基于PWM的开关电源转换器的有限时间跟踪

抽象的

本文采用了基于脉冲宽度调制（PWM）技术的开关降压功率转换器研究了有限时间跟踪问题。对于连续模型，通过反向技术解决了等效的连续控制器，使得所有信号都是有限时间稳定。提出了具有等效控制输入的PWM的有限时间跟踪，用于开关降压转换器，使得跟踪误差会聚到有限时间内的原点的任意小区域，并且闭环系统的原点实际上是有限的- 稳定。给出了仿真结果证明了提出的方案的有效性。

1.介绍

由与调节开关相关联的多电路拓扑描述的电气系统是切换的DC-DC电源转换器[1]，在电力系统、光伏系统、通信设备、计算机和工业电子等领域有着广泛的应用。开关DC-DC功率变换器的三种基本拓扑是降压、升压和降压升压。由于电力电子学和控制理论的发展，这些电力变换器的研究受到了广泛的关注[2-4.］．在切换方法下获得了点稳定和轨迹跟踪的大量结果[5.]和PWM技术[6.］．已经研究了一些切换方法，以基于数值优化方法稳定功率转换器，即最佳切换时刻[7.]，借助变结构控制实现状态相关切换[8.[通过将滑模控制与等效控制输入相结合，和切换定律[9.-12.］．上面提到的参考文献将切换信号直接基于切换系统理论直接考虑到控制输入。

基于pwm的直流-直流电源变换器的输出电压调节已经成为一个非常活跃的研究领域。输出电压跟踪采用无源控制[13.-15.]，能量整形控制[16.那17.]以及具有非最小阶段的状态反馈间接控制[18.那19.］．为了估算不确定的负载电阻和增强输出性能，提出了适应性的反向控制器，具有更好的鲁棒性和适应性[20.-23.］．结果的大多数结果集中在DC-DC电力转换器的渐近收敛速率上。与渐近稳定性相比，有限时间稳定性在时间优化方面具有更快的收敛性能。近年来有限时间控制引起了很多兴趣。对于DC-DC降压转换器，通过整体终端滑动模式的有限时间跟踪控制[24.］．基于有限时间收敛观测器，研究了保证有限时间收敛率的输出电压调节控制[25.那26.或通过自适应饱和有限时间控制算法[27.］．然而，上面的所有这些引用仅考虑了与连续控制作为控制输入的连续平均模型的点稳定。

PWM控制已经完成了一点工作，以实现到目前为止开关电源转换器的轨迹跟踪问题。在本文中，我们考虑了基于PWM的有限时间跟踪开关降压功率转换器，系统输入是数字控制。主要工作包括以下方面。（1）具有连续控制的非线性系统的有限时间稳定性作为先验信息，首先证明闭环数字系统在由物理PWM控制所取代的连续控制的情况下实际有限时间稳定。（2）对于相应的连续系统，使用备份方法设计了等效的连续控制器，使得跟踪误差在有限时间内趋于为零，而闭环误差系统是在时间优化方面的有限时间稳定，与[22.那23.］．（3）对于开关降压转换器，提出了使用等效控制输入的基于PWM的有限时间跟踪，使得跟踪误差会聚到有限时间内的原点的任意小邻域，并且闭环系统的原点实际上是有限的- 稳定。

本文的组织结构如下。第一部分给出了问题的表述2．PWM及其实施将在一节中介绍3.．基于PWM的有限时间跟踪在部分中进行了研究4.．第一部分给出了降压变换器的仿真结果5.．本文在部分中得出结论6.．

符号:用于向量 那 表示它通常的欧几里德规范表示它的转置;表示矩阵的Frobenius规范被定义为 那在哪里表示方矩阵的迹线;表示所有非负实数字的集合;表示真的 -维空间;表示真的 矩阵空间;表示具有连续的所有功能集 -部分衍生物;表示之间的距离和 ; 表示矩形的区域 ．

2.问题制定

考虑开关调节的降压转换电路，如图所示1．是电源电压的电压参数，是电阻的电阻，是电容器的电容，是电感的电感，是二极管，和是PWM栅极驱动控制开关。控制变量介绍表示切换状态， 什么时候 那和 什么时候 ．也就是说，这样的控制输入在离散集中取值 ．假设电路中无噪声;数字2是数字的等效电路1．

为了建立与调节开关位置相关的电路模型，我们需要对这些物理符号进行解释。电感电流尊重循环电荷的衍生物 那 电荷是否储存在电容器中 电容电压是电容器电压。将开关调节的降压转换器电路呈现为

将第二方程式替换为第一个，它可以重写为

让 ;动态方程派生为 在哪里和分别代表电容电压和电感电流，以及变量是表示由伺服放大器产生的时间序列的数字控制，并且仅从二进制组取值 ．让 那也就是说，输出是电容器电压，也是电阻电压。

