文摘
我们研究耗散nano-optomechanical三个耦合振子的量子特性。系统的哈密顿有些复杂是因为不仅光机位的耦合振子的耗散系统。为了简化问题,空间幺正变换方法和matrix-diagonalization使用方法。从这些程序,最后对角化哈密顿。换句话说,复杂的原始哈密顿转化为一个简单的三个独立的简单谐振子有关。利用哈密顿的这种简化,薛定谔方程的完整解决方案(波函数)光机位系统。我们确认的概率密度收敛于原点坐标以对称的方式作为光机位能量消散。派生的波函数可以作为一个基本工具,评估不同的量子系统的后果,如正交波动,纠缠熵,进化能量,转移概率,维格纳函数。
1。介绍
物理系统本质上不独立的行为在大多数情况下,因为他们不是孤立的。系统的耦合到另一个往往导致不同的共同现象,如能量交换、耗散,纠缠,振幅波动,和退相干1,2]。的振荡运动链的模型可以用于分析耦合光机位的动力特性(3- - - - - -6],nanoelectromechanical [7,8)、化学(9,10),和生物系统11]。的机械分析耦合振子通过不同的方法都进行了广泛的探索到目前为止。这样的系统可以使用不变算子通常调查方法(12,13[],Bogoliubov转换方法14,15),j - c方法(16),路径积分方法(17),和绝热方法(2]。根据这些方法,我们可以阐明不同力学性能的耦合振动系统即使他们被一个依赖于时间的哈密顿。
耦合谐振子主题很重要尤其是在光机位系统利用光学和机械模式之间的互动和纠缠。纳米和微机械耦合振子和光子(3)和/或其他系统,如电子(18)和原子(19)提供了一个重要的工具,实现新一代量子技术。例如,光子耦合为声子结构的操作提供一个基本的技术平台(20.,慢/快光技术21],零点冷却[22],mechanical-frequency转移(23]。除了这样的适用性,耦合光机位振荡系统所需高度敏感测量量子设备是至关重要的量子态在量子态层析成象和信息处理。此外,可以利用丰富的物理现象沿着这条线在模态制备混合量子信息系统包括与适当的量子量子网络协议。
为了了解基本量子纠缠的相关属性(24,25),量子相干和脱散26非经典数理相关性[],27),和赞同28),精确量子理论解释的演变耦合系统是必要的。众所周知,这样一个系统可以量化的协助下动力不变(29日)或实施绝热条件(2]。在这篇文章中,我们将展示我们还可以展开光机位的量子动力学物理系统描述耗散哈密顿的三个耦合振子通过引入动态不变量和耗散强加一个绝热条件。完整的系统的波函数直接将由哈密顿的整个思想派生,而不是动力不变的对角化。
在执行主对角化之前,我们首先将哈密顿的酉算子转换为一个适当的形式,可以对角化的没有任何近似和条件。的确,酉变换过程是一个有用的工具,使我们能够把一个复杂的哈密顿在一个简化的转换空间。这极大地帮助我们解决分析量子机械系统的解决方案。
摘要组织如下。我们的问题耗散nano-optomechanical三耦合振子由力学的基本方程制定部分2。节3,我们处理系统的量化,其物理状态。首先,我们简化系统的哈密顿通过幺正变换方法。这样的一个简化的哈密顿将表示为一个严格的矩阵形式进一步调查。将哈密顿矩阵对角化,这样我们可以轻松地管理它。利用对角化,量子系统的解决方案将会调查。最后一节给出结论。
2。预赛
光机位振荡系统的实际调查之前,让我们简要地展示了方法描述机械振子受dissipational非保守的力量。在经典力学中,阻尼机械系统的运动可以由牛顿方程进行描述 第二项左边是一个耗散摩擦力与速度成正比,在那里阻尼系数。从理论的角度来看,没有限制的大小 ;即。,我t can be any real number. For a mechanical oscillatory system that we are interested, the term in the right-hand side is of the form 而提供的系统阻尼不足的 在哪里 ,众所周知,系统成为过阻尼振荡时 。过阻尼振子的情况下,其数学处理从量子力学的角度有点困难。给出了运动方程的哈密顿函数,方程(1)和方程(2),是由 哈密顿的作用仅限于一个发电机的经典运动方程。关于这个问题,众所周知,在这种情况下,系统的能量是另一个问题,它是由30.- - - - - -32] 在哪里在福克一个预期值的状态。在方程(4)为代表的正则动量,我们也可以代表它的物理动力使用的关系 : 这意味着系统的量子能量消散的减少和随着时间的推移。这个基本的描述一维系统可以很容易地扩展到耦合振荡系统。
