在分数阶多稳定性离心飞轮调速系统及其自适应控制

文摘

本文提出了一种四维分数阶离心飞轮调速系统。动力学系统包括多稳定性与系统参数的变化和导数的顺序由李雅普诺夫指数(LEs)调查,分岔图、相图、熵措施,吸引和盆地,数值。这表明分数阶的最小订单混乱离心飞轮调速系统问= 0.97,系统具有丰富的动力学和产生多个吸引子共存。此外,该系统是通过引入自适应控制器控制李雅普诺夫稳定性理论证明了。数值分析结果验证了该方法的有效性。

1。介绍

离心飞轮调速系统是一个自动调节的装置和控制引擎的速度。它开启了现代自动控制的先例,标志着现代自动控制技术的诞生,被广泛应用于现代工业。当离心飞轮调速系统受到干扰,系统会突然改变的速度和混沌振动将产生1,2]。为了使离心调速器系统稳定运行和发挥好作用在实际应用程序中,有必要研究混沌动力学定律当系统干扰和如何控制混沌运动的稳定状态。

近年来,对混沌的研究和控制的离心式飞轮州长系统吸引了学者们的广泛关注3- - - - - -14]。例如,Zhang et al。3]研究了进化霍普夫分岔和混沌的离心飞轮调速系统受到外部的距离。郭台铭et al。4- - - - - -9]分析了离心飞轮州长的混乱形成过程系统的分岔图、相图、庞加莱映射和控制混沌行为的稳定轨道线性和非线性反馈控制方法。Zhang et al。10]研究类的复杂动力学行为的离心飞轮调速系统,提出了一种参数open-plus-closed-loop方法控制混沌运动到任何所需的周期轨道。Rao et al。11)调查的全球结构非线性响应机械离心调速器,发现一种新型的混合模式振荡的周期响应。罗等。12)解决混乱抑制机械离心州长飞轮系统的输出约束通过自适应动态面控制和完全未知参数。Aghababa et al。13)派生的一种自适应鲁棒控制器抑制时滞离心飞轮州长的混沌系统在一个给定的有限时间有效利用适应法律和李雅普诺夫控制理论。Zhang et al。14霍普夫分岔)研究典型的自治和自治离心飞轮调速系统,讨论了系统的混沌振荡的原因。

据我们所知,分数阶导数提出了300多年。它成为非线性研究领域的一个研究热点。不同于integer-order微分算子,分数阶微分算子可以有效地描述历史记忆效应的物理过程,例如,卡普托定义和Riemann-Liouville定义(15]。这些分数微积分理论分析和工程中被广泛应用。具体地说,他们被用于不同的研究领域,如量子力学、电磁振荡,系统控制,材料力学等领域16- - - - - -19]。因此,它具有重要的理论意义,引入分数微积分研究混乱和离心飞轮调速系统的控制。例如,通用电气等。(20.)决定在分数阶自治存在的混乱和非自治非线性离心飞轮调速系统采用分岔图和相图,实现由线性反馈控制系统的混沌控制方法。但是,分数阶系统的混沌控制研究需要进一步扩大,这项研究提供了一个有用的参考分数阶离心飞轮调速系统的进一步研究。

在本文中,混乱和分数阶离心飞轮调速系统的自适应控制进行了研究。本文给出的轮廓如下。节2介绍了分数阶离心飞轮调速系统。节3,州长integer-order离心飞轮系统的动力学研究数字的分岔图,莱斯,相图和盆地的吸引力。节4自适应控制公式推导和实现混沌系统的控制仿真。节5结果进行了总结。

2。分数阶离心州长飞轮系统

离心飞轮州长的力学模型与外部扰动是描绘在图1,在那里l,米,r,ϕ代表杆的长度,高飞球的质量,转动轴之间的距离和悬挂接头,转动轴之间的夹角和杆,分别。电机驱动飞轮旋转角速度ω。飞轮是加入轴通过齿轮箱,所以轴旋转角速度nω。n是比例系数,k是弹簧的倔强系数,重力加速度。忽略管道和套管的质量和假设阻尼系数的联合杆头和球c运动方程的系统是由(10,14]

