基于自适应梯度采样的小信号稳定性约束的可用传输能力计算

摘要

由于小信号稳定性约束的非光滑性，通过非线性规划严格计算小信号稳定性约束下的可用传输能力是非常困难的。为了解决这一难题，本文提出了一种结合了梯度采样的二元序列二次规划(SQP)方法。突出的特征是梯度的样本大小在每次迭代中动态变化，从而产生自适应梯度采样(AGS)过程。因此，由于梯度评价的减少和并行化，大大提高了计算效率，而梯度评价控制了整个算法的计算时间。在IEEE 10机39总线系统和IEEE 54机118总线系统上的仿真验证了该方法的有效性和高效性。

1.介绍

ATC由多个操作限制确定，例如热限制，电压限制和瞬态稳定性限制[1，2]．随着电力系统的可持续互联和可再生能源的日益普及，小信号稳定性成为决定电力传输能力的重要限制因素。在达到传统约束所确定的功率传输极限之前，可能会引起低频振荡的发生。因此，考虑小信号稳定性的空管计算是一个亟待解决的问题。由于小信号稳定约束的非光滑性，小信号稳定约束ATC (SSSC-ATC)的计算成为一个挑战。由于这类问题没有共同的解决方案，一些人对此进行了一些探索。

Chung等人。［3.[提出了一种基于数值敏感性的重新安排方法，以计算一组常规下的小信号稳定约束的ATC。该方法易于处理;但是，它无法保证收敛，因为它基本上忽略了小信号稳定约束计算的非空间性。

奥斯曼与釜山[4]推出基于标准化的参与因子直观的方法来确定补赛，这样的临界停电期间安全功率传输计算关键发电机。和....相比 [3.，它的主要贡献在于，它根据参与因素，建立了一个关于发电的特征值灵敏度的封闭形式。然而，由于发电对转子角的导数是基于一个简化的两阶机模型来表述的，因此该公式作出了一个显著的近似。此外，它没有解决ATC计算中小信号稳定性的不平滑问题。

最近，Li等人[5]提出了一种SQP方法与GS方法相结合，求解具有非光滑小信号稳定约束的最优潮流问题(SSSC-OPF)。GS程序对邻域内非光滑约束的梯度进行采样，以产生次梯度，从而确保在非光滑区域产生良好的搜索方向。它保证了SSSC-OPF的全局收敛性和对平稳点的有效收敛性。

携带它的想法，本文对具有普遍适用性和现实意义的SSSC-ATC计算领域迈出的一步。我们工作的主要贡献包括三个方面。首先，将AGS工艺提出，其中，所述梯度的样本大小每次迭代过程中动态改变。因此，梯度评价的数量大大降低，其中占主导地位整个算法的计算时间，示出具有SQP-GS [相比，采样效率的优越性5]．其次，QP子问题的对偶表述清楚地反映了求解非光滑约束时梯度采样的思想。第三，由于采样过程是独立和随机的，因此在仿真中采用了并行采样过程，大大降低了算法的时间消耗，IEEE 54机118总线系统的测试结果表明。

部分2描述了一个小信号稳定性约束下的ATC计算模型。SQP-AGS算法应用于所提出的SSSC-ATC模型将在本节中讨论3.在细节。部分4是案例研究，结论是在一节中绘制的5．

2.具有小信号稳定约束的ATC计算模型

数学，ATC被定义为 其中TTC为互联传输网的总传输容量。TRM是变速器的可靠性裕度。CBM是产能效益边际，ETC是现有的输电承诺。TRM和CBM通常被认为是TTC的常数或百分比，ETC可以很容易地得到现有承诺的总和。因此，TTC的计算是获得ATC的关键。在常规ATC计算的基础上，建立了最优潮流模型[6]．基于该模型，SSSC-ATC包括以下内容。（1)目标值： 在哪里是该组的源极侧和接收侧之间的结线。表示扎带的有功功率 ，它被定义为 ． 表示电压幅度我公共汽车。和是导纳幅度和线的相位角 ，分别。 ，其中是相位角的我公共汽车。(2）用于系统中表示为集合的所有总线 ，母线的潮流方程是 在哪里是电源输出我发电机,是电动功率输出我相应地，发电机和是有功功率负载和无功功率负载我分别th总线。（3）技术限制包括 在哪里是否收集所有的发电机母线和是所有行的集合。代表线的表观力量 ，和和 ，分别表示上限和下限。（4）将常规ATC变量与小信号稳定性模型的状态变量和代数变量联系起来的初始方程: 在哪里是状态可变矢量，包括转子角度矢量 ，的d-axis和问- 内部电压的轴分量矢量是和 ，的d-axis和问- 轴的内部电流的分量向量是和 ，激励输出电压矢量为 ．（5）小信号稳定性约束： 在哪里η是系统的光谱横坐标，这是系统特征值的真正部分中最大的一个λ．为表示稳定裕度的谱横坐标上限值，可根据离线稳定性研究确定。

