了足够长时间的相干保持不变,因为噪声贡献下降迅速,越来越多的部分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><f我g我d="fig4"> <label>图4</gydF4y2B一个label> <p>功率谱密度和分数阶后电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.004"></graphic> </fig> <p>混沌系统的auto-bispectrum是由Pezeshki和他的同事在<x裁判裁判-type="bibr" rid="B33"> 33</x裁判>]。他们计算auto-bispectrum借助傅里叶系数:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> B</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>弧度频率和吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示时间序列的傅里叶系数。的归一化光谱级双频谱称为平方后给出<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> P</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>代表的功率谱<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2B一个计算双频谱除以时间序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>段的长度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> e</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,计算其biperiodogram和傅里叶变换,然后将平均在合奏。虽然后两个频率的函数,这个函数是一个一维的默认输出输出,与后精制的函数只有两个频率之和。从图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig4"> 4</x裁判>,后显著非零和非常数的,表明美国之间的非线性关系。此外,黄色阴影的非线性关系表明,国家不是一个窄带过程。功率谱密度(PSD)为100<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>时间波形和采样周期为0.005<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>图中给出了<x裁判裁判-type="fig" rid="fig4"> 4</x裁判>。PSD的变化统一在整个频率范围内,而且没有锋利的面前。因此,该系统符合混沌特征。在图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig5"> 5</x裁判>随时间变化的,结果两个变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>演示了。分析波形图的时间<x裁判裁判-type="fig" rid="fig5"> 5</x裁判>,它可以观察到系统周期性行为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 0.99</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>往往表现出一种准周期的或者混乱的行为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0.99</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。因此,不相称的分数阶导数的影响明显混乱的电力系统的动态行为。</p><f我g我d="fig5"> <label>图5</gydF4y2B一个label> <p>时间序列分数阶动力系统响应(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>),<gydF4y2B一个我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和不同的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>如图传说。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.005"></graphic> </fig> <p>探索系统参数的影响在考虑电力系统发生混沌的可能性,分岔的阴谋被描述。这个图揭示了完整的动态行为的系统控制参数的变化。局部极大值的状态变量值绘制对控制参数的不同阻尼系数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>系统的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mn> 1.48</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mn> 2.0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig6"> 6</x裁判>显示了分数阶动力系统的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>国家对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。可以看到从图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig6"> 6</x裁判>,系统以一个逆周期减半退出混乱的地区。地区可以看到混沌振荡<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mn> 1.48</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1.58</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。低阻尼系数,电力系统可以表现出混沌振动时振幅增加<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>减少。</p><f我g我d="fig6"> <label>图6</gydF4y2B一个label> <p>分数阶动力系统的分岔图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>),显示状态的局部极大值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>关于参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.006"></graphic> </fig> <p>的机械功率<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>有很大的影响在电力系统稳定运行,确定发电机的速度。为了进一步证实了分数阶的动态电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>),分岔图的参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.95</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1。3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>如图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig7"> 7</x裁判>对两种不同的初始值。图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig7"> 7</x裁判>显示的倍周期分岔通向混沌在电力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)和显示两个范围的吸引子的存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.961.007</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。绿线代表一个时期1极限环,红色线表示第二阶段极限环的存在。此外,这两个流动的相图绘制在图所示<x裁判裁判-type="fig" rid="fig8"> 8</x裁判>。</p><f我g我d="fig7"> <label>图7</gydF4y2B一个label> <p>分数阶动力系统的分岔图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.007"></graphic> </fig> <fig id="fig8"> <label>图8</gydF4y2B一个label> <p>分数阶动力系统相图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.956</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>在两个不同的初始条件。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.008"></graphic> </fig> <p>非线性系统的吸引子共存的经常出现同样的参数值与不同的初始条件,提出了一种引人注目的和有趣的多稳态系统的特点。开关的存在“跳”运动从第一阶段到第二阶段可以观察到在图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig7"> 7</x裁判>由于非光滑的效果上发条的限幅器。限幅器的另一个有趣的和具有挑战性的对电力系统的动态行为的影响,可以发现通过改变的斜率限制器,提高增益的线性限幅器的一部分,加强了共存多稳定性和引发混乱的分数阶动力系统(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)。图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig9"> 9</x裁判>显示分数阶动力系统的分岔图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>),限幅器增益等于线性区域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>对两种不同的初始值。很明显,斜率增加混乱行为延伸到更广泛的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。此外,图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig9"> 9</x裁判>说明了多稳定性现象,单波段混沌吸引子和极限环吸引子共存<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1.060</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1.108</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。系统的相图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在这个范围内图所示<x裁判裁判-type="fig" rid="fig10"> 10</x裁判>。这证实了非光滑系统动力学上发条的限幅器有很大影响,不仅导致混乱,还通过改变共存的自然流动。从所有上述动力学和结果,重要的是要找到一个合适的方法来抑制电力系统混沌振荡和控制多稳定性提高系统性能和稳定的分数阶动力系统。在下一节中,将分数阶线性增加的控制方法。最好的作者的知识,这是第一次使用这种方法在分数阶意义上。</p><f我g我d="fig9"> <label>图9</gydF4y2B一个label> <p>分数阶动力系统的分岔图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)与限幅斜率等于10和两个不同的初始条件。