增强VMD，具有包络成因谱的指导，用于轴承故障诊断

摘要

目前对变分模态分解(VMD)相关方法的研究主要集中在利用各种优化算法选择分解模态个数和带宽参数。这些方法大多采用类遗传算法对这些参数进行定量分析，增加了额外的初始参数，不可避免地忽略了VMD的固有特性，增加了计算量。从定位VMD分解过程中初始中心频率(ICF)的角度出发，提出了一种基于包络负熵谱指导的增强VMD用于轴承故障诊断，从而有效地避免了现有基于VMD算法的缺点。首先，利用包络负熵谱(ENS)对故障模态进行粗略定位，并将故障模态融入VMD中快速提取故障相关模态;然后，通过调整带宽参数自适应优化故障相关模式。最后，利用希尔伯特包络解调技术对所得到的最优模式进行分析，以识别故障相关特征。仿真和实验数据的分析结果表明，该方法能够有效地提取轴承的微弱故障特征，比现有的方法具有一定的优越性。并对该方法在多分量识别方面的推广进行了讨论，以扩大其应用范围。

1.介绍

滚动轴承是旋转机械的关键部件，其性能决定着整个机械设备的运行效率和可靠性[1，如飞机发动机、高速列车、水泵、电风扇等。当滚动轴承处于早期故障时，故障信息非常微弱。此外，许多噪声和其他环境因素使故障信息难以检测。如果这种早期故障继续发展，可能会降低机器的运行稳定性，甚至导致灾难性故障[2，3.］.因此，对滚动轴承的早期局部损伤进行准确可靠的故障诊断具有特别重要的意义。

近几十年来，研究人员提出了多种基于振动信号的滚动轴承故障诊断方法，如反褶积分析[4，5，小波变换[6]，谱峰度法[7- - - - - -10，时频分析[11，12，以及自适应信号分解方法[13，14］.其中，自适应信号分解方法受到越来越多的关注，是轴承故障诊断的研究热点。Huang et al. [15[]首先提出了一种处理非平稳信号的自适应分解算法，即经验模态分解(EMD)，它可以将信号分解为多个单分量。然而，EMD方法及其变体，包括噪声敏感和模态混合等存在许多缺陷[16，限制了它们在提取弱轴承故障特征时的有效性。为了解决这些问题，吴和黄[17]开发了集成EMD (EEMD)，但需要支付更多的计算负担[18］.随后，人们发展了各种先进的自适应分解方法来处理非平稳信号，如基于经验小波变换的方法[19，20.]和基于局部均值分解的方法[21，22，在轴承故障诊断领域也得到了广泛的应用。

最近，Dragomiretskiy和Zosso [23提出了一种自适应信号分解技术——变分模态分解(VMD)，将多分量信号分解为单分量信号。与传统的自适应分解方法相比，VMD方法具有抑制噪声、非递归筛选、自适应选择频带等明显优势。但在实际应用中，初始参数对VMD的有效性影响较大。因此，选择合适的初始分解参数成为VMD研究中的关键问题。许多研究[24- - - - - -29]主要研究如何确定用于轴承故障诊断的带宽参数和分解模式的个数。但是，VMD中初始化参数的当前类型取决于一些以前的经验。因此，为了更好地将VMD方法应用于轴承故障诊断，还需要进一步研究VMD方法的分解策略。

