多层网络级联故障的深度穿透和范围扩展

摘要

现实世界复杂的系统始终相互交互，这使得这些系统在随机失败或恶意攻击的情况下以雪崩或级联方式崩溃。多层网络的稳健性引起了极大的兴趣，其中的建模和理论研究总是依赖于多层网络和渗流方法的概念。直接和默皮特的假设是网络层的相互依存性强烈，这意味着如果其他网络层中的其相互依存节点失败，则节点将完全失败。然而，这种过度简化无法描述现实世界多层系统中网络层跨网络层的一般形式。在本文中，我们揭示了跨网络层的任意相互依赖性强度的通用多层网络的雪崩解体的性质。具体地，我们认为整个系统的雪崩过程在故障的传播方向方面基本上可以分解成两个微观级联动态：深度穿透和范围扩展。在深度渗透的过程中，失败从层到层传播，其中失败节点的数量越大，相互依赖性组中将出现的破坏性越大。在范围扩展的过程中，失败随着每个网络层中的连接传播。在这两个过程的协同作用下，我们发现系统的渗透转换可以是不连续的或连续的，这种网络层的相互依存强度的变化，这意味着通过控制跨越相互依赖的强度，可以避免突然的系统崩溃网络层。 Our work not only reveals the microscopic mechanism of global collapse in multilayer infrastructure systems but also provides stimulating ideas on intervention programs and approaches for cascade failures.

1.介绍

许多现实世界的复杂系统，既有自然的[1[男人做了[2-5.[可以将描述为多层或相互依存的网络，鉴于网络层的不同相互依赖的存在。最近有两层或更多层的网络的理论研究表明，当每个网络中的节点在其他网络中的节点上相互依存时，即使是小的初始故障也可以来回传播并导致整个系统的突然崩溃[5.-10］.从这个意义上讲，多层网络在抵抗初始失效传播方面比单层网络更脆弱[6.］.近年来，我们在借助于渗透理论的帮助下目睹了多层网络的研究进展[11-13］.研究发现，在某些特定条件下，如给定链路重叠的情况下，多层网络并不像理论研究中那样脆弱[14那15]，几何相关性[16那17]、相关的社区结构[18]层间度相关[19那20.]，体内值相关性[21，相互依存的不对称[22]和自主节点[23-25能够促进节点的可行性并减轻相互依存的系统中崩溃的突然性。此外，真实相互依存的系统的一些特征，例如空间约束[26-30.]，聚类[31那32，以及程度分布[33那34，增强了鲁棒性，减轻了相互依赖网络的级联故障。

多层网络建模的一个关键问题是如何描述网络层之间的相互依赖关系。在以前的多层网络中，大多数级联故障模型中采用的一种直接方法是假设层的相互依赖性是“强”的，在这种情况下，一个故障节点可以导致其所有相互依赖的邻居完全失效[6.那23那35-40］.这一假设已经被广泛扩展到不同条件下的网络级联动力学的研究，如单层网络中的相互依赖群[41-43]及k-core渗滤[44.]，弱渗透[45.]和冗余渗透[46.]在多层网络中。然而，这种假设有点简单，不能涵盖节点弱相互依存的情况。例如，在民事交通系统中，从城市到城市的乘客流程取决于许多运输方式，如教练，火车，飞机和渡轮。什么时候any mode becomes unavailable, the total failure of the other three modes seems impossible, e.g., when a local train station is shut down, passenger flow into the city may be decreased: some passengers destined for this city may cancel their trips, and the transferring passengers would switch to other cities to reach their destinations. The reduction of passenger flow can cause some routes in other modes to not operate properly, and carriers experience financial or other losses; for instance, airlines may cancel flights if passenger numbers are below expectations. Specifically, the interdependence across network layers can be “weak,” and the failure of a node cannot destroy all of its dependency nodes in other network layers with certainty [47.那48.］.Under these circumstances, the failure of a train station can cause one or more of its interdependent nodes in other network layers to suffer damage or even failure, e.g., the failure of a local coach station, which can further lead to failures in more modes and deteriorate the connectivity of the city. By this token, there may exist a cascading process underlying a group of interdependent nodes across network layers, which means that the microscopic mechanism of global collapse in multilayer networks could include not only the propagation of failures from node to node inside a certain network layer but also the cascading process of failures across network layers. In this paper, we regard the propagation of failures inside a network layer as “inner-layer cascading” and the propagation of failures in a dependency group across network layers as “cross-layer cascading.”

