raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

复杂性

1099 - 0526<我年代年代npub-type="ppub"> 1076 - 2787

Hindawi

10.1155 / 2020/3912717 3912717

研究文章

可用传输能力计算与小信号稳定约束基于自适应梯度采样

https://orcid.org/0000 - 0002 - 3203 - 0904 李

Peijie

朱

凌

https://orcid.org/0000 - 0002 - 4383 - 3892 白

小青

魏

华

Abedinia

奥维斯

电气工程学院广西大学南宁530004 中国 gxu.edu.cn

2020年

11 2 2020年

2020年 18 06 2019年 12 01 2020年 14 01 2020年 11 2 2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

由于nonsmoothness小信号稳定性约束,计算可用传输能力(ATC)小信号稳定严格限制通过非线性规划是很困难的。应对这一挑战,本文提出了一种序贯二次规划(SQP)方法结合梯度采样(GS)双重配方。高亮显示的动态特性是样本容量的梯度变化在每一个迭代,产生一种自适应梯度采样(AGS)过程。因此,计算效率大大提高由于减少的并行梯度评估,占整个算法的计算时间。模拟一个IEEE十台39-bus系统和IEEE 54-machine 118 -公交系统证明了该方法的有效性和效率高。

中国国家自然科学基金 51967001 51667003

广西自然科学基金 2018年gxnsfaa281194

广西电力系统优化和能源技术研究重点实验室资助

1。介绍</t我tle>空中交通管制是由一系列操作限制等热极限、电压限制,和暂态稳定极限<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xrefgydgydF4y2BaF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>gydF4y2Ba]。电力系统互联可持续和可再生能源渗透,越来越多的小信号稳定性成为一个更重要的限制因素决定的权力转移能力,这可能会导致低频振荡的发生在到达输电极限之前由传统的约束。因此,计算ATC考虑小信号稳定性是一个迫切需要解决的问题。由于nonsmoothness小信号稳定性约束,计算ATC与小信号稳定约束(SSSC-ATC)已成为一个挑战。因为没有共同的解决这类问题,有一些人做了一些探索。gydF4y2Ba钟等。<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>gydF4y2Ba)提出一个numerical-sensitivity-based重排方法计算ATC小信号稳定性约束条件下一系列的突发事件。该方法易于处理;然而,它不能保证收敛,因为它忽略了nonsmoothness小信号稳定约束的计算。gydF4y2Ba奥斯曼和釜山<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>gydF4y2Ba]介绍一个简单的方法基于归一化的参与因子识别关键发电机重新安排这样一个安全的权力交接的停机期间计算至关重要。相比之下,(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>gydF4y2Ba),其主要贡献是它制定一个封闭特征值灵敏度对发电的参与因素。然而,制定了重大近似作为发电的导数对转子角是基于一个简化的二阶机模型制定。除此之外,它并没有解决小信号稳定的nonsmoothness ATC计算。gydF4y2Ba最近,李et al。<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>gydF4y2Ba)提出一个SQP方法结合GS解决最优潮流问题的非光滑约束(SSSC-OPF)小信号稳定。GS过程样本社区内的非光滑约束的梯度产生次梯度,从而确保良好的非光滑区域生产的搜索方向。它可以保证SSSC-OPF是固定在全球范围内有效地收敛点。gydF4y2Ba进行其想法,本文SSSC-ATC计算领域的进步与通用适用性和现实意义。我们工作的主要贡献包括三个方面。首先,提出了一个AGS的过程,在每次迭代过程中样本容量的梯度变化动态。因此,梯度评价的数量大大减少,占整个算法的计算时间,显示了优越性在抽样效率与SQP-GS [<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>gydF4y2Ba]。其次,使用双重配方的QP子问题显然反映了梯度采样时的想法解决非光滑约束。第三,抽样过程是独立的,随机的,一个并行采样的过程应用于模拟,大大减少了时间消耗的算法所示测试IEEE 54-machine 118 -公交系统。gydF4y2Ba部分<xrefgydF4y2Baref-type="sec" rid="sec2"> 2</xref>gydF4y2Ba描述了模型的ATC计算小信号稳定约束。SQP-AGS算法应用于该SSSC-ATC模型中讨论部分<xrefgydF4y2Baref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>gydF4y2Ba在细节。部分<xrefgydF4y2Baref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>gydF4y2Ba案例研究,结论是在一节吗<xrefgydF4y2Baref-type="sec" rid="sec5"> 5</xref>gydF4y2Ba。</年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。ATC计算的模型和小信号稳定约束</t我tle>在数学上,ATC的定义是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> 空中交通管制</米米l:米text><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米text> TTC</米米l:米text><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米text> TRM</米米l:米text><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米text> 煤层气</米米l:米text><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米text> 等,</米米l:米text></米ml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>TTC在哪里总在相互关联的传输网络传输能力。TRM是传输可靠性。CBM容量效益优势等是现有的传输的承诺。TRM和煤层气通常视为常量或TTC的百分比,等可以作为现有的和容易获得的承诺。因此,TTC计算的关键是获得ATC。制定最优潮流(OPF)模型是传统的ATC计算(<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>gydF4y2Ba]。基于该模型,SSSC-ATC包括以下。<l是t><l是t-item> <label>(1)</lgydF4y2Baabel> </list-item> </list> 客观的价值:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> •</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 链接</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list> <list-item> <label></label> 在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 链接</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是领带的源端和接收端之间的界线。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表明结线的有功功率<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它被定义为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表的电压幅值<我talic> 我</我talic>公共汽车。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>导纳振幅和相位角的行吗<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在这<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>相角的吗<我talic> 我</我talic>公共汽车。</l是t-item> <list-item> <label>(2)</lgydF4y2Baabel> 所有公共汽车系统来收集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> B</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,公共汽车的功率流方程<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> B</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是</l是t-item> </list> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> l</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> l</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list> <list-item> <label></label> 在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的有功功率输出吗<我talic> 我</我talic>发电机,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>无功功率的输出<我talic> 我</我talic>th发电机相应和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> l</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> l</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是活跃的电力负荷和无功功率负荷的吗<我talic> 我</我talic>分别th总线。</l是t-item> <list-item> <label>(3)</lgydF4y2Baabel> 技术限制包括</l是t-item> </list> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> B</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 行</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list> <list-item> <label></label> 在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是集所有发电机的巴士和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 行</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是所有线的集合。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表了视在功率<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>分别表示上限和下限。