目标节点攻击下多端网络的相互依存性和漏洞

抽象的

现实中的复杂网络可能会遭受目标攻击，该目标攻击可以触发整个网络的细分。因此，衡量网络可以承受扰动的程度。对网络稳健性的研究已被证明是一种朝向这种目的的有效仪器。过去二十年目睹了对网络稳健性研究的热情。然而，对网络稳健性的现有研究主要集中在多层网络上，而几乎没有注意的是复杂网络不可或缺的一部分。在这项研究中，我们调查了在有意节点攻击下的多分网网络的鲁棒性。我们基于最大连接的组件理论开发两个网络模型，以描绘目标攻击下多分网上的级联故障。然后，我们研究了关于八个节点中心度量的计算机生成的多分网网络的鲁棒性。我们发现多分网网络的稳健性可以显示不连续或连续的相位过渡。有趣的是，我们发现多数量的多端网络的盟友集可以增加其与在多层网络上观察到的现象相反的鲁棒性。 Our findings shed new lights on the robust structure design of complex systems. We finally present useful discussions on the applications of existing percolation theories that are well studied for network robustness analysis to multipartite networks. We show that existing percolation theories are not amenable to multipartite networks. Percolation on multipartite networks still deserves in-depth efforts.

1.介绍

复杂系统在我们的日常生活中无处不在。复杂系统的形式可以从宏观层面，如电网系统[1]像代谢系统一样的微观水平[2］．为了更好地理解和控制复杂的系统，广泛采用的方法是将复杂系统建模为由一组节点和边缘组成的网络，其中包含表示网络的组件的节点，并且边缘表示组件之间的关系[3.］．已证明，复杂网络建模和分析不仅是控制科学的一种有前途的工具[4.-7.]但还有数据科学[8.-10.］．

请注意，现实中的复杂网络可能会遭受网络组件的攻击和故障[11.-13.］．因为复杂网络的组件互连[14.那15.因此，一些组件的故障可能会触发依赖于那些失败的组件和级联故障发生的其他组件的故障[16.那17.］．结果，小数组分故障可能导致整个网络的击穿[18.-21.］．为了评估扰动下复杂网络的稳健性，在过去的二十年中出现了对网络稳健性的研究，并在过去的二十年中获得了很大的受欢迎程度[22.-26.］．在文献中，已经为网络稳健做了大量工作[27.-31.］．

长期以来一直研究了网络鲁棒性[32.-36.］．长期以来，鲁棒性研究主要利用单个网络的鲁棒性[37.］．广泛报道单个网络的鲁棒性通常表现为连续的相变现象[17.那38.那39.，这表明单一网络对扰动具有鲁棒性。请注意，网络在现实中不是独立的，而是相互作用，形成多层网络[40-44.］．多层网络中的一小部分组件故障可以引出级联故障[45.那46.］．已有研究表明，多层网络的鲁棒性通常表现为不连续的相变现象[14.那45.那47.]，表明多层网络易受扰动[15.那18.那24.］．

精彩的工作在[45.]引发了对多层网络稳健性的研究热情。研究人员对网络稳健性分析进行了巨大的杰出工作[48.-53］．现有的研究可以大致分为三组，即对节点故障的网络稳健性的研究[54-59]，对边缘故障的网络鲁棒性研究[46.那60-62]，以及网络对社区故障的鲁棒性研究[63-66］．社区通常被称为网络的子图，该网络具有密集的互连，而是与网络其余部分的稀疏连接[67-73］．应该指出的是，除了多层网络之外，还存在另一种称为多重网络的网络，它们是复杂网络的不可或缺的一部分[3.那74］．多部网络通常是指节点可以被划分成多个集合或层，而其边缘只出现在两个相邻的节点集或层之间的网络(见节)2．2对于数学定义）。少数复杂的网络，如服务供应商 - 用户网络[75]，经济网络[76]、生态网络[77]和生物网络[78]可以被建模为多分网。

