基于记忆电阻的Colpitts系统极限多稳定性的降维重构gydF4y2Ba

摘要gydF4y2Ba

在这篇文章中,一个四维(4 d) memristor-based Colpitts系统都采用了一个理想的记忆电阻代替原来的指数非线性项三维(3 d)科耳皮兹振荡器模型,initials-dependent极端的多稳定性所展示的肖像画和当地景点盆地阶段。探索动力机制,一个等价的三维降维模型构建使用状态变量映射(SVM)方法,它允许隐式的首字母的4 d memristor-based Colpitts系统变成相应的明确initials-related三维降维模型的系统参数。推导了三维降维模型的初始相关平衡，讨论了初始相关稳定，定量探讨了动力学机制。此外，用双参数图描述了初始依赖的极限多稳定性，用相图证明了无穷多个吸引子的共存，并通过基于物理电路的PSIM电路仿真验证了这一点。gydF4y2Ba

1.介绍gydF4y2Ba

蔡的电路(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和科尔皮茨振荡器[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]是用于产生混沌的两个重要物理电路。在Chua的电路中，通常基于运算放大器实现独特的非线性负电阻[gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，使得振荡频率受限。相比之下，在Colpitts振荡器中，非线性电路元件由双极结晶体管实现[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，它允许振荡频率从几赫兹调整到微波区域(千兆赫)，这取决于技术。由于自然非线性[gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，忆阻器可以被引入一些现有的电路或系统中，很容易实现混沌振荡。在过去的几年中，各种基于记忆电阻的非线性振荡电路和系统被提出，如记忆的Hindmarsh-Rose神经元模型[gydF4y2Ba5gydF4y2Ba，记忆性细胞非线性/神经网络[gydF4y2Ba6gydF4y2Ba记忆带通滤波电路[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba]，椎间盘尖峰和爆破神经元电路[gydF4y2Ba8gydF4y2Ba]，忆内混蛋[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba，记忆性下生jerk系统[gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]，忆内超快速混蛋系统[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，记忆双t振荡器[gydF4y2Ba12gydF4y2Ba忆内回忆[gydF4y2Ba13gydF4y2Ba，记忆规范蔡氏电路[gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，记忆多卷蔡氏电路[gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]和Memristive Chua的超混沌电路[gydF4y2Ba16gydF4y2Ba]。然而，相对较少的关注已收到的记忆电阻基科尔皮茨振荡器[gydF4y2Ba17gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba19gydF4y2Ba]。另外，尚未报告通过用椎间晶体替换双极结晶体管而实现的忆耳Colpitts振荡器。由于纳米化性质，忆阻器的特点是小尺寸和低功耗的特点，导致基于忆耳的Colpitts振荡器在某些条件下具有良好的应用前景。gydF4y2Ba

对这些构造的记忆系统的仔细的动态分析表明，记忆电阻首字母确实在这些系统的动态特性中起着至关重要的作用[gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba21.gydF4y2Ba]。特别地，基于理想存储器的忆错系统可以产生极端的多态性现象，其具有无限的许多吸引子[gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]。这种特殊现象通常在没有平衡的系统中触发[gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba或无限多个均衡[gydF4y2Ba16gydF4y2Ba，gydF4y2Ba25.gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba28.gydF4y2Ba]，完全不同于通过引入额外的周期信号而产生的偏置升压流[gydF4y2Ba29.gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba31.gydF4y2Ba]。在[gydF4y2Ba17gydF4y2Ba，通过在原Colpitts振荡器中引入非理想扩展记忆电阻，提出了一种基于记忆电阻的Colpitts混沌振荡器[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]。该记忆系统具有独特的平衡，表现出丰富的参数依赖动力学。就像报道的基于理想忆阻器的系统一样，当一个理想忆阻器被引入原始的科尔皮茨振荡器时，一个自然的问题是它是否会产生极端的多重稳定性。因此，有必要在基于记忆电阻的理想Colpitts系统中寻找这种特殊现象。gydF4y2Ba

