(3+1)维偏微分方程的块体动力学行为和相互作用解

摘要

本文研究了(3+1)维的线性偏微分方程。我们构造了在所有方向上局部化的块解 -空间。将三角函数、双曲函数和指数函数与二次函数相结合，得到了集块与周期波的相互作用解和集块与多孤子的相互作用解。图中给出了团块与多孤子、团块与多扭结孤子相互作用解的现象。结果扩展了对(3+1)维偏微分方程的动力学行为的理解。

1.介绍

非线性偏微分方程(NLPDEs)越来越受到数学和物理学家的关注。寻找nlpde的精确解是该领域的基本课题之一[1- - - - - -4]。在这些精确解中，块解是另一种有理解，是由Manakov等人首先发现的[5]。发现块波在空间的各个方向都是局部的。块波这门学科在数学物理和工程领域有着广泛的应用[6- - - - - -9]。

由于团块波具有重要的物理意义，许多高维非线性偏微分方程都有团块解，如Ishimori-I方程[10， Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程[11，扩展的KP方程[12， KP-Boussinesq方程[13，14， Hirota双线性方程[15，广义hirota - satsumo - ito方程[16，以及广义KP方程[17]。此外，利用与非局域对称性相关的局部化方法研究了孤子与其他复杂波之间的相互作用解[18- - - - - -20.]。类似于这些交互解决方案，交互块结[21- - - - - -24和集总孤子[25- - - - - -27用正二次函数和指数函数相结合的方法研究了非线性演化方程。(2+1)维Korteweg-de Vries方程的特殊异常波[28]和KP方程[29结合正二次函数和双曲余弦函数得到。在(3+1)维情况下，只有合理地定位于空间中几乎所有方向而不是所有方向的集块型解[25- - - - - -27，30.- - - - - -33]可以呈现。用符号计算方法研究了(3+1)维线性偏微分方程(PDE)的包块、包块与周期波的相互作用以及包块与孤子的相互作用[34]。扩大具有块解的(3+1)维偏微分方程的范畴将是有趣的。本文的主要目的是构造一个具有块解的(3+1)维线性偏微分方程。同时，通过引入ansätz函数，得到了块体与多孤子的相互作用解。这种相互作用对(3+1)维偏微分方程的解决尚未见其他研究报道。

本文组织如下。节2，我们研究了一类(3+1)维线性偏微分方程。利用ansätz函数导出了集块、集块与周期波的相互作用以及集块与多孤子的相互作用解。最后一节将作一些结束语。

2.(3+1)维偏微分方程的集块和相互作用解

我们考虑(3+1)维线性偏微分方程: 在哪里 任意常数。

一种精确解假设 在哪里是任意实函数和 是四个线性变量: 在哪里 ， ， ， ，和是待确定的实常数。用(2) (1)，线性偏微分方程(1)成为 在哪里和 参数的二次函数和一次性函数 ， ， ， ，和 。通过设置 和 对于所有目前的组合和 ，我们可以得到以下关于参数的方程: 通过求解上述确定方程，我们可以得到约束常数的几个解。我们只列出约束常量的一种情况:

显式精确解可以表示为 或 与 在哪里 ， ，和都是任意的自然数， 是由 和功能是的任意函数吗 。我们可以 在哪里 ， ， ， ， ，和常量是否保证的正数 。通过选择函数 ，得到团块波、团块与周期波的相互作用、团块与单孤子的相互作用解、团块与单扭结孤子的相互作用解、团块与双条纹孤子的相互作用解，得到线性PDE (1)．为了描述一个团块与一个孤子的相互作用解，我们设参数为 块与孤子相互作用解的三维图和密度图(9)如图所示1。块与单扭结孤子相互作用解的三维图和密度图(10)如图所示2。

为了得到另一种精确解，我们假设 在哪里是任意实函数吗 是五个线性变量: 用(15) (1)，线性偏微分方程(1)成为 在哪里和 参数的二次函数和一次性函数 ， ， ， ，和 。通过精确的计算，我们可以得到关于各参数的几个约束方程。我们列出约束参数的一种情况:

显式精确解可以表示为 或 与 在哪里 ， ，和是任意的自然数和函数吗和是任意函数和 ，分别。通过选择任意函数，可以得到集块、集块与周期波的相互作用以及集块与孤子的相互作用和 。我们可以 在哪里 ， ， ， ， ，和常量是否保证的正数 。为了描述块与两个孤子以及块与双扭结孤子之间的相互作用解，我们设参数为 块与两个孤子相互作用的三维图(19)如图所示3(一个)。块与双扭结孤子(20.)如图所示3 (b)。

我们可以假设另一种解 在哪里是任意实函数吗 是六个线性变量: 基于同样的过程，我们可以得到如下约束参数集: 显式精确解可以表示为 或 与 在哪里 ， ，和是任意的自然数和函数吗 ， ，和是任意函数 ， ，和 ，分别。我们可以 在哪里 ， ， ， ， ，和常量是否保证的正数 。通过选择任意函数，可以导出集块、集块与周期波的相互作用以及集块与孤子的相互作用 ， ，和 。为了描述一个团块与三个孤子的相互作用解，我们设参数为 的块与三个孤子相互作用解的图形行为27)如图所示4(一)。块与三扭结孤子相互作用解的图形行为28)的分析在图中4 (b)。据我们所知，这些(3+1)维PDE的相互作用解决方案尚未在其他研究中报道。

的话。由(8), (18)和(26)，则行列式方程满足 的有理解9), (10), (19), (20.), (27)和(28)不局限于整体的各个方向 -空间。的合理解9), (10), (19), (20.), (27),或(28)都是块波，合理地局限于各个方向 -空间(34]。

3.结论

综上所述，本文利用ansätz函数(2), (15)和(24)．通过将二次函数与指数函数、双曲函数或三角函数相结合，得到了集总、集总与周期波的相互作用以及集总与多孤子的相互作用解。作为例子，给出了(3+1)维偏微分方程中块与多孤子相互作用解的现象。

本文给出了在特定参数的选择下，一个团块与三个孤子相互作用的行为。我们可以通过下面的ansätz函数得到团块与多孤子的相互作用解: 在哪里是任意实函数吗 是多重线性变量。本文的结果为(3+1)维团块波的有效性提供了进一步的证据。此外，利用测试函数方法可以构造(3+1)维非线性演化方程的一些精确解[35]。对这些问题的研究可能对孤子理论有帮助。

数据可用性

用于支持这项研究结果的数据包括在文章中。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 201430430429);11775146.

