raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

复杂性

1099 - 0526 1076 - 2787

Hindawi

10.1155 / 2020/5796529

5796529

研究文章

共存Three-Scroll和Four-Scroll混乱的分数阶系统的吸引子Three-Scroll Integer-Order记忆性混沌系统和混沌控制

胡

Xikui

https://orcid.org/0000 - 0002 - 0079 - 1004

周

平

¹ ² 范教授

Viet-Thanh

中心系统理论及其应用

重庆邮电大学

重庆400065 中国

cqupt.edu.cn

重点实验室的网络控制和教育部的智能仪器

重庆邮电大学

重庆400065 中国

cqupt.edu.cn

2020年

8 1 2020年

2020年 10 06 2019年 5 08年 2019年 8 1 2020年

2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

基于integer-order记忆性系统,可以生成two-scroll three-scroll, four-scroll混沌吸引子,在这篇文章中,我们发现两种three-scroll混沌吸引子共存的其他现象在这个系统用不同的初始条件。此外,我们提出了一种分数阶系统基于three-scroll混沌吸引子共存体系,three-scroll或four-scroll混沌吸引子与不同的fractional-orders出现<我nl我ne-formula> 问。与此同时,随着分数阶<我nl我ne-formula> 问 = 0.965 和不同的初始条件,两种three-scroll共存,同时发现four-scroll混沌吸引子。最后,我们讨论了控制混沌的分数阶记忆性混沌系统。