调查多分网型的稳健性与多脚石网络的解析系统动态有显着相关。在文献中，对多尾网络的鲁棒性的研究仅处理最简单的场景，即二分网络。虽然现有研究表明，二分网络攻击是强大的[56那79那80，多部网络在面对攻击时的表现仍是未知的。同时，现有的研究主要来自生态学等特定领域[56那64那65]，生物学[79]和经济[80[即二分网络的鲁棒性分析取决于具体域的知识。尽管对多层网络的鲁棒性的研究性质[15.那81，现有的模型和理论不能直接应用于多分网络。关键原因是多层网络的结构与多层网络的结构不同。

为了理解多部网络在攻击存在时的行为，本文提出了一种基于仿真的研究，以获得对多部网络鲁棒性的基本理解。为此，我们首先提出了两个网络模型来模拟多部网络在目标节点攻击下的动态过程。随后，我们针对8个广泛研究的节点中心性度量，即度中心性、中间中心性、接近中心性、特征向量中心性、corenness中心性、子图中心性、PageRank中心性和LocalRank中心性，研究了目标节点攻击下的多部网络的鲁棒性。最后，我们对具有泊松度分布的多部网络进行了大量的实验。实验表明，根据所使用的网络模型的不同，多部网络的鲁棒性可以显示不连续或连续的相变。由于从网络结构的角度看，多部网络可以看作是一种简化的多层网络，因此我们将现有的多层网络鲁棒性分析的渗流理论应用于多部网络的情况。证明了现有的渗流理论不适用于多部网络。已有研究表明，随着网络层数的增加，多层网络的鲁棒性急剧下降。令人惊讶的是，我们在实验中发现，多部网络的鲁棒性并不会因其节点集数量的变化而发生太大的变化。实验还表明，增加节点集的数量可以提高多部网络的鲁棒性。 Our study suggests that multipartite networks are more robust to attacks than multilayer networks do.

本文的其余部分的结构如下。部分2提出一些更好地理解这项工作的预备。部分3.讨论了研究动机。部分4.展示了我们在目标节点攻击下探索多党网络的鲁棒性的实证方法。部分5.给出了具有泊松度分布的多部网络的仿真实验第六节总结了纸。

2.初步

2.1。复杂的网络符号

在文献中，复杂网络分析常用的方法是用图表示一个网络，图通常表示为 与V.表示节点和的集合E.边的集合。的节点之间的边G可以用邻接矩阵反映出来吗的G．条目的通常定义如下：

关于复杂的网络分析，最常讨论的术语之一是程度。度的节点一世被定义为 那IE。，等于已附加到节点的边的数量一世．

2.2。多尾网络

鉴于网络 ．假使，假设V.可以分为L.子集，即， ．如果 那G满足以下条件: 然后G称为多部网络[19.那74］．

注意子集也可称为部集[19.那74］．因此，具有多尾网络L.- 分层集被视为L.-partite网络。特别是，ANL.- 分支网络通常被称为二分网络[19.那74］．

等式（2）表示同一节点集中的节点之间没有边缘。如果我们放宽这种情况，即，允许在同一节点集中的节点之间的边缘，然后具有这种结构的网络通常称为多层网络[43.那44.那82］．多层网络的数学定义可在[41.那42.］．

数字1（a）给出了由三个网络组成的三层网络的图形示例 那 那和（用不同的颜色表示），而数字1(b)给出一个具有三部集的多部网络的图形例子，即三部网络。从网络结构的角度，我们可以从图中观察1（a）和1(b)多部网络可视为简化的多层网络。

2.3。网络鲁棒性

网络鲁棒性研究的目的是评估网络在摄动情况下的耐久性。在文献中，主要有两种被广泛采用的网络鲁棒性分析方法。数字2解释了这两种方法的主要思想。

方法如图所示2（a）注意分数去除后的非零度节点问：焦点网络中节点的一部分。方法如图所示2（b）关注分数最大连通分量(LCC)中节点的个数的节点。那么，上述两种方法分别对网络的鲁棒性进行如下度量: 符号在哪里和量化网络的稳健性。通常，值越大和是，网络越强大。