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.009"></graphic> </fig> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> X</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <fig id="fig10"> <label>图10</gydF4y2B一个label> <p>分数阶动力系统相图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</x裁判>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.101</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,显示吸引子共存的两个不同的初始条件。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.0010"></graphic> </fig> </sec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。小说分数阶线性增强控制方法</t我tle> <p>电力系统控制的主要目的是抑制功率振荡发生突然变化等对扰动负荷或短路发生的事件。这些振荡阻碍功率流显著,可能会导致无法满足电力需求,甚至可能最终的失去同步,在最坏的情况下,停电。</p><p>gydF4y2B一个基于线性增加的理论控制方法(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B34"> 34</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B35"> 35</x裁判>),此部分介绍了该方法的推广和扩展来处理分数阶非线性系统。新提出分数阶线性增加控制方法是基于分数阶非线性耦合动力系统到另一个分数阶线性系统<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,通过改变两个分数阶系统之间的耦合强度,可以实现控制目标。控制系统可以定义为follows.where<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> X</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个通用的不相称的分数阶非线性动力系统,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个m维向量动态变量,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是它的向量场。的参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>代表分数阶非线性振荡器之间的耦合强度和分数阶线性控制系统。向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>描述了分数阶线性系统的动态<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>充分体现了衰减参数。如果没有耦合<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>分数阶线性系统的方法,指数与衰减率等于零<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。为了证明前面的sql语句,引理<x裁判裁判-type="statement" rid="lem1"> 1</x裁判>(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B36"> 36</x裁判>)将采用与定理1证明增分数阶线性系统的渐近稳定性。</p><年代t一个te米ent我d="lem1"> <title>引理1。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个连续和可诱导的功能。然后,在任何时候<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩽</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>证明表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</x裁判>)相当于证明是正确的<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩾</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>它可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在相同的方式,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq18"> 18</x裁判>)可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩾</米米l:mi> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>辅助变量定义为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,这意味着<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。通过这种方式,表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</x裁判>)可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩽</米米l:mi> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让我们分部积分表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</x裁判>)定义<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (23)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>这样的话,表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</x裁判>)可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (24)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> |</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩾</米米l:mi> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让我们检查第一项的表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</x裁判>),它有一个不确定<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,所以让我们分析相应的限制。<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (25)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>考虑到函数是可诱导的,可以应用洛必达法则。然后,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (26)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</x裁判>)是减少到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</米米l:mtext> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="normal"> ⩾</米米l:mi> <mml:mn> 0。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>表达式(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq27"> 27</x裁判>)显然是真的,这就是证明。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>考虑下面的分数阶系统,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>;然后,系统渐近稳定。<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>让我们考虑以下李亚普诺夫候选:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在,应用引理<x裁判裁判-type="statement" rid="lem1"> 1</x裁判>,它可以发现<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (30)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mmultiscripts> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mmultiscripts> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mmultiscripts> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mmultiscripts> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mstyle> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们可以看到从(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq30"> 30.</x裁判>),李雅普诺夫函数的分数阶导数负定,所以可以得出结论:系统的起源(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq28"> 28</x裁判>)是渐近稳定的。</p><p>gydF4y2B一个现在,回头的选择参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有一个非常重要的角色在影响所需的多稳态系统的吸引子。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>值可以选择作为一个常数附近的国家规定。通常,不变的特征所需的系统如平衡点吸引子是首选。在特殊情况下隐藏的吸引子的吸引子不位于附近的不动点,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>可以被视为平均系统的变量(例如,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> B</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </inline-formula>)[<x裁判裁判-type="bibr" rid="B23"> 23</x裁判>]。现在描述的控制策略应用于分数阶动力系统。介绍了耦合的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>变量的耦合强度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0,0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> B</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0,0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示转置。