王和马克[25]的研究发现，初始中心频率(ICF)对滤波器组和处理结果有显著影响，但其对轴承故障诊断结果的影响在可查阅的文献中很少讨论。此外，目前的方法大多只使用一个平衡参数来匹配所有提取模式的带宽，但每个潜在模式都有自己的理论带宽。为了解决这些问题，我们的团队[30.]提出了一种新的icf引导VMD方法，以提高旋转机械的弱损伤特征提取能力。结果发现，一个良好的ICF可以帮助执行VMD，而不需要太多的经验。因此，利用能量波动谱(EFS)指标来定位ICF，然后结合中心频率(CF)优化平衡参数以匹配故障相关分量的带宽。然而，如何定位ICF对于VMD的成功应用具有重要意义。通过研究，我们发现EFS指标的可靠性受时频表示(TFR)中使用的参数的限制。本文提出了一种基于包络负熵谱(ENS)的改进VMD，以减轻TFR中使用的参数的影响，增强VMD的适应性。首先，通过短时傅立叶变换(STFT)得到原始机械信号的TFR;然后，根据TFR的结果构造了ENS。最后，通过调整带宽参数对所提取的模式进行优化，使故障信息最大化，并对最优模式进行Hilbert包络解调技术。从中可以准确地检测轴承的故障特征。 Compared with the original ICF-guided VMD method, the proposed method has an advantage of effectively avoiding the parameter influence of TFR. Simulated and experimental studies on bearing fault are conducted to validate the proposed method and its enhanced performance over some advanced methods. Moreover, to broaden the applications of the enhanced VMD method with the guidance of ENS, an interesting extension is proposed to identify the multifault-related bands of bearing and a detailed discussion is given for this idea.

本文的其余部分概述如下。部分2回顾了VMD的基本理论。构造了ENS，并在ENS的指导下提出了增强的VMD3.．节4通过仿真和实验实例验证了该方法的优越性。本节讨论了所提方法的扩展5最后在本节得出结论6．

2.变分模态分解

VMD是一种利用非递归筛选结构对实值信号进行自适应分解的新技术成K有意义的方式 ．VMD的总体框架是一个变分约束模型，使每个估计模式的带宽最小。假设每一种模式都有有限的带宽和各自的CF，交替方向乘法器法的优化算法[31，用于求解变分约束模型。将VMD模型构造为 在这它的偏导数是t；是DIRAC分布;为卷积算子;表示带宽参数;和为拉格朗日乘子系数。等式中的最后两项(1)用于呈现重建需求。作为一个结果, 用交替方向乘子法搜索其鞍点。优化过程主要包括将有意义的模式和它们的CFs通过调制每个模式到相应的基带来更新。特别地，VMD的详细步骤写在下面。(1）初始化及其CF. ； ； ．（2）更新和通过以下公式: 在哪里的傅里叶变换是 ． (3）更新根据以下公式: (4）迭代执行方程(2) - (4)，直到收敛为 在这ε是否设置收敛判断的公差值为10⁻⁷一般。

3.包络负熵谱引导的改进VMD方法

原始VMD的应用需要预先设定一些初始参数，包括分解模态的个数和带宽参数。原始VMD的有效性主要取决于这些初始参数。在我们之前的研究中[30.]，发现将有效的ICF纳入VMD并不需要准确地给出上述两个参数。然而，选择有效ICF的方法很容易受到TFR参数的影响。在本节中，首先构造ENS来鲁棒地指示故障模式的潜在icf。然后，在ENS的指导下，提出了一种改进的VMD方法来提取故障相关模式，从而最大限度地发挥VMD在轴承故障诊断中的优势。

3．1.信封负熵谱

熵可以被认为是检测系统中的均衡扰动的良好措施[32］.在时域上，分析信号的局部波动伴随着其熵的减小。各种研究证明熵是评价机械信号脉冲特征的有效方法[33］.本文提出的ENS将包络概念与熵的定义相结合，继承了熵的优点，在不同条件下都具有稳定性。

一般来说，信息熵的信号长度为被定义为 在哪里表示的概率密度 ．因此，我们尝试利用信息熵粗略地观察潜在故障模式的频率范围。TFR技术可以揭示在整个分析频率范围内波形随时间的局部波动。因此，TFR用于将一维信号在时频域转换为平面分布。然后，根据TFR的结果，计算出不同频率范围的信息熵。短时间傅里叶变换(short-time Fourier transform, STFT)是TFR方法中的一种，由于其简单、快速，本文选择STFT作为TFR工具。实值信号 ，其STFT记为[34］ 在哪里是窗口功能。然后，获得分析信号的包络波形以描述如下不同频率的包络未成应。

根据包络信息，得到频率处的熵值可由式(6）.而早期的局部轴承缺陷可能会导致分析信号中隐藏的重复特征，从而降低特定频段的分析熵。为方便起见，用熵的对立面即负熵表示潜在故障模式，如式(9）.这是为了使最高的冲动性与负熵的最大值一致。