</l是t-item> <list-item> <label>(4)</lgydF4y2Baabel> 传统的ATC的初始方程关联变量的状态和代数变量小信号稳定模型:</l是t-item> </list> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> V</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list> <list-item> <label></label> 在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是状态变量向量包括转子角向量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi mathvariant="bold"> δ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我talic> d</我talic>设在和<我talic> 问</我talic>设在组件内部电压的向量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> d</我talic>设在和<我talic> 问</我talic>设在组件内部当前的向量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ′</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和励磁输出电压矢量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</l是t-item> <list-item> <label>(5)</lgydF4y2Baabel> 小信号稳定约束:</l是t-item> </list> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> V</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我talic> η</我talic>是系统的光谱横坐标,最大的一个真正的部分系统的特征值<我talic> λ</我talic>。<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个上限的光谱横坐标代表稳定的优势,可以确定基于离线稳定性研究。gydF4y2Ba光谱横坐标<我talic> η</我talic>在小信号稳定约束是一个非光滑函数(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>gydF4y2Ba]。因此,它未能解决它的内点方法(IPM),这是主力在解决光滑约束优化问题。幸运的是,光谱横坐标函数已经被证明是局部李普希茨和连续可微的开放稠密子集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi mathvariant="script"> D</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>的<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这意味着它几乎在任何地方都不断及其梯度可以很容易地获得,它被定义为计算导数光谱横坐标。</年代ec> <sec id="sec3"> <title>3所示。序列二次规划算法结合梯度采样</t我tle>没有通用的方法来解决非光滑非线性约束的优化问题。最近,一个梯度采样(GS)方法提出了最小化的目标函数是局部李普希兹连续在一个开放的密集的子集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在非光滑优化领域,这使得向前迈出的一步(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>gydF4y2Ba]。柯蒂斯和欧<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>gydF4y2Ba进一步推广这一主意非光滑非线性约束条件或目标函数的优化问题通过引入SQP算法框架。<年代ec id="sec3.1"> <title>3.1。抽样理论与无约束极小化梯度</t我tle>G年代基本上是一个稳定的最陡下降算法。考虑无约束优化问题的形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 最小值</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>定义在一个开放的、密集的子集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> D</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的目标函数<我talic> f</我talic>是局部李普希兹连续非光滑和/或凸。gydF4y2Ba如图<xrefgydF4y2Baref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>gydF4y2Ba所示,平滑点的梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>很容易获得和独特的。但它无法获得梯度非光滑点<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,非光滑点的次梯度的存在并不是独一无二的。根据定义,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⟶</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o> ∂</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示次梯度的非光滑点<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。次梯度的集合<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>被称为次微分的<我talic> f</我talic>在<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<f我g我d="fig1"> <label>图1</lgydF4y2Baabel> 次梯度的非光滑点。<grgydF4y2Baaphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/3912717.fig.001"></graphic> </fig> GS技术近似目标函数的次梯度通过附近的梯度随机采样<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="|" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ∧</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我talic> P</我talic>是采样梯度的数量。定义,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组采样梯度评估从一组随机的和独立的采样点<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊂</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> D</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>附近<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和半径样本是封闭的球吗<我talic> ϵ</我talic>集中在<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这个函数<我talic> f</我talic>是局部李普希茨,几乎连续可微的。gydF4y2Ba的表达<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>实际上是一个凸包采样梯度,这是所有凸组合的集合的梯度。在凸组合中,每个采样梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被赋予一个非负重量或系数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>所有的总结。在这样一种方式,设置的次梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是通过改变<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为不同的值。gydF4y2Ba众所周知,传统的方法找到一个平滑函数的驻点<我talic> f</我talic>是找到点的梯度值是零,和梯度值通常是作为一个关键的标准来决定平稳的下降方向优化问题。相应,克拉克平稳性是标准确定一个非光滑函数的驻点,指出一个点<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>克拉克是静止的,如果<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ∈</米米l:米o><米米l:米o> ∂</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 图<xrefgydF4y2Baref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>gydF4y2Ba标志着一个新鲜感次梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>确定<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>克拉克是一个静止的点。克拉克的平稳性的关键是找到一个下降方向的方法。gydF4y2Ba因此,非光滑的下降方向的次梯度优化可以确定起源中所有的次梯度最短的距离。找到次梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我talic> k</我talic>th迭代,后二次规划(QP)模型建立:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 最小值</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 年代</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o><米米l:米text> t</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的系数向量<我talic> k</我talic>迭代。目标函数的2-norm (<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xref>gydF4y2Ba)代表最短的距离从次梯度的原点。解决这个模型中,系数向量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以获得。然后,次梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以根据计算(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xref>gydF4y2Ba)。向量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为一个近似的最速下降方向。如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,发现驻点。</年代ec> <sec id="sec3.2"> <title>3.2。序列二次规划算法结合梯度采样非光滑约束优化</t我tle>类似于QP模型用于GS算法计算一个搜索方向,序列二次规划算法(SQP)框架是由围绕QP子问题来确定搜索方向的非光滑约束优化问题。一般来说,广泛运用的局限性SQP算法在于它只能解决光滑优化问题但非光滑优化问题的失败。