动态和复杂性分析分数阶混沌系统的线平衡基于Adomian分解

文摘

摘要Adomian分解方法(ADM)是应用于解决分数阶系统,线平衡。系统的动力学进行了分析通过李雅普诺夫指数谱,分岔,混沌吸引子,最大李雅普诺夫指数图。同时,通过系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图在初始值的变化,分数阶的影响问可以观察到系统状态。也就是说,integer-order系统没有吸引子共存的现象,而分数阶系统。

1。介绍

三百年前,分数阶计算提出了一个经典的数学问题。分数计算没有实际背景和没有被应用于工程。因此,研究人员和科学家不感兴趣部分的研究。最近,它已经发现许多工程和物理系统、电子系统、等展览自己的分数阶特征,和分数阶可以更精确地反映自然现象,如材料内存和阻尼特性1- - - - - -4]。近年来,随着混沌理论研究的深化和完善,分数阶混沌系统已成为一个热门话题。特别是,分数阶混沌系统的复杂性不仅与系统本身的参数有关,还与分数阶系统。许多学者提出了几个分数阶混沌系统基于integer-order混沌系统:分数阶洛伦兹系统[5现有超混沌系统[],factional-order洛伦兹6),four-wing分数阶混沌系统(7],等等8,9]。

分数阶混沌系统的数值计算,即离散分数阶混沌系统,许多学者基于频域方法取得了一定的成就(FDM) [10),Adomian分解方法(ADM) (5- - - - - -7,9,11[],Adams-Bashforth-Moulton (ABM)算法12,13]。其中,FDM使用高维系统通过拉普拉斯变化分数阶系统,但误差相对较大(14]。反弹道导弹是最常用的方法,但其操作速度慢。ADM计划,另一方面,更有准确性和需要较少的计算资源与ABM算法(5- - - - - -7,9]。文献[15]表明,分数阶混沌系统显示比integer-order混沌系统更复杂混乱的行为,这可以从复杂性、李雅普诺夫指数、分岔图,和其他方面。当系统订单小,系统更加复杂(9,16]。

另一方面,热对混沌系统的研究主要集中在混沌控制17- - - - - -20.),李雅普诺夫指数计算与分析(21,22,对吸引子和增长翻倍(23,24),和混沌系统隐藏的流动也是热点研究课题,因为这样的系统非常容易多稳现象,这在本质上是一种普遍现象。隐藏的流动来自几种类型的动力系统;一个稳定平衡的动力系统(25),一条线或飞机平衡(26,27),或不平衡(28)都可以隐藏的吸引子。隐藏的流动甚至发现一些特殊的混沌系统,具有不稳定和稳定的平衡。然而,分数阶混沌系统与隐藏的吸引子,这可以很容易地获得通过结合隐藏与分数阶系统的吸引子,很少研究[29日]。系统具有较高的复杂性,因此通信加密领域扮演着重要的角色。

在本文中,我们提出一个新的分数阶混沌系统与线平衡。提出系统的离散化是使用Adomian分解执行方案。剩下的纸是组织如下。节2平衡点和动态integer-order混乱的平衡点的分析系统。在第三节分数阶混沌系统是由Adomian分解方法数值计算和模拟。在第四节,分岔图、相图和采用李雅普诺夫指数谱分析的动态系统。节5,分数阶混沌系统的复杂性进行了分析。最后,总结了结果第六节。

2。Integer-Order混沌系统和线平衡

2.1。平衡分析的系统

文献[29日提出了一类T混沌系统定义为

一个3 d integer-order混沌系统的定义 在那里,一个,b,c系统(2)参数和x,y,z三个状态变量的系统(2)。当参数 , ,和 ,系统有两个平衡分: , ,和 。的特征值E₁和E₂是=−6.0739,=−0.4631 + 21.3673,= 0; 是线平衡点;和h是任意的实数。平衡下的雅可比矩阵线性化E₃如下:

矩阵的特征方程

特征值的平衡点E₃如下:

案例1。如果 ,然后 ;根据Routh-Hurwitz判据,平衡E₃是稳定的。

例2。如果 ,然后 ;根据Routh-Hurwitz判据,平衡E₃是不稳定的。

例3。如果 ,然后 ;根据Routh-Hurwitz标准,我们获得平衡E₃稳定是至关重要的。
当 , ,和 ,采用数值函数在MATLAB软件模拟(2),混沌吸引子图所示1。轨道的蓝色和红色颜色出现形式初始(1、2、3)和(1 2−1),和红色的吸引子是周期性的。蓝色的吸引子所示混乱的状态。