然后，通过绘制索引的概念来构造与 ．虽然ENS的形式受TFR结果的影响，如公式(8)和(9)，应用程序将验证显示故障模式的突出频率随TFR参数的变化是相对稳定的。

3．2.提出了基于ENS引导的VMD方法

在原始VMD算法中，有四个初始分解参数，分别是拉格朗日乘子系数、带宽参数、分解模态个数以及对应的icf。由于采集到的轴承早期缺陷信号中存在强噪声成分，因此无需严格约束，即拉格朗日乘子系数应设为零。VMD成功应用的关键环节之一是对分解模式数量的判断。实际上，嵌入在分析数据中的有意义的模式的数量是很难事先知道的。此外，它们对应的近似于收敛性质的icf也应注意预设。目前我们有三种设置icf的方式。(1）零初始化 （2）均匀的分布 (3）随机间隔分布 在哪里ICF是模式;是秩函数和吗为随机数的函数。然而，这些基于经验的方法可能会导致icf与实际icf相距甚远，并导致优化过程中计算负担的增加，甚至产生分歧。事实上，并不是所有被测信号中的模态都必须被提取出来，只需要识别与故障相关的模态。因此，引入ENS来定义故障模式的ICF，并在ENS的指导下重构VMD的分解策略，同时由于有效带宽随机械系统的不同而变化，带宽参数也无法预先预测。但是，首先粗略地给出带宽参数，然后根据故障模式的敏感指标进行调整。根据ref [30.，初始带宽参数可设置在[400,5000]之间。因此，本文在不失一般性的前提下，将初始带宽参数统一设为2500。根据以上描述，图1总结增强型VMD的流程图与指导ex，其详细程序展示如下：步骤一:测量旋转机器的振动数据。步骤2:根据所采集信号的构造TFR计算ENS。步骤3:从ENS中找出潜在故障模式的ICF。步骤4:通过将ICF合并到VMD中来提取预期的模式。根据VMD中参数的初始化方式，通过更新以下两个方程提取期望的模式: 在哪里是由ENS指定的ICF。 步骤5:调整带宽参数，使故障信息在预期模式下更丰富。在上述步骤中，在初始条件下大致定位了包含故障信息的频带。在此基础上，由于峰度是表征故障相关冲动性的典型指标，本文采用最大峰度来确定带宽参数。这样可以提高优化策略中VMD的效率。步骤6：在最佳模式下执行Hilbert信封解调分析。

4.所提方法的应用

4．1.模拟研究

为验证所提方法的性能，本节根据局部故障轴承的振动特性，构造仿真如下: 周期性冲击信号在哪里 ；第二部分噪声合成是用高斯白噪声和awgn函数模拟的吗 用于调节仿真信号的信噪比;为阻尼系数;表示共振频率;为脉冲特征的初始时间;和是两个相邻脉冲特征的时间间隔。等式中使用的所有参数（15)列于表中1．仿真信号的采样频率为2000hz，仿真信号的时间长度为1s。

首先对信噪比为−5 dB的仿真信号进行分析，研究了该方法的有效性和鲁棒性。数字2显示模拟信号的波形。如图所示2 (c)时，无法从包络谱中观察到故障相关分量。然后应用TFR的不同参数(窗长从128变到512，重叠率从50%变到90%)对enns结果进行分析3(一个)结果表明，该方法能很好地表示潜在故障模式的ICF。为了与本文提出的方法进行比较，参考文献[中定义的先进指标，即EFS。30.，用来处理模拟信号。EFS为

图中展示了不同TFR参数下的EFS所表示的icf3 (b)．可以看到，由EFS定位的icf [30.]随TFR参数的变化有明显的波动。为了进一步评价本文在ENS引导下的增强VMD方法的稳定性，对模拟信号随机重复10次。如图所示4当ICF位于[290,310 Hz]范围内时，该方法在不同仿真中的成功率均为100%。然而，在多运行仿真中，EFS的成功率存在一定的波动。如表所述2，统计值（在等式中表示的均值和差异（17)和(18））还证明，所提出的方法具有良好的稳定性，用于指示潜伏错误模式的ICF。 在哪里和分别为均值和方差，表示每次模拟的成功率，和表示模拟的数量。

