在文献中，复杂网络分析的常用方法是通过通常表示的图表表示网络 G ＝ V ， E 与 V表示节点和的集合 E这组边缘。节点之间的边缘 G可以用邻接矩阵反映出来吗 一个 的 G．条目 一个 我 j 的 一个 通常定义如下： （1） 一个 我 j ＝ 1 ， 如果  e 我 j ∈ E ， 一个 我 j ＝ 0 ， 如果  e 我 j ∉ E ．

在复杂网络分析中，最常被讨论的术语之一是度。的程度 d 我 的节点 我被定义为 d 我 ＝ σ. j 一个 我 j ,也就是说, d 我 等于已附加到节点的边的数量 我．

给定一个网络 G ＝ V ， E ．假设 V可以分为 l子集，即， V ＝ V 1 ， V 2 ， ．.. ， V l ．如果 ∀ 一个 ， b ∈ 1 ， l ， G满足以下条件： (2） V 一个 ∩ V b ＝ ∅ ， 如果  一个 ≠ b ， 一个 我 j ∈ 0，1 ， 如果  我 ∈ V 一个 ∧ j ∈ V b ∧ b ＝ 一个 - 1 ， 一个 我 j ∈ 0，1 ， 如果  我 ∈ V 一个 ∧ j ∈ V b ∧ b ＝ 一个 + 1 ， 一个 我 j ≡ 0 ， 如果  我 ∈ V 一个 ∧ j ∈ V 一个 ± k ， ∀ k ∈ 2 ， l - 1 ， 一个 我 j ≡ 0 ， 如果  我 ， j ∈ V 一个 ， 然后 G称为多部网络[ 19.， 74］．

注意子集 V 我 也可以称为绑桥组[ 19.， 74］．因此，具有多尾网络 l-部集被认为是 l-partite网络。特别是，AN l深裂的网络 l ＝ 2 通常称为二部网络[ 19.， 74］．

方程( 2)表示同一节点集中的节点之间没有边。如果我们放宽这个条件，即允许同一节点集中的节点之间存在边，则具有这种结构的网络通常称为多层网络[ 43.， 44.， 82］．多层网络的数学定义可以在[ 41.， 42.］．

数字 1(a)给出一个由三个网络组成的三层网络的图形示例 G 1 ， G 2 ， 和 G 3. (用不同颜色表示)，而图 1（b）呈现具有三个绑梁组的多端网络的图形示例，即三方网络。从网络结构的角度来看，我们可以从数字中观察 1(一)和 1（b）可以将多尾网络视为简化的多层网络。

网络鲁棒性研究的目的是评估网络在摄动情况下的耐久性。在文献中，主要有两种被广泛采用的网络鲁棒性分析方法。数字 2解释了这两种方法的主要思想。

方法如图所示 2(一个)注意分数 r 问 删除后的非零度节点 问焦点网络中节点的一部分。方法如图所示 2 (b)关注分数 LCC. / N 在去除给定的分数后，最大连接组件（LCC）中的节点 1 - p 节点。然后，上述两种方法分别测量网络的稳健性如下： （3） R n ＝ σ. 问 ＝ 0 1 r 问 ， P ∞ ＝ LCC. N ， 的符号 R n 和 P ∞ 量化网络的稳健性。通常，值越大 R n 和 P ∞ ，网络就越健壮。

对于给定的 l深裂的网络 G,我们定义 n 我 ＝ V 我 作为Partite集中的节点数量 V 我 ．我们利用算法 1评估其在目标节点攻击下的鲁棒性。

输入:一个 l深裂的网络 G；指数 我 ∈ 1 ， l

在算法的第2步 1，对于给定的中心度量，我们对节点进行排序 V 我 以下降令在其集中力。如果需要分析一个稳健性 l-部网络在目标节点攻击发生在每个部集合时，则三个变量，即 V 我 r ， V 我 ， 和 n 我 ，如算法中给出的 1应替换为 V r ， V， 和 N,分别。

我们已经在章节中说明了 3.由于多部网络的特殊结构，现有的网络模型不适用于分析多部网络的鲁棒性。为此，我们首先提出了针对多部网络的网络模型M1。

数字 5描述了我们提出的用于多部网络鲁棒性分析的模型M1。为图中所示的三方网络 5，节点2最初攻击。Model M1整体采用多分网。Mode M1关心节点攻击发生后的多端网络的LCC。在步骤1中，将节点2的移除将整个网络分成两部分。基于LCC概念，在步骤2中，将删除红色的所有节点，并且在最后，仅剩下属于焦点多分网络的LCC的节点。