2.2。混沌系统的动力学分析

修复一个= 5,b= 2,c= 34;状态变量的初始值(x₀,y₀,z₀]= [1、2、z₀];让z₀不同−15 - 15步长为0.01。系统的分岔图和李雅普诺夫指数谱(2)如图2。我们可以看到在图系统的分岔图2(一个),当 ,系统在一个周期的状态和稳定在(0,0,0)时 ,系统处于混沌状态。当 ,最大李雅普诺夫指数= 0。当 ,最大李雅普诺夫指数是正的,如图2 (b)。

修复一个= 5,b= 2,c= 34;状态变量的初始值(x₀,y₀,z₀]= [1、2、z₀];让不同−15 - 15步长为0.3不同−20 - 20步长为0.4。在平面,计算最大的LEs混沌图,如图3。在图3混乱的地区是绿色的(标记为“C”)和周期性区域是红色的(标记为“P”)。我们可以看到从图3系统状态主要受初始条件的影响z₀。

3所示。分数阶混沌系统解决方案基于Adomian分解

系统(2)可以产生复杂的混沌吸引子与平衡点,它有三个典型的参数设置。改变上述系统方程如下分数阶形式:

初始条件是 。根据域分解法(30.)和分数微积分性质,得到以下属性: 在哪里 , , 的值是系统(3)。 是迭代步长。是伽玛函数。相应的变量被分配到相应的值;让

因此,系统的解决方案(5)被定义为

当 , ,和 ,系统(5)有稳定平衡线(0,h,0)系统的解析解可获得根据(14)。使用MATLAB模拟(14),混沌吸引子图所示4。轨道的蓝色和红色颜色出现形式初始(1、2、3)和(1 2−1),和红色的吸引子是周期性的。蓝色的吸引子所示混乱的状态。

4所示。动力分析

基于ADM解决分数高阶混沌系统在我们关注的分析参数对系统的影响。本文系统的分岔图和李雅普诺夫指数是用来分析动态系统。分岔图是通过使用状态变量的最大值。在本节中,三个参数对系统的影响进行了研究。

4.1。动力学与z(0)不同

修复一个= 5,b= 2,c= 34,问= 0.8;状态变量的初始值(x₀,y₀,z₀]= [1、2、z₀];让z₀不同−15 - 15步长为0.01。系统的分岔图和李雅普诺夫指数谱(5)如图5。我们可以看到在图系统的分岔图5(一个),当 ,系统在一个周期的状态和稳定在(0,0,0)时 ,系统处于混沌状态。当 ,最大李雅普诺夫指数= 0。当 ,最大李雅普诺夫指数是正的,如图5 (b)。

4.2。动力学与问不同

修复一个= 5,b= 2,c= 34;让衍生品订单问变化从0.6到1步长为0.002和状态变量的初始值x₀,y₀,z₀]= [1,2,3]。从图可以看出6(一),在导数的变化顺序问,系统混乱和周期性变化的重复和交叉,不是直接从混乱时期。与此同时,数字6显示系统是混沌的时间间隔 。然而, 也有一个周期性的窗口。它可以清楚的看到,最大李雅普诺夫指数随导数订单的增加而减小问∈[0.678,0.824]。在这种情况下,最小订单混乱问= 0.678。这一点的最大李雅普诺夫指数的值(问= 0.678)是最大的。参数的变化问,系统的分岔图与系统的李雅普诺夫指数谱一致。

为进一步研究,影响分数导数的吸引子共存问系统。本文介绍使用相图。它是发现,一个= 5,b= 2,c= 34。integer-order系统(问= 1)不同于分数阶系统(问= 0.98)。integer-order系统的吸引子几乎是相同的,而分数阶系统的吸引子共存。如图7,红色的初始值(1、2、3)。蓝色的初始值是(1、2、20)。

4.3。动力学与一个和b不同

部分混沌系统(5除了分数导数)有三个系统参数问。本文系统的动态属性和参数b变化进行了分析。首先,分数阶系统的分岔图一个∈(3,10)调查,如图8(一个)的步长一个是0.05,问= 0.8,b= 2,初始条件是(x₀,y₀,z₀]= [1,2,3]。显然,可以看出 在一个周期状态;相图与不同的系统一个值如图9。其他地区与周期窗口处于混乱状态。

其次,分岔图的分数阶系统(5),b∈(0,6)调查,如图8 (b)的步长b是0.05,一个= 5,初始条件是(x₀,y₀,z₀]= [1,2,3]。显然,可以看出 处于一个周期状态,和其他地区与周期窗口处于混乱状态。

QR分解法(6,15计算LEs)是有效的,其计算过程显示 这里,qr()代表了qr分解函数,米最大迭代次数,J雅可比矩阵的离散公式给出了(14)。计算了致

在这里,k= 1,2,n(系统维度);n是迭代的最大数量;和h是迭代时间步。根据上述基本公式,n= 4,n= 7000,h= 0.01,并使用MATLAB画下的李雅普诺夫指数参数的变化。

