文摘

本文旨在调查的动态特性microring由双拱电极,因为它们microelectrostatic汽车的基本元素。双拱电极周围的外围microring和排列对称环的中心。电极固定在microring灵活。静电力将变形microring, microring的挠度变化microring和电极之间的差距,从而改变了静电力。因此,这是一种机电耦合效应。非线性偏微分方程支配的运动microring推导基于薄壳理论。基于小挠度假设,删除高阶的非线性控制方程线性化的非线性静电力的泰勒级数展开。之后,线性化控制方程离散为一组常微分方程用有限元离散的模式采用环的形状函数。的影响的结构阻尼microring和拱的跨度电极的强迫响应和动力稳定性microring调查。结果表明,阻尼比有很大的影响在高频励磁系统的不稳定。 The unstable region of the system can increase with the increase of the electrode span; the response amplitude can also be increased within a certain range.

1。介绍

在微机电系统(MEMS)、静电原理广泛应用于微型传感器/致动器,因为它容易控制的优点,快速响应,低功耗,容易与IC集成流程(1]。静电力是主要用于陀螺仪(2],静电马达[3),扭转微镜(4],加速度计[5),微型开关(6]。他们的主要微观结构包括梁、板和戒指。静电驱动的微观结构设计中,能量域耦合的机电能量是一个非常重要的问题。振动分析基于不同的复合材料的微观结构是当前研究的重点7- - - - - -10]。振动分析的微观结构与宏观结构不同,因为力正比于该地区起主导作用(11]。能源领域的相互作用,使得分析MEMS复杂。静电驱动的微观结构会带来许多非线性特征,如动态不稳定、跳跃、分岔和混沌12,13]。稳定性是系统工作的基本条件。一个不稳定的系统不能够调整并不能正常工作(14,15]。

自21世纪以来,静电力在MEMS的研究内容主要包括临界电压、阻尼、稳定性和振幅频率特性。对静电驱动装置,驱动电压有一个临界值,静电力在这个值表现出很强的非线性。当驱动电压超过这个临界值,弹性恢复力之间的平衡和静电力坏了,微观结构和电极吸引在一起,拉片现象发生。电压限制临界现象的临界电压,和相应的位置称为临界位置(16,17]。Farokhi et al。18]研究了静电驱动microarches的拉片特点和系统参数对临界不稳定的影响。静电开关需要确定的临界电压防止电压过高造成粘附失效的结构(19]。微电机驱动原理包括静电式、电磁式、压电式(20.- - - - - -22]。在MEMS,由于微尺度效应的存在,阻尼对微观结构的功能有很大的影响,所以阻尼是不容忽视的。包和杨23]调查各种文学MEMS微结构的各种阻尼模型,介绍了相关实验。Belardinelli et al。24)建立了一个微光束力学模型考虑压膜阻尼和热弹性阻尼的影响和分析这两种类型的阻尼梁的固有频率。在过去,静电驱动的微观结构的研究对象主要是微型板块和微光束。最近,研究人员开始关注其他的微观结构,如在陀螺仪和静电汽车关键部件:环(25- - - - - -28]。在上个世纪,研究人员建立了不同的理论模型,系统地研究了环的固有特点和谐波激励下的强迫响应29日]。徐和秦30.)从理论上研究了静电驱动的上下跳跃现象microring附近的自然频率和探索励磁电压的影响的临界频率跳现象。

动态临界不稳定需要考虑阻尼等因素,交流电压励磁,和惯性效应引起的突然改变直流电压,所有影响动态临界过程(26]。除了研究系统的动态临界不稳定,稳定的系统也需要考虑。胡锦涛et al。(31日]研究了静电驱动微束系统的稳定性理论。的作者(32,33)研究的稳定和强迫响应microring系统根据静电力旅行,这是由一个电极。Yu et al。34)建立了一个理论模型的旋转环在均匀电场分析和动态稳定系统的固有特征。在上面的固定环的研究中,电场是由一个恒定电压,不考虑动态电压的影响。microring是由双电极。研究静电驱动microring,阻尼主要是忽视,但阻尼在响应有很大的影响和系统的稳定性。因此,本文对静电驱动microrings的物理模型建立了交流电压控制,以及阻尼对系统的影响。

静电力的大小成正比的电压和成反比的平方环和电极之间的差距。基于薄壳理论和静电力模型,动态模型建立了静电驱动microring [29日,35]。静电力是由一对固定电极应用microring的交流电压来控制变形。该模型考虑了结构变形耦合。基于小挠度假设,静电力可以使用泰勒级数展开得到一个线性周期时变系统方程。离散偏微分方程用有限元离散得到常微分矩阵方程。首先,系统进行模态分析,然后弗洛凯理论是用来判断系统的稳定性,和强迫响应的系统RungeKutta获得的数值积分方法。本文研究了稳定和microring的幅频响应,它提供了一个参考的设计力驱动分布式静电microring。