光谱横坐标η在小信号稳定性约束是一个非光滑函数[7]．内点法是求解光滑约束优化问题的主要方法。幸运的是，我们证明了谱横坐标函数在开密子集上是局部Lipschitz且连续可微的的 ，这意味着它几乎无处不在，可以通过计算光谱横坐标衍生物来容易地获得其梯度。

3.连续二次​​编程算法与渐变采样相结合

这些年来没有一般的方法可以解决非光滑非线性约束的优化问题。最近，提出了一种梯度采样（GS）方法，用于最小化局部Lipschitz的目标函数在开放的密集子集上连续 ，在非光滑优化领域又向前迈进了一步[8]．柯蒂斯和俄罗斯[9通过引入SQP算法框架，进一步推广了对非光滑非线性约束或客观函数的优化问题。

3.1。具有无约束最小化的梯度采样理论

GS基本上是一种稳定的速度下降算法。考虑到表格的无约束优化问题 在一个开放的稠密子集中定义的 ，目标职能f是本地Lipschitz连续的，它是非漏斗和/或非凸起的。

作为图1表明，平滑点的梯度和很容易获得和独特。但它无法在非光盘点处获得梯度 ．并且，非光滑点的次梯度是存在且不唯一的。根据定义， 为非光滑点的次梯度 ．这些子分析称为?的次微分f在 ．

GS技术通过在目标函数附近随机采样的梯度来近似目标函数的子梯度作为 在哪里P为取样梯度的数量。定义, 一组抽样梯度是从一组随机和独立的抽样点评估的吗 附近 ，在哪里 闭球是否具有样本半径ϵ集中在 ．功能f是局部嘴唇奇茨，几乎连胜。

表达实际上是采样梯度的凸壳，这是梯度的所有凸组合的集合。在凸组合中，每个采样的梯度在是否分配了一个非负的权重或系数所有这些都总结一致。以这样的方式，这组子分子通过改变来源进入不同的价值观。

众所周知，找到光滑函数的静止点的传统方式f用于找到梯度值为零的点，并且梯度值通常被视为用于确定平滑优化问题的下降方向的关键标准。对应于它，克拉克的保证性是用于确定非表面函数中的静止点的标准，指出了一个点如果克拉克静止如果

数字1标记为零值的子射程确定是一个克拉克静止点。Clarke Suitcharity是找到下降方向的方法的关键。

因此，可以确定非光滑优化的下降方向为所有子梯度中离原点距离最短的子梯度。求次梯度当k迭代，建立了以下二次编程（QP）模型： 在哪里是系数矢量k次迭代。2-范数在目标函数（12.)表示从子梯度集到原点的最短距离。求解这个模型，系数向量可以获得。然后，子学位可以根据（9）。矢量定义为近似最陡下降方向。如果 ，找到了静止点。

３．２．非光滑约束优化的梯度抽样序列二次规划算法

类似的GS算法来计算搜索方向的QP型号，序列二次规划算法（SQP）框架由一个QP子中心来确定的非光滑约束优化问题的搜索方向建。一般而言，广泛使用的SQP算法谎言的局限性，它只能解决光滑优化问题，但不能非光滑优化问题。然而，随着GS算法组合时，SQP-GS算法可以在许多非光滑的问题使用，即使该目标函数是不局部Lipschitz连续，这基本上是按以下形式：

的SQP-GS算法解决上述在每次迭代中模型主要由确定搜索方向主要解决一个正则化的QP对偶子问题，形式如下: 在哪里ρ是一个惩罚参数和为lagrange优化模型的近似Hessian。结合GS算法的思想， ， ，和是一组独立的，并相同分布的随机点均匀地采样（10.)，样本量为p：