以前认为“强”相互依赖的网络忽略了“跨层级联”的微观过程，因为一个节点的故障将摧毁它所有相互依赖的邻居。在本文中，我们的目标是在更一般的情况下，利用“弱”依赖假设来建模多层网络中的级联动力学[47.，其中可以通过引入容忍参数来调整相互依赖的强度 ．使用全面的理论研究和数值模拟，我们发现多层网络中的级联动态基本上是“跨层级联”和“内层级联”的协同结果。特别是，我们发现系统可以通过改变公差参数进行不同类型的渗滤量 ．具体地说，对于较小的值，系统作为一个突变(一阶)渗流过渡 ．随着时间的增加超过临界价值 那系统以连续（二阶）方式渗透。然而，对于无垢网络，对于一些中等参数值，发生双相转变的现象 那其中系统中的网络首先以连续（二阶）方式渗透，然后在另一相变点处以突然的方式体验一阶相转变。

2.模型

我们考虑一个由一个多层网络组成网络层的层，其中每个网络层都有节点。我们用拉丁字母标记网络图层 那 那 那等等，并且每个网络层中的节点都标有阿拉伯数字 ．因此，某一网络层中的每个节点可以被识别为一对坐标( 那 ），和表示节点标签和表示图层标签。具有相同阿拉伯数的网络层跨网络层的节点彼此相互依赖，即，它们是副本节点。如图所示1，节点（1， ），（1， ），（1， ），和(1, ）是网络层中的相互依存节点 那 那 那和 那分别。当其中一个节点发生故障时，其他三个节点将遭受损害。类似地，其他节点也可以通过阿拉伯数标签分为几个相互依赖的组。同一网络层中的节点通过一组连接链接链接，节点的连接程度遵循程度分布 ．在本文中，我们认为这种情况为了简单起见，多层系统中的网络层具有相同的程度分布。

多层网络中的级联是通过随机选择一个分数来触发的节点及其副本是最初失败的节点。对于每个网络层，同时删除失败节点的所有链路，该链接将网络层中断到多个连接的组件中[49.］.孤立构件中的节点被视为失效节点，而巨型构件中的节点则是功能性节点。由于网络各层副本节点之间的相互依赖关系，一个故障节点会对其副本造成一定程度的损伤，损伤程度由容差参数控制 ．具体地，当网络层中的一个节点发生故障时，其可行相互依赖性副本在其他网络层中的每个连接链路将被概率删除 ．随着连接链路的移除，网络层将进一步碎片化，从而导致更多故障。由于节点故障和网络碎片导致的节点隔离，经过多次链路移除迭代后，系统可以达到稳定状态。在这个迭代过程中，故障可以通过副本节点之间的相互依赖性从一层传播到另一层，故障也可以随着某个网络层中连接链路的删除而从一个节点传播到另一个节点。这里，我们将故障在网络层内的传播视为“范围扩展”，将故障在互依组中跨网络层的传播视为“深度渗透”。特别是，应该注意的是，深度穿透过程中存在一个微观级联：一个失败的节点可以在其副本中导致更多的节点失败，从而在其副本中导致越来越多的节点失败。四层系统的级联过程示意图如图所示1．在本文中，我们使用相对尺寸网络的每一层都有一个巨大的组件测量网络的稳健性。

3.理论

我们采用概率生成函数的方法[50.那51.，得到模型的理论解，以及生成函数用于产生程度分布的层 ．同样，生成功能用于生成通过随机链接达到的节点的过度度分布，其中表示网络层的平均程度 ．特别地，我们定义作为网络中随机选择的概率在系统的稳定状态下导致其巨大成分。对于这种情况系统中的网络层具有相同的程度分布， ．因此, 那 那 那和 ．假设每个网络网络层是树状的，我们的目标是获得概率随机节点位于图层的巨大组件中 ．因为每层具有相同的程度分布，所以我们有 ．在图层中随机选择一个链接 那我们到达一个节点 的程度和失败的副本。因此，每个链路的节点 能以概率保存吗 ．考虑到遵循概率分布 那随机链接可能导致巨型组件的概率如下 那可以简化为用母函数表示 ．如果是数字给定节点的失败副本遵循概率分布 那得到的自洽方程通过总结一切 ．

同样，我们可以得到概率随机节点位于巨大组件中：

方程的解决方案过程（1） 和 （2）利用概率分布函数 那可以通过使用概率来获得 ．考虑到随机节点的失败副本 在层在稳定状态下，每个复制品的可行概率是 那剩下的复制品概率都是可行的 ．因为失败可以通过副本节点之间的相互依赖从层传播到层，所以我们假设存在由相应网络层中的其他节点的链路删除引起的失败副本，并且存在由此引起的失败节点失败的副本。概率由隔离引起的失败副本是 ．在那之后，概率额外的副本失败是 ．所以，满足

