文摘

进化博弈动力学是一个重要的研究被广泛用于许多领域,如社交网络、生物系统和合作行为。霍普夫分岔本文在模仿动力学的三种策略(剪刀)突变。首先,我们确认有霍普夫分岔的模仿动力学无突变。然后,我们发现有一个临界值的突变等,系统会创建一个不稳定的极限环的亚临界霍普夫分岔。霍普夫分岔此外,存在其他类型的突变模式。最后,通过数值模拟验证理论结果剪刀-游戏。

1。介绍

进化博弈动力学结合博弈论和非线性动力学描述的进化策略的频率在一个或多个人口众多(1,2]。它已经在很多领域如网络人口(3- - - - - -6)、经济学(7,8)、生物(9,10)、管理(11,12),和合作行为(13- - - - - -16]。有许多重要的进化博弈动力学等复制因子动态,模仿动力学(17),最好的回应动力学(18],等等19]。剪刀(RPS) [20.,21)是一个著名的战略游戏,描述之间的交互三个互相争生意的物种在生态、社会系统(22,理论生物学(23,24]。复制因子力学是最著名的进化动力学,首先由泰勒和彼特(25),并在各领域的研究(26,27]。在实践中,模仿动力学是一个广义复制因子动态,负责调查的传播策略的模仿,而不是继承。

有一些关于模仿的动力学的研究28- - - - - -30.]。张(28]研究游戏的模仿动力学与连续的战略空间和获得全局收敛性和局部稳定性结果模仿动力学。王等人。29日)调查了模仿动力学延迟,和他们讨论two-phenotype和three-phenotype模型稳定,取得了一些相关结果。胡锦涛et al。(30.离散延迟模仿的动力学研究,他们发现,稳定性会改变在离散延迟动力学和获得的一些充分条件。文献的重点是延迟模仿动力学的影响。然而,突变的研究也是一个明显的因素实际上演化动力学的稳定性。

到目前为止,许多研究人员研究了复制因子的突变动力学的影响(31日- - - - - -34]。Mobilia [31日)调查了泛型和突变rp游戏的振荡动力学,发现rp模型中的heteroclinic周期的存在。Nagatani et al。32]研究metapopulation模型rp和突变,他们发现突变会导致三种策略之间的相变。Toupo et al。33,34]研究突变的影响重复囚徒困境博弈和RPS游戏,他们发现霍普夫分岔的突变会导致复制因子的动态。他们的研究表明,突变可以改变动力学的稳定性,特别是导致分歧。

动力系统的分岔是一个重要的行为(35),已被许多学者研究[36- - - - - -39]。威臣et al。36,37]two-strategy霍普夫分岔研究和战略延迟复制因子动态,他们展示了霍普夫分岔的存在,提出了极限环的分析通过Lindstedt的方法。Nesrine et al。38霍普夫分岔研究在rp游戏与分布式延迟。Umezuki [39石头剪刀)研究了分岔和离散时间分对数动力学和显示一些分支,会破坏rp游戏的吸引子共存。

根据以前的文献,很少有研究分岔的模仿动力学。在本文中,我们的目标是在模仿霍普夫分岔讨论动力学与突变。我们的研究将说明,(我)模仿动力学似乎霍普夫分岔参数γrp的游戏;(2)模仿变化的动力学的稳定性将会改变;和(iii)亚临界动力学霍普夫分岔将展出。

本文的其余部分组织如下。部分2设置仿真动力学模型没有变异,分析了稳定性和分岔。部分3霍普夫分岔和突变研究模仿的动力学。部分4给出了数值模拟的平衡和不稳定的周期解。部分5提供结论。

2。rp模型没有突变

2.1。推导

我们考虑一个对称three-phenotype模型与纯策略摇滚(R),剪刀(S),和纸(P)和支付矩阵:

支付矩阵意味着每个策略得到了回报1与自己比赛时,失败者获得了回报0而获胜者 。让 表示的频率 和 的预期回报 与 ,在哪里 与 和 表示的回报 - - - - - -个人发挥对 个人的 。

模仿经典动力学默认假设,个体是随机选择从人口和获得同样的机会改变策略。也就是说,当一个人使用 对个人使用 ,模仿的 策略师切换到 用 为 在之前的文献,它假定模仿率 取决于预期的回报 和 : 的函数 定义了模仿规则。在这里,我们把 ,也就是说,

为便于符号,写 。在这种情况下,模仿动力学方程可以写成:

自 三种策略的频率,感兴趣的区域三维单形在吗 :

所以,我们可以消除z使用 和的投影 到 飞机: 。在这种情况下,方程(4)可以写成

2.2。平衡的稳定性

系统(6)有四个平衡:

为了讨论这些的稳定平衡,我们线性化方程(6)。因此,我们可以分析每个点的稳定性通过雅可比矩阵的特征值。三个角落平衡的特征值可以计算如表所示1。

表1
平衡的特征值。

从上面的分析,在nonmutation RPS方程,每一个角落年代是一个鞍点。

接下来,我们考虑一个重要的平衡 ;首先,我们讨论nonmutation的稳定系统。因为有两个虚构的特征值在这个平衡点,我们认为可能有一个霍普夫分岔 。

2.3。霍普夫分岔

首先,我们引入一个引理霍普夫分岔的向量场。

引理1(见[40])。假设系统 有一个平衡 在满足以下属性:(H1) 有一个简单的一对纯虚特征值和没有其他与零特征值实部(H2) (H3) ,在哪里 是第一个李雅普诺夫系数然后,系统经历了霍普夫分岔 。
的系数 可以计算如下。中心流形, 在原点附近有以下形式: 在哪里 是非线性函数x和y和 是周围的线性化方程组的特征值平衡在原点。尤其是在分岔点(例如, ),的系数

引理2(见[41])。考虑到系统形式(8);足够小的μ,以下四个案例:(我) :不稳定平衡的 渐近稳定平衡 ,(即不稳定的周期轨道。、亚临界) (2) :不稳定平衡的 渐近稳定平衡 ,(即与渐近稳定周期轨道。、超临界) (3) :不稳定平衡的 渐近稳定平衡 ,(即不稳定的周期轨道。、亚临界) (iv) :不稳定平衡的 渐近稳定平衡 ,(即与渐近稳定周期轨道。、超临界) 接下来,我们给一个定理说明了动态分岔(6)。

定理1。模仿动力学(6)展品亚临界霍普夫分岔 。此外,当 ,本地内部均衡稳定,不稳定的时候 。

证明。(我)当 ,特征值的实部的标志可以通过表1。也就是说, (2)当 ,引理1中的公式,得到非线性函数形式, 我们可以通过Matlab获得李雅普诺夫系数如下: 根据引理2,霍普夫分岔是亚临界 。

3所示。rp模型与突变

在本节中,我们研究模仿的动力学和各种各样的突变,包括全球突变,突变,双突变,等等。

3.1。全球的突变rp模型

首先,我们讨论全球突变模仿动力学。突变的关系如图1。


图1
全球rp的突变。

在这种情况下,动态成为以下表格与变异系数 :

我们给一个定理说明了动态分岔(14)如下。

定理2。以下两个结论建立了模仿动力学(14):(我)存在一个亚临界霍普夫分岔 当 。此外,对于 ,本地内部均衡稳定, ,它是不稳定的(2)本地内部均衡稳定的时候

证明。动态的雅可比矩阵(14) 是 和共轭复特征值 让 ,然后 。一个可以获得以下:(我) :如果 ,那么纯的雅可比矩阵有一双复杂的特征值(2) : 永远是正确的,即。,内部平衡是locally stable类似于定理1的证明,可以获得非线性函数如下: 李雅普诺夫系数可以计算如下: 根据引理2,霍普夫分岔是亚临界 。
定理1和定理2的结果表明,动力学的情况(8)不同于动力学(14)。而内部平衡时总是不稳定的 在前,内部均衡是局部稳定 当 在后者。

