许多现实世界的复杂系统,自然 1)和人( 2- - - - - - 5),可以被描述为多层或相互依赖的网络的存在不同程度的相互依存关系在网络层。最近的理论研究表明,当与两个或两个以上的网络层的节点在每个网络节点在其他网络是相互依存的,即使很小的初始失败可以来回传播,导致整个系统的突然崩溃 5- - - - - - 10]。从这个意义上说,多层网络比单层更脆弱的网络的初始故障的传播 6]。近年来,我们的研究取得了相当大的进展多层网络的帮助下渗流理论( 11- - - - - - 13]。人们已经发现,多层网络不一样脆弱的理论研究在特定条件下重叠(如给联系 14, 15],几何相关性[ 16, 17),相关的社区结构 18),层间相关性程度( 19, 20.],intralayer程度相关性[ 21),不对称的相互依存( 22),和自主节点( 23- - - - - - 25)能够促进节点的可行性和减轻意外崩溃的一个相互依赖的系统。此外,一些真正的相互依赖的系统特性,如空间约束( 26- - - - - - 30.),聚类( 31日, 32),和度分布( 33, 34),还提高了鲁棒性和减少相互依赖的网络的级联故障。

多层网络的建模的一个关键问题是如何描述整个网络层的相互依赖关系。一个简单的方法使用在大多数先前的多层网络的级联故障模型假设层相互依存是“强劲,”节点故障会导致所有的相互依存的邻居完全失败,( 6, 23, 35- - - - - - 40]。这个假设已经广泛地扩展到级联动态网络的研究在不同条件下,如单层网络相互依赖团体( 41- - - - - - 43和k-core渗流 44],弱渗流[ 45),和多余的渗透 46在多层网络。然而,这种假设有些简单,掩盖不了的情况下,节点弱相互依存的。例如,在民用运输系统,乘客从城市的流动等运输方式取决于很多教练,火车、飞机、渡轮。当任何模式变得不可用,其他三个模式的彻底失败似乎是不可能的,例如,当关闭当地的火车站,客流进城可能减少:一些乘客注定这个城市可能取消行程,和转移乘客将切换到其他城市到达目的地。客流的减少可能会导致一些线路在其他模式下不能正常运作,和运营商体验金融或者其他损失;例如,航空公司会取消航班,如果乘客数量低于预期。具体来说,相互依存在网络层可以“弱”,和一个节点的失败不能破坏它的所有依赖节点在其他网络层确定的( 47, 48]。在这种情况下,一个火车站的失败可能会导致一个或多个相互依赖的节点在其他网络层受到损害甚至失败,例如,本地一家教练的失败,从而进一步导致更多的失败模式和恶化城市的连接。由此看来,可能存在一个级联过程潜在的一群相互依赖的节点在网络层,这意味着全球崩溃多层网络的微观机制可能包括不仅失败从节点到节点的传播在一个特定的网络层还在网络层的级联过程失败。在本文中,我们认为在网络层故障传播的“内层层叠”和故障的传播依赖组在网络层跨层联”。

先前的网络被认为是“强有力”的相互依存忽略的微观过程“跨层层叠,”一个节点的失败将会摧毁所有的相互依存的邻居。在本文中,我们的目标是在多层模型级联动态网络在更一般的情况通过“弱”相互依赖的假设 47),相互依存的强度可以通过引入一个公差参数进行调优 α 。使用一个全面的理论研究和数值模拟,我们发现在多层网络级联动态本质上是协同的结果“跨层联”和“内层层叠。“特别是,我们发现系统可以接受不同类型的渗流与公差参数的变化 α 。具体来说,系统的想法突然(一阶)渗流转变为小值 α 。随着 α 超过一个临界值 α c ,系统渗流连续(二阶)的方式。然而,对于无标度网络,双相变的现象发生的一些温和的参数值 α 首先,网络系统中连续(二阶)的方式渗透,然后经历一个一阶相变突然地在另一个相变点。