与GS策略一致， ， ，和 是通过解决子问题（以下）获得的目标函数，平等和不等式约束的近似值的最小规范元素。14.) - (21.) ．

作为更新的重要步骤在每次迭代期间，我们介绍了有限的记忆泡沫浮雕 - 金毛细血管 - 鲨（L-BFGS）方法，这是实现快速收敛的尝试。我们定义 作为差分最小规范元素的近似（13.)拉格朗日函数，与的选择有关在每次迭代中做出。我们初始化在第1次迭代并执行更新 为了 ．这里，和位移在吗的微分的最小范数元素的近似13.）拉格朗日功能。

为了反映迭代过程，考虑带有惩罚参数的惩罚函数ρ形式如下: 在哪里是一种不可行的载体k迭代定义为 这也是参数更新步骤中的指示符。

此外，让我们定义局部模型

一个计算 ，模型减少被定义为 ，哪个值

模型约简是非负的，因为产生一个目标值，并 只有当是ϵ- 舞台。所以减少了足够的减少 表明减少了ϵ是适当的。

然而，GS产生了近似的结果ϵ通过在评估所述目标函数的梯度和约束函数-steepest下降方向p在每次迭代期间随机生成的点，导致高的计算成本。由于QP子数据重新计算每次迭代，所需的计算来解决这些子问题可以成为大规模的问题显著[10.]．为了节省计算时间，本文提出了一种通用的自适应梯度采样算法(AGS)，其中AGS是一个特例。

GS和AGS之间的差异主要在采样点的过程中 ．初始化采样大小值p首先，这是在每次迭代的采样点的总数。为了 (与对于一些我和 ，AGS集 样本集 由...组成均匀生成的点 ．表示选择的点数 是 ．的实际抽样规模k迭代变化 ，等于点数 ．

很明显，AGS只需要计算在更新样本点处的未知梯度改变样本量p自适应地切断了一些工作负载计算梯度并在续订QP数据时k次迭代。完整的SQP-AGS算法以算法呈现1．

值得一提的是样本大小p在求解光滑函数时，可以选择为零，因为不需要对函数在邻近点的梯度进行采样，这种情况下，SQP- ags算法简化为一般的SQP算法。特别是在具有光滑函数和非光滑函数的模型中，算法只对非光滑部分的点进行采样，大大减少了对光滑部分的采样和梯度计算的工作量。

3.3。通过SQP-AGS解决SSSC-ATC

结合所提出的SSSC-ATC模型的特征，我们讨论了特定解决方案过程中的SQP-AG。

首先，由于AGS技术是SSSC-ATC模型中唯一的非光滑约束，因此它只适用于小信号稳定性约束。因此，在求解目标函数和其他平滑约束时，SQP-AGS算法的样本量降为零。

其次，考虑到模型中变量的不同特性和容量范围，确定了变量的抽样半径;具体为有功功率和无功力量 ，样品半径和被规定为容量范围。对于电压型变量（每单位值）如和 ，样品半径和为0.03 p.u。对于角变量如θ，样品半径被选为 ．

第三，由于采样点是独立和随机采样的，应用了多核并并行计算技术来解决占据整个过程的大多数计算工作的渐变计算。并行计算技术的应用将进一步提高SQP-AGS的效率。

4.案例研究

所提出的SQP-AGS方法应用于IEEE 10机器39总线系统和修改的IEEE 54机118总线系统，以说明求解SSSC-ATC的有效性。这两个系统的完整动态数据是从[11.，12.),分别。对于这两个系统，发电机都用带有IEEE i型激励器的两轴模型来描述。负载被建模为恒功率。所有的模拟都是在使用Intel(R) Xeon(R) E5-2667 v2处理器的工作站上进行的，该处理器包括16个核心，基频为3.30 GHz。

SQP-AGS方法通过使用该功能在MATLAB中实现quadprog作为子问题的QP求解器。利用MATLAB函数进行QR分解，计算特征值和特征向量eig．采用平启动，所有电压角度设为零，所有电压幅值设为1.0 p.u。 和 ．SQP-AGS的参数被选择为和 ．选择样品半径ϵ取决于在小节中描述的因变量的特征3.3．集 ， ， ， ，和从 [9]．的公差和注定是和 ，分别。