Mod M1整体对待多尾网络。模型M1是简单且简单的，因为它与广泛用于分析单层网络的稳健性的模型共享基本思想。由建立的现有模型的启发，用于分析多层网络的稳健性[ 16.]，本文提出了另一个模型，即M2，来描述多部网络对扰动的动态过程。与M1模型不同，M2模型考虑的是多部网络中每个二部网络的LCC。模型M2最终计算LCC, LCC包含来自多部网络的每个部集的节点。

模型M2以一种来回反弹的方式工作，并假设只关注LCC中的节点。给定一个 l深裂的网络 V 我 被其 我th分裂的集合。假设来自 V 我 为 我 ∈ 1 ， l - 1 受到攻击。然后，M2型号首先以反弹方式工作。具体地，M2型首先分析由绑坐组组成的二分网络的LCC V 我 和 V 我 + 1 以及它们之间的边缘。在接下来的步骤中，模型M2开始分析含有部分集的二部网络 V 我 + 1 和 V 我 + 2 ．上述过程继续进行，直到得到含有部分集的二部网络 V l - 1 和 V l ，并确定其LCC。然后，M2模型开始反弹工作。具体来说，模型M2分析了由劳方集组成的双劳方网络的LCC V l - 2 和 V l - 1 以及它们之间的边缘。然后，模型M2开始分析含有部分集的二部网络 V l - 3. 和 V l - 2 这个反弹过程一直持续到含有部份集的二部份网络 V 1 和 V 2 并启动跳转过程的新开始。前面提到的向前和向后反弹过程重复进行，直到到达一个稳定的阶段，在这个阶段中不可能删除节点和边缘。网络的其余部分就是M2模型要计算的LCC。注意，在节点从 V 我 为 我 ＝ l ，则模型M2首先实现反弹过程。

数字 6取图中所示的相同的多部网络 5作为详细解释M2如何工作的示例。最初，节点2受到攻击。删除节点2打破了由节点组成的二分网络 V 1 和 V 2 为三个部分,即{1、5、6},{3、7},{4 8}。如前所述，模型M2考虑的是多部网络中每个二部网络的LCC，因此第1步将节点3、4、7、8删除，因为它们不在二部网络的LCC中。类似地，在步骤2中，去掉不在第二个二部网络LCC中的节点，最终只剩下节点1、6、10(也可以是节点1、5、9)。

请注意，对于现实世界中的复杂网络，具有较高重要性的节点被攻击的概率较高。因此，在研究多部网络在目标节点攻击下的鲁棒性时，可以根据节点的重要性对多部网络的节点进行排序，从而选择要删除的节点。在网络科学领域，中心性度量被广泛用于衡量网络中节点的重要性。在文献中，有一些节点中心性指标[ 87］．在本文中，我们只选择其中的8个。一方面，所采用的度量标准在文献中得到了广泛的研究。另一方面，它们在计算上是友好的。采用的中心性度量如下所述。

为了测试目的，在实验中我们生成了具有可控泊松度分布的多部网络。让我们定义一个概率向量 p ⟶ ＝ p 1 ， p 2 ， ．.. ， p l - 1 ．然后，我们生成 l深裂的网络 N ＝ σ. n 我 通过连接每个节点来节点 一个 ∈ V 我 与每个节点 b ∈ V 我 + 1 的概率 p 我 对全部 我 ∈ 1 ， l - 1 ．

度分布很容易算出来 P 我 ， 我 + 1 k 节点的 V 我 有结点的结点 V 我 + 1 遵循泊松分布，可以制定为 (11） P 我 ， 我 + 1 k ≈ e - k 我 ， 我 + 1 k 我 ， 我 + 1 k k ！ ， 用其平均度 k 我 ， 我 + 1 ＝ n 我 + 1 p 我 ．类似地，它很容易得到 （12） P 我 + 1 ， 我 k ≈ e - k 我 + 1 ， 我 k 我 + 1 ， 我 k k ！ ， 对应的平均度 k 我 + 1 ， 我 ＝ n 我 p 我 ．

在模拟中，在不失一般性的前提下，我们生成了一个三部网络 G 1 其参数设置如下: n 1 ， n 2 ， n 3. ＝ 1.5 ， 1.5 ， 1 × 10. 5 ， p ⟶ ＝ 6 / n 1 + n 2 ， 4 / n 3. + n 2 ．在模拟期间，参数间隔的设置和 T如算法中所述 1是 时间间隔 ＝ 0.04 和 T ＝ 100. ．我们也产生 G 1 5次。因此，所有结果的平均次数都超过500次。