1。介绍</t我tle><p>由于高不规则的典型特征,不可预测性,混沌系统的复杂性,混沌系统及其应用已经吸引了越来越多的关注在过去的几十年里<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>- - - - - -<xrefref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>),例如,信息处理(<xrefref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>,安全通信<xrefref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>,<xrefref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>)、图像加密(<xrefref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>,<xrefref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>),机器学习(<xrefref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>),等等。Memristor-the失踪电路元素有莱昂蔡女士于1971年被发现(<xrefref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>),它已成功实现2008年(<xrefref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>]。最近,一些memristor-based系统提出的数学模型。例如,Muthuswamy和蔡报道与single-scroll memristor-based混沌系统吸引子(<xrefref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>),包等人提出了一个与double-scroll memristor-based混沌系统吸引子(<xrefref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xref>),邓等人报道与double-scroll memristor-based混沌系统和four-scroll流动<xrefref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>),周和Ke memristive-based混沌系统与two-scroll four-scroll流动(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)、太阳等人提出了一个memristor-based混沌系统与无限的混沌吸引子<xrefref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>),等等。</p> <p>混沌吸引子也被报道在许多分数阶非线性系统,例如,分数阶Lorenz混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>陈),分数阶混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>陆,分数阶混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>),无刷直流电机无分数阶混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>),分数阶混沌系统微机电(<xrefref-type="bibr" rid="B26"> 26</xref>),分数阶混沌系统冠状动脉(<xrefref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>)等。另一方面,一些memristor-based分数阶混沌系统。例如,分数阶memristor-based简单的混沌电路double-scroll和four-scroll流动使用四级多项式(<xrefref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>被邓等人报道,一个分数阶memristor-based single-scroll混沌系统吸引子和一个稳定的平衡点<xrefref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>)据报道,普拉卡什et al .,和一个分数阶memristor-based混沌系统吸引子共存(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)是由周和柯。此外,一些分数阶混沌系统实现了电子电路,例如,洛伦茨分数阶超混沌系统由DSP实现(<xrefref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>),4- d非平衡分数阶混沌系统实现了EWB (<xrefref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xref>),分数阶混沌系统有两个平衡和没有通过FPGA实现平衡<xrefref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>]。</p> <p>另一方面,由于混沌系统的重要应用程序的稳定性和控制工程科学(<xrefref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>,<xrefref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>,<xrefref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>- - - - - -<xrefref-type="bibr" rid="B25"> 26</xref>,<xrefref-type="bibr" rid="B26"> 32</xref>- - - - - -<xrefref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>混沌系统的稳定性和控制,近年来吸引了越来越多的关注。许多控制方案已经提出,例如,线性和非线性反馈,标量和矢量控制器,国家变量,和多状态变量。然而,在实践中必须考虑控制成本和控制效果。因此,混沌系统的稳定控制的过程中,国家变量或标量控制器应该是第一选择。</p> <p>基于integer-order memristor-based混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)由周和柯,在这篇文章中,我们发现一些新的结果integer-order memristor-based混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),即。,two kinds of three-scroll chaotic attractor coexist with different initial conditions. Furthermore, its fractional-order version is proposed. We find that not only three-scroll chaotic attractors but also four-scroll chaotic attractors are emerged in its fractional-order version. Meanwhile, two kinds of three-scroll and four-scroll chaotic attractors coexist with different initial conditions for fractional order<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们所知,我们的研究结果很少报道。最后,为了稳定分数阶版本记忆性混沌系统通过国家变量,控制策略建议。</p> <p>本文结构如下:我们描述了integer-order memristor-based混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>节),找到一些新的结果<xrefref-type="other" rid="sec2"> 2</xref>。节<xrefref-type="other" rid="sec3"> 3</xref>基于integer-order memristor-based混沌系统(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),其分数阶版本建议和four-scroll找到混沌吸引子,和共存两种three-scroll four-scroll混沌吸引子为不同的初始条件。一节<xrefref-type="other" rid="sec4"> 4</xref>提出了一种通过国家变量控制策略。节<xrefref-type="other" rid="sec5"> 5</xref>,结论。</p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。两种Three-Scroll混沌吸引子共存的Integer-Order记忆性系统</t我tle><p>最近,一个integer-order跨过记忆系统由周和科<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mspace width="0.2888889em"></mml:mspace> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <statement id="rem1"> <title>备注1。</t我tle><p>只有一个平衡点(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>),也就是说,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,平衡点是不稳定的。更多细节在文献[<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。</p> </statement> <p>周和科<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)报道,有two-scroll four-scroll混沌吸引子在这个系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)与不同<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。例如(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),two-scroll混沌吸引子出现<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>出现,four-scroll混沌吸引子<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,three-scroll混沌吸引子出现<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.734</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,另一种类型的three-scroll混沌吸引子了<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <p>摘要integer-order记忆性系统是进一步研究。通过数值计算,我们发现两种three-scroll混沌吸引子共存的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不同的初始条件,并没有报道周和科<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。一些结果如下。</p> <p>让<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>分别两种three-scroll混沌吸引子共存,如图<xrefref-type="fig" rid="fig1a"> 1(一)</xref>。</p> <fig-group id="fig1"> <label>图1</l一个bel><p>两种three-scroll混沌吸引子共存。</p> <fig id="fig1a"> <label>(一)</l一个bel><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</l一个bel><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.001b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>让<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>分别两种three-scroll混沌吸引子共存,如图<xrefref-type="fig" rid="fig1b"> 1 (b)</xref>。</p> <p>大量数值计算后,我们发现有相同的混沌吸引子(蓝线)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,同样的混沌吸引子与初始条件(红线)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。必须指出,只有蓝线描述的混沌吸引子在裁判。<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)与<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。摘要新的混沌吸引子(红色线)和两种发现three-scroll混沌吸引子共存的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>),<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。