旋转机,净扭矩扭矩之间的区别问由发动机和负载转矩问_l,供角加速度 在哪里J是机器的转动惯量。的角ϕ变化,控制阀门的位置承认燃料也是不同的。然后,方程(2可以书面形式): 在哪里γ> 0是一个比例常数β是一个等效负载的转矩。让 和变化的时间尺度τ= ;让 ,x= ,y=φ,z=ω,然后方程(1)可以写成三维自治系统的标准形式:

上述系统(4)提出假设负载转矩是恒定的。当负载转矩不是常数,它可以表示为一个常数项F和哈密顿项 ,在哪里F,α,σ是常数。然后,(4)可以写成

让 ,我们可以得到 然后方程(6)成为

通过引入分数阶微分系统(7),分数阶离心飞轮调速系统,它通过定义 在哪里是问订单卡普托微分算子(21,22]。卡普托的分数阶导数的定义是由 在哪里问∈R⁺和Γ(⋅)是伽玛函数。

3所示。多稳定性分析

在本节中,分岔图,莱斯,相图和吸引力的盆地是用来研究分数阶离心飞轮调速系统的动态。在以下的分析中,我们解决系统参数d= 0.08, ,e= 0.5,b= 0.4,F=1.942,α= 0.4,σ= 1.0,选择参数年代作为参数变量。系统由预估数值求解算法(23- - - - - -25]。名为“FDE12的Matlab源代码。米” of the predictor-corrector method can be downloaded online [26]。使用“FDE12的方法。米” to solve the fractional-order system is described in detail in reference [27]。详细的数值解以及如何计算LEs的分数阶系统可以根据文献[28]。预估算法是一种有效的方法来解决分数阶偏微分方程。例如,Oskouie et al。24)预估算法用来解决部分粘弹性微分方程和伯努利nanobeams调查分数导数的影响顺序,表面参数等因素对非线性时间响应。他等。25]研究了分数阶预估微观化学系统的算法。

3.1。分岔分析

系统的动态变化和问通过分岔图,分析了莱斯,相图。四个案例研究。

3.1.1。案例1

修复年代= 10和导数的顺序不同问从0.94到1 3×10的步长⁻⁴。设置初始条件(x₀y₀,z₀w₀]= (0.005、0.005−0.1,0.1),(0.5、0.005−0.1,0.1)。分数阶的分岔图和莱斯离心飞轮调速系统见图2。在图2(一个)蓝色的点代表x_马克斯的初始值(x₀y₀,z₀w₀]=(0.005、0.005−0.1,0.1)和红点(x₀y₀,z₀w₀]= (0.5、0.005−0.1,0.1)。但是。图2 (b)只显示了(LEsx₀y₀,z₀w₀]= (0.005、0.005−0.1,0.1)。从图可以看出2系统是混乱的时候问> 0.963,其他的值问,系统是收敛的。通过勒曲线在图2 (b)我们可以看到,当问∈(0.963,0.97),系统不混乱。但是,当问> 0.97时,系统总是有一个正的李雅普诺夫指数,它显示了系统总是处于混乱状态。此外,系统复杂度的增加和导数的增加订单问。因此,对于分数阶离心州长飞轮系统,LE曲线更准确描述系统的状态比分岔图。它可以描述从时期过渡到混沌的过程。图3(一个)显示,当[x₀y₀,z₀w₀]=(0.5、0.005−0.1,0.1),对混沌系统的最低订购量增加但分岔图的形状保持不变这意味着初始条件将影响系统的动态。的周期性的圈子问= 0.94和0.968和混沌吸引子问= 0.972和0.99图所示4。可以看出,相图分析的结果与动态特性分析的结果是一致的,混沌吸引子显示明显的混沌特性。