3.动机

网络鲁棒性分析涉及网络模型，该网络模型指定了级联故障在复杂网络上传播的方式。在本文中，我们提出了两个网络模型来探索多分网网络的稳健性。开发新型号的原因是对多层网络进行良好研究的现有模型不适合多档网络。

在利用多层网络的鲁棒性时，一种广泛使用的网络模型来自[45.]这在图中说明3.．数字3.展现了一个具有一对一关联的三层网络的动态过程，即一个子网中的每个节点完全依赖于另一个子网中的一个节点。最初，网络的节点2如图所示3.是攻击。由于节点2的相互依赖关系，在步骤1中去除节点6和节点10，同时去除节点6和节点10上的边。节点6和10的移除进一步破坏了网络分为两部分。假设只有多层网络的每个子网中LCC中的节点将是感兴趣的。将其放在另一种方式中，不在LCC中的节点将被视为功能障碍，并将被删除。因此，在步骤2中，去除节点5与节点1和9（相互依赖性）一起去除。作为网络碎片分为两部分，根据LCC理论，节点11或节点12将被删除(假设节点11被删除)。最后，只剩下节点4、8和12。

在文献中，有几种变体[21.那83-85]图中所示的模型3.．然而，这些模型不能应用于多部网络。原因很明显，因为在那些模型中，焦点多层网络是一对一相关的。从图中可以看出1多部网络可以看作是具有一对多关联的多层网络的一种特殊情况。

为了规避图中所示模型的缺陷3.为了更好地描述真实世界的网络，Shao等人和Dong等人[55那86]提出了一个图中展出的模型4.用于分析多层网络与一对多相关性的鲁棒性。在图中4.时，与其耦合网络中的节点无连接的节点视为功能失调性节点。在网络中，不属于LCC的节点也被视为功能失调节点。级联故障将在网络上继续，直到不可能出现进一步的故障。

该模型如图所示4.如果我们忽略边缘的方向，对于多部网络似乎是很有希望的。然而，该模型仍然不适用于多部网络。原因是该模型与图中所示的模型具有相同的思想3.．更具体地说，他们认为多层网络的每一层的LCC是一个独立的子网络，有自己的网络结构。相比之下，多部网络的每一“层”不是一个独立的子网络，因为每一“层”中的节点彼此是断开的。图中所调查的模型3.和4.，它们可以在不考虑任何其他层的情况下确定多层网络的每层的LCC。然而，在不考虑任何其他“层”的情况下，人们无法确定多分网络的每个“层”的LCC。

本文首先对多部网络建立了两个网络模型。在建立模型的基础上，采用基于仿真的方法来代替以渗流理论为代表的理论方法来考察多部网络的鲁棒性。主要原因是现有的多层网络模型不适应多部网络，这直接导致相应的理论方法是在相应的网络模型的基础上发展起来的，不能应用于多部网络。

4.方法论

4.1。鲁棒性评估方法框架

对于给定的L.深裂的网络G,我们定义作为Partite集中的节点数量 ．我们利用算法1评估其在目标节点攻击下的鲁棒性。

在算法的步骤2中1，对于给定的中心度量，我们对节点进行排序以下降令在其集中力。如果需要分析一个稳健性L.在每个磁带集的目标节点攻击下的第一个网络，然后是三个变量，即， 那 那和 那如算法中给出的1应替换为 那V.,N， 分别。

4.2。提出的Multiparte网络模型M1

我们已经在章节中说明了3.由于多分网型的特殊结构，现有网络模型不适用于分析多端网络的鲁棒性。关于此，在这里我们首先提出用于多分网网络的网络模型M1。

数字5.描述了我们提出的用于多部网络鲁棒性分析的模型M1。为图中所示的三方网络5.，节点2最初攻击。Model M1整体采用多分网。Mode M1关心节点攻击发生后的多端网络的LCC。在步骤1中，将节点2的移除将整个网络分成两部分。基于LCC概念，在步骤2中，将删除红色的所有节点，并且在最后，仅剩下属于焦点多分网络的LCC的节点。