两种Three-Scroll和分数阶混沌吸引子共存Four-Scroll记忆性混沌系统</t我tle><p>基于上面提到的记忆性混沌系统<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,一个分数阶记忆性系统构造和共存的两种three-scroll和four-scroll混沌吸引子。被描述为分数阶的记忆性系统<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mspace width="0.1666668pt"></mml:mspace> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是分数阶,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <p>现在,基于Adams-Bashforth-Moulton算法(<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>分数阶系统,让<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>总时间的数值计算,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>迭代次数,步长<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> /</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mspace width="0.166668pt"></mml:mspace> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。所以,分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)是离散如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.75</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.75</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>和<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.75</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="{" close=""> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mspace width="1em"></mml:mspace> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>近似误差如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> o</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> o</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> o</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>分数阶系统的初始条件(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <p>为了研究系统的动态行为<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>),我们计算的最大李雅普诺夫指数(最大LE)系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>首先。最大的乐对分数阶<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>显示在图<xrefref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>。</p> <fig id="fig2"> <label>图2</l一个bel><p>最大的乐随分数阶<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.002"></graphic> </fig> <p>在图<xrefref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>积极最大,表明在分数阶混沌吸引子记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。现在,一些结果如下:</p> <sec id="sec3.1"> <title>3.1。Four-Scroll混沌吸引子出现在系统与Q = 0.98 (2)</t我tle><p>让<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.98</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们可以获得最大是0.2501。这表明分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)有一个混沌吸引子。让初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,获得four-scroll混沌吸引子出现在系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)如图<xrefref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>。</p> <fig id="fig3"> <label>图3</l一个bel><p>Four-scroll混沌吸引子在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.003"></graphic> </fig> <p>我们注意到,只有three-scroll混沌吸引子integer-order记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)。然而,four-scroll生成混沌吸引子的分数阶系统版本。通过数值计算,我们发现有相同的混沌吸引子(如图<xrefref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>或<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p> </sec> <sec id="sec3.2"> <title>3.2。两种Three-Scroll, Four-Scroll混沌吸引子共存与q = 0.965系统(2)</t我tle><p>让<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们可以获得最大是0.2781。这表明分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)有一个混沌吸引子。通过数值计算,我们发现three-scroll混沌吸引子与初始条件出现<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,另一种类型的three-scroll混沌吸引子与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和一个four-scroll混沌吸引子与初始条件出现<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。因此,两种three-scroll混沌吸引子共存与分数阶混沌吸引子four-scroll记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>),如图<xrefref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>。</p> <fig id="fig4"> <label>图4</l一个bel><p>共存两种three-scroll, four-scroll混沌吸引子在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.004"></graphic> </fig> <p>请注意,只有两种three-scroll混沌吸引子共存的integer-order跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>),而两种three-scroll混沌吸引子共存与分数阶混沌吸引子four-scroll跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <statement id="rem2"> <title>备注2。</t我tle><p>通过数值计算,我们发现只有两种three-scroll混沌系统的吸引子共存<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,即,there is no four-scroll chaotic attractor in system (<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>与这些初始条件)。共存两种three-scroll混沌吸引子图所示<xrefref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>。</p> </statement> <fig id="fig5"> <label>图5</l一个bel><p>共存两种three-scroll混沌吸引子在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.005"></graphic> </fig> <p>总之,两种three-scroll混沌吸引子出现在integer-order跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。的分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>),然而,可以生成four-scroll混沌吸引子<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.98</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,共存两种three-scroll和four-scroll混沌吸引子在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这表明分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)更丰富和更复杂的混沌吸引子比integer-order跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)。</p> </sec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。分数阶控制记忆性混沌系统(< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq2 " > < / xref > 2)通过一个状态变量</t我tle><p>首先,为了控制分数阶记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>),下面的引理给出分数阶非线性系统。考虑下面的分数阶非线性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>),<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是真正的状态向量,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>真正是一个常数矩阵,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示非线性系统的线性和非线性部分(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>)。</p> <statement id="lem3"> <title>引理3(更多细节在[< xref ref-type =“bibr”掉= " B35 " > < / xref > 35])。</t我tle><p>由于分数阶非线性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>),如果下列条件举行,<l我st> <list-item> <label>(一)</l一个bel></l我st-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> →</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,</p> <list-item> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 参数</米米l:mtext> <mml:mspace width="0.2888889em"></mml:mspace> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mspace width="0.166668pt"></mml:mspace> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>矩阵的特征值是<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mfenced open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>规范的矩阵<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>那么,系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>)据说是渐近稳定的。