我们认为组成的多层网络 米 层的网络,每个网络层 N 节点。我们用拉丁字母标签网络层 一个 , B , C 等等,和每个网络节点层用阿拉伯数字标记 1、2 , … , N 。因此,每个节点在一定网络层可以被称为一对坐标( x , X ), x 表示节点标签和 X 表示层标签。节点在网络层相同的阿拉伯数字彼此是相互依存的,即,他们是副本节点。如图 1节点(1 一个 ),(1, B ),(1, C ),(1, D )是相互依存的节点在网络层 一个 , B , C , D ,分别。当一个节点失败,其他三个节点将遭受损失。同样,其他节点也可以分成几个相互依存的组阿拉伯数字标签。同一网络中的节点层 X 是联系在一起的一组连接链接和节点的连接度分布遵循一个学位 p k X 。在本文中,我们考虑的情况 米 网络层在多层系统有一个相同的度分布为简单起见。

多层网络的级联触发随机选择一个分数 1 − p 最初的节点及其副本失败的节点。对于每一个网络层,所有链接失败的节点同时删除,它把网络层分解成大量的连接组件( 49]。中的节点隔离组件被视为失败,和巨大的组件中的节点功能。由于在网络层副本节点之间的相互依赖,一个失败的节点将副本,造成一定程度的伤害,伤害程度由公差控制参数 α 。具体来说,当一个节点在网络层失败,每个连接链接可行的相互依存的副本在其他网络层将被删除概率 1 − α 。随着连接链接,网络层将进一步分散,因此,导致更多的失败。迭代次数后引起的链接移除节点失败和节点分解动作造成网络碎片化,该系统可以达到一个稳定状态。在这个迭代过程,失败可以传播从一层到层通过副本节点之间的相互依赖性,和失败也可以传播从节点到节点的删除连接链接同时在一个特定的网络层。在这里,我们认为在网络层故障传播的范围扩展和传播的失败在一群相互依赖网络层为“深度渗透。“特别是,应该注意到,有一个微小的级联过程中深度渗透:一个失败的节点会导致更多的节点故障的副本,因此,导致越来越多的节点失败在其副本。但是系统的级联过程的示意图说明图所示 1。在本文中,我们使用的相对大小 年代 X 每一层的网络的组成部分 X 来衡量网络的鲁棒性。

我们用概率生成函数的方法 50, 51获取模型的理论解,生成函数 G 0 X x = ∑ k p k X x k 是用来生成分布程度 p k X 的层 X 。同样,生成函数 G 1 X x = ∑ k p k X k x k − 1 / k X 用于生成的多余度分布随机链接后达成的一个节点,在哪里 k ≡ ∑ k p k X k 代表了网络层的平均程度 X 。特别是,我们定义的 R X 的概率随机选择链接网络 X 导致其巨大的组件系统的稳定状态。的情况 米 网络层在系统中有一个相同的度分布, p k X = p k 。因此, G 0 X x ≡ G 0 x , G 1 X x ≡ G 1 x , R X ≡ R , k X ≡ k 。假设每个网络 米 网络层是树,我们的目标是获得的概率 年代 X 一个随机节点的大型组件层 X 。因为每一层都有相同程度的分布 年代 一个 = 年代 B = 年代 C ⋯ ≡ 年代 。后随机选择链接层 X ,我们到达一个节点 x , X 的程度 k 与 t 失败的副本。因此,每个链接的节点 x , X 和一个概率可以保留吗 α t 。考虑到程度 k 遵循概率分布 k p k / k 的概率随机链接可能导致巨大的组件 α t 1 − k p k / k 1 − α t R k − 1 ,它可以简化 α t 1 − G 1 1 − α t R 的生成功能 G 1 x 。如果数量 t 失败的副本对于一个给定的节点是一个概率分布 f t ,我们可以获得的自洽方程 R 通过对所有可能的求和 t 。 (1) R = p ∑ t = 0 米 − 1 α t 1 − G 1 1 − α t R f t ≡ h R 。

