基于线性反馈控制的混沌Xian系统指数同步

抽象的

本文介绍了一种新的线性反馈控制器，用于在主从配置中同步两个相同混沌系统的同步。该控制器需要了解混沌系统上的非线性函数的先验嘴唇常数在其吸引子上。控制器开发基于代数Riccati方程。如果以这样的方式选择增益矩阵和Riccati等式的矩阵，则在该等式获得独特的正确定解决方案的方式，那么关于先前的工作，可以在此可以保证更强的结果：指数趋同为零同步错误。另外，还研究了非膜外壳，即，当主系统和从系统中存在未拼质动力学和/或干扰时。在此新条件下，同步误差不再收敛到零。然而，仍然可以保证指数趋同到有界区域。数值模拟证实了建议方法的令人满意的性能。

1.介绍

混沌系统的单向同步问题包括找到一个合适的控制律，这样当这个控制律应用到一个有耦合输入的系统，称为“从机”或“响应”，这样的系统遵循一个自治混沌系统的动力学，称为“主”或“驱动”。1- - - - - -11]. 这种适当的控制措施是必要的，因为如果没有它，两个完全相同的自治混沌系统将永远无法同步，因为它们对初始条件非常敏感[12- - - - - -18］．

在过去三十年中，当两个混沌系统的结构和参数都已知时，人们提出了几种解决同步问题的策略。其中一种方法是主动控制[19- - - - - -31]. 在该方法中，控制器的选择基于同步误差动力学，从而补偿非线性并解耦动力学方程[32］．另一种方法是非线性控制[33- - - - - -40］．在这种技术中，给出了一个李雅普诺夫函数候选 ，考虑到第一种衍生物选择控制法必须强制为负确定[41］．因此，可以保证对同步误差的零的渐近收敛。上述策略存在两种缺点：（a）它们的实际实施可能是困难的，特别是对于模拟系统;（b）控制器对能量消耗可能是昂贵的。如果使用了线性反馈控制器，则可以避免这些问题[42- - - - - -45］．这种控制器由增益矩阵的乘积形成和负同步错误， ，就是， 在[46， Wang等人提出了一种利用线性反馈控制实现Chen系统同步的方法。给出一个合适的李雅普诺夫函数候选函数，他们可以将该函数的一次导数表示为同步误差绝对值的二次形式。因此，通过考虑二次型为负定的条件，可以保证渐近收敛到零。这个结果是通过使用唯一的控制输入获得的。在此基础上，提出了统一混沌系统与Lü系统的同步[47]和[48]， 分别。重要的是要提及陈系统和统一系统，由五个线性术语和两个横向产品组成。Lü系统由四个线性术语和两个横向产品组成。两个横向产品术语在三种情况下表达完全相同。通过使用Wang的技术，Yassen同步由三个线性术语和三个横向产品组成的四滚动混沌系统[49]. 然而，为了保证渐近收敛，Yassen必须使用三个控制输入。同样地，刘的混沌系统也是同步的[50]有三个控制输入，并使用相同的程序，而是从更一般的角度应用。基于相同的技术，但具有独特的控制输入，由八个线性术语和两个横向术语形成的超声Lorenz-stenflo系统，以及由七个线性术语形成的吕超复杂系统和两种横向产品术语在[51]和[52]， 分别。尽管上述成功的应用程序，但这种技术有两个主要缺点：（a）设计程序必须将每个系统统治;（b）该技术仅对非常受限制的系统类有效。另一方面，通过使用线性化和Lyapunov的直接方法和线性反馈控制，[42]对于广义Lorenz系统的情况。在[中的系统中的更广泛的（但仍有限制性）的系统44基于线性反馈控制的同步。在上述所有工作中，只能保证同步误差的渐近收敛性。为了克服这种情况和Wang方法的局限性，本文提出了一种基于矩阵Riccati方程的线性反馈控制器。这个过程需要在混沌系统的吸引子上先验地知道非线性函数的Lipschitz常数。如果增益矩阵并以这样的方式选择Riccati方程的矩阵，即该等式具有独特的正定解决方案，然后可以建立更强大的结果：指数收敛到同步误差的零。拟议的策略可以应用于一个非常广泛的系统。但是，为简单起见，注意力集中在Xian等人在[53］．尽管该系统与由Yassen同步的系统之间存在相似性[49(主要的区别只是一个独特的跨产品术语)，王的技术无法处理这个新系统。