4．3．提出了多部网络的M2模型

模型M1将多部网络视为一个整体。M1模型简单明了，因为它的基本思想与被广泛用于分析单层网络鲁棒性的模型相同。受为分析多层网络鲁棒性而建立的现有模型的启发[16.]，本文提出了另一个模型，即M2，来描述多部网络对扰动的动态过程。与M1模型不同，M2模型考虑的是多部网络中每个二部网络的LCC。模型M2最终计算LCC, LCC包含来自多部网络的每个部集的节点。

Mode M2以反弹 - 前后方式工作，并假设只有LCC中的节点均为关注。给予A.L.- 分支网络是它一世-th Partite集。假设来自的节点为了 受到攻击。然后，M2型号首先以反弹方式工作。具体地，M2型首先分析由绑坐组组成的二分网络的LCC和和它们之间的边缘。在下一步中，M2模型移动以分析包含绑坐组的二分网络和 ．上述过程继续进行，直到得到含有部分集的二部网络和达到，其LCC被识别出来。然后，模型M2开始以弹跳后的方式工作。具体地，M2模型分析了由绑梁组组成的二分网络的LCC和和它们之间的边缘。然后，M2模型移动以分析包含绑坐组的二分网络和这个反弹过程一直持续到含有部份集的二部份网络和并启动跳转过程的新开始。前面提到的向前和向后反弹过程重复进行，直到到达一个稳定的阶段，在这个阶段中不可能删除节点和边缘。网络的其余部分就是M2模型要计算的LCC。注意，在节点从为了在攻击中，型号M2首先实现了反弹的过程。

数字6.采用与图中所示的相同的多分网5.作为详细解释M2如何工作的示例。最初，节点2受到攻击。删除节点2打破了由节点组成的二分网络和进入三个部分，即{1,5,6}，{3,7}和{4,8}。如前所述，M2模型考虑了多党网络中包含的每个二分网络的LCC，因此在步骤1中将被移除节点3,4,7和8，因为它们不在二分网络的LCC中。类似地，在步骤2中，去除在第二二分网络的LCC中的节点被移除，并且最终仅存节点1,6和10生存（也可以是节点1,5和9）。

4.4。节点中心度指标

注意，对于现实世界的复杂网络，具有更高意义的节点具有更高的途径。当研究目标节点攻击下的多端网络的稳健性时，因此可能希望基于其重要性对多脚石网络的节点进行排序，使得可以选择要删除的节点。在网络科学域中，集中度量已被广泛用于衡量网络中节点的重要性。在文献中，有少数节点中心度量[87］．在本文中，我们只选择其中八个。一方面，所采用的指标在文献中被广泛研究。另一方面，它们是计算友好的。采用的中心度量指标如下所述。

4.1.1。学位中心

节点的程度中心一世计算如下：

10/24/11。中间性中心

节点之间的中心性一世计算如下： 在哪里表示从两个不同节点出发的最短路径数S.和T.在G和表示路径的数量已经通过节点一世．

4.4.3。亲密关系中心

节点的紧密中心性一世如下测量： 在哪里表示节点之间的测地距离一世和j．

4.4.4。特征传染媒介居民

节点的特征传染媒介中心一世通过解决以下等式来计算： 在向量 和C是一个比例常数吗与λ.是最大的特征值 ．

4.4.5。历昏中心

节点的一致性中心性一世通过实施来辨认出来K.-壳 [88那89分解的G和的所有节点K.-壳。

4.4.6。子画面中心

节点的子图中心一世计算如下： 在哪里代表对角线元素α.电力 ．

4.4.7。PageRank中心

节点的PageRank中心一世在步骤τ.计算如下： 在哪里β是随机跳跃概率并设置为在这项研究中。一旦达到稳定状态，上述过程将停止获得值。

4.4.8。LocalRank中心

节点的LocalRank中心性一世计算如下： 在哪里表示节点的相邻节点一世和表示节点数T.邻居和他们的邻居邻居。

5.模拟

5.1。实验设置

为了测试目的，在实验中我们生成了具有可控泊松度分布的多部网络。让我们定义一个概率向量 ．然后，我们生成L.- 分支网络节点通过连接每个节点与每个节点有概率对全部 ．