同样的,我们可以获得的概率 年代 一个随机节点是在巨大的组件: (2) 年代 = p ∑ t = 0 米 − 1 1 − G 0 1 − α t R f t 。

方程的解过程( 1)和( 2)利用概率分布函数 f t 使用概率,可以获得的 R 。考虑到有 t 失败的一个随机节点的副本 x , X 在层 X 在稳定状态下,可行的每个副本的概率 1 − G 0 1 − α t R ,剩下的 米 − t − 1 副本和概率都是可行的 1 − G 0 1 − α t R 米 − t − 1 。因为失败可以传播层之间通过副本节点之间的相互依赖性,我们假设 年代 副本失败造成的其他节点的链接删除相应的网络层,并有 t − 年代 失败的节点引起的 年代 失败的副本。的概率 年代 失败的副本现有隔离造成的 G 0 年代 1 − R 。在那之后,的概率 t − 年代 额外的副本失败 G 0 1 − α 年代 R − G 0 1 − R t − 年代 。因此, f t 满足 (3) f t = 米 − 1 t 1 − G 0 1 − α t R 米 − t − 1 ∑ 年代 = 0 t t 年代 G 0 年代 1 − R G 0 1 − α 年代 R − G 0 1 − R t − 年代 。

对于一个给定的度分布 p k ,我们可以获得最后的大小 年代 的组件在一定层通过求解方程( 1)和( 2同时)。

当 α ⟶ 1 跨网络层,相互依存是薄弱的,在二阶系统渗流方式在单层网络( 52, 53]。当 α ⟶ 0 在网络层是最强的,相互依存,一阶的方式和系统渗流( 10]。因此,渗流转换的方式可以是由价值决定的 α 和临界值 α c 被定义为的开关点从一个一阶二阶渗流转变。二阶渗透过渡,概率 R 趋于0时 p 接近二阶渗透点吗 p c 二世 。我们可以用方程的泰勒展开式( 1) R ≡ ϵ ⟶ 0 和 p ⟶ p c 二世 : (4) h ϵ = h ′ 0 ϵ + 1 2 h ” 0 ϵ 2 + O ϵ 3 = ϵ 。

忽略高阶项 ϵ ,我们有 h ′ 0 = 1 当 p ⟶ p c 二世 。我们,因此,有条件的二阶渗流转换 (5) p c 二世 α 2 米 − 2 G 1 ′ 1 = 1 , 和二次渗滤点 (6) p c 二世 = 1 α 2 米 − 2 G 1 ′ 1 。

当 α = 1 或 米 = 1 ,二阶渗透过渡点 p c 二世 = 1 / G 1 ′ 1 ,与普通的结果相渗流在单层网络( 53]。此外,我们还可以找到二阶渗透点 p c 二世 增加而增加的 米 ,这意味着网络层系统越多,就变得越脆弱。

在一阶相变点 p c 我 的概率 R 跳来跳去 R c 零个或一个非凡的价值,和曲线 y = h R − R 相切的直线呢 y = 0 : (7) d h R d R R = R c , p = p c 我 = 1。

在本文中,我们采用数值方法求解方程( 1)和( 7)一阶渗流转变点 p c 我 。

当 α = α c 第一条件,同时满足二阶渗流转换,例如, p c 我 = p c 二世 为 R c ⟶ 0 在渗流转变点。在这个时候,方程( 4)减少 (8) 1 2 h ” 0 ϵ 2 + O ϵ 3 = 0。

因此,我们知道 h ” 0 = 0 当 p ⟶ p c 和 α = α c 。我们可以 (9) α 3 G 1 ” 1 + 2 α 2 − 1 米 − 1 G 1 ′ 1 G 0 ′ 1 = 0。

方程解( 9),我们可以获得开关点 α c 的一阶和二阶渗流转换。多层随机网络,节点的度遵循泊松分布,和方程( 9)可以简化为 (10) α c 3 + 2 米 − 2 α c 2 − 2 米 − 2 = 0。