3.1.2。案例2

修复问= 0.98;我们的参数年代改变从2至18的步长0.08,和初始条件也是x₀y₀,z₀w₀]=(0.005、0.005−0.1,0.1),(0.5、0.005−0.1,0.1),然后动态分析结果如图4。在图4(一)蓝色的点代表x_马克斯的初始值(x₀y₀,z₀w₀]=(0.005、0.005−0.1,0.1)和红点的初始值(x₀y₀,z₀w₀]= (0.5、0.005−0.1,0.1)。但是,图4 (b)只显示了(LEsx₀y₀,z₀w₀]= (0.005、0.005−0.1,0.1)。它显示在图4系统是混乱的年代∈[3.5,13.5]和[2.9,3.1]和其他值的收敛年代。此外,当年代∈(6、10),系统相对较大的复杂性。图4(一)显示,当[x₀y₀,z₀w₀]=(0.5、0.005−0.1,0.1),更大的复杂性区间减少,这意味着系统将产生吸引子共存与不同的初始条件。

3.1.3。案例3

我们的参数年代∈(3、15)和衍生品订单问∈(0.96,1);将参数空间划分为150×150网格。与上面的情况下,初始条件是由(x₀y₀,z₀w₀]= (0.005、0.005−0.1,0.1)。然后,最大李雅普诺夫exponent-based等高线图在参数平面上s-q如图5。可以看出,混沌区主要是观察到的区域位于年代∈(4.8,10)问∈(0.98,1)。在这方面,系统与啤酒相对较大的最大李雅普诺夫指数问。此外,当年代∈(5,7.8)问∈(0.995,1),最大李雅普诺夫指数的价值更大。最后,它还可以发现最低秩序混乱问= 0.927。

3.1.4。例4

修复问= 0.98,年代= 10,和初始值x₀y₀,z₀w₀]= [x₀、0.005−0.1,0.1)x₀∈(0,2)。分数阶离心飞轮调速系统的分岔图如图6(一)。同样的,当[x₀y₀,z₀w₀]= [0.005,y₀−0.1,0.1),y₀∈(0,2)。系统的分岔图绘制在图6 (b)。可以看出,当初始条件发生变化时,系统的复杂性和状态都受到影响。此外,不同的初始值组件有不同影响的动态系统。对图6(一)可以发现,周期性的状态x₀= 1。对图6 (b)复杂性是显著不同y₀= 1.21。

3.2。盆地的吸引力

混沌系统的吸引子共存是一个重要的特征,已被很多学者所研究。例如,赖et al。29日- - - - - -31日)使用动态演化对参数和初始条件来说明存在共存吸引子和提出的电路实现混沌系统吸引子共存。吸引力的盆地是一个有效的工具来分析多稳定性和对吸引子共存的现象32]。

本文提出了使用的方法。提出了系统,有四个状态变量x,y,z, 。因此,四个时间序列得到了,他们可以被定义为 ,在哪里N时间序列的长度。然后,吸引子的位置被定义为 在每一个时间序列的平均值。吸引子的大小是由 在哪里 , , ,和 。假设有两个混沌吸引子当中,他们的时间序列是由 和 。两个流动的位置之间的误差是由 而定义的错误关于吸引子的大小

在本文中,我们设置一个参数错误决定是否获得的吸引子是不同的与现有的或不是。也就是说,如果两个e₁>错误和e₂>错误,获得的吸引子 是一个新的吸引子。否则,它不是一个新的吸引子。本文的价值错误是设置为50。盆地的流程图如图7。

修复年代= 10和初始值设置为x₀,y₀,z₀,]= [x,y−0.1;0.1]。变量x和y改变从−1比1与步长为0.01。然后,在盆地的吸引力x- - - - - -y飞机有不同的值问如数据所示8(一个)- - - - - -8 (c)。同样,解决年代= 5,其他条件保持不变,对盆地的吸引力x - y飞机有不同的值问如数据所示8 (d)- - - - - -8 (f)。不同的颜色在图8代表不同的吸引人的领域,所以我们可以看到从图8当系统的初始值变化,分数阶离心飞轮调速系统显示共存,和导数的增加订单问吸引子共存的频率逐渐增加,但范围和形状的不同流动基本上保持不变。