与初始值相关的多稳定性[gydF4y2Ba32.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba33.gydF4y2Ba，或极端多重稳定性[gydF4y2Ba34.gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba36.gydF4y2Ba，对许多非线性系统的动力学特性的研究产生了巨大的影响。在固定的系统参数下，系统的解轨迹可以用不同首字母的不同稳定状态表示。这种特殊的现象不仅使非线性动态电路或系统在基于混沌的信息工程应用中提供了很大的灵活性[gydF4y2Ba37.gydF4y2Ba]，但也为其对现有多个稳定状态的控制带来了新的挑战[gydF4y2Ba32.gydF4y2Ba]。人们可能争辩说，这种特殊现象很难在实际工程应用中实现，因为它高度依赖于首字母。此外，由于均衡的零特征值存在，它还为动态机制的传统理论分析提供了新的障碍。有趣的是，可以通过使用适当的状态变量简化数学模型或应用合理的近似和简化来解决这些问题[gydF4y2Ba38.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba39.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

后者，解决上述问题，助焊剂分析方法[gydF4y2Ba13gydF4y2Ba，gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]对于基于Memristor的动态电路和状态变量映射（SVM）方法[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，gydF4y2Ba40gydF4y2Ba为了实现基于忆阻的动态系统，以实现等效的维数减少模型，导致电路从高阶到低阶或系统从高维到低维度的事实。利用这些方法，可以将原始电路或系统中的隐式缩写变为明确的初始初始相关电路/系统参数出现在维数减少模型中，并且可以通过改变初始相关电路/系统参数来控制多个稳定状态[gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]，可以实现对初始依赖性动态的机制说明。此外，维数减少建模可以降低定量分析和数值模拟的复杂性，这是理论意义和工程应用价值。gydF4y2Ba

上述分析策略已在几种基于记忆电阻的Chua电路中得到初步验证[gydF4y2Ba13gydF4y2Ba，gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba]和基于Memristor的HyperJerk系统[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba]。然而，对于基于忆耳的Colpitts系统，状态可变绘图方法的适用性和有效性仍然需要全面调查，并且仍然澄清了维度减少重构的维度概念。通过上述思想来启发，通过采用理想的忆阻器来重新采用一种新的四维（4-D）基于忆耳的Colpitts系统[gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba]来替换原始三维Colpitts振子模型的指数非线性项[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba41.gydF4y2Ba]。所提出的记忆型Colpitts系统具有初始依赖的极限多稳定性。为了关注这一特殊现象的揭示和重构，利用文献[1]中报道的SVM方法，得到了一个等效的三维降维模型。gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，从而产生了几个确定的孤立均衡。因此，基于4-D记忆电阻的Colpitts系统的隐式首字母被转换为3-D降维模型的显式初始相关系统参数。同时，利用传统的定量分析方法，利用降维模型中初始相关参数相关的动力学重构了4维记忆电阻Colpitts系统的初始相关的极限多稳定性。gydF4y2Ba

本文的其余部分组织如下。节gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，提出了一个基于4维记忆电阻的Colpitts系统，并通过相图和二维(2-D)局部吸引盆地揭示了初始依赖的极端多稳定性。随后，利用SVM方法建立了所提记忆性Colpitts系统的等效三维降维模型。节gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，对三维降维模型的初始相关平衡进行了推导，并对初始相关稳定性进行了定量评价。此外，用双参数分岔图描述了初始依赖的极端多稳定性，用相图证明了无穷多个吸引子的共存。节gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，利用电路实现降维模型，采用PSIM电路仿真验证了数值仿真结果。第一部分得出结论gydF4y2Ba5gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.基于记忆电阻的Colpitts系统及降维建模gydF4y2Ba

