基于三涡旋整数阶记忆混沌系统的分数阶系统中三涡旋和四涡旋混沌吸引子共存及混沌控制

抽象的

基于能产生两卷、三卷和四卷混沌吸引子的整数阶记忆系统，本文发现了在不同初始条件下两种三卷混沌吸引子共存的其他现象。此外，在三涡旋混沌吸引子系统的基础上，我们提出了一个共存的分数阶系统，其中三涡旋混沌吸引子或四涡旋混沌吸引子具有不同的分数阶 ．与此同时,随着分数阶在不同初始条件下，发现了两种三涡旋和四涡旋混沌吸引子共存的情况。最后讨论了分数阶记忆混沌系统的混沌控制问题。

1.介绍

由于混沌系统具有高不规则性、不可预测性和复杂性等典型特征，在过去几十年里，混沌系统及其应用受到了越来越多的关注[1- - - - - -16，例如信息处理[11，安全通信[12，13，图像加密[14，15，机器学习[16，等等。记忆电阻器——丢失的电路元件——于1971年被Leon Chua发现[17， 2008年已成功实现[18］．最近，提出了基于Memristor的系统的一些数学模型。例如，Muthuswamy和Chua报告了一种基于Memristor的混沌系统，具有单滚动吸引子[19]，宝等人。呈现了一种基于忆晶的混沌系统，双滚动吸引子[20.]，teng等人。报告了一种基于忆晶的混沌系统，具有双滚动和四滚动吸引子[21， Zhou和Ke给出了一个具有双滚动到四滚动吸引子的基于记忆的混沌系统[1， Sun等人提出了一种具有无限混沌吸引子的基于记忆电阻的混沌系统[22，等等。

混沌吸引子在许多分数阶非线性系统中也有报道，例如分数阶Lorenz混沌系统[23，分数阶Chen混沌系统[24]，分数阶LU混沌系统[24，分数阶无刷直流电动机混沌系统[25，分数阶微机电混沌系统[26]，分数阶冠状动脉混沌系统[27)等。另一方面，也提出了一些基于记忆电阻的分数阶混沌系统。例如，一个基于分数阶记忆电阻的最简混沌电路，具有双涡旋和四涡旋吸引子，采用四次多项式[21]，以及一个具有单涡旋吸引子和稳定平衡点的基于分数阶记忆电阻的混沌系统[28Prakash等人报道了一种具有共存吸引子的分数阶记忆电阻混沌系统[1)由周和柯报道。此外，还利用电子电路实现了一些分数阶混沌系统，如用DSP实现了一个分数阶Lorenz超混沌系统[29]，利用EWB实现了一个4维非平衡分数阶混沌系统[30.]，并利用FPGA实现了具有两个平衡点和没有平衡点的分数阶混沌系统[31］．

另一方面，由于工程科学中混沌系统的稳定性和控制的重要应用[9，10，24- - - - - -26，32- - - - - -34[近年来，混沌系统的稳定性和控制吸引了越来越多的关注。已经提出了许多控制方案，例如，线性和非线性反馈，标量和矢量控制器，单态变量和多状态变量。但是，必须在实践中考虑控制成本和控制效果。因此，在混沌系统的稳定性控制过程中，单态变量或标量控制器应该是第一选择。

基于整数阶记忆电阻的混沌系统[1，本文在基于整数阶记忆电阻器的混沌系统[1]，即两种初始条件不同的三涡旋混沌吸引子共存。此外，提出了其分数阶版本。我们发现不仅出现了三卷混沌吸引子，而且出现了四卷混沌吸引子的分数阶版本。同时，在分数阶条件下，存在两种不同初始条件的三涡旋和四涡旋混沌吸引子 ．据我们所知，我们的研究结果以前很少被报道。最后，为了通过单状态变量稳定分数阶记忆混沌系统，提出了一种控制策略。

本文的结构如下:我们描述了基于整数阶记忆电阻的混沌系统[1并在Section中找到一些新的结果2．在部分3.，基于整数阶记忆电阻混沌系统[1[]，提出了它的分数阶版本，找到了四涡旋混沌吸引子，并找到了在不同初始条件下共存的两种三涡旋和四涡旋混沌吸引子。一节4通过单态变量呈现控制策略。在部分5，结论是给出的。