具体的模拟信号示例如下:−5 dB。如图所示5(一个)时窗长度为384，重叠率为90%的短时傅里叶变换得到了仿真信号的TFR。然后，计算基于TFR的ENS，如图所示5 (b)．为了比较，图中也画出了电场响应得到的光谱5 (c)．从图中可以看出，虽然电场效应可以在一定参数下找到潜在故障模态的ICF，但是这些指标得到的光谱在本文方法中并不明显。

为了进一步验证所提方法的抗噪能力，对信噪比为−10 dB的仿真信号进行了分析。仿真信号的波形如图所示，信噪比为−10 dB6．数字7(一)说明了该方法在不同TFR参数下提取的icf和图7 (b)显示EFS指示的icf。可以看出，该方法得到的结果比电场效应更稳定。此外，模拟信号还随机重复十次。数字8结果表明，在多次运行的仿真中，该方法的成功率始终为100%。然而，EFS的成功率存在显著的波动。表格3.列出两种不同指标获得的成功率的平均值和方差。实验结果表明，该方法比电场激励法具有更好的定位性能。

类似地，给出−10 dB的模拟信号示例如下。如图所示9（a）时，采用窗长为384，重叠率为90%的短时傅里叶变换(STFT)获得模拟数据的TFR。数据9 (b)和9 (c)显示所提出的方法和EFS所示的光谱。我们可以看到所提出的方法所示的ICF更接近真实的ICF。同时，EFS丧失了找到正确的ICF的能力。基于ENS和EFS的指导，通过调整带宽参数来提取最佳模式。然后，在图中所示的最佳模式下进行HILBERT包络解调分析10 ()和10 (b)．如图所示10 (c)和10 (d)其中，基于ENS的最优模的包络谱清晰地显示出故障频率50hz及其谐波，而基于EFS的最优模的包络谱没有显示故障频率及其谐波。分析结果表明，该方法不受参数的影响，具有良好的抗噪声能力。

谱峭度(spectral峰度，SK)是一种强大的轴承故障特征提取分析技术。8，用来分析模拟信号，以便进一步比较。SK峰度值的铺设和得到的信号经频带(用红色实心圆表示)滤波后如图所示11，可以清晰地看到峰主导频带，CF为718.75 Hz。通过包络分析对得到的带通滤波信号进行进一步处理。包络谱中没有出现故障特征，如图所示11（c）．结果表明，该方法在微弱故障特征提取方面优于SK方法。

为了进一步通过一些自适应信号分解方法验证所提出的方法的优势，通过具有固定分解参数的传统VMD方法分析模拟的嘈杂信号（K= 3,α= 2500)和基于粒子群优化(PSO)的VMD方法[26］.在基于pso的VMD方法中，为了保证比较的一致性，采用了模式数K取值范围为3 ~ 8，带宽参数α从400到5000。采用固定参数VMD得到的最优目标模式的波形和包络谱如图所示12(一个)和12 (b)，其中看不到任何与故障特征频率相关的信息。PSO搜索算法优化的带宽参数和分解模态个数为(240,8)的集合，最优目标模态及其包络谱如图所示12 (c)和12 (d)．可以发现，基于pso的VMD方法得到的最优模式几乎无法检测到故障特征频率，且干扰项过多。此外，由于基于粒子群算法的方法迭代过程复杂，比本文方法需要更多的时间来寻找最优模式。

4．2．实验验证

4.2.1。准备实验1

在本节中，我们用实验信号来验证所提出的方法。如图所示13在美国，该试验台由电机、转速表、齿轮箱、测试滚动轴承和控制电子设备组成。在本实验中，驱动电机转速为1740 r/min，采样频率为51。2千赫。加速度计安装在被测轴承的顶部。被测轴承的几何参数和特征频率列于表中4，其中传球频率外圈(bfo)、传球频率内圈(BPFI)和球旋转频率(BSF)分别表示为 ， ，和 ，分别。