修复b= 2,问= 0.8;初始条件是(x₀,y₀,z₀)= (1、2、3);,让一个有所不同。系统的李雅普诺夫指数谱(5)如图10 (),这与分岔图是一致的;也就是说, ;系统的最大李雅普诺夫指数= 0(不积极),和其他地区的最大李雅普诺夫指数大于0(积极的)。

修复一个= 5,问= 0.8;初始条件是(x₀,y₀,z₀)= (1、2、3);,让b有所不同。系统的李雅普诺夫指数谱(5)如图10 (b),这与分岔图是一致的;也就是说, ;系统的最大李雅普诺夫指数小于0(相图是一个收集点),和其他地区的最大李雅普诺夫指数大于0(积极的)。

5。分数阶系统的复杂性分析

5.1。完整性计算

通过计算傅里叶变换域的能量分布,结合它与香农熵,得到谱熵(31日]。C0复杂度(32)主要是将时间序列分解成规则和不规则的零件和测试序列中的不规则零件的比例。在实际应用中,混乱SE和C0复杂度图可以提供一个基础更好地选择参数。

样本熵(SampEn) [16]措施时间序列的复杂性通过测量信号产生新模式的概率。代的概率越大,越大的价值序列的复杂性。

一般来说,特定样本时间序列{熵的计算方法x(n组成的)}N数据,具体步骤如下:(我)年代1:根据序列号一维形式米向量序列, ,在哪里 , 。这些向量是米连续x值从1点开始。(2)年代2:定义之间的距离X_米(我),X_米(j), ,之间的差异的最大绝对值对应的元素。(3)年代3:定义相似度的标准r。数的数量 ,和其总距离的比值N−米表示为 。(iv)年代4:的平均值可以计算为 (v)年代5:同样,改变米来米+ 1,重复第一步和第三步;得到 。(vi)年代6:从理论上讲,SampEn复杂性可以被计算

5.2。复杂性分析

修复一个= 5,b= 2,c= 34;让问从0.6更改为1;步长是0.002;和状态变量的初始值(x₀,y₀,z₀]= [1,2,3]。系统显示在图的复杂性(11日)。我们可以看到,复杂性随的增加而减小问,改变的复杂性与李雅普诺夫指数图的变化一致6 (b)。

固定b= 2,问= 0.8;初始条件是(x₀,y₀,z₀)= (1、2、3);,让一个有所不同。系统显示在图的复杂性11 (b)。复杂性的变化与李雅普诺夫指数图的变化一致10 ()。

修复一个= 2,问= 0.8;初始条件是(x₀,y₀,z₀)= (1、2、3);,让b有所不同。系统显示在图的复杂性11 (c)。复杂性的变化与李雅普诺夫指数图的变化一致10 (b)。

复杂性是一致的李雅普诺夫指数,但图11还表明,样本熵复杂度很小;SE复杂性一些分岔点改变时不明显;C₀复杂性是准确的;和C₀复杂性是速度比李雅普诺夫指数,消耗更少的资源,并提供了一个好主意,混沌系统的分析。

修复一个= 5,b= 2,c= 34;状态变量的初始值(x₀,y₀,z₀]= [1、2、z0);让z(0)从0到25步长为0.2问变化从0.6到1步长为0.004。C0复杂度z(0)-问平面如图12。可以看出,在分数阶地区,系统复杂性的变化z(0)是更复杂的比整数秩序。

计算的复杂性系统的某些状态变量的时间序列。与李雅普诺夫指数的计算,计算复杂性是快和节省资源,但也有一些错误在复杂性,特别是当SE复杂性是在一个周期状态。

6。结论

本文分数阶系统的精确的近似解线平衡得到基于Adomian分解方法。系统的动力学行为进行了分析使用混沌吸引子,分岔图,最大李雅普诺夫指数谱和李雅普诺夫指数图。混乱的范围和确定周期窗口。系统参数和分数阶可以作为分岔参数,表明分数阶系统更加复杂和丰富的动力学比integral-order同行。此外,integer-order系统没有吸引子共存的现象,而分数阶系统,所以分数阶系统当应用于通信安全系统有更好的效果。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由关键财务支持研究和发展计划,陕西省2018号(gy - 091),高水平人才的专项基金Xijing大学(XJ19B03),山东省的重大科技创新项目(批准号2019 jzzy010111),山东省自然科学基金(批准号ZR2017PA008),山东省的关键研究和发展计划(批准号2019 ggx104092),和山东大学科技计划项目(批准号J18KA381)。

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