给定光滑的参考信号 那在哪里 符合已知的常数。本文的目的是设计开关信号对于开关降压转换器(3.），使得电容器电压 可以驱动以跟踪给定的参考信号在有限时间内;同时，所得到的系统中的所有信号都必须是有限时间稳定的。

为学习有限时间跟踪，我们介绍了一些基本概念和lemmas，将作为我们的数字交换控制的开发的基础。

定义1。（看 [29.那28.])。考虑一个非线性系统 在哪里 是连续的， 那和是起源的一个开放社区。系统的起源（4.）是有限时间稳定（FS），如果是Lyapunov稳定和邻域有限时间融合 起源。通过“有限时间融合”，我们的意思是存在稳定的时间 那这样的 那 为 那 那那是， 什么时候 那原产地是全球有限时间稳定的平衡。

定义2。（看 [30.])。系统的起源（4.）据说是实用的有限时间稳定（PFS），如果所有初始条件 那存在一个常数 和一个稳定的时间 那这样

备注1。对于PFS，如果取决于和 那 那然后PFS的效果与FS相同。作为边界变小了的有界性变小，甚至趋向于零30.］．

引理1。（看 [31.])。对于任何实数 那 那和 那以下不等式成立:

雷玛2。（看 [28.])。系统（4.），假设存在常量 那 那和一个积极的功能 （ 是起源的邻居)，这样吗 然后，系统的起源（4.）是有限时间稳定，并稳定的时间满足

如果 和是径向无限的，系统的起源（4.)全局有限时间稳定。

3. PWM及其实施

对于非线性系统 在哪里 那 是局部Lipschitz连续函数， 是一个常数矢量，和 是伺服放大器产生的数字控制;它只能从二进制集中获取值 ．

为了设计这样的数字控制，我们首先为系统提供先验假设（10.）。

假设1。存在连续的静态控制 使得闭环系统的起源（10.)，以持续静态控制(11.）有限时间稳定。
实现数字化，关于 从数学的角度来看，PWM控制是定义为[32.] 在哪里是一个抽样瞬间和代表采样期，在哪里T.是参数调整。但是，很难实现PWM控制（12.）。这是如何确切的在具有可变步骤分辨率，另一个来自PWM控制应该是由伺服电路而不是直接数字信号产生的物理信号。

备注2。经过 [1),系统(10.） 和 （11.）PWM控制系统的平均模型（10.） 和 （12.）。作为 那占空比由于等效控制替换了PWM控制在 （12.）。占空比可以以状态反馈功能的形式设计，因此易于实现闭环PWM交换系统的一些性能指标。在实践中，将PWM控制作为离散栅极脉冲信号产生[33.[，比较具有固定频率斜坡的所需模拟控制信号。
PWM控制的一种近似实现(12.）被呈现为 在哪里是（11.） 和是一个幅度的三角波 和同期作为 （12.）（见图3.）。
如果连续控制（11.）已更改为PWM实现（13.），系统的稳定性分析（10.）将如下给出。
对于PWM实现(13.），我们将讨论之间的关系和在间隔上 ．（1）如果 （ 是一个常数），我们有（见图4.） 例(1): 那 ;从 （14.）， 例(2): 那 ;从 （15.）和价值观和 那 从上面的两个案例，如果 那一个人, （2）如果是一种连续功能，存在简单的功能系列 那这样 在哪里 是的不相交闭集 ．let小于的 ;然后， 导致 ． 系统的解决方案（10.） 和 （11.）表示为 那和系统的解决方案（10.）和PWM实施（13.）表示为 ;按公式（19.），下列关系持有 这意味着 根据假设1，系统的起源（10.） 和 （11.）有限时间稳定。根据定义1，存在稳定的时间 那这样 从 （22.） 和21，我们有 因此，存在 那这样 那和 根据定义2，闭环数字系统的起源（10.） 和 （13.)实际上是有限时间稳定的。
从上述分析中，我们可以获得结果。

定理1。系统（10.）在假设下1，如果连续静态控制（11.）被PWM控制所取代（13.），然后是闭环数字系统的起源（10.） 和 （13.)实际上是有限时间稳定的。

备注3。根据定理1系统(10.） 和 （13.)实际上是有限时间稳定的。从 （24.）， 作为 那 ．这意味着采样期可以调整较小，而系统（10.） 和 （13.)更接近有限时间稳定。此外，所有的信号都可以被制造成任意小的足够小 ．