实验信号的时间波形及其包络谱如图所示14．图中没有明显的故障特征频率14 (b)．然后，用该方法对实验数据进行了分析。如图所示15当TFR参数不同时，所提出的方法定位的icf比EFS的结果更稳定。其中窗长为384，重叠率为90%的短时傅里叶变换得到实验数据的TFR，如图所示16（a）．然后，根据TFR得到ENS。与提出的ENS相比，从图中可以看出16结果表明，电场效应所构造的谱表明了电场效应的不准确。在ENS的指导下，通过调整带宽参数提取最优模式。如图所示(17日)和17 (c)时，最优模的包络谱表现为外部故障频率并对其谐波进行了分析，与实际情况吻合较好。此外，图中给出了基于EFS及其包络谱的最优模式17 (b)和17日(d)为了比较，我们不能从实验数据中提取任何故障信息。以上分析表明，该方法能够很好地捕获故障相关特征。

作为比较，对同一振动信号进行SK。图中显示了峰度图和经过频带(用红色实心圆表示)滤波后的信号(18日)和18 (b)．然后对得到的带通滤波信号进行包络分析。从图18 (c)在滚动轴承故障诊断中，SK方法也不如该方法。

为了进一步对比，我们还采用固定参数VMD方法和基于pso的VMD方法对原始信号进行了分析，结果如图所示19．与仿真分析结果相似，固定参数VMD (K= 3,α= 2500)方法无法提取故障特征。基于pso的VMD确定的最优模式及其包络谱K= 4,α = 4800) are displayed in Figures19 (c)和19日(d)．虽然故障特征频率的包络谱，其谐波无法与图17 (c)，而基于粒子群算法的方法耗时较长。

4.2.2。实验2

为进一步验证所提方法在轴承缺陷识别中的增强性能，凯斯西储大学(CWRU)轴承数据中心[35，36本研究也分析了。CWRU轴承失效测试装置由2马力电机(左)、扭矩传感器/编码器(中)和测力计(右)组成，如图所示20.．驱动电机的转动频率为29.95 Hz。本实验采用采样频率为12 kHz的加速度计对振动信号进行采集。为了验证该方法对早期微弱故障特征提取的能力，选取故障尺寸最小(宽度0.1778 mm，深度0.2794 mm)的测试轴承振动数据进行分析。试验轴承的几何参数和特征频率列于表中5．

被测信号的波形和包络谱如图所示21．故障诱发的脉冲非常微弱，很难从波形中的背景噪声中识别出来，而且包络谱中还包含许多干扰成分，如噪声。然后将该方法应用于实验数据的处理。数字22在TFR的不同参数下显示所提出的ENS所在的ICF。同样，如图所示23时，基于窗长为384，重叠率为90%的TFR，可以得到所提出的ENS。在ENS的指导下，通过调整带宽参数提取最优模式。如图所示24时，最优模的包络谱表现为外部故障频率并对其谐波进行了分析，与实际情况吻合较好。与该方法相比，基于EFS的icf引导VMD方法对旋转频率进行了识别无法提取任何故障信息。以上分析表明，该方法能够很好地捕获故障相关特征。

为了对比，SK还对CWRU轴承数据中心的实验轴承振动数据进行了分析，如图所示25 (c)，可以看出SK得到的包络谱中的主导频率并不是故障相关频率。因此，在滚动轴承故障诊断中，SK方法的优势明显。

另外，固定参数VMD (K= 3,α= 2500)和基于pso的VMD方法对实验信号进行分析比较。基于pso的VMD方法最终确定了最优参数K= 4,α= 600，通过迭代搜索过程。两种方法的结果如图所示26．虽然在频谱中可以找到故障特征频率，但它们都显示出许多干扰成分，其谐波幅值太小而难以区分。该实例再次验证了该方法在轴承故障检测中的增强性能。