</p> </list-item> <p></p> <p>其次,为了稳定的分数阶记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>通过国家变量),下面的分数阶控制记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>)被认为是。<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个实数。根据系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xref>),我们可以写出,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 18</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在,人们可以获得<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> <mml:mn> 18</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>与此同时,很明显,会有一些实数<我t一个l我c> C</我t一个l我c>,它可以满足双方的需求<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mo> 参数</米米l:mo> <mml:mspace width="0.1666668pt"></mml:mspace> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mspace width="0.166668pt"></mml:mspace> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。根据引理,分数阶控制记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>)是渐近稳定的。这个结果表明分数阶记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)可以稳定通过国家控制的变量<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p> <p>此外,给出了一些数值模拟来验证控制策略的有效性。</p> <p>例如,选择<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.98</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>因此,矩阵的特征值<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.7824</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。根据引理,分数阶控制记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>)是渐近稳定的。状态变量随时间的结果如图<xrefref-type="fig" rid="fig6a"> 6(一)</xref>。这里的初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。</p> <fig-group id="fig6"> <label>图6</l一个bel><p>状态变量随时间变化的结果。</p> <fig id="fig6a"> <label>(一)</l一个bel><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.006a"></graphic> </fig> <fig id="fig6b"> <label>(b)</l一个bel><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.006b"></graphic> </fig> <fig id="fig6c"> <label>(c)</l一个bel><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/5796529.fig.006c"></graphic> </fig> </fig-group> <p>例如,选择<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>矩阵的特征值<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>因此<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.6023</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。根据引理,分数阶控制记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>)仍然是渐近稳定的。状态变量随时间的结果如图<xrefref-type="fig" rid="fig6b"> 6 (b)</xref>和<xrefref-type="fig" rid="fig6c"> 6 (c)</xref>。在图<xrefref-type="fig" rid="fig6b"> 6 (b)</xref>,黑色的曲线对应于初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,蓝色曲线对应于初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。应该提到有four-scroll混沌吸引子(黑色曲线在图<xrefref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>虽然有three-scroll混沌吸引子(蓝色曲线在图<xrefref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></p> <p>结果在图<xrefref-type="fig" rid="fig6c"> 6 (c)</xref>表明,状态变量随时间的初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。黑色曲线对应于初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,红色曲线对应于初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。它应该再次提到有four-scroll混沌吸引子(黑色曲线在图<xrefref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>虽然有three-scroll混沌吸引子(红色曲线在图<xrefref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)与初始条件<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 30.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></p> <statement id="prop4"> <title>命题4。</t我tle><p>让分数阶控制记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>),<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mspace width="0.1666668pt"></mml:mspace> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2.4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>如果下列条件举行,<l我st> <list-item> <label>(一)</l一个bel></l我st-item> </list></p> <p>20 c + 4 > 0,</p> <list-item> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 反正切</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:mn> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo stretchy="true"> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="∥" close="∥"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在哪里<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1.8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后,系统是渐近稳定的。</p> </list-item> <p></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>通过以上引理,这个命题是很容易证明的。</p> <p>正如上面提到的,分数阶记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)可以稳定通过国家控制的变量<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p> </statement> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。结论</t我tle><p>在本文中,一些新的结果integer-order记忆性系统[<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>)被发现。共存的两种three-scroll混乱的拖拉机出现integer-order跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)用不同的初始条件,这周和柯没有发表在文献[<xrefref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。此外,基于混沌系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>),一个分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)建议。最大李雅普诺夫指数是通过数值算法,这表明有分数阶混沌吸引子的记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <p>通过数值计算,我们发现four-scroll混沌吸引子出现在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.98</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这是不同于integer-order记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)。这表明分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)生成four-scroll混沌吸引子,而integer-order跨过记忆系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)生成three-scroll混沌吸引子。我们所知,这个结果是很少报道。此外,让分数阶<我nl我ne-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.965</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,获得共存两种three-scroll和four-scroll混沌吸引子出现在不同的初始条件。因此,不仅three-scroll混沌吸引子,而且four-scroll混沌吸引子在分数阶记忆性系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>)。</p> <p>最后,对分数阶控制策略记忆性混乱的系统(<xrefref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xref>提出了通过国家变量,采用数值模拟来验证该控制策略的有效性。</p> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle><p>使用的数据在我们的手稿是通过MATLAB程序。使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。