在本文中，给予载体 表示的欧氏范数 ，就是， ；给定矩阵 和表示的最小和最大特征值 ，分别地表示两种规范 ，就是， ．

2.系统描述

xian提出的系统[53]是一种新的三阶LÜ混沌系统，由三个线性术语和四个横向产品术语形成。系统可以描述为 哪里 ，和是系统状态和 ，和是恒定参数。该系统显示了值的混沌行为 以及初始条件 ，和 ．在图1，显示了相应的吸引子。各州的时间序列 ，和在数字模拟的前几秒钟内绘制在图中2．

可以注意到，通过使用向量表示法，系统(1）可以简明扼要地表示如下： 哪里

3.问题表述

主从结构是一种较简单的混沌系统同步结构。在这种情况下，具有控制输入的从混沌系统必须遵循自治主混沌系统的动态行为。对于系统(2)，对应的主系统可以简单表示为 哪里 和下标米表示“大师”。系统对应的从系统(2)是由 哪里 ， ，和是控制输入，还是下标年代表示“奴隶”。定义同步错误[54] 因此，基于线性反馈控制的系统(7)和(6)的组成部分是找到一个合适的控制规律的形式 哪里 和 ， ，和设计人员是否可以这样选择真实的常量

4.背景结果

在本节中，简要回顾了一些基本定义和结果。

定义1(见[55- - - - - -57]).一个功能 据说是Lipschitz所在的地方 如果存在常数(称为Lipschitz常数)这样，对于所有人来说 ，以下不等式持有： 最后,如果满足，据说是全球Lipschitz（11） 和

雷玛2（见[56，57]).如果一个函数 集合上是否连续可微 ，那就是Lipschitz所在的地方 ．

基于雷姆玛2，可以建立一个过程，以便计算Lipschitz常数［56］．例如，考虑函数 现场 ．让我们定义和这样 和 ．然后，在 ， 和 ．另一方面，雅可比矩阵是由 让我们定义矩阵作为 也就是说,由每个相应组件的最大绝对值形成（13). 因此,， 最后，我们得到了一个Lipschitz常数（12）在集合上可以被视为

引理3(见[58]).对于任何一个向量 和任何正定的矩阵 ，以下不等式持有：

引理4（见[58]).矩阵Riccati方程 已知常数矩阵 有唯一的正定解吗 如符合下列条件:（a） （b） 是赫尔维茨（c）这一对 是可控的（d）这一对 是可观察到的(e)以下矩阵不等式成立:

5.主要结果

在本节中，控制法适用的条件(9）可以同步系统（7）关于系统（6)找到了。首先，确定同步误差的动态特性。通过取(8),我们得到 用(7)和(6） 进入 （20)并考虑到控制法的形式如(9），我们得到 让我们定义 因此,(21）成为 为了评估同步误差动力学的稳定性(23），提出了以下Lyapunov功能候选者： 哪里是要找到的正定矩阵。第一次衍生（24）计算为 用(23） 进入 （25)经过一些手术，我们得到 现在，让我们考虑最后两项（26）： 利用引理3., (27）可以被束缚为 哪里是设计者可选择的确定正矩阵。此外,考虑到自治系统吸引子上的局部Lipschitz(6)，与Lipschitz常数 ，然后可以建立以下公式: 和 用(30） 进入 （28）和相应的结果进入（26的一阶导数可以被 通过加和减这个术语 ，哪里为正定矩阵，代入(31),我们得到 现在，如果我们定义 并形成以下矩阵Riccati方程： 如果是常数矩阵 以这样的方式选择，引理的条件4满意，则(34)有唯一的正定解和 （32)变得简单 从(35)，由第二李雅普诺夫方法，渐近收敛到零可以得出结论。然而，仍然可以获得更强有力的结果。让我们考虑一下 将瑞利不等式带入(36）我们可以声称 从上一个不等式出发，考虑(35）， 让我们定义 从(24), (38）成为 这意味着 利用两次瑞利不等式24), (41）成为 或 求不等式两边的平方根(43），我们得到 最后，基于（44)，我们可以得出同步误差指数收敛为零的结论 ．因此，已经证明了以下定理。

定理5。如果函数在方程(6)和(7是自治系统吸引子上的局部Lipschitz6)为Lipschitz常数收益呢和矩阵 ， ， 是根据引理选择的4这样矩阵黎卡提方程 有唯一的正定解吗以及控制律 应用于从系统(7)，然后是同步错误 指数收敛于零。

现在，当主系统和从系统都存在未建模的动力学和/或干扰时，可以考虑一个更现实的情况，即，

假设6。条款和表示未知的未建模动力学和/或扰动。虽然这些项是未知的，但它们是有界的。另外，也不需要知道每个界的具体值。

考虑一个功能定义为 满足 哪里一个确定的正矩阵是可选择的设计师和是一个正常数，不一定是先验已知的。

定理7。如果函数在方程(45)和(46是自治系统吸引子上的局部Lipschitz45)为Lipschitz常数收益呢和矩阵 ， ， 是根据引理选择的4这样矩阵黎卡提方程 有唯一的正定解吗以及控制律 应用于从系统(46），然后是同步错误的标准 以指数形式收敛于一个有边界的区域哪里 ．