２．１．基于4-D记忆电阻的Colpitts系统及初始依赖的极限多稳定性gydF4y2Ba

通过模仿[中的方法来采用构建方案gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]。对于输入gydF4y2BaXgydF4y2Ba和输出gydF4y2BaygydF4y2Ba，包含内部状态变量的传入的理想记忆器gydF4y2Baφ.gydF4y2Ba可以建模为gydF4y2Ba 灵感来自[gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba), memductancegydF4y2BaWgydF4y2Ba（gydF4y2Baφ.gydF4y2Ba)这里选择的是平方gydF4y2Baφ.gydF4y2Ba，其特征为gydF4y2Ba 的参数gydF4y2BaαgydF4y2Ba和gydF4y2BaβgydF4y2Ba是两个正常数。注意电路模块gydF4y2BaWgydF4y2Ba（gydF4y2Baφ.gydF4y2Ba)可参考[gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

报告了具有指数非线性术语的经典3-D Colpitts振荡器模型[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba41.gydF4y2Ba，被描述为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba问gydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba是积极的真实常量，gydF4y2Bak =gydF4y2Ba0。5，指数非线性项gydF4y2Ba 用来表征科尔皮茨振荡器中双极结晶体管的电压电流关系。当参数出现在(gydF4y2Ba2AgydF4y2Ba）被设定为gydF4y2Ba问gydF4y2Ba= 1.415gydF4y2BaggydF4y2Ba= 3.1623 (gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]，3-D Colpitts振荡器模型（gydF4y2Ba2AgydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba2B.gydF4y2Ba)是混乱的，并显示一个螺旋吸引子。gydF4y2Ba

基于(gydF4y2Ba2AgydF4y2Ba)，利用(gydF4y2Ba1AgydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba1B.gydF4y2Ba)，代入(gydF4y2Ba2B.gydF4y2Ba)，其数学模型为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 两个正参数gydF4y2Ba一个=gydF4y2Ba2gydF4y2BaggydF4y2Ba/gydF4y2Ba问gydF4y2Ba，gydF4y2BaB =gydF4y2Ba1／gydF4y2Ba问gydF4y2Ba为简单介绍了[gydF4y2Ba41.gydF4y2Ba]。为了重点研究极限多稳定性的揭示和重构，将参数确定为gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba= 5.2,gydF4y2BabgydF4y2Ba= 0.9，gydF4y2BaαgydF4y2Ba= 0.5，和gydF4y2BaβgydF4y2Ba= 0.1。gydF4y2Ba

理想忆阻器(gydF4y2Ba1AgydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba1B.gydF4y2Ba)引起系统(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba）在其中拥有线路平衡，导致复杂和敏感的初始依赖性极端多能力，不确定许多吸引子[gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]。为了展示这个有趣的现象，我们对系统的极端多重稳定性(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba）通过相位肖像展出，如表所示gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，其中点吸引子在图中gydF4y2Ba1（e）gydF4y2Ba被标记为五角星。显然，不同拓扑、周期和位置的各种不连通吸引子在系统(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)的姓名首字母不同。特别是非对称混沌双涡旋吸引子(图gydF4y2Ba1(一)gydF4y2Ba)、对称混沌双涡旋吸引子和混沌螺旋吸引子(图gydF4y2Ba1 (c)gydF4y2Ba)可以在图中观察到gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，这与原始三维Colpitts振荡器模型中报道的混沌螺旋吸引子(gydF4y2Ba2AgydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba2B.gydF4y2Ba) [gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]。展示了系统（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)具有更复杂的吸引子结构。gydF4y2Ba

在图中共存的相位肖像gydF4y2Ba1gydF4y2Ba证明系统的动态行为(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)非常依赖他们的首字母。为考察初始面分布的动力行为，绘制不同初始面二维局部吸引盆地，如图所示gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，只有状态变量的周期性gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba考虑并忽略了吸引子的拓扑和位置。由CH标记的红色区域代表混沌行为。由DE和P0标记的黑色和蓝色区域分别表示未绑定的发散和稳定的点行为。虽然P1〜P4标记的其他颜色区域用于具有不同周期性的周期性行为。因此，公开了极端多个能力的出现，表明基于4-D忆阻器的Colpitts系统中无限许多吸引子的共存。gydF4y2Ba