完整的控制系统动力学描述了以下方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:mi> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 裁判</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由于这种方法,合成抑制的混乱,没有必要控制模型的所有的州,但就可以平息混乱使用单标量耦合。这对资源优化的优势,相比与其他在这一领域工作,例如,但不限于<x裁判裁判-type="bibr" rid="B19"> 19</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B37"> 37</x裁判>,<xgydF4y2B一个裁判裁判-type="bibr" rid="B38"> 38</x裁判>),有一个控制项为每个状态的模型来实现电力系统中的混沌抑制。除了线性扩增方法,在几乎所有其他现有的混沌控制方法,系统的控制是应用于一个参数或系统变量。但是一般来说,它不可能修改系统参数删除所有初始条件的特色之一。因此,外部控制线性增大等方法将优先(<x裁判裁判-type="bibr" rid="B39"> 39</x裁判>]。</p><p>gydF4y2B一个结果应用分数阶控制方案在电力系统分岔图的图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig11"> 11</x裁判>当不同耦合强度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在[0,5]。图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig11"> 11</x裁判>显示了从混沌振荡过渡到monostability行为的价值更高的耦合强度参数。此外,它可以观察到从图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig11"> 11</x裁判>分数阶线性增强电力系统控制(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq31"> 31日</x裁判>)逆周期减半退出混乱的地区,和更高价值的角振幅明显降低耦合强度参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2B一个进一步研究提出控制方法,实现控制器在不同情况下的结果提出了数字<x裁判裁判-type="fig" rid="fig12"> 12</x裁判>和<x裁判裁判-type="fig" rid="fig13"> 13</x裁判>。图<x裁判裁判-type="fig" rid="fig12"> 12</x裁判>显示了状态变量的时域波形的提议下的电力系统控制器已应用于模拟的开始<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。另一方面,时域波形的观点电力系统的状态变量图所示<x裁判裁判-type="fig" rid="fig13"> 13</x裁判>当控制器在任意时间生效,系统处于混沌振荡状态。的两个场景说明了能力提出分数阶线性增加控制策略减少混沌振荡的振幅,驱动系统状态规定的稳态操作点,和稳定整个动力学的分数阶控制的电力系统。换句话说,该控制器具有良好的鲁棒性在整个过程和达到预期的控制目标。</p></年代t一个te米ent><f我g id="fig11"> <label>图11</gydF4y2B一个label> <p>分数阶控制电力系统分岔图(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq31"> 31日</x裁判>)通过改变耦合强度参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> μ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.0011"></graphic> </fig> <fig id="fig12"> <label>图12</gydF4y2B一个label> <p>时间序列分数阶控制电力系统的响应(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq31"> 31日</x裁判>控制行动<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.0012"></graphic> </fig> <fig id="fig13"> <label>图13</gydF4y2B一个label> <p>时间序列分数阶控制电力系统的响应(<x裁判裁判-type="disp-formula" rid="EEq31"> 31日</x裁判>控制行动<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 50</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><ggydF4y2B一个raphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2021/3334609.fig.0013"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。结论</t我tle> <p>分数阶的丰富的动态电力系统研究了在当前论文通过改变不同的系统参数。基于非线性动态分析方法,丰富的电力系统的混沌行为调查和描述通过平衡点,功率谱密度,后,分岔图和相图。派生的数值分析结果非常有用和有价值的理解系统行为。多稳定性现象和共存周期/电力系统非线性分数阶动力学的混沌吸引子显示相同的系统参数。这是一个有趣的和有挑战性的现象稳定概念,应该认真考虑控制设计方法。构造一个新的分数阶线性增加控制器稳定不稳定的状态,抑制混沌振荡行为,并实现monostability电力系统的闭环动态。利用李雅普诺夫方法证明提出的稳定控制策略。数值模拟证实了设计的控制器的有效性在抑制混沌振荡和实现预期的目标在不同的情况下。</p></年代ec><b一个ck> <app-group> <app> <title>附录</t我tle> <sec id="secA"> <title>答:系统参数</t我tle> <p> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEqA.1"> <mml:mtd rowspan="13"> <mml:mtext> (.)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 60</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1。3</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.4</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:mo> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 10</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 190年</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 裁判</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.05</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 罗斯福</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> fd</米米l:mtext> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2。</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </sec> </app> </app-group> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>提到的所有数值模拟参数在各自的文本部分,并且没有额外的数据仿真结果的要求。</p></年代ec><年代ec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec><一个ck> <title>确认</t我tle> <p>这项研究的部分资金由非线性系统中心印度钦奈理工学院(基金号CIT / CNS / 2021 / RD / 022)。</p></一个ck><裁判-list> <ref id="B1" content-type="inproceedings"> <label>1</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 最小值</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 元</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 朱</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 窦</年代urname> <given-names> Y。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 3-node电力系统与电力扰动的动力学分析</一个rticle-title> <conf-name> 学报2019年22日国际会议上电机和系统(ICEMS)</cgydF4y2B一个onf-name> <conf-date> 2019年8月</cgydF4y2B一个onf-date> <conf-loc> 哈尔滨,中国</cgydF4y2B一个onf-loc> <publisher-name> IEEE</pubgydF4y2B一个lisher-name> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 6</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / icems.2019.8922137</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="book"> <label>2</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 余</年代urname> <given-names> Y.-N。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 电力系统动态</我t一个lic> <year> 1983年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pubgydF4y2B一个lisher-loc> <publisher-name> 学术出版社有限公司</pubgydF4y2B一个lisher-name> <fpage> 1983年</fp一个ge></element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 卡雷拉斯</年代urname> <given-names> b。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 林奇</年代urname> <given-names> 诉E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 多布森</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 纽曼</年代urname> <given-names> d E。