因此的价值 α c 仅仅是相关的 米 。无标度网络,方程( 9)可以写成 (11) α c 3 k k − 1 k − 2 k k k − 1 + 2 米 − 2 α c 2 − 2 米 − 2 = 0 , 在括号中 ⋅ 表示程度的平均分布。因此, α c 不仅取决于 米 而且程度分布 p k 多层无标度网络。

图 2显示了函数曲线 y = h R − R 为不同的值 p ,我们可以验证一线和二阶的存在渗流转换。图 2(一个)显示了方程的图形解决方案( 1) α < α c ,我们可以发现的解决方案 R 是由切线点什么时候 p = p c 我 ,表明不连续渗流转变。从图 2 (c),我们可以发现的非平凡解 R 出现在点 p = p c 二世 的函数曲线 y = h R − R 相切的 R 轴在 R = 0 ,表明连续渗流转变。有趣的是,我们还发现,系统发生相变的一些温和的值的两倍 α 如果程度分布 p k 系统的无标度,如图 2 (b)。在这种情况下,系统首先渗流二阶的方式,然后经历一阶相变与增加 p 和条件( 5)和( 7在相变点)应该满意 p c 二世 和 p c 我 先后。如果条件( 5)不能满足,双相变降低到一个一阶渗透过渡,如果条件( 7)不能满足,双相变降低到一个二阶渗流转变。使用这些条件,我们可以找到之间的边界双重相变和单一一级相变和双相变和单二阶之间的边界渗流转换。

真正的多层网络的相互依存关系通常是弱层交互,一个节点的失败通常不会导致失败的相互依存的所有网络节点层。在本文中,我们研究了渗流过程和多层网络的健壮性,当节点在网络的相互依存是虚弱的。我们表明,整个系统的雪崩过程可以分解为两个微观级联动态的传播方向的失败:渗透深度和范围扩展。具体地说,前者描述故障的传播在网络层,因此被认为是“跨层联”,而后者描述故障的传播在网络层,因此,被认为是“内层层叠。“相互作用的两个级联动态,多层网络可以通过第一或二阶渗流转换分解初始失败的情况下,在相互依存在网络层扮演重要的角色在决定渗流系统的行为。网络层的相互依存是弱时,节点的失败不能渗透深度网络层相互依存的副本也造成巨大的破坏性,而抑制故障,使系统的传播渗透通过二阶渗流转变。当网络层的相互依赖强,节点的失败可以渗透深度网络层以级联方式和传播通过各种网络层,广阔的空间,因此,使得系统突然崩溃。这些结果证明“跨层层叠”主导的过程的过程“内层级联”,起着至关重要的作用在确定多层系统的健壮性。

目前的工作本质上揭示了级联故障的复杂性,和以前的工作忽略了弱相互依赖可能低估了复杂性。具体地说,发生在网络层的层叠动力学不能产生一个强大的层多层网络的相互依存。因此,我们的方法见解在多层网络级联故障的干预和证据的想法强加限制“跨层层叠”可以更有效地抑制扩散的失败。我们的工作不仅提供了一种新的多层网络的级联失效动力学的理解也意味着相互依存的力量可以用于提高多层结构的基础设施系统的鲁棒性。也就是说,穿透深度的级联故障可以显著减少的规模,从而也减少了强加限制级联故障的力量相互依存相互依存的强度可调。对于一些其他系统与固定或不可调的相互依存在网络层,我们的发现是鲁棒性评估也有意义。在这种情况下,我们可以评估这些系统的鲁棒性的参数如平均度,网络层,力量的相互依存,等等。

人们已经发现,重叠的链接( 14, 15)的多层网络能够缓解级联故障的破坏,提高系统的鲁棒性。因此,它是有意义的研究渗流与重叠多层网络链接的可调相互依存强度在未来的网络作品。具体地说,系统 米 网络层,它可能有重叠的两个网络链接和重叠的程度可能会改变网络层的不同的组合。我们认为,这个问题的研究将产生丰富的结果。