此外，在图中还可以观察到许多无界的发散行为gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，在一般记忆混沌系统中很少报道[gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]，表明提出的基于4d忆阻器的Colpitts系统(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)与首字母的联系不那么紧密。gydF4y2Ba

2．2．降维的建模gydF4y2Ba

探讨系统中出现的初始依赖性极端多功能的动态机制（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)，系统的等效降维模型(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)需要建设[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，gydF4y2Ba13gydF4y2Ba，gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]。根据SVM方法[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba]，集成（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)从0到gydF4y2Baτ.gydF4y2Ba一，一个人得到gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 回顾(的第四个方程gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba）， 那里存在gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba式中的积分项gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)表示为gydF4y2Ba 然后系统(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)可以重写为gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba)，不难发现前三个方程的右边不依赖于gydF4y2BaXgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba，即()的第四个方程gydF4y2Ba7gydF4y2Ba）独立于其他三个方程。因此，可以描述等效的3-D维度减少模型gydF4y2Ba

类似于(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba]时，系统的状态变量(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）这样的gydF4y2Ba 根据(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)， (gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）可以转换回（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

值得注意的是，隐含的首字母gydF4y2BaXgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(0)的4-D基于忆阻器的Colpitts系统被显式地映射为初始化的相关系统参数gydF4y2BaδgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba出现在3-D维数减少模型中。需要图示的是，在这种情况下gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(0) =gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(0) =gydF4y2BaXgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba(0) = 0，系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）展示与所提出的系统完全相同的动态行为（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba) [gydF4y2Ba11gydF4y2Ba]。为了方便区分系统中的不同系统参数(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）， 我们称之为gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2BabgydF4y2Ba，gydF4y2BaαgydF4y2Ba，gydF4y2BaβgydF4y2Ba作为系统的固有参数和gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba作为外部初始相关的系统参数。由此可见，上述三维降维模型可以通过改变初始相关的系统参数来定量研究基于4维记忆电阻的Colpitts系统的初始相关动力学gydF4y2BaδgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)是一个三维非线性系统，其首字母也会影响动力学行为。类似于(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，gydF4y2Ba42.gydF4y2Ba]下的固定初始相关系统参数，系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）只展示两种振荡状态。服用gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba= 10gydF4y2Ba^{−9gydF4y2Ba}和gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba作为一个例子，在首字母(0,5,0)下的有界混沌行为和(−9,0,0)下的无界混沌行为共存于gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−gydF4y2BaXgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba平面，如图所示gydF4y2Ba3(一个)gydF4y2Ba．此外，当地盆地的吸引力在gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(0)−gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba（0）初始平面gydF4y2BaXgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba（0）= 0被描绘，如图所示gydF4y2Ba3 (b)gydF4y2Ba；可以很容易地观察到，只有两个振荡状态，即有界混沌行为(红色)和无界发散行为(黄色)。因此，与基于4维记忆电阻的Colpitts系统相比，三维降维模型对首字母的敏感性较低。gydF4y2Ba

3.极端多个能力的动态机制插图gydF4y2Ba

3．1．依赖于初始相关系统参数的均衡与稳定gydF4y2Ba

通过设置gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba= 0，求解系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),一个人gydF4y2Ba 在这gydF4y2Ba是解决了gydF4y2Ba 定义gydF4y2BaPgydF4y2Ba和gydF4y2Ba问gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba 根据经典的Cardan判别器Δ = (gydF4y2Ba问gydF4y2Ba/ 2）gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ (gydF4y2BaPgydF4y2Ba/ 3）gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba［gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，gydF4y2Ba43.gydF4y2Ba]，根源（gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)派生为gydF4y2Ba