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 临界点和转换的电力传输模型级联故障停电</一个rticle-title> <source> <italic> 混乱:一个跨学科的非线性科学》杂志上</我t一个lic> <year> 2002年</ye一个r> <volume> 12</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fp一个ge>985年年</fp一个ge><lpage> 994年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1063/1.1505810</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0036924741</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Filatrella</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 尼尔森</年代urname> <given-names> a . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 需要好好</年代urname> <given-names> n . F。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分析电网使用kuramoto-like模型</一个rticle-title> <source> <italic> 欧洲物理期刊B</我t一个lic> <year> 2008年</ye一个r> <volume> 61年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fp一个ge>485年年</fp一个ge><lpage> 491年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1140 / epjb / e2008 - 00098 - 8</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 56549107021</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kopell</年代urname> <given-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 沃什伯恩</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌运动的两个自由度的摆动方程</一个rticle-title> <source> <italic> IEEE电路和系统</我t一个lic> <year> 1982年</ye一个r> <volume> 29日</vgydF4y2B一个olume> <issue> 11</我年代年代ue><fp一个ge>738年年</fp一个ge><lpage> 746年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tcs.1982.1085094</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0020208803</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 蒋介石</年代urname> <given-names> 》。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 伊恩•多布森</年代urname> <given-names> r . j . T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 詹姆斯</年代urname> <given-names> s T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Fekih-Ahmed</年代urname> <given-names> l</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在电力系统电压崩溃</一个rticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我t一个lic> <year> 1990年</ye一个r> <volume> 5</vgydF4y2B一个olume> <issue> 2</我年代年代ue><fp一个ge>601年年</fp一个ge><lpage> 611年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 蒋介石</年代urname> <given-names> 》。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> C.-W。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Varaiya</年代urname> <given-names> P P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 吴</年代urname> <given-names> F F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Lauby</年代urname> <given-names> m·G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 混乱的一个简单的电力系统</一个rticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我t一个lic> <year> 1993年</ye一个r> <volume> 8</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fp一个ge>1407年年</fp一个ge><lpage> 1417年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/59.260940</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027702248</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kavasseri</年代urname> <given-names> r·G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Padiyar</年代urname> <given-names> k·R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分析电力系统的分岔模型与励磁限制</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个lic> <year> 2001年</ye一个r> <volume> 11</vgydF4y2B一个olume> <issue> 9</我年代年代ue><fp一个ge>2509年年</fp一个ge><lpage> 2516年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s0218127401003553</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0035438238</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="inproceedings"> <label>9</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 关根身上</年代urname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 信</年代urname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Oyama</年代urname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Magoules</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 田</年代urname> <given-names> K。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行计算的加速parareal日本电力系统的暂态稳定分析方法</一个rticle-title> <conf-name> 学报2016年IEEE创新智能电网Technologies-Asia (ISGT-Asia)</cgydF4y2B一个onf-name> <conf-date> 2016年12月</cgydF4y2B一个onf-date> <conf-loc> 澳大利亚墨尔本</cgydF4y2B一个onf-loc> <publisher-name> IEEE</pubgydF4y2B一个lisher-name> <fpage> 1177年</fp一个ge><lpage> 1182年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / isgt-asia.2016.7796552</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85010022744</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> R.-Q</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> J.-C。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 硬限制对分岔的影响、混乱和稳定</一个rticle-title> <source> <italic> Acta Mathematicae Applicatae中央研究院</我t一个lic> <year> 2004年</ye一个r> <volume> 20.</vgydF4y2B一个olume> <issue> 3</我年代年代ue><fp一个ge>441年年</fp一个ge><lpage> 456年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10255 - 004 - 0183 - x</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 42249103617</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 马</年代urname> <given-names> Y.-J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> S.-J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Shi-Gen</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 钟</年代urname> <given-names> D。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于限定时间控制混沌在电力系统稳定理论</一个rticle-title> <source> <italic> 中国物理B</我t一个lic> <year> 2011年</ye一个r> <volume> 20.</vgydF4y2B一个olume> <issue> 12</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 120501年</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 1674 - 1056/20/12/120501</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84055193983</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Abdul-Basset</年代urname> <given-names> 答:A.