修复问= 0.98,年代= 10,初始条件是由(x₀,y₀,z₀,]=(0.005、0.005−0.1,0.1),(0.5、0.005−0.1,0.1),和(0.58、0.005−0.1,0.1),和相应的共存吸引子图所示9(一个)- - - - - -9 (c)。当问= 0.99,年代= 5,吸引子共存的初始条件(x₀,y₀,z₀,]=[−−0.9、0.1,0.1,0.1),(−−0.9、0.82,0.1,0.1),和(−−0.9、0.82,0.1,0.1)所示的数字9 (d)- - - - - -9 (f)。图9表明,当系统的初始值发生变化时,系统的吸引子显示各种状态混乱等时期,quasichaos。此外,不同类型的混沌吸引子的状态直接验证仿真结果如(图所示8)。

4所示。自适应控制的混乱

的混沌系统控制到稳定状态的过程被称为混沌控制。目前,分数阶混沌系统控制的主要方法是扩展控制方法用于integer-order分数阶混沌系统的混沌系统。混沌控制的主要方法包括:参数摄动方法(33),反馈控制方法(34),自适应控制方法(35),和神经网络方法36]。在本节中,分数阶的混沌控制离心飞轮调速系统实现通过使用自适应控制方法。自适应混沌控制公式,以及混沌控制效果的数值模拟。

4.1。自适应混沌控制方案

考虑到控制混沌系统如下: 在哪里x, y, z和w变量和状态u₁,你₂,你₃,和u₄是外部主动控制输入。然后,可以定义为自适应控制系统 在哪里k₁,k₂,k₃,k₄是积极的增益常数。用(13)(12),获得的闭环系统

定义参数年代估计错误

使用(15),我们可以简化(14),

区分(15)对t,我们获得

李雅普诺夫函数被定义为 在哪里一个是一个积极的收敛因子,控制参数估计误差的收敛速度。区分V,我们获得

针对方程(19),我们把参数更新法律

从上面的公式推导过程中,可以看出,控制混沌系统(12)是全局指数稳定的自适应控制律(13)和参数更新法(20.)。用参数更新法(20.)(19),我们获得的对V作为

方程(21)表明,李雅普诺夫函数V是正定R⁸。根据Barbalat引理(37),闭环系统(19)是全局指数稳定的所有初始条件(x_0,y_0,z_0, )∈R⁴。这就完成了证明。

4.2。数值分析

修复问= 0.99,年代= 10,为了更好地展示混沌控制的影响,初始条件设置为大值(x₀,y₀,z₀,]=[1,−2,2,4],然后分数阶的肖像阶段离心飞轮调速系统在图所示10。我们可以看到,这些条件下系统混乱。让k₁=k₂=k₃=k₄= 10,收敛因子一个= 20,参数的初始值年代是年代₀= 4,混沌系统的控制结果如图11。可以看出分数阶混沌控制的离心式飞轮调速系统成功地实现了自适应控制方法。在1.5年代,每个州的系统组件控制到稳定状态,和参数的估计误差年代接近目标的值。

为了进一步分析收敛因子之间的关系一个和估计误差e_年代参数的估计误差曲线年代与不同的收敛因子一个得到图12。这表明收敛因子的增加一个,估计误差e_年代的参数年代收敛速度越来越快。当一个大于或等于50,系统方法在1 s目标值。