</p> </sec> <sec> <title>的利益冲突</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p> </sec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 柯</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个integer-order记忆性系统2 - four-scroll混沌吸引子和它的分数阶混沌吸引子共存的版本</一个rt我cle-title> <source> <italic> 复杂性</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 2018年</volume> <fpage> 4970152</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2018/4970152</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85060576098</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> Ouannas</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 沃洛斯</surname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Kapitaniak</surname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个简单的分数阶混沌系统不平衡及其同步</一个rt我cle-title> <source> <italic> AEU电子和通信的国际杂志(AEU)</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 86年</volume> <fpage> 69年</fpage> <lpage> 76年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aeue.2018.01.023</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85042508758</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> 沃洛斯</surname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Kapitaniak</surname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> 贾法里</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> X。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌系统的动力学和电路平衡曲线点</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际电子杂志</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 105年</volume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 385年</fpage> <lpage> 397年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> 贾法里</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Kapitaniak</surname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> 沃洛斯</surname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Kingni</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 生成一个混沌系统与一个稳定的平衡</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 27</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 1750053</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s0218127417500535</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85019157345</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 柯</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的3 d自动连续系统有两个孤立的混沌吸引子拓扑的马蹄铁</一个rt我cle-title> <source> <italic> 复杂性</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 2017年</volume> <lpage> 7</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 4037682</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2017/4037682</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85038909111</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> 沃洛斯</surname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> 贾法里</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Vaidyanathan</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Kapitaniak</surname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> X。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌系统具有不同的家庭隐藏的吸引子</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 26</volume> <issue> 8</我ssue> <fpage> 1650139</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / S021812741650139X</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84981290345</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> 沃洛斯</surname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> 贾法里</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Kapitaniak</surname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 隐藏的混沌吸引子共存于一本小说no-equilibrium系统</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 87年</volume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 2001年</fpage> <lpage> 2010年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 016 - 3170 - x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84994246344</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kengne</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> Njitacke</surname> <given-names> z . T。</given-names> </name> <name> <surname> Fotsin</surname> <given-names> h . B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 简单的自主反射系统的动力分析多个吸引子</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2016年</year> <volume> 83年</volume> <issue> 1 - 2</我ssue> <fpage> 751年</fpage> <lpage> 765年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 015 - 2364 - y</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84940873562</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="book"> <label>9</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sprott</surname> <given-names> j . C。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 混沌时间序列分析</我t一个l我c> <year> 2003年</year> <publisher-loc> 牛津大学</publisher-loc> <publisher-name> 牛津大学出版社</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>10</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 陈</surname> <given-names> g·R。</given-names> </name> <name> <surname> 越南盾</surname> <given-names> X。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 从混乱秩序的角度、方法和应用</我t一个l我c> <year> 1998年</year> <publisher-loc> 新加坡</publisher-loc> <publisher-name> 世界科学</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Souza</surname> <given-names> C·e·C。</given-names> </name> <name> <surname> 查维斯</surname> <given-names> d . p . B。</given-names> </name> <name> <surname> 皮门特尔</surname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 基于三维数字通信系统的混沌吸引子</一个rt我cle-title> <source> <italic> IEEE访问</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 7</volume> <fpage> 10523年</fpage> <lpage> 10532年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Zouad</surname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> Kemih</surname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> Hamiche</surname> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的安全通信方案使用分数阶延迟混沌系统:设计和电子电路仿真</一个rt我cle-title> <source> <italic> 模拟集成电路和信号处理</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 99年</volume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 619年</fpage> <lpage> 632年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s10470 - 018 - 01382 - x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85059632053</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 肖</surname> <given-names> y Q。</given-names> </name> <name> <surname> 曹</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> z Y。</given-names> </name> <name> <surname> 长</surname> <given-names> c . X。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</surname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 他</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 极地与混沌加密编码光OFDM系统物理层的安全</一个rt我cle-title> <source> <italic> 光学通信</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 433年</volume> <fpage> 231年</fpage> <lpage> 235年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.optcom.2018.10.015</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85055259950</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 华</surname> <given-names> z Y。</given-names> </name> <name> <surname> 周</surname> <given-names> y . C。