然而,结合GS算法,SQP-GS算法可用于在许多非光滑问题即使目标函数不是局部李普希兹连续,这基本上是在以下形式:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 最小值</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 年代</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o><米米l:米text> t</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> g</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n> 0。</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> SQP-GS算法解决了上述模型在每个迭代中主要通过确定搜索方向<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>围绕解决正规化QP子问题双重用以下形式:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 最小值</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> o</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> g</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> 年代</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o><米米l:米text> t</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> g</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> ∀</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> ∀</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我talic> ρ</我talic>是惩罚参数和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是拉格朗日优化模型的近似黑森。从GS算法结合的思想,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>套独立同分布随机均匀采样点(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xref>gydF4y2Ba)的样本大小<我talic> p</我talic>:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 在哪里</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 在哪里</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 在哪里</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 与GS策略一致,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是目标函数的次微分近似minimum-norm元素,平等和不等式约束,分别获得通过求解子问题(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 14</xref>gydF4y2Ba)- (<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xref>gydF4y2Ba)<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba作为一个重要的步骤来更新<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在每个迭代中,我们介绍了内存有限Broyden-Fletcher-Goldfrab-Shanno (L-BFGS)方法这是一个试图实现快速收敛。我们定义<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代tyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的近似微分的minimum-norm元素(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</xref>gydF4y2Ba拉格朗日函数,有关的选择<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在每一次迭代。我们初始化<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="bold"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在迭代1日生效并执行更新<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在这里,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的位移<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和minimum-norm元素的近似的微分(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</xref>gydF4y2Ba拉格朗日函数。gydF4y2Ba为了反映了迭代过程,考虑处罚的罚函数参数<我talic> ρ</我talic>为以下形式:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米i> ρ</米米l:米我><米米l:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> σ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不可能实行向量的<我talic> k</我talic>th迭代定义为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> h</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> g</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这也是一个指标的步骤参数更新。gydF4y2Ba此外,让我们定义本地模型<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米i> ρ</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text></米ml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米n> 2</米米l:米n></米米l:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ⊤</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 一个计算<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>减少,模型定义<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi> △</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,值<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> △</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 该模型是负的,因为减少<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>收益率的客观价值,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi> △</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>只能是零如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我talic> ϵ</我talic>固定。所以减少足够小<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> △</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:米o><米米l:米o> ;</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表明下降<我talic> ϵ</我talic>是适当的。gydF4y2Ba然而,GS产生近似<我talic> ϵ</我talic>最速下降方向通过评估目标函数和约束函数的梯度<我talic> p</我talic>随机生成的点在每个迭代中,导致高计算成本。随着QP子问题数据重新计算在每一个迭代中,计算工作量来解决这些子问题可以显著的大规模问题<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>gydF4y2Ba]。更节省时间的方法来减少计算,一个通用的自适应梯度采样(AGS)算法引入了在g是一个特例。G年代和AGS的区别主要是在采样点的过程<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。初始化一个取样大小值<我talic> p</我talic>首先,这是在每次迭代中采样点的总数。为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(与<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我talic> 我</我talic>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> D</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>、AGS集<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∩</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在样本集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是由<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>点生成的统一<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。表示点选择的数量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∩</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。实际的抽样大小<我talic> k</我talic>th迭代变化<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>等于,点的数量<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba很明显看到AGS只需要计算未知更新采样点的梯度<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和改变样本的大小<我talic> p</我talic>自适应,减少一些工作量的计算梯度和QP数据更新<我talic> k</我talic>迭代。完整的SQP-AGS算法在算法<xrefgydF4y2Baref-type="other" rid="alg1"> 1</xref>gydF4y2Ba。gydF4y2Ba值得一提的是,样本大小<我talic> p</我talic>可以选为零当解决一个光滑函数是不必要的样本函数的梯度在附近的点,在这种情况下,SQP-AGS算法减少了一般SQP算法。