5。结论

本文动态和分数阶离心州长飞轮系统的自适应控制。通过数值模拟,系统的分岔图和莱斯与不同的参数。系统的动态行为这两种图所示是在良好的协议,和勒曲线可以描述从时期过渡到混沌的过程。共存系统的吸引子图观察到盆地的吸引力,和吸引子具有不同初始条件验证仿真结果盆地的吸引力。本文设计的自适应控制算法有效地实现了混沌控制的系统,和估计误差e_年代的参数年代收敛与收敛因子的增加越来越快一个。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了湖南省教育部一般项目基金(没有。18 c0743),国家自然科学基金会中国理论物理(61901530和61901530号),和湖南省自然科学基金(没有。2020 jj5767)。

引用

1. e·j·贝尔特拉米数学对于动态建模、学术出版社、剑桥,美国,1987年。
2. c .曹、j·苏和l .徐“离心调速器的混沌运动,”哈尔滨工程大学学报,18卷,不。5,96 - 103年,1997页。视图:谷歌学术搜索
3. j . Zhang y楚、李x和y,“分岔和混沌的一种离心调速器系统”杂志的机械强度,30卷,不。3、362 - 367年,2008页。视图:谷歌学术搜索
4. x郭台铭g·罗,“线性反馈的混沌反控制机械式离心调速器系统”《机械设计,22卷,不。4日,30 - 2005页。视图:谷歌学术搜索
5. x郭台铭和g·罗Un-feedback机械式离心调速器系统的混沌控制问题,”杂志的机械强度卷。27日,-,2005页。视图:谷歌学术搜索
6. x郭台铭g·罗,“非线性反馈混沌的反控制机械离心飞轮系统州长,”中国机械工程,16卷,不。15日,第1376 - 1373页,2005年。视图:谷歌学术搜索
7. 和h . h . j . Wang Wang Liang,“飞轮系统中的混沌和非线性反馈控制离心调速器,”航空航天工程机械科学与技术,28卷,不。2、238 - 245年,2009页。视图:谷歌学术搜索
8. 和h . h . j . Wang Wang Liang,“混沌及其在离心速度反馈控制飞轮州长,”杂志的机械强度,32卷,不。3、509 - 512年,2010页。视图:谷歌学术搜索
9. 和h . h . j . Wang Wang Liang,“混乱和离心飞轮调速系统的控制,”《机械设计,26卷,不。9日,34-37,2009页。视图:谷歌学术搜索
10. J.-G。张,x。李,Y.-D。楚,J.-N。Yu, y。常,“霍普夫分岔,李雅普诺夫指数和控制混乱的离心飞轮调速系统分岔和混沌的一种离心调速器系统”混乱,孤波和分形,39卷,不。5,2150 - 2168年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. X.-B。饶,Y.-D。楚,x Lu-Xu, y。常,J.-G。张“离心飞轮调速系统、分形结构”非线性科学与数值模拟通信,50卷,第339 - 330页,2017年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. 美国罗,z侯,t·张,“混沌控制器的性能增强设计机械离心飞轮调速系统通过自适应动态面控制,”每年的进步》第六卷,没有。9日,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. m . p . Aghababa和惠普Aghababa混乱抑制旋转机器的系统通过限定时间控制方法,”非线性动力学,卷69,不。4、1881 - 1888年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. 张r, y, z, Bi,“非线性行为以及切换动力系统的分岔机制,“非线性动力学,卷79,不。1,第471 - 465页,2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. r . Gorenflo和f·曼拉德”,分数微积分。”分形和连续介质力学的分数微积分卷,378年,第276 - 223页,1997年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. r . Bhattacharyya, m . Banerjee m . Heiblum et al .,“融化干涉分数量子霍尔效应:中性的模式,”物理评论快报,卷122,不。24日,ID 246801条,2019年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. a·c·Escamilla j . e . Lavin-Delgado j . f . Gomez-Aguilar l·托雷斯,”部分与外地Kuramoto振荡器的动力学和同步,非奇异的和强大的记忆,“亚历山大工程杂志卷,59号4、1941 - 1952年,2020页。视图:谷歌学术搜索