2。模型

静电电动机的主要组件包括一个环形转子和几双拱形驱动电极。驱动电极周围的外围环在相等的时间间隔和对称环的中心。每一对的驱动电极由两个驱动电极对称环的中心。电机工作时,电压按顺序应用于每一对驱动电极,和戒指是弹性变形在相应的位置。周期性电压产生一个周期电场,生成一个周期性静电力。周期性变形引起的静电力环和电极之间的电容变化,从而推动环移动(30.]。

基于上述工作原理、值得研究的动态特征环的作用下一对电极。如图1,动态microring和电极之间的电压,它生成一个时变电场驱动环。潜在的差异 控制电压,将是哪一个 ,在哪里 直流电压、交流电压、交流角频率,分别和时间。的平均半径和厚度环r和h,两个电极的跨度ϕ,环和电极之间的差距 。有一个固定的坐标系统x - y环,静电力引起的径向位移角坐标θ是 。


图1
原理图的静电驱动microring。
2.1。运动方程

根据并联电容器板的原理,分布式力如图1可以表示为 在哪里ε的介电常数介质环和电极之间,b环的宽度,H代表了单位阶跃函数。

这个系统的microring主要承受径向力,所以它的圆周惯性力可以忽略不计。根据薄壳理论(29日),环的动力学方程受到的静电力图1是

为了方便论文写作, 被设置为 。作者引入无量纲变量 在哪里 。使用无量纲方程中的变量(3)的无量纲运动方程表示为

基于小变形的假定,静电力的非线性部分术语使用泰勒级数展开关于初始平衡位置(u= 0),忽略了高阶项和留住线性项,

最后,得到一个线性时变运动方程

由于交流电压的左侧运动方程(6),microring系统变成了一个时变系统,驱动电压V可以改变microring的动态特性。

2.2。离散化

几何周期性的圆环,挠度函数 可以表示为 在哪里k周向波数和吗 和 是广义坐标函数关于时间t。这个词k= 1是一个刚体模式,所以它可以消除29日,34),这样 形成一个完整的空间基础。用方程(7在方程()6)给

由于三角函数的正交性,一个可以使离散方程(8)乘以方程(8), 和 ,在哪里米= 2,3、4、……,which gets the following two equations:

积分方程(9)和(10)microring的周长

由于三角函数的正交性,方程(11)和(12)可以简化,并表示在接下来的矩阵表达式: 在哪里 , ,和 是广义坐标向量、刚度矩阵和广义力向量,分别。他们明确表示为 在刚度矩阵 由 和 。 结构刚度矩阵,对角矩阵。 是由于动态电压静电刚度矩阵。刚度矩阵中的元素表示为

广义力向量

2.3。阻尼

在这个microring系统,或多或少存在一定的阻尼,它通常是来自实验。阻尼强迫响应的作用是消除瞬态响应,最终达到稳定状态。在实际应用中,稳态响应是研究的重点。添加等效阻尼的径向环是添加阻尼项 方程(4)。根据先前的研究,阻尼矩阵可以设置为(29日,36] 在哪里 阻尼比和吗 的固有频率是戒指。阻尼矩阵的主对角线矩阵。最后,当系统阻尼,由矩阵表达的运动方程

3所示。固有频率和模式

在本节中,microring的模式。表1显示了microring的材料参数和几何参数。

表1
材料参数和几何参数。

模态分析是找出系统的固有特性,当没有外力,如固有频率和振型。当系统没有静电力和阻尼被忽视,方程(24)可以简化 在哪里 。广义坐标的函数 和 通常设置为 在哪里 和 的振幅 和 ,分别。将方程(26)方程(25)收益率以下矩阵表达式:

通常,振幅 和 不为零,固有频率,即 ,( )。相应的自然microring的模式 , 。图2显示前三个自然microring的模式。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图2
前三个自然的模式。

4所示。动态分析

4.1。强迫响应

微分方程(24)使用龙格-库塔法数值求解。有必要减少二阶微分方程的顺序,将它们转化为状态空间。空间状态向量的定义是

方程(24)转换成状态空间表示为 在哪里 在哪里 和 是零矩阵和单元矩阵,分别。自 矩阵包含 ,周期性时变矩阵。

4.2。稳定

根据静态刚度的条件(17)- (21),这个系统的刚度项的电压有关,和电压随时间周期性变化,因此该系统是一个周期时变系统。周期时变系统的稳定性是一个重要的话题。根据系统的特点,弗洛凯理论用于分析其稳定性。

分析系统的稳定性,齐次方程(的一部分29日)需要考虑,

参数矩阵 是一个周期性时变矩阵的时期吗 ,并设置 线性无关的初始条件:

方程解(33在一段时间内 由RungeKutta解决数值方法,即 ,和这些齐次方程的解决方案形成一个矩阵 :

系统的稳定性可由特征值决定 的矩阵 (37]。系统是稳定的,如果所有的特征值大小小于团结,也就是说, ,如果至少有一个特征值大于不稳定团结,也就是说, ,稍微稳定,如果至少有一个特征值与单位大小和多样性低于统一。

5。结果与讨论

探讨静电microring驱动系统的动态特性,首先分析了系统的稳定性,然后系统的幅频响应曲线是解决。下面的稳定性分析和强迫响应分析是使用前三个开发模式。考虑到microring是由三双电极,电极的最大跨度 ,因此,电极跨度范围 。作者选择了角坐标 进行动态特性分析。

5.1。不稳定的地区

阻尼系统中不可忽视的一个因素。在这里,我们首先考虑阻尼对系统稳定性的影响。使用部分的稳定分析方法4所示。2的不稳定地区,系统研究了不同阻尼下。

图3显示系统的不稳定地区的交流电压 和电极寿命 。四个数据显示系统的不稳定地区,当阻尼比 ,分别。可以看出,主要出现在固有频率和不稳定的地区 , , ,和 。阻尼比小于0.01时,系统是最有可能显示不稳定 和 。阻尼系数等于0.1时,系统是最有可能显示不稳定 。系统容易展览在一阶固有频率不稳定。当阻尼比变化从0.0001到0.001,系统不稳定地区的小变化。当阻尼增加,不稳定的地区在高频率的变化比较大。阻尼系数等于0.1时,不稳定的地区附近的一阶固有频率是最明显的。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图3
圆环的稳定性对交流电压和电压频率 不同的阻尼比。 。

电极跨度 也会影响系统的不稳定地区。图4显示系统的不稳定的地区在不同阻尼比时电极寿命 。可以看出,增加电极跨度增加不稳定区域的宽度,也减少的最小电压值不稳定的地区。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图4
系统的不稳定的地区在不同的电极寿命。

从图5之间的关系,注意到的最小电压值不稳定的地区和电极角当激励频率 和 。如图5,增加电极的角度减少的最小电压值不稳定的地区。结合图4,可以看出提高电极寿命增加了不稳定的地区。当电极角度很小,最低电压值 将迅速降低电极寿命吗 增加。随着电极寿命的增加,电压值的变化率变慢。当电极跨度接近 ,最低电压的变化率是接近于零。


图5
不稳定区域的最小电压值的变化 。
5.2。幅频响应

方程(29日)是解决在零初始条件下获得的强迫响应microring系统。

幅频响应如图6当直流电压 ,交流电压幅值 和阻尼比 。电极间隔 。与电极响应幅度的变化。除了固有频率附近的山峰在图中,也有明显的峰值 和 。可以编写电位差的平方 。当电压频率 ,有两个频率成分的静电力量 和 同时,峰值出现在 。由于静电力的存在,一个静电刚度矩阵 介绍了。静电刚度夫妇广义坐标 和 ,这样的系统有一个峰值非天然的频率 。


图6
幅频响应在不同电极寿命。

图7显示最大的系统响应和电极之间的关系。其他参数 。可以看出,当电极寿命 ,响应振幅增加随着电极寿命的增加。当电极跨度范围 ,响应振幅增加缓慢,最后响应振幅随着电极寿命的增加减少。

(一)
(一)
(b)
(b)
图7
响应的振幅谱系统电压励磁频率 。

6。结论

基于线性化模型的静电力与microring考虑耦合变形,已经建立了一个microring系统的动态模型。由于静电力和变形之间的耦合效应的microring microring的刚度与静电力参数。然后,系统的时变电压使刚度矩阵具有时变特征,进而导致系统的动态特性变得复杂。尽管本文获得的动态模型,动态系统的稳定性和响应的各种参数阻尼和电极寿命进行了分析。一些结论总结如下:(1)系统的不稳定地区主要自然频率和倍频。阻尼在高频不稳定地区的影响更大。当阻尼大,系统的不稳定地区主要出现在一阶固有频率附近。(2)随着电极寿命的增加,系统的不稳定区域的最小值增加,电压不稳定地区和最小电压值的变化率下降。响应振幅的增加先增加,然后降低电极。这些都是非常有利于静电microring驱动系统的设计。

数据可用性

可以按照客户要求所有的数据都包含在本研究从相应的作者。

的利益冲突

作者声明没有潜在的利益冲突的研究,本文的作者,和/或出版。

确认

这项工作的部分支持由山东省自然科学基金(ZR2018MEE021),装备预先研究基金项目(61402100501),山东大学的创新和技术项目(2019 kjb005)。