对于给定的度分布 那我们可以获得最终规模通过求解方程（1） 和 （2同时)。

什么时候 那网络层的相互依存性是最弱的，并且系统以二阶方式渗出，如单层网络中的[52.那53.］.什么时候 那网络层的相互依存性是最强的，并且系统以一阶的方式渗滤[10］.因此，渗流跃迁的方式可以由值决定 那临界值被定义为从二阶到一阶的渗透到渗出的点。对于二阶渗透过渡，概率倾向于零时接近二阶渗流点吗 ．我们可以使用等式的泰勒扩展（1)和 ：

忽略高阶条款 那我们有当 ．因此，我们有了二阶渗流跃迁的条件 和二阶渗透点

什么时候或者 那二阶渗流跃迁点 那这与单层网络中普通渗流的结果是一致的[53.］.此外，我们还可以找到二阶渗透点随着…的增加而增加 那这意味着一个系统拥有的网络层越多，它就越脆弱。

在一级相变点 那的概率跳来跳去零或非速度值，以及曲线与直线相切 ：

本文采用数值方法求解方程(1） 和 （7.)为一阶渗流跃迁点 ．

什么时候 那同时满足一阶和二阶渗流跃迁的条件，即:为了在渗滤过渡点。此时，等式（4.)减少

因此，我们知道当和 ．我们可以有

由方程(9.)，我们可以得到交换点一阶和二阶渗透过渡。对于多层随机网络，节点的程度遵循泊松分布和等式（9.）可以简化为

因此的价值只是与之相关的 ．对于无规模的网络，等式（9.)可以写成 在括号中表示平均度分布。所以，不仅取决于但也在学位分布用于多层尺度无垢网络。

数字2给出了函数曲线对于不同的值 那我们可以验证第一和二阶渗透转换的存在。数字2（a）显示等式的图形解（1) 那我们可以找到那种解决方案由切线给出 那表示不连续的渗透转变。从图2（c），我们可以发现非竞争解决方案在点出现 那函数曲线与...相切轴at.. 那表示连续的渗透转变。有趣的是，我们还发现，系统经历了双相变的一些中等值如果度分布系统是无缝叠的，如图所示2（b）．在这种情况下，系统首先以二阶方式渗透，然后经历一阶相转换随着增加的 那和条件(5.） 和 （7.）应在阶段转换点满足和依次。如果状况（5.）不能满足，双相转变减少到单一的一阶渗透过渡，以及条件（7.）不能满足，双相转变减少到单一的二阶渗透转换。使用这些条件，我们可以定位双相转换和单个一阶相变之间的边界以及双相转换和单阶段转换之间的边界和单次次级渗透转换。

结果

4．1.合成网络

在本文中，我们使用了两个特殊的多层网络和图案作为示例以说明渗透动力学的特征。数字3（a）和3（b）展示尺寸的功能对于不同的值在三层随机网络和四层随机网络中 那分别。对于三层和四层随机网络，我们发现系统可以以不连续的方式渗透或以较大的价值为连续的方式 ．此外，三层网络的渗流过渡点小于四层网络，这意味着三层网络总是比四层网络更健壮。同时，求出了临界点分离渗滤转变类型取决于系统中的层数。对于三层随机网络和四层随机网络，也可以找到类似的结果 ．在图3.的理论预测的功能和渗透过渡点还提供了，我们可以发现他们同意模拟结果非常好。

图中还提供了多层无标度网络的结果4.．对于系统的每个网络层，节点的度遵循截断的幂律分布，并具有平均值 那程度分布是 那在哪里和是度数的最小和最大值，以及为幂律指数。同样地，我们还可以发现，当值很小时，系统可以不连续地渗流或以持续的方式获得大量的 那并且三层网络比两层网络更强大和 ．有趣的是，我们还发现四层网络可以经历双相变 ．具体地，系统首先将作为连续相转变的渗透，然后随着越来越多地经历不连续的阶段过渡 ．随着时间的增加 那不连续的相变消失，系统减少到单个连续相位过渡。随着贬低 那连续相位过渡消失，系统降低到单个不连续的相位转换。