特别是在模型与光滑和非光滑函数,该算法非光滑部分的样本点,减少大量的工作过程中采样点和评价梯度平滑的部分。<p我d="alg1"> <list list-content="algorithm"> <title><大胆>算法1:< /大胆> SQP-AGS算法。</t我tle><l是t-item> <label>(1)</lgydF4y2Baabel> </list-item> </list> <bold> 初始化</gydF4y2Babold>:选择一个样本半径<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>惩罚参数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>、约束违反宽容<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>样本大小<我talic> p</我talic>线搜索常数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> ϖ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>回溯常数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>、样品半径减少的因素<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,惩罚参数换算系数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>、约束违反公差换算系数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,不可能实行宽容<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 在</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,平稳性公差参数<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。选择一个初始迭代<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> D</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>并设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 200年</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<l是t-item> <label>(2)</lgydF4y2Baabel> <bold> 终止条件检查</gydF4y2Babold>:当<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 在</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,输出解决方案和停止。</l是t-item> <list-item> <label>(3)</lgydF4y2Baabel> <bold> 自适应梯度采样</gydF4y2Babold>:生成<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xref>gydF4y2Ba)- (<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xref>gydF4y2Ba)和(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq31"> 31日</xref>gydF4y2Ba)。</l是t-item> <list-item> <label>(4)</lgydF4y2Baabel> <bold> 搜索方向计算</gydF4y2Babold>:选择<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≻</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>解决(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 14</xref>gydF4y2Ba)- (<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xref>gydF4y2Ba)<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> o</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</l是t-item> <list-item> <label>(5)</lgydF4y2Baabel> <bold> L-BFGS更新</gydF4y2Babold>:更新<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq26"> 26</xref>gydF4y2Ba为下一个迭代)。</l是t-item> <list-item> <label>(6)</lgydF4y2Baabel> <bold> 参数更新</gydF4y2Babold>:如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后去第9步。否则,如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,但如果<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:mtext> 马克斯</米米l:米text><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米n> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,到步骤8。</l是t-item> <list-item> <label>(7)</lgydF4y2Baabel> <bold> 线搜索</gydF4y2Babold>:设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为最大的价值序列<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> …</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足:<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米i> ϖ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米text> 最小值</米米l:米text><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(8)</lgydF4y2Baabel> <bold> 迭代增量</gydF4y2Babold>:设置<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>步骤3。</l是t-item> <list-item> <label>(9)</lgydF4y2Baabel> <bold> 最后做</gydF4y2Babold> </list-item> </sec> <sec id="sec3.3"> <title>3.3。解决由SQP-AGS SSSC-ATC</t我tle>结合的特点提出SSSC-ATC模型,我们将讨论的SQP-AGS特定解决方案的过程。gydF4y2Ba首先,AGS技术只适用于小信号稳定性约束它是唯一非光滑约束的提议SSSC-ATC模型。因此,SQP-AGS算法的样本容量减少到零在解决目标函数和其他平滑约束。gydF4y2Ba其次,考虑到不同的特性和能力范围的变量在模型中变量的采样半径也指定。以细节为有功功率<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和无功功率<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,样例半径<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> G</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被规定为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</米米l:米n><米米l:米text> %</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的能力范围。为电压型变量(单位价值)<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi mathvariant="bold"> V</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi mathvariant="bold"> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,样例半径<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> V</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> E</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>选为0.03 p.u。像θ角变量,样品半径<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被选为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba第三,由于采样点是独立的随机抽样、多核并行计算技术应用于解决梯度计算它占据了大部分的计算工作的整个过程。并行计算技术的应用将进一步提高SQP-AGS的效率。</年代ec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。案例研究</t我tle>提出SQP-AGS方法应用于IEEE十台39-bus系统和IEEE 54-machine修改118 -公交系统说明了解决SSSC-ATC有效性。这两个系统的完整的动态数据提取(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>,<xrefgydgydF4y2BaF4y2Baref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>gydF4y2Ba),分别。对于两个系统,发电机由双轴模型描述IEEE i型励磁机。被建模为恒功率负载。所有的模拟都是在工作站上进行的英特尔(R)至强(R) e5 - 2667 v2处理器,其中包括16个核心与基础3.30 GHz的频率。年代问P-AGS方法在MATLAB中实现通过使用函数<我talic> quadprog</我talic>随着QP子问题的解决者。计算特征值和特征向量的QR分解使用MATLAB函数<我talic> eig</我talic>。平开始用于所有电压角度设置为零,和所有的电压大小设置1.0 p.u。,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米n> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米n> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。SQP-AGS的参数选择<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 2</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.05</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。样本的选择半径<我talic> ϵ</我talic>取决于因变量小节中描述的特征<xrefgydF4y2Baref-type="sec" rid="sec3.3"> 3所示。3</xref>gydF4y2Ba。