度分布很容易算出来的节点有结点的结点遵循泊松分布，可以制定为 其平均程度 ．类似地，它很容易得到 对应的平均度 ．

在模拟中，没有一般性，我们生成了三方网络其参数设置如下: 那 ．在仿真过程中，参数的设置间隔和T.如算法中所述1是和 ．我们也生成5次。因此，所有结果的平均次数都超过500次。

5.2。基于网络模型M1的鲁棒性

对于一个三方网络 那我们分别研究了它在三种不同情况下的鲁棒性，即第一个部集发生节点移除的情况 那第2部集发生节点移除的情况 那以及每个绑梁集会发生节点删除的情况。我们首先计算节点的集合鉴于特定的中心度量。对于每种情况，我们将以下降顺序对相应的节点进行排序。之后，对于给定的价值P.，我们删除前者来自相应节点集的节点的分数。然后，我们让级联故障相对于M1的型号传播。什么时候达到稳定状态，其中没有节点和边缘删除是可能的，我们计算的值和 ．模拟结果在图中展出7.．

请注意，网络稳健性分析的重要指标是关键点的P.在哪个价值开始从靠近零的小值改变为相对大的值。越小的价值是，网络越强大。我们可以清楚地看待数字7（a）-7（c）那 那这表明如果节点攻击仅发生，所研究的多分网型对目标攻击非常强大 ．数据7（d）-7 (f)显示的值大约在范围内 那虽然数据7 (g)-7(我)表示的值大约在范围内 ．

结果记录在图中7.建议，基于网络模型M1的多分网网络的鲁棒性呈现连续的相位转换现象，这表明当考虑型号M1时，多分网网络是强大的。至于八个调查的节点中心度量，我们可以从数字中看到7（a）-7 (f)当攻击仅发生在一个绑梁集中时，稳健性曲线彼此接近，这表明它们对网络的鲁棒性的影响并不重要。当攻击发生在每个磁带集的多分网集中时，我们可以从数字中看到7 (g)-7(我)多征网络相对较易于易碎程度和PageRank集合。通过观察图7.，我们还注意到特征传染媒介中心对多脚石网络到目标节点攻击的鲁棒性最小。

5.3。基于M2网络模型的鲁棒性研究

类似于上述小节所做的内容，我们在这里研究了三方网络的稳健性对网络模型M2进行目标节点攻击。数字8.呈现模拟结果。

它可以从图中绘制的鲁棒性曲线观察到8.的值存在着剧烈的跳跃 那即，在关键点 那价值突然从一些小值突然变为零到一些大值。图中所示的结果8(一个)-8 (c)表明即使是小规模的攻击也能破坏所研究的多部网络。的值如图所示8.比图中记录的相对较大7.．与图中所示的不同7.的价值在三个节点攻击策略方面不改变太多。结果显示在图中8.显示不连续的阶段转换，表示当考虑网络型号M2时，在面对目标攻击时，多档网络非常易受攻击。

对于所研究的8个节点中心性指标，实验结果如图所示8（g）-8（i）表明，如果节点攻击发生在每个磁带集中，它们对多尾网络的稳健性的影响是狭窄的，因为曲线彼此非常接近，这与图中观察到的现象不同7.．与此同时，我们从数字中通知8.当考虑型号M2时，历层中心性对多脚石网对目标节点攻击的稳健性的影响最小。此外，多分网络相对较容易受到程度和LocalRank集合的影响。