4.1。从IEEE 10机器39总线系统运行不同小型信号稳定约束下结果的比较

IEEE 10机器39总线系统用于具有不同小信号稳定性约束的稳定性分析，其在上面的SSSC-ATC计算模型中是三种不同的光谱横坐标约束值。特定的区域部门如图所示2．分别对应于总线31,32和39的发电机G2，G3和G10被选择为位于接收侧，而另一个发电机位于源侧。

对于电压幅值限制，我们选择P.U.和P.U.所有公共汽车。表中的结果在表格中列出1．为了反映SQP-AGS算法应用于SSSC-ATC的效果，我们将样本量设为并进行以下情况进行比较：（1)情况0:基本情况，是标准的ATC计算，没有任何小信号稳定性约束(2）情形1:SSSC-ATC，横坐标谱约束为（3）情况2:SSSC-ATC，横坐标谱约束为

（一世）案例0：经典IPM用于解决ATC问题而不进行任何小信号稳定约束。结果列于表的第二列表中1，which shows the TTC is obtained as 1704.99 MW and the spectral abscissa is calculated to be 2.15, indicating the TTC is overoptimistic due to the fact that the system is not small-signal stable in this operation state. This further indicates that the influence of small-signal stability on ATC calculation needs to be considered. Extracting information from Table1可以看出，位于接收侧的发电机G2和G3的发电机G2和G3的主动产生均达到有源电力输出的下限，以确保TTC的最大值。（ii）案例1：光谱横坐标约束被添加到ATC模型作为小信号稳定性约束和SQP-AGS算法运行，以解决这个问题。结果列于表的第三列中列出1，显示TTC获得为498.62 MW，系统在该操作状态下是小信号稳定的。结果还表明，与情况0相比，接收侧的产生大大增加，特别是由于其惯性系数较大，因此可能导致TTC的较大减少。它反映了小信号稳定性确实直接约束区域传输。(3)案例2：光谱横坐标约束进一步减少到在SSSC-ATC模式。The results run from the SQP-AGS algorithm shows that the calculation is still convergent and the TTC is reduced to 465.73 MW.

通过比较Case 0、Case 1和Case 2，可以发现TTC值随着谱横坐标的减小而减小的规律，即谱横坐标约束越小，对ATC计算的约束效果越严格。在谱横截面约束下的结果比没有小信号稳定约束的结果更合理，因此在这种情况下ATC可以作为一种指导，避免系统因小信号稳定而引起的功率振荡。

4．2．SSSC-ATC不同计算方法的比较

在这里，我们将SQP-AGS的计算效果与灵敏度方法进行比较相同的问题[3.[参与因素方法[4用于IEEE 39总线系统。三种方法的计算结果均受限于光谱横坐标的约束并详细列出表格2．

通过SQP-AGS计算的TTC为498.60mW，而通过灵敏度方法计算的TTC和参与因子方法是289.94 MW，参与因子方法计算的TTC是262.78 MW。所有三种方法都获得了比ATC模型计算得多的TTC值，而没有小信号稳定性约束。此外，与SQP-AGS计算的结果相比，其他两种方法的结果相对保守。换句话说，要说SQP-AG可以以优化方式评估SSSC-ATC问题。它进一步意味着这种ATC结果可能会带来更多的经济效益，这些福利在实践中更为接受。

另一方面，值得一提的是，当光谱横坐标约束减小为 ，灵敏度法和参与法都不能收敛得到结果，而SQP-AGS仍然可以有效地降低系统的光谱横坐标，取得较好的收敛结果，如表所示1．由此可见，与上述两种方法相比，SQP-AGS方法在解决SSSC-ATC问题上具有优越性。

4.3。效率在IEEE 54机器118总线系统中进行了测试

为了测试SQP-AGS的效率，我们在一个改进版本的IEEE 54机118总线基准系统上做了一些比较。该系统有54台同步电机和IEEE 1型励磁机，其中20台同步补偿器仅用于无功支持，15台为电机。IEEE 118总线系统的具体区域划分如下:（一世）接收侧:区域内有1、4、6、8、10、12、15、18、19、24、25、26、27、31、32、34、36、40、42、46、49、54、55、56、59、61、62、65、66、69、70、72、73、113、116等公交车。（ii）源侧：该区域包括74,76,77,80,85,87,89,90,91,92,99,100,103,104,105,107,110,111和112的总线。