对于一个三方网络 G 1 ，分别考察其在三种不同情况下的鲁棒性，即第一个部集发生节点移除的情况 V 1 ，将节点删除的情况发生在第二件零件集中的情况 V 2 ，以及节点删除发生在每个绑梁集的情况。我们首先计算节点的集合 G 1 鉴于特定的中心度量。对于每种情况，我们将以下降顺序对相应的节点进行排序。之后，对于给定的价值 p，我们去掉前者 1 - p 对应节点集中节点的分数。然后，我们让级联失败根据模型M1传播。当 G 1 达到稳定状态，其中没有节点和边缘删除是可能的，我们计算的值 P 我 ∞ 和 P ∞ ．仿真结果如图所示 7．

注意，网络稳健性分析的一个重要指标是临界点 p c 的 p在这个值 P 我 ∞ 开始从一个接近零的小值变成一个相对较大的值。值越小 p c 是，网络越强大。我们可以清楚地看待数字 7（a）- - - - - - 7（c）那 p c ＝ 0 ，表明所研究的多部网络在仅发生节点攻击时，对目标攻击具有极强的鲁棒性 V 1 ．数据 7（d）- - - - - - 7（f）显示的值 p c 大约在范围内 p c ∈ 0．2 ， 0.36 ,而数据 7 (g)- - - - - - 7(我)表示的值 p c 大约在范围内 p c ∈ 0．4 ， 0．7 ．

结果记录在图中 7建议，基于网络模型M1的多分网网络的鲁棒性呈现连续的相位转换现象，这表明当考虑型号M1时，多分网网络是强大的。至于八个调查的节点中心度量，我们可以从数字中看到 7（a）- - - - - - 7（f）当攻击仅发生在一个绑梁集中时，稳健性曲线彼此接近，这表明它们对网络的鲁棒性的影响并不重要。当攻击发生在每个磁带集的多分网集中时，我们可以从数字中看到 7 (g)- - - - - - 7(我)多征网络相对较易于易碎程度和PageRank集合。通过观察图 7，我们还注意到特征传染媒介中心对多脚石网络到目标节点攻击的鲁棒性最小。

类似于上述小节所做的内容，我们在这里研究了三方网络的稳健性 G 1 受到目标节点攻击，相对于网络模型M2。数字 8呈现模拟结果。

它可以从图中绘制的鲁棒性曲线观察到 8存在价值的剧烈跳跃 P 我 ∞ ，即，在关键点 p c ，值 P 我 ∞ 突然从一些小值突然变为零到一些大值。图中所示的结果 8（a）- - - - - - 8 (c)表明即使是小规模的攻击也能破坏所研究的多部网络。的值 p c 如图所示 8比图中记录的相对较大 7．与图中所示的东西不同 7，值 p c 三种节点攻击策略的差别不要太大。结果如图所示 8显示出不连续的相变，这表明在考虑网络模型M2时，多部网络在面对目标攻击时非常脆弱。

对于所研究的8个节点中心性指标，实验结果如图所示 8 (g)- - - - - - 8(我)表示如果节点攻击发生在每一个部分集上，由于曲线非常接近，对多部网络鲁棒性的影响很小，这与图中观察到的现象不同 7．同时，从图中我们可以看出 8在考虑模型M2时，corenness中心性对多部网络对目标节点攻击的鲁棒性影响最小。此外，多部网络相对于Degree和LocalRank中心更脆弱。

以上实验 l- 在案例中进行了分支网络 l ＝ 3. ．有人可能会争论从上述实验中观察到的稳健性现象的泛化。关于这一点，我们在这里进行了实验 l > 3. ．以上实验表明，8个中心性度量对网络鲁棒性的影响不是很显著，因此我们在这里选择程度中心性作为测试目的。

数字 9对四个由该参数控制的多部网络进行了鲁棒性实验 l．从图中可以看出 9它的影响 l关于多部网络相对于网络模型M1和M2的鲁棒性不显著，因为鲁棒性曲线彼此接近。在文献中已有报道，多层网络的鲁棒性随着的增大而急剧下降 l［ 14.］．然而，相比之下，图 9表明，多部网络相对于网络模型M1和M2的鲁棒性相对于没有剧烈变化 l．令人惊讶的是，数字中记录的稳健性曲线 9证明了多部网络的鲁棒性随。的增大而增大 l．