-H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Tahir</年代urname> <given-names> f·R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ouannas</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 太阳</年代urname> <given-names> 苏耿赋。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Jahanshahi</年代urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urname> <given-names> 答:一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在three-buses混乱抑制电力系统使用一个自适应协同作用的控制方法</一个rticle-title> <source> <italic> 电子产品</我t一个lic> <year> 2021年</ye一个r> <volume> 10</vgydF4y2B一个olume> <issue> 13</我年代年代ue><fp一个ge>1532年年</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.3390 / electronics10131532</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Widyan</年代urname> <given-names> m . S。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 控制混沌和分岔的smib电力系统使用sssc经历ssr的现象</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的电力和能源系统</我t一个lic> <year> 2013年</ye一个r> <volume> 49</vgydF4y2B一个olume> <fpage> 66年</fp一个ge><lpage> 75年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ijepes.2012.12.002</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84873625364</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 雷扎</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 功率振荡由于铁磁谐振和次同步的共振</一个rticle-title> <source> <italic> 电力系统稳定</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.5772 / intechopen.81724</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gholizadeh</年代urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Hassannia</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Azarfar</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 混乱的检测和控制在一个典型的电力系统</一个rticle-title> <source> <italic> 中国物理B</我t一个lic> <year> 2013年</ye一个r> <volume> 22</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 010503年</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 1674 - 1056/22/1/010503</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84873332287</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Podlubny</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 介绍部分衍生品,分数微分方程,他们的解决方案的方法和他们的一些应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> 数学在科学和工程</我t一个lic> <year> 1999年</ye一个r> <volume> 198年</vgydF4y2B一个olume> <fpage> 223年</fp一个ge><lpage> 242年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0076 - 5392 (99) 80027 - 7</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77956708975</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Dumitru</年代urname> <given-names> B。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Diethelm</年代urname> <given-names> K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> scala</年代urname> <given-names> E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 特鲁希略</年代urname> <given-names> J·J。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数微积分:模型和数值方法</一个rticle-title> <source> <italic> 世界科学</我t一个lic> <year> 2012年</ye一个r> <volume> 3</vgydF4y2B一个olume> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 大卫</年代urname> <given-names> 美国一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 利纳雷斯</年代urname> <given-names> j·L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Pallone</年代urname> <given-names> e·m·j·A。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶微积分:历史辩解,基本概念和一些应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> 航空杂志上Brasileira de运动的教学</我t一个lic> <year> 2011年</ye一个r> <volume> 33</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fp一个ge>4302年年</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1590 / s1806 - 11172011000400002</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84864773129</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rajagopal</年代urname> <given-names> K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Karthikeyan</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉卡什</年代urname> <given-names> D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Weldegiorgis</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 特</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在分数阶分岔,混沌及其控制电力系统模型的不确定性</一个rticle-title> <source> <italic> 亚洲杂志的控制</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 21</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge>184年年</fp一个ge><lpage> 193年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / asjc.1826</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85047809156</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="inproceedings"> <label>20.</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kumar熊猫</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Dewangan</年代urname> <given-names> p K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 拉尔</年代urname> <given-names> d·K。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 消除混乱在整数和分数阶single-machine-infinite-bus电力系统使用基于李雅普诺夫的控制器</一个rticle-title> <conf-name> 学报2019年IEEE国际会议系统、计算、自动化和网络(ICSCAN)</cgydF4y2B一个onf-name> <conf-date> 2019年3月</cgydF4y2B一个onf-date> <conf-loc> 本地治里,印度</cgydF4y2B一个onf-loc> <publisher-name> IEEE</pubgydF4y2B一个lisher-name> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 6</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / icscan.2019.8878775</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Karnatak</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 线性增加稳定固定解决方案:潜在的缺陷和他们的应用程序</一个rticle-title> <source> <italic> 《公共科学图书馆•综合》</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <volume> 10</vgydF4y2B一个olume> <issue> 11</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> e0142238</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1371 / journal.pone.0142238</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84949246180</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Shrimali</年代urname> <given-names> m D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉萨德</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 针对定点解决方案非线性振子通过线性增大</一个rticle-title> <source> <italic> 物理评论。