第74-70行、75-70行、75-69行、77-69行和81-68行是两个区域之间的连接线。对于无小信号稳定性约束的ATC模型，TTC为1410.20 MW，谱横坐标为 ，这也意味着计算的ATC是过度优化的，并且在区域之间的传输达到该值之前将发生功率振荡。应用SQP-AGS以频谱横坐标约束解决SSSC-ATC问题 ，经过17次迭代，谱横坐标减小，满足约束要求，结果收敛，TTC为446.08 MW。谱横坐标随迭代的变化如图所示3.．不难发现，光谱横坐标的下降趋势是稳定的。此外,图4反映随着迭代增加的终止条件的变化。随着趋势表演，在（28.）和通过（30.）都降低到一个可接受的容差。

为了测试SQP-AGS算法的有效性，算法的样本量为 ．在串行计算条件下，比较了SQP-GS和SQP-AGS处理相同SSSC-ATC问题的方法。计算时间列在表的第二列和第三列3.．

很明显，对于118总线系统，应用串行SQP-GS方法解决SSSC-ATC问题，在应用串行SQP-AG时，仅需要66.29秒和17次迭代，切割的串行SQP-ATC问题消耗173.48s和18次迭代。在解决相同的型号时缩短了很多时间。特别地，由于小信号稳定性计算的重复计算过程和非现实结构的采样梯度计算，因此，梯度计算的梯度计算占据总计总时间的耗时计算。与SQP-GS相比，由于在当前迭代点的采样邻域内的采样点的自适应识别，SQP-AG在梯度计算上花费了更短的时间。在每次迭代中，SQP-AGS有效地利用了先前的迭代中的历史采样数据，并节省了大量时间来实现当前迭代时的梯度计算，这大大提高了计算效率。直观的样本点变化如图所示5．

另外，由于每次迭代中用于梯度计算的样本点是随机的、独立的，所以在应用SQP-AGS时，我们采用了MATLAB的多核并行计算技术来进行梯度计算。方法打开指定数量的并行计算池parpoolMATLAB指令和用途parfor语句执行循环体的操作过程。在IEEE 118总线系统上进行测试，并与串行计算的效率进行比较，我们可以得到计算时间的结果，如表的第四至第六列所示3.．

它表明，使用并行计算的SQP-AG的耗时远低于串行计算过程下的SQP-AG，而其中两个的迭代是相同的。随着工人的数量也减少了耗时。在此基础上，我们计算了运行不同数量的工人并行计算的加速比和平行计算的效率。并行计算的加速比定义为 ，其中n并行工人的数量是和吗计算时间只有一个工人。并行计算的效率定义为 ．表格3.分别列出了2,4和8名工人的加速比，即 ， ，和 ．效率是 ， ，和 ，相应地。由于采样点的特征，多核并行计算在缩短计算时间方面起着重要作用。与[中使用的SQP-GS相比5[具有多芯并行计算技术的SQP-AG大大提高了大型电力系统SSSC-ATC问题的计算效率，具有绝对优势和更实际的应用前景在实用工程应用中的应用。

结论

在本文中，我们提出与SSSC-ATC计算模型的光谱横轴约束直接和充分考虑的小信号稳定性上ATC计算的影响。采用的SQP-AGS方法来解决所提出的SSSC-ATC问题，这是一个非光滑优化问题，由于频谱横坐标函数的性质。闭合形式的特征值的灵敏度被用来计算频谱横坐标的梯度。在SQP-AGS，AGS的理论，采用评估围绕当前迭代点的梯度适应性，使搜索方向计算有效的非光滑区域，切实提高计算的效率。多核计算技术进一步提高对计算效率的效果。在两个测试系统仿真结果表明，该方法有效地解决了SSSC-ATC问题没有任何衔接的问题。的其它两种方法的比较证明了所提出的方法是在计算SSSC-ATC问题更有效。

数据可用性

支持本研究结果的10台机器39台系统和54台机器118台系统数据可在论文中找到[11.]和AT.http://www.kios.ucy.ac.cy/testsystems/index.php/dynamicieee-test-systems/ieee-118-bus-modified-test-system［12.]．

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家自然科学基金资助项目(no. 51967001, no. 51667003);广西自然科学基金资助项目(no. 51667003);2018GXNSFAA281194，部分由广西电力系统优化与能源技术重点实验室资助。

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