5.讨论

通过对仿真和实验信号的分析，证明了该方法在轴承故障诊断中具有良好的性能。但在现场应用中，通常存在轴承故障信息多组分或复合故障的情况。因此，要扩大该方法的应用范围，必须对多分量识别进行扩展。虽然目前基于ENS指导的增强VMD方法主要用于单分量信息的提取，但该方法的一些优良特性使其能够进一步用于多故障信息的提取。(1)由于ENS具有良好的频率分辨率和对轴承故障特征的敏感性，可以揭示所有轴承故障信息。(2)在增强的VMD中，单独提取有意义的模式，可以独立调整带宽参数。根据这些性质可以发现，迭代分解策略在ENS的引导下可以很容易地应用于增强的VMD, ENS在算法中给出了1．利用改进的VMD进行扩展，轴承故障诊断的过程可归纳为:首先，通过检测ENS并对潜在故障模式的icf进行升序排序，可以定位潜在故障模式的icf;其次，迭代提取潜在轴承故障模式，并调整单个模式的带宽参数，丰富故障信息。第三，利用灵敏度指标对故障模态进行评估。

通过一个实验实例说明了该扩展的过程。实验数据集[37]从航空发动机转子轴承故障模拟器中采集，试验台如图所示27．安装三个加速度计采集采样率为10khz的振动信号。驱动电机转速为1840转/分。表格6列出被测轴承的几何参数和特征频率。数字(28日)显示由通道＃3加速度计收集的实验信号的时间波形。实验信号的包络谱在图中进行28 (b)时，很难检测出故障特征频率。然后，在ENS的引导下对增强的VMD进行扩展，对实验信号进行处理。如图所示(29日)，采用窗长为384，重叠率为90%的短时傅里叶变换得到实验信号的TFR。随后，根据图中绘制的ENS可以清楚地观察到四个明显的“山丘”29 (b)．

在ENS的指导下，利用可拓法迭代提取四种有意义模式。数据30日(一)- - - - - -30 (e)显示提取的有意义模式的时间波形和傅里叶谱。为了消除噪声分量或固有组分的干扰，选择峰值是敏感指标，以进一步评估错误的模式。如图所示31，后两种模态的峰度较大。数字32说明了从两种模式的包络谱中可以检测出内圈故障的典型故障特征，包括内圈故障频率及其谐波。由此可以推断试验台存在轴承内圈故障，与实际情况相符。实验结果表明，该方法在多分量故障信息提取方面具有良好的推广效果。

为了便于比较，固定参数VMD (K= 3,α= 2500)，以及基于pso的VMD方法(最优参数:K = 8,α= 5000)用于分析多组分数据，如图所示33和34．故障特征频率f_我从包络谱中可以观测到一个粗略的故障相关频带，但很难检测到其谐波和边带。这也证明了该方法在多分量数据故障特征提取方面优于SK、传统VMD和基于pso的VMD等先进方法。

6.结论

本文提出了一种基于ENS指导的改进VMD方法，用于轴承故障诊断。改进的VMD方法的主要贡献和优点是克服了传统VMD初始参数选择的困难，且不受TFR参数变化的影响;从而大大提高了轴承故障诊断的可靠性。仿真和实验信号研究证实了该方法在滚动轴承局部损伤诊断中的有效性。通过与EFS指导下的VMD的比较，证明了增强VMD在对TFR参数的鲁棒性和对强噪声分量的良好抗扰性方面的优势。结果表明，与SK、固定参数VMD和基于pso的VMD等先进方法相比，该方法在提取滚动轴承弱故障特征方面具有较好的性能。

为了适应复杂的工作条件，对改进的VMD进行了扩展，以拓宽该方法的应用范围。结果表明，该方法可以很容易地扩展到机械信号中隐藏的多分量故障信息的提取，并通过一个实例介绍了该方法的实现过程。与其他方法的比较表明，该方法在多分量数据故障特征提取方面优于其他一些先进方法。

数据可用性

用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 51705349, no. 51875376, no. 51875375);苏州市前瞻研究计划资助项目(资助项目:SYG201932、SYG201802)、江苏省研究生科研与实践创新计划资助项目(资助项目:2019T120456);KYCX18_2502)，得到了作者的高度评价。

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