集<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mi> ϖ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>从[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>gydF4y2Ba]。的公差<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 在</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>将<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o><米米l:米n> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。<年代ec id="sec4.1"> <title>4.1。比较不同小信号稳定性约束下的结果从IEEE十台39-Bus系统</t我tle>我EEE十台39-bus系统用于稳定性分析与不同的小信号稳定性约束,这是三个不同的光谱横坐标SSSC-ATC计算模型中的约束值。具体区域划分图所示<xrefgydF4y2Baref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>gydF4y2Ba。发电机的G2, G3, G10,分别对应于总线31日32岁和39选择定位在接收端,而另一发电机位于源端。<f我g我d="fig2"> <label>图2</lgydF4y2Baabel> 区域分工IEEE 39-bus系统。<grgydF4y2Baaphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/3912717.fig.002"></graphic> </fig> 电压大小的限制,我们选择<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1.1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>部件和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="true"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo> ¯</米米l:米o></米米l:munder> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.9</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>所有公共汽车部件。结果在不同光谱横坐标约束表中列出<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>gydF4y2Ba。为了反映影响SQP-AGS算法应用于SSSC-ATC,我们设置了样本大小<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 30.</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>做个比较,下列情形:<l是t><l是t-item> <label>(1)</lgydF4y2Baabel> </list-item> </list> 例0:基本情况,这是一个标准的ATC计算没有任何小信号稳定约束<l是t-item> <label>(2)</lgydF4y2Baabel> 案例1:SSSC-ATC横坐标谱约束的<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <list-item> <label>(3)</lgydF4y2Baabel> 案例2:SSSC-ATC横坐标谱约束的<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.192</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> </list-item> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</lgydF4y2Baabel> 活跃的发电机和TTC IEEE 39-bus系统的输出。<tgydF4y2Baable> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"></th> <th align="center" colspan="3">活跃的输出(兆瓦)</th><thgydF4y2Baalign="center" rowspan="2">有源输出范围(兆瓦)</th></tr><tr> <th align="center">例0</th><thgydF4y2Baalign="center">案例1</th><thgydF4y2Baalign="center">案例2</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td align="left">G1</td><tdgydF4y2Baalign="center">590.13</td><tdgydF4y2Baalign="center">1102.59</td><tdgydF4y2Baalign="center">1106.74</td><tdgydF4y2Baalign="center">One hundred.<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>1380年</td></tr><tr> <td align="left">G2</td><tdgydF4y2Baalign="center">50.00</td><tdgydF4y2Baalign="center">105.35</td><tdgydF4y2Baalign="center">136.58</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>747.5</td></tr><tr> <td align="left">G3</td><tdgydF4y2Baalign="center">50.00</td><tdgydF4y2Baalign="center">677.18</td><tdgydF4y2Baalign="center">676.12</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>920.0</td></tr><tr> <td align="left">G4</td><tdgydF4y2Baalign="center">862.50</td><tdgydF4y2Baalign="center">665.66</td><tdgydF4y2Baalign="center">639.15</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>862.5</td></tr><tr> <td align="left">G5</td><tdgydF4y2Baalign="center">747.50</td><tdgydF4y2Baalign="center">529.28</td><tdgydF4y2Baalign="center">564.18</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>747.5</td></tr><tr> <td align="left">G6</td><tdgydF4y2Baalign="center">862.50</td><tdgydF4y2Baalign="center">671.67</td><tdgydF4y2Baalign="center">667.62</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>862.5</td></tr><tr> <td align="left">七国集团(G7)</td><tdgydF4y2Baalign="center">862.50</td><tdgydF4y2Baalign="center">581.69</td><tdgydF4y2Baalign="center">603.44</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>862.5</td></tr><tr> <td align="left">八国集团</td><tdgydF4y2Baalign="center">805.00</td><tdgydF4y2Baalign="center">597.35</td><tdgydF4y2Baalign="center">513.94</td><tdgydF4y2Baalign="center">One hundred.<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>805.0</td></tr><tr> <td align="left">国</td><tdgydF4y2Baalign="center">1035.00</td><tdgydF4y2Baalign="center">899.08</td><tdgydF4y2Baalign="center">898.57</td><tdgydF4y2Baalign="center">One hundred.<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>1035年</td></tr><tr> <td align="left">十国集团</td><tdgydF4y2Baalign="center">402.50</td><tdgydF4y2Baalign="center">318.83</td><tdgydF4y2Baalign="center">346.63</td><tdgydF4y2Baalign="center">50<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mo> ∼</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>402.5</td></tr><tr> <td align="left">TTC (MW)</td><tdgydF4y2Baalign="center">1704.99</td><tdgydF4y2Baalign="center">498.62</td><tdgydF4y2Baalign="center">465.73</td><tdgydF4y2Baalign="center">- - - - - -</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <list> <list-item> <label>(我)</lgydF4y2Baabel> 例0:经典的IPM是用来解决ATC问题没有任何小信号稳定约束。结果列在表的第二列<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>gydF4y2Ba显示了TTC获得1704.99 MW和计算谱横坐标是2.15,表明TTC过于乐观是由于一个事实,即在此操作系统不是小信号稳定状态。这进一步表明,小信号稳定性的影响在ATC计算需要考虑。从表中提取信息<xrefrefgydF4y2Ba-type="table" rid="tab1"> 1</xref>,gydF4y2Ba可以看出主动代发电机G2和G3位于接收方所有达到下限有功功率的输出,以确保最大的TTC。</l是t-item> <list-item> <label>(2)</lgydF4y2Baabel> 案例1:光谱横坐标约束<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>添加到ATC模型作为小信号稳定运行约束和SQP-AGS算法来解决这个问题。结果第三列的表中列出<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>gydF4y2Ba显示了TTC获得498.62 MW,和这个操作系统小信号稳定状态。结果还表明,在接收端生成情况相比大大增加0,尤其是发电机G3,可能由于时间惯性系数大,导致减少TTC。它反映了小信号稳定约束区域直接传输。</l是t-item> <list-item> <label>(3)</lgydF4y2Baabel> 案例2:光谱横坐标约束进一步降低<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.192</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在SSSC-ATC模型中。