3.2。其他突变rp模型

在本节中,我们讨论在模仿其他突变动力学;情况变得复杂是增加了更多的突变体途径之一。便利程度的研究,让我们限制注意确保突变形式 所有值的内在平衡γ和μ。

在这里,我们将讨论以下三种突变rp模仿动力学(见图2):(i)两种策略之间的单一突变;(2)三种策略之间的单突变;和(3)双突变两种策略之间的关系。这些突变形式如表所示2。的周期对称性RPS游戏,只要考虑的三种可能的单突变和双突变。在本例中,我们只考虑以下代表突变。


图2
三个代表在rp突变。
表2
霍普夫曲线不同的变异形式。

模仿的动力学与这三种突变,类似的亚临界霍普夫分岔 将礼物。这不同于nonmutation模仿的动力学稳定性,这始终是不稳定的时候 。

4所示。数值模拟

在本节中,我们提出比较分支周期解的性质。在这里,我们报告两个仿真结果与nonmutation模仿动力学和突变,分别。

例1。在模仿动力学(6),我们将 进入方程。通过Matlab软件,可以获得以下结果(见图3)。
在图3数值模拟表明,内部均衡 是渐近稳定时 (例如, )。然而,当 ,系统状态趋向于不稳定的周期解,当 (例如, ),内部平衡 是不稳定的。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图3
内部平衡的变化情况不同γ。(一) ,周围的极限环发生内部平衡。(b)当 ,内部均衡是稳定的。(c)时 ,内部平衡是不稳定的。

例2。在模仿动力学(14),让 通过Matlab软件,可以获得以下结果(见图4和5)。
在图4数值模拟表明,内部均衡 是渐近稳定时 (例如, )对于任何的价值μ,如 和 。
在图5数值模拟显示,如下:(i)霍普夫动力学曲线(14),即。,the criticality ofμ的变化,γ;(2)内部平衡 将稳定时 (例如, );(3)当 ,系统状态趋向于不稳定的周期解,当 ,内部平衡 时是稳定的和不稳定 。在数据4和5一样是描述在图吗3。

(一)
(一)
(b)
(b)
图4
内部平衡与相同的形势变化γ和不同的μ。(一) 。(b) 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图5
(一)不同的稳定性和极限环γ和μ(霍普夫曲线)。(b)当 ,极限环发生 。(c)时 ,内部平衡是不稳定的。(d)当 ,内部均衡是稳定的。

5。结论

摘要内部均衡的稳定性主要调查了模仿与突变动力学。导致不同的复制因子动态(31日,34),内部均衡的稳定性与突变改变了,和亚临界霍普夫分岔。

RPS游戏,模仿动力学的稳定性参数改变γ支付矩阵没有突变,突变μ在全球突变。动力没有突变,内部均衡时局部稳定 和不稳定时 ,和亚临界霍普夫分岔出现在 在给定的支付矩阵。模仿与全球突变动力学,内部均衡稳定的时候 ,它不同于时的情况 。有一个亚临界霍普夫分岔 ,并在本地内部均衡稳定的时候 和不稳定时 。

如果我们改变参数的数量(即。,from one to two), the stability and bifurcation would become much more complicated. Furthermore, some numerical examples have been given to illustrate the effectiveness of our results. As an extension to this work, we plan to discuss the imitation dynamics with delays and mutations.

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样显著,在本文写作和阅读和批准最终的手稿。

确认

作者欣然承认中国的国家自然科学基金的支持(NNSF)通过批准号11562006,毕业于河北师范大学创新基金会(没有。YJBS2019001)科技创新项目的山西高等教育机构(没有。2019 l0940),河北师范大学科学基金会(没有。L2018B01),山西省自然科学基金(没有。201801 d121009)。