</given-names> </name> <name> <surname> 黄</surname> <given-names> h·J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Cosine-transform-based混沌系统的图像加密</一个rt我cle-title> <source> <italic> 信息科学</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 480年</volume> <fpage> 403年</fpage> <lpage> 419年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ins.2018.12.048</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85059200054</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Alawida</surname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Samsudin</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 森格兰</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> Alkhawaldeh</surname> <given-names> r S。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的混合数字混沌系统应用在图像加密</一个rt我cle-title> <source> <italic> 信号处理</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 160年</volume> <fpage> 45</fpage> <lpage> 58</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.sigpro.2019.02.016</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85061776346</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 翁</surname> <given-names> t F。</given-names> </name> <name> <surname> 杨</surname> <given-names> h·J。</given-names> </name> <name> <surname> 顾</surname> <given-names> c·G。</given-names> </name> <name> <surname> 张</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 小</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌系统的同步和他们的机器学习模型</一个rt我cle-title> <source> <italic> 物理评论E</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 99年</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 042203年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / physreve.99.042203</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85064067769</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 蔡</surname> <given-names> l . O。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Memristor-the缺失的电路元件</一个rt我cle-title> <source> <italic> IEEE电路理论</我t一个l我c> <year> 1971年</year> <volume> 18</volume> <issue> 5</我ssue> <fpage> 507年</fpage> <lpage> 519年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / TCT.1971.1083337</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0015127532</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Strukov</surname> <given-names> d·B。</given-names> </name> <name> <surname> 斯奈德</surname> <given-names> g S。</given-names> </name> <name> <surname> 斯图尔特</surname> <given-names> g·R。</given-names> </name> <name> <surname> 威廉姆斯</surname> <given-names> r S。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 失踪的忆阻器发现</一个rt我cle-title> <source> <italic> 自然</我t一个l我c> <year> 2008年</year> <volume> 453年</volume> <issue> 7191年</我ssue> <fpage> 80年</fpage> <lpage> 83年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1038 / nature06932</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 43049126833</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Muthuswamy</surname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 蔡</surname> <given-names> l . O。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 简单的混沌电路</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个l我c> <year> 2010年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 5</我ssue> <fpage> 1567年</fpage> <lpage> 1580年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / S0218127410027076</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77954566084</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 保</surname> <given-names> b . C。</given-names> </name> <name> <surname> 马</surname> <given-names> z H。</given-names> </name> <name> <surname> 徐</surname> <given-names> j . P。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</surname> <given-names> Z。</given-names> </name> <name> <surname> 徐</surname> <given-names> Q。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个简单的忆阻器混沌电路复杂的动力学</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个l我c> <year> 2011年</year> <volume> 21</volume> <issue> 9</我ssue> <fpage> 2629年</fpage> <lpage> 2645年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / S0218127411029999</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 81055149518</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 腾</surname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 国际单位</surname> <given-names> h·h·C。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> x Y。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> x K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在分数阶混沌行为memristor-based简单使用第四个多项式混沌电路</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2014年</year> <volume> 77年</volume> <issue> 1 - 2</我ssue> <fpage> 231年</fpage> <lpage> 241年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 014 - 1286 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84902242203</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 太阳</surname> <given-names> j·W。</given-names> </name> <name> <surname> 赵</surname> <given-names> x T。</given-names> </name> <name> <surname> 方</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> y F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 无限自治忆阻器混沌系统的混沌吸引子和电路实现</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 94年</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 2879年</fpage> <lpage> 2887年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 018 - 4531 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85052718246</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Grigorenko</surname> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Grigorenko</surname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌动力学部分的洛伦兹系统</一个rt我cle-title> <source> <italic> 物理评论快报</我t一个l我c> <year> 2003年</year> <volume> 91年</volume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 034101年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / PhysRevLett.91.034101</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0041384356</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 朱</surname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 功能分数阶混沌系统的投影同步</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性分析:现实世界的应用</我t一个l我c> <year> 2011年</year> <volume> 12</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 811年</fpage> <lpage> 816年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.nonrwa.2010.08.008</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 78249280987</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 白</surname> <given-names> r . J。</given-names> </name> <name> <surname> 郑</surname> <given-names> j . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的分数阶混沌无刷直流电机通过一个单一的输入</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2015年</year> <volume> 82年</volume> <issue> 1 - 2</我ssue> <fpage> 519年</fpage> <lpage> 525年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 015 - 2172 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84943360276</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Aghababa</surname> <given-names> m P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在分数阶混沌微机电谐振器及其抑制</一个rt我cle-title> <source> <italic> 中国物理B</我t一个l我c> <year> 2012年</year> <volume> 21</volume> <issue> 10</我ssue> <fpage> 100505年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 1674 - 1056/21/10/100505</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84867318457</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rajagopal</surname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 范教授</surname> <given-names> 诉T。</given-names> </name> <name> <surname> Alsaadi</surname> <given-names> f·E。</given-names> </name> <name> <surname> Alsaadi</surname> <given-names> f·E。</given-names> </name> <name> <surname> Karthikeyan</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Duraisamy</surname> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 多稳定性和分数阶冠状动脉系统的吸引子共存</一个rt我cle-title> <source> <italic> 欧洲物理专题》杂志上</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 227年</volume> <issue> 7号到9号</我ssue> <fpage> 837年</fpage> <lpage> 850年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1140 / epjst / e2018 - 700137 - 2</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85055101202</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 普拉卡什</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 辛格</surname> <given-names> j . P。</given-names> </name> <name> <surname> 罗伊</surname> <given-names> b K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶memristor-based混沌系统与一个稳定的平衡点,其分数阶PI-based滑模控制和切换同步</一个rt我cle-title> <source> <italic> Pramana-Journal物理</我t一个l我c> <year> 2019年</year> <volume> 92年</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 19</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s12043 - 018 - 1681 - 3</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85059341036</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 他</surname> <given-names> 美国B。</given-names> </name> <name> <surname> 太阳</surname> <given-names> k . H。</given-names> </name> <name> <surname> 王</surname> <given-names> H . H。</given-names> </name> <name> <surname> 梅</surname> <given-names> x Y。</given-names> </name> <name> <surname> 太阳</surname> <given-names> y F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶超混沌系统的广义同步及其DSP实现</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2018年</year> <volume> 92年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 85年</fpage> <lpage> 96年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 017 - 3907 - 1</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85033556652</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</surname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 黄</surname> <given-names> K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的四维非平衡分数阶混沌系统及其电路实现</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性科学与数值模拟通信</我t一个l我c> <year> 2014年</year> <volume> 19</volume> <issue> 6</我ssue> <fpage> 2005年</fpage> <lpage> 2011年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cnsns.2013.10.024</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84890789689</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rajagopal</surname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> Karthikeyan</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Srinivasan</surname> <given-names> 答:K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 小说的FPGA实现分数阶混沌系统有两个平衡和不平衡及其自适应滑模同步</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2017年</year> <volume> 87年</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 2281年</fpage> <lpage> 2304年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 016 - 3189 - z</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85006415452</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 尼克</surname> <given-names> h·S。</given-names> </name> <name> <surname> Effati</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Saberi-Nadjafi</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 最终约束集的超混沌系统的混沌同步及其应用</一个rt我cle-title> <source> <italic> 复杂性</我t一个l我c> <year> 2015年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 30.</fpage> <lpage> 44</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cplx.21510</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84925364017</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 尼克</surname> <given-names> h·S。</given-names> </name> <name> <surname> Gorder范</surname> <given-names> r。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 竞争模式的Baier-Sahle超混沌噢在任意维度</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性动力学</我t一个l我c> <year> 2013年</year> <volume> 74年</volume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 581年</fpage> <lpage> 590年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 013 - 0990 - 9</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84886291830</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Effati</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Saberi-Nadjafi</surname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 尼克</surname> <given-names> h·S。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 最优和自适应控制的一种混乱的3 d和4 d hyper-chaotic系统</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学建模</我t一个l我c> <year> 2014年</year> <volume> 38</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 759年</fpage> <lpage> 774年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.apm.2013.06.025</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84890164295</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>35</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 陈</surname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 柴</surname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 吴</surname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 杨</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定和稳定的一类非线性分数阶系统与卡普托的导数</一个rt我cle-title> <source> <italic> IEEE电路和系统II表达</我t一个l我c> <year> 2012年</year> <volume> 59</volume> <issue> 9</我ssue> <fpage> 602年</fpage> <lpage> 606年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / TCSII.2012.2206936</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84866493921</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>