SQP-AGS算法的运行结果表明,该计算仍然是收敛和TTC减少到465.73兆瓦。</l是t-item> </list> 比较例0例1,第二种情况会发现规则,TTC值减少光谱横坐标减少,这意味着更严格的限制影响ATC计算当光谱横坐标约束变小。光谱横坐标约束下的结果比一个没有任何合理的小信号稳定性约束,ATC在这种情况下可能是一个指南,以避免造成的功率振荡小信号稳定系统。</年代ec> <sec id="sec4.2"> <title>4.2。比较不同的方法计算SSSC-ATC</t我tle>这里,我们比较SQP-AGS的计算影响灵敏度方法(同样的问题<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>gydF4y2Ba)和参与因子法(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>我EEE39-bus系统)。结果由三个方法都局限于一个光谱横坐标约束<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和详细列在表中<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab2"> 2</xref>gydF4y2Ba。<tgydF4y2Baable-wrap id="tab2"> <label>表2</lgydF4y2Baabel> 比较不同方法的39-bus系统。<tgydF4y2Baable> <thead> <tr> <th align="left"></th> <th align="center">SQP-AGS (MW)</th><thgydF4y2Baalign="center">灵敏度方法(兆瓦)</th><thgydF4y2Baalign="center">参与因子法(MW)</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td align="left">G1</td><tdgydF4y2Baalign="center">1102.59</td><tdgydF4y2Baalign="center">1210.27</td><tdgydF4y2Baalign="center">1357.84</td></tr><tr> <td align="left">G2</td><tdgydF4y2Baalign="center">105.35</td><tdgydF4y2Baalign="center">556.43</td><tdgydF4y2Baalign="center">150.46</td></tr><tr> <td align="left">G3</td><tdgydF4y2Baalign="center">677.18</td><tdgydF4y2Baalign="center">407.27</td><tdgydF4y2Baalign="center">704.98</td></tr><tr> <td align="left">G4</td><tdgydF4y2Baalign="center">665.66</td><tdgydF4y2Baalign="center">732.91</td><tdgydF4y2Baalign="center">680.85</td></tr><tr> <td align="left">G5</td><tdgydF4y2Baalign="center">529.28</td><tdgydF4y2Baalign="center">599.08</td><tdgydF4y2Baalign="center">673.28</td></tr><tr> <td align="left">G6</td><tdgydF4y2Baalign="center">671.67</td><tdgydF4y2Baalign="center">416.40</td><tdgydF4y2Baalign="center">862.50</td></tr><tr> <td align="left">七国集团(G7)</td><tdgydF4y2Baalign="center">581.69</td><tdgydF4y2Baalign="center">764.68</td><tdgydF4y2Baalign="center">50.00</td></tr><tr> <td align="left">八国集团</td><tdgydF4y2Baalign="center">597.35</td><tdgydF4y2Baalign="center">715.46</td><tdgydF4y2Baalign="center">733.05</td></tr><tr> <td align="left">国</td><tdgydF4y2Baalign="center">899.08</td><tdgydF4y2Baalign="center">790.18</td><tdgydF4y2Baalign="center">627.21</td></tr><tr> <td align="left">十国集团</td><tdgydF4y2Baalign="center">318.83</td><tdgydF4y2Baalign="center">50.00</td><tdgydF4y2Baalign="center">402.50</td></tr><tr> <td align="left">TTC (MW)</td><tdgydF4y2Baalign="center">498.60</td><tdgydF4y2Baalign="center">289.94</td><tdgydF4y2Baalign="center">262.78</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> SQP-AGS TTC计算的498.60 MW, TTC计算的灵敏度法和参与因子方法是289.94 MW,并计算出的一个方法是262.78 MW的参与因素。所有三种方法获得TTC值远小于计算ATC模型没有小信号稳定约束。此外,与SQP-AGS计算结果相比,其他两种方法的结果是相对保守的。换句话说,它是说SQP-AGS可以评估SSSC-ATC问题以优化的方式。这进一步意味着ATC结果可能带来更多的经济效益,更在实践中接受电力行业。gydF4y2Ba另一方面,值得一提的是,当光谱横坐标约束减少<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.15</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>、灵敏度法和参与方法都不能收敛于获得结果,而SQP-AGS仍然可以有效减少系统的光谱横坐标,实现良好的收敛结果,如表所示<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>gydF4y2Ba。这揭示了SSSC-ATC SQP-AGS的优越性在解决问题比其他两个提到的方法。</年代ec> <sec id="sec4.3"> <title>4.3。效率在IEEE 54-Machine 118 -公交系统进行测试</t我tle>年代问P-AGS的测试效率,我们做一些比较修改版本的IEEE 54-machine 118 -总线基准系统54同步机与IEEE 1型激励器、20的同步补偿器仅用于无功功率支持和15的汽车。IEEE 118总线系统的具体区域划分如下:<l是t><l是t-item> <label>(我)</lgydF4y2Baabel> </list-item> </list> 接收方:该地区包括公共汽车1、4、6、8、10、12、15、18、19日,24日,25日,26日,27日,31日,32岁的34岁,36岁,40岁,42岁,46岁,49岁,54岁,55岁,56岁,59岁,61,62,65,66,69,70,72,73,113,116。<l是t-item> <label>(2)</lgydF4y2Baabel> 源端:该地区包括公交车74,76,77,80,85,87,89,90,91,92,99,100,103,104,105,107,110,111,112。</l是t-item> 第70 - 74行,75 - 70,75 - 69,77 - 69,和81 - 68年是领带这两个地区之间的界线。对ATC模型没有任何小信号稳定性约束,获得了TTC 1410.20 MW和光谱横坐标<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1.1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这也意味着计算ATC是过于乐观,和功率振荡区域之间将发生在传输之前达到这个值。应用SQP-AGS解决一个SSSC-ATC光谱横坐标约束问题<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米o> −</米米l:米o><米米l:米n> 0.1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,光谱横坐标却降低了17个迭代后满足约束要求,结果是收敛的,获得446.08 MW的TTC。光谱横坐标与迭代变化如图<xrefgydF4y2Baref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>gydF4y2Ba。很容易发现光谱横坐标的下行趋势是稳定的。此外,图<xrefrefgydF4y2Ba-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>gydF4y2Ba反映了迭代终止条件的变化和增加。这一趋势显示,(中定义的不可行性<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq28"> 28</xref>gydF4y2Ba)和模型降阶计算(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq30"> 30.</xref>gydF4y2Ba)降低到一个可接受的公差。<f我g我d="fig3"> <label>图3</lgydF4y2Baabel> 光谱横坐标与迭代变化118 -公交系统。<grgydF4y2Baaphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/3912717.fig.003"></graphic> </fig> <fig id="fig4"> <label>图4</lgydF4y2Baabel> 与迭代终止条件改变118 -公交系统。<grgydF4y2Baaphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/3912717.fig.004"></graphic> </fig> 为了测试SQP-AGS效率,该算法的样本大小<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 50</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。串行计算条件下,我们之间做个比较SQP-GS和SQP-AGS处理同一SSSC-ATC问题。他们的计算时间是第二和第三列的表中列出<xrefrefgydF4y2Ba-type="table" rid="tab3"> 3</xref>gydF4y2Ba。<tgydF4y2Baable-wrap id="tab3"> <label>表3</lgydF4y2Baabel> IEEE 118总线系统的效率比较。