5.4。论网络鲁棒性

以上实验L.- 在案例中进行了分支网络 ．可以争论从上述实验中观察到的鲁棒性现象的概括。关于这一点，我们在这里进行实验 ．如上述实验所示，八个中心度量对网络稳健性的影响并不是那么重要，因此我们选择了用于测试目的的程度中心。

数字9.展示了四个多档网络上的稳健性实验，其尺寸由参数控制L.．从图中可以看出9.那个影响L.关于多部网络相对于网络模型M1和M2的鲁棒性不显著，因为鲁棒性曲线彼此接近。在文献中已有报道，多层网络的鲁棒性随着的增大而急剧下降L.[14.］．但是，相比之下，数字9.表明多党网络相对于网络模型M1和M2的鲁棒性不会急剧地改变L.．令人惊讶的是，数字中记录的稳健性曲线9.证明了多部网络的鲁棒性随。的增大而增大L.．

可以从数字观察到9 (b)稳健性曲线显示出一些起伏 ．凸块是由相对少量的实验试验引起的，该试验设定为500.对于给定的多分网网络L.节点集，在我们设置的实验中对全部 ．为了我们可以从图中看到9 (b)鲁棒性曲线没有显示出任何凸起。随着…的增加L.，生成L.- 分子网络变得越来越大，而实验试验的数量是固定为500.较大的大小L.- 第一个网络，相应的凹凸的大小越大，这就是图中反映的9 (b)．随着试验次数的增加，凸起会消失。

在上述实验中，我们已经修复了和 那即，每个磁带集中的节点的程度都是固定的。在这里，我们调查程度对多分网网络的稳健性的影响。为简单而不丧失普遍性，我们在实验中研究了这种情况 ．数字10.展示了程度对三部网络鲁棒性的影响。数字10.明显地证明了连续和不连续的相变现象对多部网络的鲁棒性的影响。鲁棒性曲线如图所示10.说明多部网络的程度越大，网络面对目标攻击时的鲁棒性越强。

5.5。讨论渗滤理论

请注意，本文采用实证方法来调查多分网网络的鲁棒性。在一节中澄清了动机3.．基于多层网络实际上是多层网络的简单情况的断言，因此可以争辩说，用于分析多层网络的鲁棒性的现有渗透理论可以应用于多层网络。在这里，我们将证明这种想法不起作用。

从图上可以看出5.网络型号M1实际上将多分网络整体视为。因此，如果节点攻击发生在多脚石网络的每个磁带集，那么单层网络的渗滤理论[3.可能有可能分析多分网网络的稳健性。作为分析随机节点攻击方案的网络稳健性的大多数现有的渗透理论，在下文中，我们只关注随机节点攻击下的网络鲁棒性。

给定单层网络G， 让是其学位分布。当我们随机删除时节点的分数G，LCC中的剩余部分可以在数学上计算如下： 在哪里的母函数是 ．变量你计算如下： 在哪里是过量的发电功能与是一阶衍生物 ．

对于一个L.深裂的网络用本文所示的方法生成，我们可以很容易地计算出度分布对于节点如下： 在哪里和和 ．

由上式可进一步求出度分布的如下：

符合方程式中配制的渗透理论（13.） 和 （14.），我们可以具有以下简化的Multiparte网络公式： 其中，我们利用下面的表达式来简化上述推导:

接下来，我们将检查方程(17.） 和 （18.）通过对多尾网络的实验。为此，我们会生成四个多分网 那 那 那和 ．对于四个网络，我们修复 那 那和 ．我们分别设置 那 那 那和为了 那 那 那和 ．