在这项工作中,我们把一个光机位系统图所示11 d系统的概括描述方程(3)。从图可以看出1加上一个机械、光学字段通过非线性相互作用引起的辐射压力模式。在某种程度上可以将系统线性化(3)和合成光正交哈密顿可以参数化的 和一个机械膜的位置(29日,33- - - - - -35]: 在哪里和腔的有效电介电系数1和2腔,分别在图吗1(尽管电动介电常数写成在很多情况下,我们表示它为方便数学表达式),nanomembrane的有效质量, 刚度常数, , ,和是耦合常数;该公约的下标(包括 )这里提供也将随后使用。我们只管理的欠阻尼的振动系统的简单性。对于一个简单的情况下,系统是一个耦合的两个振荡器(而不是三)条件 ,的系统对应3)和相关的哈密顿方程(6),减少了方程(1)在相同的参考。
在相空间中,坐标和共轭动量满足交换关系 我们感兴趣的量子力学处理光机位系统。研究系统的量子行为,我们考虑的薛定谔方程形式 的进化相关的状态向量方程及其物理解释通常是由量子力学的哥本哈根解释的框架内。然而,由于的哈密顿方程(6)是一个有点复杂的形式,它可能不是一件容易的事解决方程的解决方案(8)。为了克服这一困难,我们将管理系统基于酉变换方法和对角化过程在下一节。
3所示。结果与讨论
3.1。统一的转换
幺正变换方法经常被用来求解含时薛定谔方程(TDSE) [36- - - - - -42为一个复杂的动力系统。如果我们使用这个方法,它可以减少复杂形式的薛定谔方程更简单。这可能促进量子相关解决方案的推导。
为了达到一个适当的变换,一个合适的选择酉算子根据哈密顿是必要的。在我们的例子中,我们选择了酉算子(29日,36,40,41] 这是两个酉算子的乘积。第一个操作符是由考虑之间的对称和 。稍后,我们将看到,这个操作符的选择通过变换简化了哈密顿。而言, ,波函数的变换可以的方式进行 在哪里转换后的波函数。
在这个幺正变换下,原始哈密顿系统的薛定谔方程,方程(8),映射到 新哈密顿的形式 典型变量的转换使用方程(9)的结果 从使用方程(6),上面的关系时,我们看到,方程(12)成为 在哪里 我们看到从方程(14),我们采取了简化的哈密顿在某种程度上,由于转换使用在方程(9)。然而,耦合条件仍在哈密顿。我们将进一步简化哈密顿在随后的小节的条款使用一个对角化方法。
3.2。哈密顿量对角化
现在让我们考虑对角化哈密顿。为此,我们代表了哈密顿在这样一个矩阵形式 在哪里矩阵的元素吗 这对应于th行和为每个列。
如果我们认为矩阵的维数是 , 是一个对角化的方阵(43,44]。一个矩阵的diagonalizability原则上相当于特征向量的基础的存在,这使得它可以定义一个对角化的自同态的向量空间。哈密顿矩阵对角化,方程(16),有必要寻求其特征值和相应的特征向量 。在我们的例子中,通过求解特征方程在方程(17),矩阵的特征值给出如下: 在哪里 从一个标准程序与一个矩阵的特征值问题,我们可以很容易地看到,给出相应的归一化特征向量 在哪里 注意,向量 相互正交,因为是对称的。因此,可对角化 ,在哪里 现在,我们引入新的坐标和作为 利用方程(22),我们可以很容易地获得的完整表达式和 ;我们代表他们在附录的完整性。现在,从一个简单的代数程序使用这些表达式(方程(. 1)- (要求寄出)),我们看到的形式 因此,改变了系统最终解耦(对角);即。,我t is reduced to a collection of three decoupled harmonic oscillators. During the diagonalization procedure, we have imposed no conditions or restrictions. Hence, the consequence (equation (25)证明选择适当的酉算子连同随后进行对角化。在此基础上,我们的问题的解决方案可以很容易地获得。实际上,从数学的角度来看,对角化方法中起着重要作用的简化问题没有修改物理系统的行为。