从图中可以看出 9 (b)坚固性曲线显示一些颠簸 p ∈ 0．3 ， ０．５ ．凸块是由相对少量的实验试验引起的，该试验设定为500.对于给定的多分网网络 l节点集，在我们设置的实验中 n 我 ＝ n j ＝ 4 × 10. 4 对全部 我 ， j ∈ 1 ， l ．为 l ＝ 4 ， 我们可以从图中看出 9 (b)鲁棒性曲线没有显示任何凹凸。增加 l，生成 l- 分子网络变得越来越大，而实验试验的数量是固定为500.较大的大小 l- 第一个网络，相应的凹凸的大小越大，这就是图中反映的 9 (b)．随着试验次数的增加，凸起会消失。

在以上的实验中，我们确定了 p 我 和 p j ，即每个部集中节点的度是固定的。在这里，我们研究程度对多部网络鲁棒性的影响。为了简单而不失一般性，我们在实验中研究了 l ＝ 3. ．数字 10.展示了程度对三部网络鲁棒性的影响。数字 10.明显地证明了连续和不连续的相变现象对多部网络的鲁棒性的影响。鲁棒性曲线如图所示 10.说明多部网络的程度越大，网络面对目标攻击时的鲁棒性越强。

请注意，本文采用实证方法来调查多分网网络的鲁棒性。在一节中澄清了动机 3.．基于多层网络实际上是多层网络的简单情况的断言，因此可以争辩说，用于分析多层网络的鲁棒性的现有渗透理论可以应用于多层网络。在这里，我们将证明这种想法不起作用。

从图上可以看出 5网络模型M1实际上将多部网络视为一个整体。因此，如果节点攻击发生在多部网络的每个部集上，则单层网络的渗流理论[ 3.]可能用于分析多部网络的鲁棒性。由于现有的分析网络鲁棒性的渗流理论大多是针对随机节点攻击场景的，下面我们只关注随机节点攻击下的网络鲁棒性。

给定单层网络 G， 让 P k 为其度分布。当我们随机移除 1 - p 节点的分数 G时，LCC中节点的剩余分数可以用数学方法计算: （13） P ∞ ＝ p 1 - G 0 u ， 在哪里 G 0 u ＝ σ. k ＝ 0 ∞ P k u k 的母函数是 P k ．的变量 u计算公式如下: (14） u ＝ 1 - p + p G 1 u ， 在哪里 G 1 u ＝ G 0 ” u / G 0 ” 1 多余的母函数是 P k 与 G 0 ” u 的一阶导数 G 0 u ．

为 l深裂的网络 G 1 用本文所示的方法生成，我们可以很容易地计算出度分布 P 我 k 中的节点 V 我 如下: (15） P 我 k ＝ n 一个 问 p 一个 问 1 - p 一个 n 一个 - 问 n b k - 问 p b k - 问 1 - p b n b - k + 问 ≈ k 我 k k ！ ⋅ e - k 我 ， 在哪里 k 我 ＝ k 我 ， 一个 + k 我 ， b 和 一个 ＝ 我 - 1 和 b ＝ 我 + 1 ．

由上式可进一步求出度分布 P k 的 G 1 如下: （16） P k ≈ σ. 我 ＝ 1 l n 我 N P 我 k ．

根据以方程式( 13.)和( 14.)，对于多部网络，可得到简化公式: （17） P ∞ ＝ p 1 - σ. 我 ＝ 1 l n 我 N G 0 我 u ＝ p 1 - σ. 我 ＝ 1 l n 我 N e k 我 u - 1 ， （18） u ＝ 1 - p + p G 1 u ＝ 1 - p + p σ. 我 ＝ 1 l G 0 我 ” u G 0 我 ” 1 ＝ 1 - p + p σ. 我 ＝ 1 l n 我 N e k 我 u - 1 ， 其中，我们利用下面的表达式来简化上述推导: （19） G 0 我 u ＝ σ. k ＝ 0 ∞ P 我 k u k ＝ σ. k ＝ 0 ∞ k 我 k k ！ e - k 我 u k ＝ e k 我 u - 1 ．

在下面的情况下，我们将检查方程的正确性（ 17.)和( 18.)，通过在多部网络上的实验。为此，我们生成了四个多部网络 G 1 ， G 2 ， G 3. ， 和 G 4 ．对于四个网络，我们修复 p 我 ＝ p j ＝ d / 2 n 我 ， n 我 ＝ n j ＝ 4 × 10. 4 ， 和 d ＝ 6 ．我们分别设置 l ＝ 2 ， l ＝ 3. ， l ＝ 4 ， 和 l ＝ 5 为 G 1 ， G 2 ， G 3. ， 和 G 4 ．