E、统计、非线性和软物质物理学</我t一个lic> <year> 2011年</ye一个r> <volume> 83年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 6</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 067201年</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / PhysRevE.83.067201</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79961051110</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Shrimali</年代urname> <given-names> m D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉萨德</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Feudel</年代urname> <given-names> U。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 控制双稳态线性增加</一个rticle-title> <source> <italic> 物理信</我t一个lic> <year> 2013年</ye一个r> <volume> 377年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 37</我年代年代ue><fp一个ge>2329年年</fp一个ge><lpage> 2332年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.physleta.2013.07.002</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84883488339</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 辛格</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉萨德</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Dev Shrimali</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 通过线性增加控制drive-response系统的动力学行为</一个rticle-title> <source> <italic> 欧洲物理专题》杂志上</我t一个lic> <year> 2014年</ye一个r> <volume> 223年</vgydF4y2B一个olume> <conf-date> 1539年</cgydF4y2B一个onf-date> <issue> 8</我年代年代ue><fp一个ge>1531年年</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1140 / epjst / e2014 - 02115 - 1</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84903833665</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Dev Shrimali</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉萨德</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 尼科</年代urname> <given-names> 诉K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 列昂诺夫</年代urname> <given-names> g。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 控制动态隐藏的吸引子</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <volume> 25</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1550061</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s0218127415500613</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84929206789</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="book"> <label>26</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Podlubny</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数微分方程,数学卷。198在科学和工程</我t一个lic> <year> 1999年</ye一个r> <publisher-loc> 美国剑桥,马</pubgydF4y2B一个lisher-loc> <publisher-name> 学术出版社</pubgydF4y2B一个lisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Petraš</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 评论“隐藏的混沌吸引子共存小说no-equilibrium系统”(非线性动力学)</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个lic> <year> 2017年</ye一个r> <volume> 90年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge>749年年</fp一个ge><lpage> 754年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 萨利赫Tavazoei</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Haeri</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 必要条件双滚动分数阶系统的吸引子的存在</一个rticle-title> <source> <italic> 物理信</我t一个lic> <year> 2007年</ye一个r> <volume> 367年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1 - 2</我年代年代ue><fp一个ge>102年年</fp一个ge><lpage> 113年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Vinagre</年代urname> <given-names> b . M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> y Q。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Petraš</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 两个直接tustin离散分数阶微分器/积分器的方法</一个rticle-title> <source> <italic> 富兰克林研究所杂志》上</我t一个lic> <year> 2003年</ye一个r> <volume> 340年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 5</我年代年代ue><fp一个ge>349年年</fp一个ge><lpage> 362年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jfranklin.2003.08.001</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0242270972</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="book"> <label>30.</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Petraš</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数阶非线性系统:建模、分析和仿真</我t一个lic> <year> 2011年</ye一个r> <publisher-loc> 柏林,德国</pubgydF4y2B一个lisher-loc> <publisher-name> 施普林格科学与商业媒体</pubgydF4y2B一个lisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 文卡塔萨布拉曼尼亚</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 霁</年代urname> <given-names> W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 共存的四个不同的基本电力系统的吸引子模型</一个rticle-title> <source> <italic> 我:IEEE电路和系统基本理论和应用程序</我t一个lic> <year> 1999年</ye一个r> <volume> 46</vgydF4y2B一个olume> <issue> 3</我年代年代ue><fp一个ge>405年年</fp一个ge><lpage> 409年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/81.751316</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0033100310</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 萨利赫Tavazoei</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Haeri</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌吸引子在不相称的分数阶系统</一个rticle-title> <source> <italic> 自然史D:非线性现象</我t一个lic> <year> 2008年</ye一个r> <volume> 237年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 20.