证明。因为这个定理的证明与定理的证明非常相似5，只会介绍要点。鉴于 ，同步错误动态由 要分析此动态，提出了以下Lyapunov功能候选者： 第一次衍生（50)可以表示为 利用引理3.进入 和不平等（48)，可以得出 用(52） 进入 （51），我们得到 通过加和减这个术语 ，哪里为正定矩阵，代入(53),我们得到 通过定义 得到矩阵Riccati方程: 如果是常数矩阵 使用lemma选择4那么(56)有唯一的正定解和 （54)变得简单 现在，可以证明 哪里 ．用(58） 进入 （57)和(50)转化为结果表达式，我们得到 据[59，60]，（59） 暗示 这意味着 的有界性可以从(61）.最后，对(61)，当时间趋于无穷时，我们可以得出指数收敛的结论到附近的区域 ．

6.数值模拟

为了使用定理的结果5首先，通过数值模拟，自主系统的每个状态的最大绝对值（6)估计为 ，和 ．接下来是函数的Lipschitz常数关于自治系统的吸引子(6)确定。的雅可比矩阵是由 矩阵由自治系统吸引子上相应雅可比矩阵各元素的最大绝对值(6）计算为 双范数是174.88。因此，的Lipschitz常数可估计为 ．考虑到矩阵（如（4)的标称值 ，为保证Riccati矩阵方程的正定解(34)，常数矩阵 引理的条件4感到满意。因此, ， ， 利用这些矩阵，Riccati矩阵方程的解决方案（34)是 ，根据定理5，同步错误指数收敛于零。

控制律的性能 通过仿真验证。一、西安主制(6）初始条件 ，和 西安奴隶制度(7）初始条件 ，和 是建立在Simulink®上的。一旦错误信号是，控制器 应用于从系统(7）.使用具有相对公差= 1E-6和绝对公差= 1E-7的ode23TB（硬/ Tr-BDF2）的模拟结果3.- - - - - -6．可以在图中欣赏3.，4， 和5，即奴隶系统的状态(7)务必遵循主系统的相应状态(6)尽管初始条件不同。误差信号的指数收敛性如图所示6. 实际上，收敛到零的时间不到0.1秒。

最后，在所提出的技术和主动控制之间实现了比较。如引言所示，主动控制基于非线性的补偿和同步误差动态的解耦。给定奴隶系统（7）和主系统（6）对于xian系统（1），可以确定同步错误动态 然而，应该考虑到 用(65), (66)和(67） 进入 （64)时，同步错误动态可以表示为 因此，相应的主动控制为 为了实现两种技术之间的系统比较，使用以下性能指标： 哪里 是加权因子和是最后一次。考虑到一个标准加权，其中每一项都具有相同的重要性，信号被归一化，应该使用以下值: ，和 秒。要实现公平比较，以相同的价值换取收益 ， ，和在这两种情况下都使用，即 ， ，和 结果显示在图中7和8．

如图所示7，两种情况下的性能几乎相同。在图8可以看出，线性反馈控制产生的性能指标值略低。两种技术性能的明显相似性是由于增益值较高。然而，尽管这两种情况下的性能相似，但相对于主动控制，线性反馈控制的实现要容易得多。

7.结论

线性反馈的主要吸引力是其简单的结构对于实际目的非常方便。本文介绍了基于代数Riccati方程的线性反馈控制器。首先使用该控制器，必须确定混沌系统的非线性函数的Lipschitz常数必须确定其吸引子上的非线性功能。为了实现这一目标，有必要找到混沌系统状态的最大值。尽管可以在分析上计算这一点，但为简单起见，这些值是通过模拟确定的。接下来，增益矩阵的值和里卡蒂方程的矩阵， ，和 ，的选择，使这个方程有唯一的正定解。因此，根据定理5，可以保证指数会聚到同步误差的零。基于XIAN系统，在两个相同的混沌系统，掌握和奴隶上进行了测试。数值模拟证实了建议方法的令人满意的性能。在未来的工作中，将提供系统地获得控制器增益的设计程序。

数据可用性

本研究没有实验数据支持。仅使用西安系统的数学模型和所提出的控制器，就可以用Matlab和/或Simulink再现仿真结果。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

这项工作由Cofaa和Sip，InstitutoPolitécncnondional授予20190052年。我们承认支持EDI-IPN和SNI-Conacyt。