我们注意到耦合光机位振荡系统也可以通过使用Bogoliubov对角化的转换或其先进的工艺,提供 。然而,由此产生的表达式的哈密顿体系基于这种方法有点不同于获得使用这里的方法(见,例如,方程(54-57)裁判。15])。
3.3。量子的解决方案
我们现在检查TDSE的解决方案中给出的哈密顿方程(25)。然后,基于逆幺正变换的解决方案,我们找到了解决方案的原始光机位物理系统的哈密顿方程(6)。表示之前,我们可以很容易地得到新哈密顿的能谱的解决方案这是3个人的总和与频率简谐振子汉密尔顿 , ,和 。因此,解决方案 薛定谔方程,方程(11),给出了转换后的哈密顿 在哪里是阶埃尔米特多项式,阶段采取的形式 在此基础上,可以确定解决方案与原始光机位系统通过使用方程(10),(26)和(27)。那里,我们终于拥有了全波函数形式 在哪里是归一化的因素: 同时, , ,和给出了作为 在时变系数 , , , , ,和表达的是 请注意,我们没有使用近似和微扰方法在方程的推导28)和方程(29日)- (36)。因此,方程的波函数(28)准确即使他们有些复杂。归一化因子,方程(29日),是选择的方式 方程(29日)包括 ,这减少了一维情况下,这是一个已知的结果(30.]。获得的波函数可以作为一个基本工具,进一步调查nano-optomechanical的量子动力学系统。正如前面所提到的,我们只考虑阻尼振荡的情况下。严重病例和过阻尼系统,量子振荡的机制是不同的。然后,波函数不是由量子数描述但类似于一个释放系统(30.]。
(一)
(b)
(c)
我们已经绘制的时间行为概率密度量子数的几个不同的选择和阻尼因子在图2。数值数据关联到这个数字的图形是获得使用Mathematica程序(Wolfram Research)和方程(28)- (36)。的概率密度收敛于原点坐标以对称的方式随着时间的推移,根据能量耗散,无论选择的值 。时,收敛快像预期的那样大。
4所示。结论
我们已经调查了耗散三nano-optomechanical耦合振子的量子力学特性。精确解的TDSE系统已经使用幺正变换方法推导和对角化过程。从酉变换,复杂的原始含时量子哈密顿是转换为一个简单的一个单位质量;然而,耦合条件在哈密顿仍然即使这种转变。为了消除耦合条件 ,我们使用一个对角化方法。通过这些过程,最终哈密顿体系。最后改变了哈密顿形式给出了相关的三个独立的谐振子。因此,改变了哈密顿很容易治疗,我们已经确定了相应的量子毫无困难的解决方案。解决方案的逆变换的TDSE改变了哈密顿,我们终于完整的量子原始光机位的系统解决方案。概率密度,这是绝对的波函数的平方,收敛于原点坐标的振荡能量消散。获得的波函数,我们在这里,不仅可以用来评估各种可见的量子力学的预期值,如物理动量和量子能量,而且概率密度,光机位耗散,规范变量的波动。
的重要研究任务之一耦合光机位系统描述振荡器基于之间的纠缠,例如,熵。通常,纠缠熵的推导耦合的非平稳振荡沿着这条线进行了直到现在一个隐式的假设系统的所有质量(和电介电系数)是统一或相等45- - - - - -50]。注意到这样一个有限的治疗完全是由于困难相关的哈密顿量对角化过程。这个研究的意义是,我们既不采用这种不必要的假设也不使用一个数学近似当我们展开理论从方程(6)。这样明确的治疗是可能由于混合系统的管理方式,即。,by combining the unitary transformation approach and the matrix-diagonalization method together.
一个明显的趋势在当前的电子和光学科学相关的设备变得越来越小,随着技术的进步对原子尺度。注意,量子效应突出在设备小型化,特别是低于费米波长的规模(51]。因此,量子治疗设备包括光机位的很重要,在这种情况下,经典力学是不够的在描述他们的特点。量子这个研究的结果可能会提供一个理论基础使纠缠的调查问题耦合光机位振荡器没有某些假设的必要性。
附录
完整的表达问我和p我
的公式和出现在方程(25)是由
数据可用性
数据用于支持本研究的发现可以从分析可再生的表示结果的文本。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(MSIT)(没有。nrf - 2021 r1f1a1062849)。