平衡的详细分解gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba载于附表gydF4y2Ba2gydF4y2Ba．参考这些结果，可以找到系统（gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)当Δ > 0时，只有一个确定均衡;当Δ = 0时，只有两个确定均衡。相比之下，系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）当基于确定的平衡时的特征多项式时，有三个确定的均衡。gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba的系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba），系统的稳定性分析（gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)可以有效地执行。根据罗斯-赫维茨标准，当且仅当gydF4y2Ba 满足了吗，确定的平衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba是稳定的，在它的邻域内有一个点吸引子。Table的直观gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba)，即在系统固有参数固定的情况下，系统的平衡位置和稳定性由系统初始相关参数决定gydF4y2BaδgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba（gydF4y2Ba我gydF4y2Ba= 1,2,3,4）。因此，可以从3-D维度减少模型中确定的平衡的演变中推导出基于4-D忆耳的Colpitts系统中呈现的初始依赖性极端多剂量[gydF4y2Ba40gydF4y2Ba，gydF4y2Ba42.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

拿gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba= 10gydF4y2Ba^{−9gydF4y2Ba}和gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba= 0作为示例。当初始相关的系统参数时gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba不同内gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)总是有三个均衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3、1gydF4y2Ba}，gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3，2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3, 3gydF4y2Ba}；的gydF4y2Ba确定均衡的坐标如图所示gydF4y2Ba4(一)gydF4y2Ba．用不同颜色的线表示这三个确定的平衡点的稳定性，其中红虚线、蓝实心线和黑虚线分别表示不稳定鞍点焦点(USF)、稳定节点焦点(SNF)和不稳定节点焦点(UNF)。更具体地说，USF表示均衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba有一个负实的真实根和一对共轭复合根，具有正实的零件;SNF表示均衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba具有一个负实根和一对共轭复数根的负实部;联合国基金会代表均衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba有一个积极的真实根和一对带有负实零件的共轭复杂根。状态变量的相应分叉图gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，如图所示gydF4y2Ba4 (b)gydF4y2Ba，其中[gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(0)gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(0)gydF4y2BaXgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba(0)] =gydF4y2Ba 确定;上部是分叉图gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba从-4到0变化，较低的分叉图gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba取值范围为0到4。可以看出图中所表示的动态gydF4y2Ba4 (b)gydF4y2Ba与图中陈述的三种确定均衡的稳定性相匹配gydF4y2Ba4(一)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

由于系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）从原始点开始，它的演化路线主要引发了邻近邻近的均衡的稳定性，并且稍微受到其他均衡的影响。分叉行为对负面和积极的对称gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba在地区I，但在地区II和III的不对称。更狭窄，在我的地区，何时gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba不同内gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba三个均衡gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3、1gydF4y2Ba}，gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3，2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3, 3gydF4y2Ba}都是不稳定的，所以系统轨道会被随机地推向这三个不稳定平衡态之一。和系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）从混沌状态开始，通过相反的时期加倍分叉路线进入周期性状态。在该区域gydF4y2Ba I和区域II，gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba_{3，2gydF4y2Ba}变成稳定的均衡，gydF4y2Ba和gydF4y2Ba仍然不稳定的均衡。系统的动态行为（gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)主要由稳定平衡决定gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba导致点吸引人的发生。在III区域中，三个均衡都是不稳定的，系统轨道将随机推向这些不稳定的均衡之一，导致限制周期，混沌吸引子或无界轨道的产生。在该区域gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）显示几乎对称的动态行为作为其中gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba因此，这三个平衡的稳定性分布与系统初始参数有关gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba导致系统中出现复杂的动力学行为(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