数字5（a）和5（b）显示渗流过渡点的函数对于具有不同平均度的三层和四层随机网络。对于三层和四层随机网络，渗滤过渡的方式被临界值归类为不连续和连续的 那和临界价值只取决于网络层的数量在一个系统中，它一致通过等式提供的理论结果（10）.数字5（c）和5 (d)显示渗流过渡点的函数对于平均程度不同的三层无标度网络和四层无标度网络，我们也可以通过临界值将渗流过渡方式分为不连续和连续两种 ;但是，具体价值取决于度分布的参数设置。这些结果表明，多层网络的鲁棒性随网络层数的增加而增大，随网络层数的增加而减小网络层。对于多层随机网络，网络的崩溃方式与网络的平均程度无关，平均程度的增加不能避免网络的突然崩溃。对于多层无标度网络，其崩溃方式与数目有关度分布的参数，即最小度、最大度和幂律指数。

4.2。经验网络

为了解决经验多层网络中的渗透过程，我们考虑了一个三层系统，构成了美国三大运营商：Delta Air Lines（DL），美国航空公司（AA）和联合航空公司（UA）。在网络的每层中，节点代表机场，如果至少有一架由给定载波运行的飞行，则两个机场之间的链接连接在图层中。我们使用OpenFlights使用DataSet构建多层系统（https://openflights.org/data.html）.三家主要航空公司的民用航班总数为功能节点(机场)。有些节点在所有层中并没有连接起来，这导致了巨大组件的相对大小不同。数字6(一)-6 (c)）显示尺寸的功能分别为AA, DL和UA。我们可以发现一个很大的值总是导致更大的尺寸三层的巨大组件，这意味着通过限制网络层跨网络层的相互依存来提高系统的稳健性 ．

5.结论和讨论

实际多层网络的相互依存在层到层交互中通常弱，其中一个节点的故障通常不会导致所有网络层跨越相互依存节点的故障。在本文中，当网络跨网络的相互依存弱时，我们研究了多层网络的渗透过程和鲁棒性。我们揭示了整个系统的雪崩过程可以在故障传播方向方面基本上分解成两个微观级联动态：深度穿透和范围扩展。具体地，前者描述了跨网络层的故障的传播，因此被视为“跨层级联”，而后者描述了网络层内的故障传播，因此被认为是“内层级联”。随着两个级联动态的结束，多层网络可以通过在初始失败的情况下通过第一或二阶渗透转换来崩解，其中网络层的相互依存在确定系统的渗透行为时起着重要作用。当网络层的相互依存性较弱时，节点的故障既不能渗透到深网络层中也不会导致其相互依存的复制品造成巨大的破坏性，这抑制了失败的传播，并通过二阶渗透转变使系统渗透。当网络层的相互依存强度时，节点的故障可以以级联方式渗透到深网络层中，并通过各种网络层扩展，因此，这使得系统突然塌陷。这些结果证明了“跨层级联”的过程在“内层级联”的过程中占据了过程中，在确定多层系统的稳健性时起着至关重要的作用。

本研究从本质上揭示了级联失效的复杂性，而以往忽视弱相互依赖的研究可能低估了级联失效的复杂性。具体来说，跨网络层发生的级联动态不能在多层网络的层对层的强依赖性中产生。因此，我们的方法洞察了多层网络中级联故障的干预，并证明了对“跨层级联”施加限制可以更有效地抑制故障的传播。我们的工作不仅为多层网络的级联失效动力学提供了新的理解，而且还意味着相互依赖的强度可以用于增强多层结构基础设施系统的稳健性。也就是说，如果相互依赖的强度是可调节的，那么通过对相互依赖强度进行限制，可以显著降低级联失效的穿透深度，从而降低级联失效的规模。对于跨网络层具有固定或不可调节依赖性的其他系统，我们的发现对鲁棒性评估也有意义。在这种情况下，我们可以通过平均度、网络层数、相互依赖强度等参数来评估系统的鲁棒性。

研究发现，重叠的链接[14那15[真正的多层网络能够缓解级联故障的破坏，提高系统的鲁棒性。因此，在未来作品中，在网络上的可调相互依赖性方面的重叠联系方面，研究多层网络的渗透是有意义的。具体地，用于系统网络层，其中任意两个网络都可以有重叠链路，重叠程度随网络层组合的不同而变化。我们相信，对这一问题的研究将产生更丰富的成果。

数据可用性

本文使用的经验网络数据是从OpenFlights网站(https://openflights.org/data.html)，其中包含了全球多个机场和航班的基本数据，我们提取了美国民航航班的数据，构建了一个三层网络。用于支持本研究结果的模拟数据可根据要求从通讯作者处获得。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 070723);61773148.

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