</我年代年代ue><fp一个ge>2628年年</fp一个ge><lpage> 2637年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.physd.2008.03.037</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 51249088596</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pezeshki</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 埃尔加</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 克利须那神</年代urname> <given-names> r . C。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 双谱分析具有混沌运动</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志的声音和振动</我t一个lic> <year> 1990年</ye一个r> <volume> 137年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 3</我年代年代ue><fp一个ge>357年年</fp一个ge><lpage> 368年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 460 x (90) 90804 - 9</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0025404097</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙玛</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Shrimali</年代urname> <given-names> m D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 普拉萨德</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> “库兹涅佐夫”</年代urname> <given-names> n V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 列昂诺夫</年代urname> <given-names> g。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 控制隐藏多稳定性的流动</一个rticle-title> <source> <italic> 欧洲物理专题》杂志上</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <volume> 224年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 8</我年代年代ue><fp一个ge>1485年年</fp一个ge><lpage> 1491年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1140 / epjst / e2015 - 02474 y</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84937879001</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>35</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Fozin</年代urname> <given-names> t F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Leutcho</年代urname> <given-names> g D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kouanou</年代urname> <given-names> a . T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Tanekou</年代urname> <given-names> g . B。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kengne</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kengne</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Pelap</年代urname> <given-names> f . B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 多稳定性控制滞后和并行分支机构通过一个线性扩充计划</一个rticle-title> <source> <italic> Zeitschrift毛皮Naturforschung一</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 75年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge>11</fp一个ge><lpage> 21</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1515 / zna - 2019 - 0286</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B36" content-type="article"> <label>36</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Aguila-Camacho</年代urname> <given-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Duarte-Mermoud</年代urname> <given-names> m·A。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 盖乐葛斯</年代urname> <given-names> j . A。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶系统的李雅普诺夫函数</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性科学与数值模拟通信</我t一个lic> <year> 2014年</ye一个r> <volume> 19</vgydF4y2B一个olume> <issue> 9</我年代年代ue><fp一个ge>2951年年</fp一个ge><lpage> 2957年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B37" content-type="article"> <label>37</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 倪</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> l</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 胡</年代urname> <given-names> X。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶定时非奇异终端滑模同步和分数阶混沌系统的控制</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个lic> <year> 2017年</ye一个r> <volume> 89年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 3</我年代年代ue><fp一个ge>2065年年</fp一个ge><lpage> 2083年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B38" content-type="inproceedings"> <label>38</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 普拉卡什</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴纳吉</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 辛格</年代urname> <given-names> P P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 电力系统分析与控制的混沌振荡fosmib使用aismc技术</一个rticle-title> <conf-name> 工程学报2019年IEEE学生会议上和系统(sc)</cgydF4y2B一个onf-name> <conf-date> 2019年5月</cgydF4y2B一个onf-date> <conf-loc> 阿拉哈巴德,印度</cgydF4y2B一个onf-loc> <publisher-name> IEEE</pubgydF4y2B一个lisher-name> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 6</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / SCES46477.2019.8977223</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> <ref id="B39" content-type="article"> <label>39</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Fozin</年代urname> <given-names> t F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kengne</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kengne</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Srinivasan</年代urname> <given-names> K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Souffo Tagueu</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Pelap</年代urname> <given-names> f . B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 多稳定性在自励记忆性超混沌振荡器的控制</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 29日</vgydF4y2B一个olume> <issue> 9</我年代年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1950119</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s0218127419501190</pubgydF4y2B一个-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85071599255</pubgydF4y2B一个-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>