数字(11日)展示网络的稳健性仿真结果 那 那 那和以及通过求解方程(17.） 和 （18.从图中可以看出(11日)仿真结果与理论结果吻合较好。

请注意，图中显示的理论结果(11日)基于两个条件获得，即，焦点网络各部分集均发生节点故障。进一步检查方程式的正确性(17.） 和 （18.)，我们调查的条件 ．具体来说，用于网络 那我们介绍参数α.要控制其两个节点集的节点数，即，我们设置 ．我们修正为了 那我们测试等式的正确性（17.） 和 （18.） 为了 ．相应的实验显示在图中11（b）．我们可以清楚地看看数字11（b）由方程(17.） 和 （18.）如果是，不要遵守模拟结果 ．我们得出结论，单层网络的现有渗透理论仅适用于多脚石网，其中焦点多分网具有相同的每个磁头组的节点，并且每个磁头集都发生在节点故障。

至于网络模型M2，基于Model M2的多分网网络的鲁棒性分析与[55］．让我们考虑一个多部网络与和 ．如果我们采用由绑坐组组成的二分网络和作为一个整体，然后网络因此可以看作是一种特殊的多层网络，类似于[55］．因此，有人可能会争辩说，在[55]可以适用于多分网。

给定两层网络(包括网络a和网络B)，如[55，当随机移除和分别从A和B分别排出的节点的级分制成如下： 在哪里 那 那 那和四个未知数; 那 那 那和分别为 那 那 那和 ．

在上式中，为层间度分布，为表示intoralayers度分布。假设等式中呈现的渗滤理论（20.）适用于多分网，然后随机删除时节点的分数 那的鲁棒性应在数学上计算如下：

我们生成网络具有指定的参数配置 那 那和 ．对于生成的网络 那将其对应的度分布代入上式，即可求出解和通过数值求解以下等式：

数字12.展示网络的稳健性仿真结果以及通过求解方程(21.）。我们得到了通过表达式 ．从图中可以清楚地看出12.该理论不适用于多分网网络。

6。结论

对多层网络的稳健性的现有研究互补，在这项工作中，我们调查了目标节点攻击下的多分网网络的鲁棒性。为此，已经开发了两个网络模型，即M1和M2用于描述经过节点故障的多端网络的动态过程。之后，对于多分网，我们将其节点与八个节点中心度量进行排名。然后，我们删除分类节点的分数和基于M1和M2的型号计算LCC中的节点的分数。具有泊松度分布的多端网络的实验表明，多分路网络相对于模型M1和M2的鲁棒性，显示出连续和不连续的相变。实验还发现，更高的程度和更大数量的多分网集可以提高其对目标节点故障的鲁棒性。

渗透理论是分析多层网络鲁棒性的重要理论。由于多部网络可以看作是一对多关联的相互依赖网络的简单情况，因此在[21.那81]可能适用于多部网络。然而，在本文中，我们证明了这些理论对于多部网络是不可行的。如何发展分析多部网络鲁棒性的理论仍然是一个挑战。我们相信这项工作可以为未来的多部网络鲁棒性分析提供线索。

据报道，无数的现实世界网络是无标度的[90-94］．但是，在实验中，仅测试具有混合泊松度分布的多分网网络。原因是，采样具有权力律程度分布的多分网网络仍然是一个具有挑战性的问题[95-97］．举一个二部网络为例。让和 那分别是节点的程度和 ．因此，在对幂律分布的二部网络进行抽样时，需要考虑约束 ．还有一件事是需要考虑图形状况[98[当使用幂律程度分布采样多档网络时。如何采用任意度分布的多分网网络也挑战，值得进一步深入奉献[99-101.］．

在多部网络上观察到的鲁棒现象表明，多部网络比多层网络对扰动具有更强的鲁棒性。需要注意的是，这一结论是基于已建立的基于最大连通元件理论的模型M1和M2得出的。在鲁棒性分析过程中，模型假设最大连接组件之外的节点将失功并被移除。对于一些现实世界中的复杂网络，最大连接组件之外的节点仍将发挥作用，因此模型M1和M2可能不适用于这种现实世界中的多部网络。然而，本文的研究成果仍然为复杂系统的稳健结构设计提供了新的思路。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

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