<tgydF4y2Baable> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"></th> <th align="center" colspan="2">串行计算</th><thgydF4y2Baalign="center" colspan="3">并行计算为SQP-AGS</th></tr><tr> <th align="center">SQP-GS方法</th><thgydF4y2Baalign="center">SQP-AGS方法</th><thgydF4y2Baalign="center">两个核心</th><thgydF4y2Baalign="center">四核</th><thgydF4y2Baalign="center">八个核心</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td align="left">总时间(s)</td><tdgydF4y2Baalign="center">173.48</td><tdgydF4y2Baalign="center">66.29</td><tdgydF4y2Baalign="center">39.88</td><tdgydF4y2Baalign="center">25.15</td><tdgydF4y2Baalign="center">16.36</td></tr><tr> <td align="left">梯度采样时间(年代)</td><tdgydF4y2Baalign="center">170.40</td><tdgydF4y2Baalign="center">63.32</td><tdgydF4y2Baalign="center">36.90</td><tdgydF4y2Baalign="center">20.24</td><tdgydF4y2Baalign="center">13.37</td></tr><tr> <td align="left">QP解决时间(年代)</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.78</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.67</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.68</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.62</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.69</td></tr><tr> <td align="left">别人的时间(年代)</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.30</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.30</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.30</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.29</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.30</td></tr><tr> <td align="left">加速比,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdgydF4y2Baalign="center">- - - - - -</td><tdgydF4y2Baalign="center">1.71</td><tdgydF4y2Baalign="center">2.86</td><tdgydF4y2Baalign="center">4.05</td></tr><tr> <td align="left">效率,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">- - - - - -</td><tdgydF4y2Baalign="center">- - - - - -</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.86</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.72</td><tdgydF4y2Baalign="center">0.51</td></tr><tr> <td align="left">迭代</td><tdgydF4y2Baalign="center">18</td><tdgydF4y2Baalign="center">17</td><tdgydF4y2Baalign="center">17</td><tdgydF4y2Baalign="center">17</td><tdgydF4y2Baalign="center">17</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> 很明显看到,118公交系统,应用串行SQP-GS方法来解决一个SSSC-ATC问题消耗173.48年代和18迭代而应用串行SQP-AGS只需要66.29和17个迭代,砍伐了大量的时间在解决相同的模型。尤其是梯度计算的耗时占绝大多数的重复计算过程的总时间,因为小信号稳定性计算和非光滑约束的采样梯度计算。与SQP-GS相比,SQP-AGS花更少的时间在梯度计算由于自适应识别的取样点取样小区内的当前迭代点。在每个迭代中,SQP-AGS有效地利用历史采样数据在前面的迭代和节省很多时间梯度计算在当前迭代,从而大大提高了计算的效率。直观的样本点的变化如图所示<xrefrefgydF4y2Ba-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>gydF4y2Ba。<f我g我d="fig5"> <label>图5</lgydF4y2Baabel> 改变新的采样点数量。<grgydF4y2Baaphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/3912717.fig.005"></graphic> </fig> 此外,请注意,每个迭代的梯度计算的采样点是随机的和独立的,我们采用多核并行计算技术的MATLAB进行梯度计算应用SQP-AGS时。并行计算打开并行计算池的指定数量的工人<我talic> parpool</我talic>指令在MATLAB和用途<我talic> parfor</我talic>语句执行循环体的操作过程。测试在IEEE 118总线系统和比较与串行计算的效率,我们可以获得的结果计算时间,第四到第六列所示表<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab3"> 3</xref>gydF4y2Ba。gydF4y2Ba它表明SQP-AGS使用并行计算的时间远小于下一个串行计算过程,而他们两人的迭代是相同的。减少了耗时增加工人的数量。在此基础上,我们计算加速比和并行计算的效率与不同数量的工人。并行计算的加速比的定义是<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在这<我talic> n</我talic>是平行的工人的数量和<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是计算时间只有一个工人。并行计算的效率被定义为<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。表<xrefgydF4y2Baref-type="table" rid="tab3"> 3</xref>gydF4y2Ba分别列出了加速率的2,4,8工人,分别是<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1.71</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 2.86</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 4.05</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。效率是<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.86</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.72</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我n行-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 0.51</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>相应地,。由于采样点的特点,多核并行计算扮演着一个很重要的角色,缩短计算时间。相比于SQP-GS用于(<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>gydF4y2Ba],SQP-AGS与多核并行计算技术极大地提高了计算的效率SSSC-ATC大规模电力系统问题,有绝对的优势,在实际工程应用中更多的实际应用前景。</年代ec> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。结论</t我tle>在本文中,我们提出一个SSSC-ATC直接与光谱横坐标约束计算模型,充分考虑在ATC计算小信号稳定性的影响。SQP-AGS方法被用来解决SSSC-ATC提出问题,这是一个非光滑优化问题由于光谱横坐标函数的性质。使用封闭特征值灵敏度计算光谱横坐标的梯度。在SQP-AGS AGS采用理论来评估当前迭代点的梯度自适应的搜索方向计算有效的非光滑区域和提高计算的效率。多核计算技术进一步提高对计算效率的影响。在两个测试系统的仿真结果表明,该方法有效地解决了SSSC-ATC问题没有任何收敛问题。比较其他两种方法证明了该方法在计算SSSC-ATC问题更有效。</年代ec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle>的十台39-bus系统和54-machine 118 -公交系统数据支持本研究的结果可在论文[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>gydF4y2Ba),在<extgydF4y2Ba-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.kios.ucy.ac.cy/testsystems/index.php/dynamicieee-test-systems/ieee-118-bus-modified-test-system"> http://www.kios.ucy.ac.cy/testsystems/index.php/dynamicieee -测试- systems/ieee - 118总线-修改-测试系统</extgydF4y2Ba-link>(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>gydF4y2Ba]。</年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle>作者宣称没有利益冲突。</年代ec> <ack> <title>确认</t我tle>这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金批准号。51967001和51967001下,部分由广西自然科学基金批准号部分2018 gxnsfaa281194,广西电力系统优化和能源技术研究重点实验室资助。</gydF4y2Baack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 之所以</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 评估可用的传输系统的传输能力</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我talic> <year> 2000年</yegydF4y2Baar> <volume> 15</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 27</fpgydF4y2Baage> <lpage> 32</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109/59.852097</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0034138478</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Junji K</年代urname> <given-names> l . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 悦</年代urname> <given-names> Y。