数字 (11日)给出了网络鲁棒性的仿真结果 G 1 ， G 2 ， G 3. ， 和 G 4 以及通过求解方程( 17.)和( 18.）可以从图中看到 (11日)仿真结果与理论结果吻合较好。

注意，理论结果如图所示 (11日)是基于两个条件得到的，即 n 我 ＝ n j 焦点网络各部分集均发生节点故障。进一步检查方程式的正确性( 17.)和( 18.)，我们调查的条件 n 我 ≠ n j ．具体来说,网络 G 1 ，我们引入参数 α要控制其两个节点集的节点数，即，我们设置 α ＝ n 1 / n 1 + n 2 ．我们修复 N ＝ 4 × 10. 4 为 G 1 ，我们测试方程的正确性（ 17.)和( 18.） 为了 α ＝ 1 / 8 ， 2 / 8 ， 4 / 8 ．相应的实验如图所示 11（b）．我们可以清楚地看看数字 11（b）由方程( 17.)和( 18.)不符合模拟结果，如果 n 我 ≠ n j ．我们得出结论，单层网络的现有渗透理论仅适用于多脚石网，其中焦点多分网具有相同的每个磁头组的节点，并且每个磁头集都发生在节点故障。

对于网络模型M2，基于模型M2的多部网络稳健性分析与[ 55.］．让我们考虑一个多分网 G 1 与 l ＝ 3. 和 n 我 ＝ n j ．如果我们取由部集组成的二部网络 V 3. 和 V 2 作为一个整体，然后是网络 G 1 因此，可以被视为特殊的多层网络，类似于[中的网络模型 55.］．因此，一个人可能会争辩说，在[ 55.]可以适用于多分网。

给定两层网络(包括网络a和网络B)，如[ 55.，当随机移除 1 - p 一个 和 1 - p B 分别从A和B分别排出的节点的级分制成如下： （20） f 一个 ＝ G 1 一个 1 - u 一个 1 - f 一个 ， f B ＝ G 1 B 1 - u B 1 - f B ， u 一个 ＝ p 一个 1 - G 0 一个 〜 1 - P B ∞ ， u B ＝ p B 1 - G 0 B 〜 1 - P 一个 ∞ ， P 一个 ∞ ＝ u 一个 1 - G 0 一个 1 - u 一个 1 - f 一个 ， P B ∞ ＝ u B 1 - G 0 B 1 - u B 1 - f B ， 在哪里 f 一个 ， f B ， u 一个 ， 和 u B 四个未知数; G 0 一个 〜 ， G 0 B 〜 ， G 0 一个 ， 和 G 0 B 分别为 P 一个 〜 k ， P B 〜 k ， P 一个 k ， 和 P B k ．

在上式中， P 一个 〜 k 表示层间度分布，而 P 一个 k 为层内度分布。假设方程( 20.)适用于多部网络，那么当我们随机移除 1 - p 节点的分数 V 1 ⊂ G 1 ，鲁棒性 G 1 应在数学上计算如下： （21） f 一个 ＝ 0 ， f B ＝ G 1 B 1 - u B 1 - f B ， u 一个 ＝ p 1 - G 0 一个 〜 1 - P B ∞ ， u B ＝ 1 - G 0 B 〜 1 - P 一个 ∞ ， P 一个 ∞ ＝ u 一个 ， P B ∞ ＝ u B 1 - G 0 B 1 - u B 1 - f B ． ．

我们生成网络 G 1 给出的参数配置为 n 1 ＝ n 2 ＝ n 3. ＝ 4 × 10. 4 ， p 1 ＝ p 2 ＝ d / 2 n 1 ， 和 d ＝ 6、8、10 ．对于生成的网络 G 1 ，将其相应的度分布代入上式，即可求出 P 一个 ∞ 和 P B ∞ 通过数值求解以下方程: （22） P 一个 ∞ ＝ p 1 - e - d / 2 P B ∞ ， P B ∞ ＝ 1 - e - d / 2 P 一个 ∞ 1 - e - d / 2 P B ∞ ．

数字 12.给出了网络鲁棒性的仿真结果 G 1 以及通过求解方程( 21.）。我们得到了 P ∞ 通过表达式 P ∞ ＝ P 一个 ∞ + 2 P B ∞ / 3. ．从图中可以清楚地看出 12.该理论不适用于多部网络。