3．2.极端多稳定性重建gydF4y2Ba

从图中观察到gydF4y2Ba4 (b)gydF4y2Ba，我们知道系统（gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）可以在初始相关的系统参数上显示丰富的动态行为铰链gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba,gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba．为了直观地表现为无限许多吸引子的共存，绘制了不同初始相关参数平面中的双参数分叉图，如图所示gydF4y2Ba5gydF4y2Ba．本文通过考察状态变量的周期性来描绘双参数分岔图gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，这与参数空间图不同于[gydF4y2Ba44.gydF4y2Ba]。类似于图中显示的颜色区域gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，由CH标记的红色区域代表混沌，黑色区域通过de表示发散，P0的蓝色区域表示稳定点，并且P1〜P4的其他颜色区域用于具有不同周期性的周期性极限循环。比较数字中的数值结果gydF4y2Ba5gydF4y2Ba与图中的人gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，可以观察到动力学行为的相似性，并进一步验证了三维降维模型可以通过改变初始相关的系统参数来定量研究基于4维记忆电阻的Colpitts系统的初始相关动力学。作为系统中的原始状态变量(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)为系统中新状态变量(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)，数值模拟中总是存在计算误差[gydF4y2Ba45.gydF4y2Ba]，图中的数值结果略有不同gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和gydF4y2Ba5gydF4y2Ba．因此，可以得出结论，三维维度降低模型是基于4-D忆阻器的Colpitts系统的等同表示。gydF4y2Ba

当初始化相关系统参数时gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba= 0，不确定许多吸引子的共存gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba−gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba参数平面如图所示gydF4y2Ba5(一个)gydF4y2Ba．在地区gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba的gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba，系统可以产生非对称混沌双涡旋吸引子。相比之下，直觉的区域gydF4y2Ba的gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba是该系统可以产生对称混沌双滚动吸引子。此外，当gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba= 0，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba= 0，和gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba＝gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba= 0,数据gydF4y2Ba5 (b)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba5 (c)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba5 (d)gydF4y2Ba揭示了无穷多个吸引子分别在不同初始相关系统参数平面上共存，所得到的动力学分布与图中所示完全不同gydF4y2Ba5(一个)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

对应于图中不同颜色区域的一部分gydF4y2Ba5gydF4y2Ba，不同类型的共存吸引子列于表中gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba．自动，参考图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，为11组不同的初始值相关的系统参数(gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba)在图的不同颜色区域gydF4y2Ba5gydF4y2Ba中共存吸引子的相图gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba平面在数值上模拟，如图所示gydF4y2Ba6gydF4y2Ba，其中点吸引子在图中gydF4y2Ba6（e）gydF4y2Ba均匀标记为五角星。显然,图gydF4y2Ba6gydF4y2Ba显示了与图中完全相同的动态特性gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．可以看出，在系统(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）.结果，由图中的初始相关参数相关的动态gydF4y2Ba6gydF4y2Ba直观地验证了所提出的基于4d忆阻器的Colpitts系统中初始依赖的极限多稳定性。gydF4y2Ba

4.PSIM电路模拟gydF4y2Ba

（（以上）描述的3-D维数减少模型（gydF4y2Ba8gydF4y2Ba）等效以模拟电路形式实现，如图所示gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，其中两个乘数的增益gydF4y2Ba米gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba米gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba设置为1.根据基本电路理论，电路状态方程以一般形式配制为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2BavgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BavgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,gydF4y2BavgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba表示状态变量和gydF4y2Barc.gydF4y2Ba是积分的时间常数。初始化相关的系统参数gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_{3，gydF4y2Ba}和gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba通过额外的直流电压源或直接连接到地面。请注意gydF4y2BaRgydF4y2Ba_6gydF4y2Ba在图gydF4y2Ba7gydF4y2Ba仅为一个负反馈电阻，以保证物理电路耗散无自激振荡，用于实现式()中的自反馈项gydF4y2Ba15gydF4y2Ba）.有关电路设计原理的更多细节可以参考[中的运算放大器稳定性gydF4y2Ba46.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba47.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