参考文献

1. X.-Y。唐,S.-Y。(2 + 1)维系统的局域激励物理评论E:统计、非线性和软物质物理第66期4,货号。046601年,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. Lin J.， Ren B.， Li H.， and Y. Li，“两个非线性偏微分方程的Lax对的达布变换的孤子解”，物理评论E:统计、非线性和软物质物理第77期3,货号。036605年,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. B. Ren，“基于非局域对称约简和CTE方法的mKP方程的相互作用解”，自然史Scripta，第90卷，第5期。6,货号。065206年,2017年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
4. 杨绍明。关铭见鬼,周宏儒。Li, and J. Lin，“nonlocal非线性耦合器中的孤子解”，非线性动力学第88期1，第489-501页，2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. S. V. Manakov, V. E. Zakharov, L. A. Bordag, A. R. Its, V. B. Matveev，“Kadomtsev-Petviashvili方程的二维孤子及其相互作用，”物理信，第63卷，第2期3，页205-206,1977。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. E。Falcon, C. Laroche和S. Fauve，“对薄流体层上的凹陷孤立表面波的观察”，物理评论快报，第89卷，第89期。货号。204501年,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. C. Kharif, E. Pelinovsky和A. Slunyaev，海洋里的巨浪，施普林格-弗拉格，柏林，德国，2009。视图:MathSciNet
8. L. Stenflo和M. Marklund，《大气中的异常波动》等离子体物理学杂志，第76卷，第76期3-4，页293-295,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. D. E. Pelinovsky, Y. A. Stepanyants, Y. S. Kivshar，“非线性离焦介质中平面暗孤子的自聚焦”，物理评论E:统计、非线性和软物质物理第51卷第1期5，第5016-5026页，1995。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
10. Ishimori-I方程的Dromion和块解理论与实验物理学进展第98卷第1期5，第1013-1023页，1997。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. W.-X。Ma， " Kadomtsev-Petviashvili方程的整体解"物理信，第379卷，no. 236, pp. 1975-1978, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. 周永明，周永明，周永明。(2+1)维扩展KP方程的块解计算机与数学应用，第75卷，第5期7，第2414-2419页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. X. Lü， S. T. Chen, W. X. Ma，“构造广义Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq方程的总解”，非线性动力学，第86卷，第86期1, pp. 523-534, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
14. L.考尔和a.m.。“(3 + 1)维广义KP-Boussinesq方程的块解及其降维方程的动力学分析”，自然史Scripta第93卷第5期7,货号。075203年,2018年。视图:谷歌学术搜索
15. X. Lü和w . x。Ma，“基于降维Hirota双线性方程的块体动力学研究”，非线性动力学第85卷第1期2, pp. 1217-1222, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
16. 马文贤，“(2+1)维广义hirota - satsumo - ito方程的块解的研究”，复杂性文章编号9059858,7页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. 马文贤，“p-gkp和p-gbkp方程的块解”，非线性动力学(第84卷)2, pp. 923-931, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
18. 高晓南，“超对称KdV方程的玻色化、奇异性分析、非局域对称约简和精确解”，高能物理杂志， 2013年第5期。2013年第029条第5款。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. 任,X.-P。Cheng, and J. Lin，“(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程:非局域对称和相互作用解”，非线性动力学，第86卷，第86期3, pp. 1855-1862, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
20. B. Ren，“与非局部对称有关的加德纳方程的对称约简”，非线性科学与数值模拟通讯，第42卷，第456-463页，2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
21. J.-B。张和W.-X。BKP方程的混合块结解计算机与数学应用第74卷第1期3, pp. 591-596, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
22. W.-X。马晓勇，杨慧卿。张，“(2+1)维Ito方程相互作用解的多样性”，计算机与数学应用，第75卷，第5期1，页289-295,2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
23. T. C. Kofane, M. Fokou, A. Mohamadou, E. Yomba，“三阶非线性演化方程的块解和相互作用现象”，欧洲物理杂志附加第132卷第1期11日,货号。465年,2017年。视图:谷歌学术搜索
24. 任斌，马文贤，“(2+1)维修正频散水波方程的有理解及其相互作用解”，计算机与数学应用第77期8, pp. 2086-2095, 2019。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. 黄林，“(3+1)维广义KP方程的局域波和相互作用解”，计算机与数学应用，第76卷，第76期4，第831-844页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
26. 张欣，“一种简化的(3+1)维Jimbo-Miwa方程的异常波和一对共振条纹孤子”，非线性科学与数值模拟通讯， vol. 52, pp. 24-31, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
27. 医学博士。陈晓丽，“一个约(3+1)维非线性演化方程的一对共振条纹孤子和块解”，理论物理通讯，第67卷，第5期6, pp. 595-600, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
28. 张昕，“(2+1)维KdV方程的形变异常波，”非线性动力学，第90卷，第5期。2, pp. 755-763, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
29. 张旭东，“异常波和一对共振条纹孤子对KP方程的影响”，计算机与数学应用，第76卷，第76期第8页，1938-1949,2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
30. 马文贤，“(3+1)维Jimbo-Miwa方程的集块型解”，国际非线性科学与数值模拟杂志，第十七卷，第二期7-8, pp. 355-359, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
31. “(3+1)维数下Jimbo-Miwa方程的丰富集总型解”，计算机与数学应用，第73卷，第2期2, pp. 220-225, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
32. 中州。王洪辉，王洪辉。盾,H.-S。Zhang，和C. Temuer，“简化扩展(3+1)维Jimbo-Miwa方程的交互解”，非线性动力学，第92卷，第2期2，第487-497页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. L.-N。高,y y。子,中州。阴,W.-X。Ma, and X. Lü，“Bäcklund变换，(3 + 1)维非线性演化方程的多波解和块解”，非线性动力学，第89卷，第89期。3, pp. 2233-2240, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
34. 马文贤，“(3+1)维线性偏微分方程的大量块及其相互作用解”，几何与物理学报，第133卷，第10-16页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
35. 中州。阴,W.-X。妈,J.-G。Liu, X. Lü，“一个(3+1)维非线性演化方程的精确解的多样性及其约简”，计算机与数学应用，第76卷，第76期6, pp. 1275-1283, 2018。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

版权

版权所有©2019博人。这是一篇发布在知识共享署名许可协议，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。