2.两种三滚动混沌吸引子共存在整数次数中

最近，Zhou和Ke报告了一个整数忆出系统[1]如下：

在哪里 ．

备注1。(中只有一个平衡点)1),也就是说, ，平衡点是不稳定的。详情请参阅[1］．

周和柯[1报道，在该系统中有两个滚动到四滚动混沌吸引子（1)与不同 ．例如(1]的双涡旋混沌吸引子 ，提出了四涡旋混沌吸引子 ，提出了三涡旋混沌吸引子 ，提出了另一种三涡旋混沌吸引子 ．

在本文中，进一步研究了整数忆回系统。通过数值计算，我们发现这两种三种滚动混沌吸引子共存在该系统中（1)在尚未报告的不同初始条件下，Zhou和Ke [1］．一些结果如下。

让和初始条件是 和 ，分别，两种三卷轴混沌吸引子共存，如图所示1(一)．

让和初始条件是 和 ，两种三涡旋混沌吸引子也分别共存，如图所示1 (b)．

经过大量的数值计算，我们发现存在具有相同初始条件的混沌吸引子(蓝线) 和 ，初始条件相同的混沌吸引子(红线) 和 ．必须指出的是，只有蓝线描述的混沌吸引子在文献[1)与 ．在本文中，发现了新的混沌吸引子（红线）和两种三滚混沌吸引子在系统中共存（1), ．

3.分数阶记忆混沌系统中存在两种三涡旋和四涡旋混沌吸引子

基于前面提到的记忆混沌系统 ，构建了分数阶忆忆系统，发现了两种三卷轴和四滚动混沌吸引子的共存。分数阶Memristive系统被描述为

在哪里是分数阶, 与 ．

现在，基于Adams-Bashforth-Moulton算法[1]对于分数阶系统，设是数值计算的总时间，为迭代次数，步长为和 ．因此，分数阶记忆系统(2)离散化如下:

和

近似误差如下:

在哪里 为分数阶系统(2）.

为了研究系统的动态行为（2)，计算系统的最大Lyapunov指数(maximum LE)2首先。关于分数阶的最大LE，如图所示。2．

在图2，正的Maximum LE表示分数阶记忆系统存在混沌吸引子(2）.现在，一些结果如下:

3．1．系统(2)在Q = 0.98时出现了四涡旋混沌吸引子

让 ，得到Maximum LE为0.2501。这表明分数阶记忆系统(2)具有混沌吸引子。让初始条件是 ，得到了四涡旋混沌吸引子在系统(2)如图所示3.．

我们注意到在整数阶记忆系统(1）.然而，四涡旋混沌吸引子是在其分数阶版本系统中产生的。通过数值计算，我们发现存在相同的混沌吸引子(如图所示3.)和初始条件 或 ．

3.2。q = 0.965的系统(2)中存在两种三涡旋和四涡旋混沌吸引子

让 ，得到LE的最大值为0.2781。这表明分数阶记忆系统(2)具有混沌吸引子。通过数值计算，我们发现在初始条件下出现了三涡旋混沌吸引子 ，另一种具有初始条件的三涡旋混沌吸引子出现 ，在初始条件下产生了一个四涡旋混沌吸引子 ．因此，两种三滚动混沌吸引子与分数次数混沌系统中的四滚混沌吸引子共存（2)，如图所示4．

请注意在整数阶记忆系统中只有两种三涡旋混沌吸引子共存(1)，而分数阶记忆系统中两种三涡旋混沌吸引子与四涡旋混沌吸引子共存(2）.

备注2。通过数值计算，我们发现系统中只有两种三涡旋混沌吸引子共存。2)与初始条件 ，即，系统中没有四个滚动混沌吸引子（2)和这些初始条件。两种共存的三涡旋混沌吸引子如图所示5．

综上所述，在整数阶记忆系统中出现了两种三滚动混沌吸引子(1) ．分数阶Memristive系统（2但是，可以生成四滚动混沌吸引子 ．此外，在分数阶记忆系统(2) ．这表明分数阶记忆系统(2)的混沌吸引子比整数阶记忆系统(1）.