更好地确认从图中的等效电路产生的极端多重性gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，考虑PSIM电路仿真以确定共存吸引子的相位图gydF4y2Ba6gydF4y2Ba．图中所示的电路参数gydF4y2Ba7gydF4y2Ba是作为gydF4y2BaRgydF4y2Ba= 10 kΩ,gydF4y2BaRgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba＝gydF4y2BaR /gydF4y2Ba（gydF4y2Ba一个gydF4y2BaβδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba−一gydF4y2BaαgydF4y2Ba），gydF4y2BaRgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba＝gydF4y2BaR /一个gydF4y2Ba=1.9231kΩ，gydF4y2BaRgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba＝gydF4y2BaR /一个gydF4y2BaβδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba，gydF4y2BaRgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba= 3gydF4y2BaR /一个gydF4y2BaβgydF4y2Ba= 57.6923 kΩ,gydF4y2BaRgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba= 2gydF4y2Ba基于“增大化现实”技术gydF4y2Ba=104kΩ，gydF4y2BaRgydF4y2Ba_6gydF4y2Ba＝gydF4y2BaR / bgydF4y2Ba= 11.1111 kΩ，和gydF4y2BaCgydF4y2Ba= 100 nF。的首字母gydF4y2BavgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(0)gydF4y2BavgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(0)gydF4y2BavgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba(0)]赋值为(0v, 0v, 0v)，初始相关系统参数(gydF4y2BaδgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_3.gydF4y2Ba，gydF4y2BaδgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba）通过参考图中的值分配为相同的值gydF4y2Ba6gydF4y2Ba．PSIM截取的相平面图gydF4y2BavgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−gydF4y2BavgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba平面如图所示gydF4y2Ba8gydF4y2Ba．忽略PSIM仿真中的计算误差，PSIM仿真结果如图所示gydF4y2Ba8gydF4y2Ba验证图中显示的复杂现象gydF4y2Ba6gydF4y2Ba并说明所提出的基于4-D忆阻器的Colpitts系统确实存在极端多稳定性。需要特别说明的是，基于4-D记忆电阻的Colpitts系统的首字母以显式形式出现在由(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)，可以方便地实现基于4d记忆电阻的Colpitts系统的极端多稳定性可控策略[gydF4y2Ba14gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

5.结论gydF4y2Ba

在本文中，引入了基于Memristor的Colpitts系统的极端多个能力的维度减少重构方案。通过采用理想的函数来代替原始的3-D Colpitts振荡器模型的指数非线性项，获得了一种新的基于4-D忆阻器的Colpitts系统。通过相位肖像和吸引力盆地展现了拟议系统的初始依赖性极端多能力。为了探索动力学机制，使用SVM方法构建了等效的3-D维度减少模型。因此，将基于4-D忆阻的Colpitts系统的隐式初始初始化转换为3-D维数减少模型的明确初始相关的系统参数。同时，通过衍生初始相关的均衡和讨论三维维度减少模型中的平衡稳定性来定量探索动力学机制。此外，通过双参数分叉图验证了初始依赖性极端多能例，并且通过相位肖像证明了无限许多吸引子的共存，并通过基于物理电路的PSIM电路模拟证实。总而言之，这项工作有多种优势：gydF4y2Ba该系统具有体积小、功耗低、吸引子结构复杂等优点，具有重要的应用价值;gydF4y2Ba维数减少模型大大减少了计算开销，因为系统从4-D到3-D;gydF4y2Ba传统的定量分析可以用于探索极端多稳定性现象，因为基于4维记忆电阻的Colpitts系统的隐式缩写被转化为三维降维模型的显式初始相关系统参数;gydF4y2Ba通过降维重构，实现了极端多稳定性的物理控制和机理解释。gydF4y2Ba

数据可用性gydF4y2Ba

支持本研究结果的数据可根据要求从通讯作者处获得。gydF4y2Ba

利益冲突gydF4y2Ba

作者声明他们没有利益冲突。gydF4y2Ba

致谢gydF4y2Ba

本研究课题由国家自然科学基金项目(61671245,51777016,51607013,61601062)资助。gydF4y2Ba

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