4.基于PWM的有限时间跟踪

对于开关降压转换器（3.），为了实现跟踪目标，我们为设计提供了如下设计：（1）用反推法设计等效连续控制（2）使用基于PWM技术的等效连续控制来生产数字控制

4.1。有限时间态反馈控制器的设计

系统 （3.）相当于连续控制提出了为

对于连续系统（25.），采用BackStepping方法设计有限时间的状态反馈控制器 那这样的电容器电压跟踪给定的参考电压在有限的时间内。

介绍轨道错误

步骤1。从 （25.） 和 （26.），衍生物关于时间结果 选择Lyapunov功能 那衍生物沿着系统(27.)由 作为 只是一个变量，而不是有效的控制输入，(27.)不能对所有人强制执行 ．然而，它显示了变量的期望值 是 在哪里 和 是设计参数。替代（29.） 进入 （28.）， 我们有

第2步。事实上，设计错误 从 （25.） 和 （31.），派生关于时间收益率 对于第二个Lyapunov的功能 那衍生物沿着系统(32.）满足 在哪里 是一个设计参数。有限时间状态反馈控制器设计为 替代（34.） 进入 （33.） 结果是 鉴于上述控制分析，我们提供了以下连续系统的稳定性结果。

定理2。系统（3.）连续控制（34.），闭环错误系统的所有信号（27.），（32.）， 和 （34.）是有限时间稳定，并且跟踪误差在有限时间内收敛于原点。此外，等效连续控制（34.）被界限，并通过选择设计参数，可以获得这样的

证明。通过定义 和 那 是一个积极的确定功能。从 （35.)和引理1那 在哪里 和 ．根据雷姆玛2，闭环错误系统是有限的稳定性。此外，基于定义1，我们可以获得这一点 通过定义 那 也就是说，跟踪误差在有限时间内收敛于原点。此外，来自（38.），这意味着有界。对于界限 那和 那它可以获得和州 是有界的。之后， 是有界的，即，存在正常的常数 那这样 ．然后, ．让电感电流的开始值和电容电压电路为零，选择设计参数 适当;我们可以得到 ．

4.2。基于PWM的有限时间跟踪控制器的设计

对于开关降压转换器（3.)，存在等效连续有限时间状态反馈控制(34.）， 那是， 通过选择正参数 适当的。基于PWM实现（13.）和连续信号（40)，二进制PWM控制被设计为 在哪里是降压转换器中的数字开关（3.） 和是三角波有时期的 ．

为了表明所提出的基于PWM的有限时间跟踪控制方法，更清楚地，控制框图如图所示5.，其中切换信号是由PWM技术产生的比较等效连续控制通过比较器的固定频率三角波。

定理3。对于开关降压转换器（3.），如果连续控制（40）由二进制PWM控制替换（41.），然后闭环错误系统（27.） 和 （32.） 和 （41.）实际上是有限的稳定性。此外，跟踪误差可以任意小，足以足够小 ．

证明。根据定理2，闭环错误系统（27.） 和 （32.） 和 （40）是有限的稳定性。基于定理1，闭环错误系统（27.） 和 （32.） 和 （41.）实际上是有限的稳定性。
此外， 是状态的组成部分吗闭环错误系统;基于评论3.， 什么时候足够小，跟踪错误可以任意小。

备注4。有限时间点调节问题是在[25.-27.]连续控制作为控制输入。和....相比 [25.-27.[PWM控制基于等效控制输入（即，占空比功能）被认为是在本文中的有限时间轨迹跟踪的有限时间轨迹跟踪，在此数字控制是系统输入。

5.仿真结果

例1。为了探讨所提出的控制方法的有效性，我们将仿真结果提供如下。
对应的闭环系统考虑两种不同情况:（一世）连续模型（25.）基于有限时间状态反馈控制器（40）（ii）开关降压转换器（3.）基于PWM的有限时间跟踪（41.）在模拟中，假设跟踪的输出电压参考是 ;电路参数是 v， 那 F，和 ;初始值是 ;和设计参数是 那 那 那和 ．
为了比较仿真结果，分别讨论了两种情况下的其他参数保持不变。数据6.和7.显示相应闭环系统与不同情况的响应。数字6.意味着跟踪误差在有限时间内倾向于原点。从图中7.，可以知道跟踪误差在有限时间内收敛到原点的一个小邻域。相比之下,图6.， 数字7.说明了闭环系统的基于PWM的有限时间跟踪控制的有效性。

6。结论

本文考虑了开关降压转换器有限时间跟踪问题。提出了具有等效控制输入的基于PWM的跟踪控制，用于开关降压转换器，使得跟踪误差会聚到有限时间内的原点的任意小区阶段，并且闭环系统的原点实际上是有限的稳定的。给出了仿真结果证明了提出的方案的有效性。

在目前的研究下，这是一个有趣和有挑战性的方向。有限时间控制方法可以进一步推广以解决其他转换器，例如升压转换器，降压 - 升压转换器和ćuk转换器;另一种研究是基于随机理论的系统随机PWM控制[34.那35.］．

数据可用性

支持本研究结果的数据包含在文章中。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本研究得到了中国国家自然科学基金（61703359,61773332和61673332）的支持。

参考

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