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 脱落的影响研究一代全转移能力通过暂态稳定约束最优功率流</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我talic> <year> 2009年</yegydF4y2Baar> <fpage> 347年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 355年</lpgydF4y2Baage> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 钟</年代urname> <given-names> c . Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> l</g我ven-names> </name> <name> <surname> 豪厄尔</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kundur</年代urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 代重排方法来提高电力传输能力受到小信号稳定</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我talic> <year> 2004年</yegydF4y2Baar> <volume> 19</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 524年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 530年</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tpwrs.2003.820700</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 1442337927</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 奥斯玛</年代urname> <given-names> M . M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 釜山</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 小说的方法重新安排一个新的可用传输能力的关键发电机的决心</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我talic> <year> 2015年</yegydF4y2Baar> <volume> 31日</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 3</fpgydF4y2Baage> <lpage> 7</lpgydF4y2Baage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 气</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 魏</年代urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 邱</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> sqp方法结合梯度采样小信号稳定约束消息</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IEEE电力系统</我talic> <year> 2017年</yegydF4y2Baar> <volume> 32</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 2372年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 2381年</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / tpwrs.2016.2598266</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85018978788</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="book"> <label>6</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 彭女士</年代urname> <given-names> w . L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Zhizhong</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 使用概率方法确定最优全转移能力</我talic> <year> 2006年</yegydF4y2Baar> <fpage> 862年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 868年</lpgydF4y2Baage> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 刘易斯</年代urname> <given-names> 答:S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 欧</年代urname> <given-names> m . L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 特征值的优化</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Acta Numerica</我talic> <year> 1996年</yegydF4y2Baar> <volume> 5</gydF4y2Bavolume> <fpage> 149年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 190年</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1017 / s0962492900002646</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0042602157</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="misc"> <label>8</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 伯克</年代urname> <given-names> j . V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 柯蒂斯</年代urname> <given-names> f·E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘易斯</年代urname> <given-names> 答:S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 欧</年代urname> <given-names> m . L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 西梅斯</年代urname> <given-names> l·e·A。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 非光滑优化梯度采样方法</gydF4y2Baarticle-title> <year> 2018年</yegydF4y2Baar> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯蒂斯</年代urname> <given-names> f·E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 欧</年代urname> <given-names> m . L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 非凸序贯二次规划算法,非光滑约束优化</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 暹罗杂志上优化</我talic> <year> 2012年</yegydF4y2Baar> <volume> 22</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 474年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 500年</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 090780201</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84865690526</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯蒂斯</年代urname> <given-names> f·E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 什么</年代urname> <given-names> X。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一种自适应梯度抽样模型的优化算法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 优化方法和软件</我talic> <year> 2013年</yegydF4y2Baar> <volume> 28</gydF4y2Bavolume> <issue> 6</我年代年代ue><fpage> 1302年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 1324年</lpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10556788.2012.714781</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84886294278</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>11</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 》</年代urname> <given-names> r·H。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 电力系统小信号分析:特征值跟踪法和特征值估计应急筛查DSA</我talic> <year> 2010年</yegydF4y2Baar> <publisher-loc> 香槟市,美国</pugydF4y2Bablisher-loc> <publisher-name> 伊利诺伊大学香槟分校</pugydF4y2Bablisher-name> <comment> 博士论文</gydF4y2Bacomment> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="misc"> <label>12</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="other"> <comment> IEEE 118总线修改测试系统,开船智能系统和网络研究中心大学的塞浦路斯,<extgydF4y2Ba-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.kios.ucy.ac.cy/testsystems/index.php/dynamic-ieee-test-systems/ieee-118-bus-modified-test-system"> http://www.kios.ucy.ac.cy/testsystems/index.php/dynamic - ieee -测试- systems/ieee - 118总线-修改-测试-系统</extgydF4y2Ba-link> </comment> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>