18. A . Jajarmi e . m . Hajipour, d . Baleanu”的新方法与外部持续扰动非线性部分最优控制问题,”富兰克林研究所杂志》上,卷355,不。9日,第3967 - 3938页,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. p . j . Torvik和r·l·巴格利”分数导数的外观在真实材料的行为,”应用力学学报,51卷,不。2、725 - 728年,1984页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. Z.-M。通用电气和W.-R。Jhuang”,混乱,分数阶旋转机械系统的控制和同步离心调速器,”混乱,孤波和分形,33卷,不。1,第289 - 270页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. 他,k .太阳,h . Wang”解决方案和分数阶超混沌系统的动力学分析,“应用科学的数学方法,39卷,不。11日,第2973 - 2965页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. k . y . Wang太阳、s .他和h . Wang”分数阶动力学呈现正弦被迫简化洛伦兹系统及其同步”欧洲物理专题》杂志上,卷223,不。8,1591 - 1600年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. d·凯:j·福特,公元释放,“预估方法分数微分方程的数值解,“非线性动力学卷,29号4,3-22,2002页。视图:谷歌学术搜索
24. m·f·Oskouie r·安萨里和f . Sadeghi“非线性振动分析分数阶粘弹性Euler-Bernoulli nanobeams基于表面应力理论,“Acta Mechanica开发中央研究院,30卷,不。4、416 - 424年,2017页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. Banerjee s, s、k .太阳,“复杂的动力学和多个分数阶微化工系统的吸引子共存,”欧洲物理专题》杂志上,卷228,不。1,第207 - 195页,2019。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. http://www.sourcecodeonline.com/details/predictorcorrector_pece_method_for_fractional_differential_equations.html。
27. M.-F。Danca n“库兹涅佐夫”,“为分数阶系统的李雅普诺夫指数,Matlab代码”国际期刊的分歧和混乱,28卷,不。5、文章ID 1850067, 2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. b .严、s .他和王,“多稳定性和螺旋波的形成在分数阶陆memristor-based超混沌系统无平衡分,“数学问题在工程卷,2020篇文章ID 2468134, 12页,2020。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. 问:赖、z Wan和p·d·Kamdem Kuate,“模拟和电路实现一个新的no-equilibrium混沌系统隐藏的吸引子和吸引子共存,”电子信件卷,56号20,1044年,页2020。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
30. 问:赖,z Wan, p . d . Kamdem Kuate,和h . Fotsin”共存,电路实现和新混沌系统同步控制是从最简单的忆阻器混沌电路,”非线性科学与数值模拟通信文章ID 105341卷,89年,2020年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. 问:赖,b . Norouzi f·刘,“动态分析、电路实现、控制设计和图像加密应用的扩展陆系统吸引子共存,”混乱,孤波和分形卷,114年,第245 - 230页,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
32. c·李和j . c . Sprott蝴蝶流中的多稳定性。”国际期刊的分歧和混乱,23卷,不。12篇文章ID 1350199, 2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. y l .陈茶,r·吴”的线性矩阵不等式条件健壮的不确定的分数阶混沌系统的同步,”混乱,21卷,不。4、251 - 968年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
34. t . c . j . Chen Li黄,x,“全球稳定memristor-based分数阶神经网络通过输出反馈控制,与延迟”现代物理学字母B没有,卷。31日。5,1750031页,2017年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
35. c .留置权,s . Vaidyanathan A三发地区et al .,“一个新的two-scroll混沌吸引子和三个二次非线性,其自适应控制和电路设计,“IOP会议系列:材料科学与工程文章ID 012010卷,332年,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
36. 邵,c .备忘录,j .吴”跟踪控制基于扰动观测器的不确定的分数阶混沌系统和神经网络,”Ima数学杂志及控制信息,34卷,不。3、1011 - 1030年,2017页。视图:谷歌学术搜索
37. f . Wang和杨y”,更正:分数阶barbalat引理及其应用在分数阶非线性系统稳定性的,”数学建模与分析,22卷,不。4、503 - 513年,2017页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权©2020年博燕等。这是一个开放分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。