4.分数阶记忆混沌系统的控制(2）通过单个状态变量

首先，为了控制分数阶忆故混合系统（2)，给出了分数阶非线性系统的下列引理。考虑以下分数阶非线性系统(8），

在哪里 ， 是实态向量，是一个常数实矩阵，和表示非线性系统中的线性部分和非线性部分(8）.

引理3(更多详情见[35])。给定分数阶非线性系统(8)，如符合下列条件，(一) ，和 ，(b) ，和在哪里 是矩阵的特征值 ，和是 -规范的矩阵 ，然后,系统(8)是渐近稳定的。其次，为了稳定分数阶记忆混沌系统(2)，则下面的受控分数阶记忆系统(9)被认为是。 在哪里是实数。根据系统(8)，我们可以写出来， 现在，可以得到和

与此同时，很明显会有一些实数C，可以满足两者的需要 和 ．根据引理，可控分数阶记忆系统(9)是渐进稳定的。这一结果表明分数阶记忆混沌系统(2）可以通过单状态变量控制稳定性 ．

仿真结果验证了控制策略的有效性。

例如,选择 ，和 ，因此，矩阵的特征值是 ， ， ，和 ，分别。根据引理，可控分数阶记忆系统(9)是渐进稳定的。状态变量的结果随时间变化如图所示6(一)．这里，初始条件是 ， ，和 ，分别。

例如,选择和 ，矩阵的特征值因此 ， ，和 ，分别，以及 ．根据引理，可控分数阶记忆系统(9)仍是渐近稳定的。状态变量的结果随时间变化，如图所示6 (b)和6 (c)．在图6 (b)，黑色曲线对应初始条件 ，蓝色的曲线对应初始条件 ．应该提到有四个滚动混沌吸引子（图中的黑色曲线4）在分数阶Memristive System（2)和初始条件 ，而有三滚动混沌吸引子(图中蓝色曲线)4）在分数阶Memristive System（2)和初始条件

图中显示的结果6 (c)表明初始条件下状态变量随时间变化 和 ．黑色曲线对应初始条件 ，红色的曲线对应初始条件 ，分别。需要再次提到的是，存在四滚动混沌吸引子(图中黑色曲线)4）在分数阶Memristive System（2)和初始条件 ，虽然有三个滚动混沌吸引子（图中的红色曲线4）在分数阶Memristive System（2)和初始条件

命题4。让控制分数阶记忆混沌系统(2), 如果持有以下条件，(一)20c + 4 > 0，(b) ，和在哪里 然后，系统是渐近稳定的。

证明。根据上述引理，这个命题很容易证明。
如上所述，分数阶忆出混沌系统（2）可以通过单状态变量控制稳定性 ．

5.结论

本文给出了整数阶记忆系统[1)被发现。整数阶记忆系统中出现了两种三涡旋混沌牵引机的共存(1)的初始条件不同，周和柯在参考文献中没有报道[1］．此外，基于混沌系统(1)，一个分数阶记忆系统(2)建议。通过数值算法得到了最大的Lyapunov指数，表明分数阶记忆系统(2）.

通过数值计算，我们发现四滚动混沌吸引子出现在分数阶Memristive系统中（2) ，它不同于整数阶记忆系统(1）.这表明分数阶记忆系统(2)产生四滚动混沌吸引子，而整数阶记忆系统(1)生成三滚动混沌吸引子。据我们所知，这一结果很少被报道。此外,让分数阶 ，获得了共存两种三卷轴和四滚动混沌吸引子出现了不同的初始条件。因此，不仅是三卷轴混沌吸引子，而且在分数阶忆出系统中发现了四滚混沌吸引子（2）.

最后给出了分数阶记忆混沌系统(2)，并通过数值仿真验证了所提控制策略的有效性。

数据可用性

本文使用的数据是用MATLAB程序获得的。支持本研究的数据可从通讯作者处获得。

的利益冲突

作者声明本论文的发表不存在任何利益冲突。

参考文献

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