文摘
两个自由度的形状记忆振荡器使用多项式导出本构模型研究。周期、准周期的混沌和超混沌振荡所示的基于形状记忆合金的振荡器选定的操作温度和激励的参数值。分岔图导出调查系统行为变化的参数。的分数阶模型提出了形状记忆振荡器和系统动力学行为的部分订单和参数研究。
1。介绍
形状记忆合金(SMA)显示温度和应力诱发马氏体相变,显著改变材料的力学性能。换句话说,一个明显的塑性变形后,加热时它将返回到原来的形状。同样的材料,在一定温度范围内,可紧张的约。10%,卸载时仍然会回到原来的形状。这些不寻常的影响被称为热形状记忆和超弹性(弹性形状记忆),分别可以使用传感器和致动器(1];它增加范围的潜在应用,如生物医学(2,机器人3),和航空航天。应力-应变曲线研究揭示了sma材料的滞后现象。导致非线性滞后的影响。这个属性会导致高阻尼容量[2)可用于振幅衰减振动系统(4所以这些材料的应用也可以扩展到控制元素。
各种本构模型的形状记忆振荡器(SMO)开发了自1990年以来,为了分析动力行为(5- - - - - -9]。研究揭示,SMOs可以公开时混乱的地区被视为单自由度系统但可以扩展超混沌同步时视为两个自由度的系统[10,11]。在其他sma材料类似的属性是记下了。根据福尔克模型应变和温度是唯一的状态变量;自由能对各种温度和显示不稳定点验证,不考虑成双成对的马氏体。Brinson模型描述的再定位过程显然与其他模型相比,数值模拟揭示了内部次级回路出现在热机的(12加载。田中模型考虑马氏体体积分数,以便准确描述压缩行为(13]。瞬态响应和吸引子的多稳定性是有趣的属性在非线性研究中,SMOs非线性的数值分析模型显示这些属性显著(10]。动态跳跃的SMOs进行了研究,发现不仅取决于强迫的响应振幅也迫使频率的路上被修改(14]。
实验进行了sma材料的动态分析,发现相变导致的非线性复杂系统的动态行为(15]。sma材料的非线性动力学实验研究,指出,致动器的反应显示了不可预测性,低电压应用到系统时,可能会影响到系统的设计和精确的应用程序会导致控制困难3]。
真正的系统在本质上是分级的,所以没有惊喜治疗分数阶描述系统的行为比整数方法更准确。因为持有非局部性质,即下一个状态的系统不仅在其当前状态,还取决于它的所有历史,分数微积分可以提供更现实的结果。最近分数阶微积分用于改进结果在热力学等各领域,机电一体化系统、混沌理论和生物医学系统。当作整数阶混沌非线性系统时,它要求最低订购量的混乱出现3 (16]。相反,而被视为分数阶系统,混乱可以用较小的订单确认。例如,洲与订单2.7电路可以产生混沌吸引子(17]。最近sma材料的主动和被动减振能力进行了研究。Oberaigner模型已经被和分数阶结果揭示了混沌行为准确(18]。传热electrothermoelasticity的分数阶的广义理论描述了弹性体的粒子的行为实际上比与整数阶广义热弹性理论(19]。玉等人开发了分数阶广义electro-magneto-thermoelasticity理论对各向异性和线性electro-magneto-thermo-elastic媒体和扩展,分数阶响应有很大的影响,当材料施加突然加热(20.]。
2。动力学的两个自由度的形状记忆合金(2自由度SMA)振荡器
虽然作者的11)已经做了测试在不同sma材料的模型,完成系统的动力分析研究较少。因此我们感兴趣的两个自由度的分析(2自由度)SMA (21)如图1因其更高的维度和复杂的行为。
2自由度的无量纲数学模型多项式SMA本构模型可以使用运动方程和由(11,21] 在哪里 是激发参数, 耗散参数,质量参数的关系, SMA的属性。美国和是无量纲位移,和是无量纲速度2自由度SMA的组件。参数值, 根据SMA的温度的参数 ,系统角色的周期性变化,准周期的,混沌和超混沌11]。表1显示了SMA与各种不同类型的行为的价值 与各自的有限时间李雅普诺夫指数(LEs)计算使用狼算法(22]在20000年代。
图2显示了2 d阶段的画像SMA系统初始条件 不同的价值观 下表1。它可以看到从图2SMA系统显示周期、准周期的混沌和超混沌行为。
(一)
(b)
(c)
(d)
分岔。分岔分析有助于调查系统的定性状态的变化的变化一个参数(23]。最近的技术表明,分岔分析可以做实验,而不是唯一的数学方法。连续和离散模型可以分析分岔。分析了2自由度SMA使用分岔图,我们解决所有的其他参数(2)和考虑作为分岔参数。第一次迭代的初始条件是作为 和结束值进行初始化的状态轨迹在每个迭代。图3(一个)展示了系统的分岔图1)的参数 。作为SMA系统的参数值(2), ,第一次迭代的初始条件 和结束值的状态变量进行初始化结束时每个迭代。从图可以清楚地观察到2(一个)SMA显示周期、准周期的混沌和超混沌振荡。为 SMA系统显示周期极限环。为 SMA系统显示准周期的/环吸引子。图3 (b)显示了2自由度SMA的分岔参数与 显示周期性,混沌、超混沌同步和quasiperiodicity。2看到极限环 期3极限环展出 和 ,和周期4极限环 。当混沌振荡 , , 和超混沌是一个小范围的 。准周期的振荡所示 。图3 (c)显示2 dofsma系统的分岔和 。混沌和超混沌区域在该地区 和混乱的地区 。为 我们可以观察1极限周期和准周期的振荡 。
(一)
(b)
(c)
3所示。分数阶两个自由度的形状记忆合金(FO2DOFSMA)振荡器
分数阶微积分是整数阶大从莱布尼茨洛必达(写的一封信24]。一个更常见的一般顺序是由 在哪里是订单。模拟分数阶系统的三种方式(25计算方法是基于数学方程,通过合理系统离散时间近似,近似部分系统的使用rational在连续时间函数。大多数研究人员更喜欢通过合理的近似系统的离散时间分数阶系统取代了其离散等效近似再次通过删除多项式级数,从而减少无限记忆的要求。
许多不同的方法对数值模拟的分数阶系统都进行了广泛的调查26- - - - - -28];然而总有计算效率之间的权衡,复杂性,和近似的准确性。最近研究人员一直致力于开发快速卷积求积算法相关分数微分方程因为分数微积分运营商工作在连续或离散卷积的某种形式。
有三种常用的分数阶微分算子的定义:Grunwald-Letnikov, Riemann-Liouville,卡普托23,29日,30.]。我们使用了Grunwald-Letnikov (GL)定义2 dofsma获得的分数阶模型。Grunwald-Letnikov方法进行迭代,但总和的计划变得越来越长,这反映了记忆效应。二项式系数递归地定义和展示非常光滑的属性。Grunwald-Letnikov导数用于许多数值离散化方案部分扩散方程从连续Riemann-Liouville方法(31日- - - - - -33),包括一个离散卷积之间的“重量”或二项式系数函数和利益分化的功能。二项式系数的分析模型是建立在文献[33]。
大多数文献都使用了卡普托分数阶系统的数值解的方法。但GL方法有好处的其他方法解决部分订单由于平滑结果近似(34]。因此我们使用GL方法推导出分数阶2自由度SMA。GL导数可以被定义为 在哪里和是分数阶的极限方程,广义的区别,是步长,的分数阶微分方程。
数值计算修改上面的方程 我们使用短记忆原则限制为二项式系数所需的内存使用 所需的二项式系数数值模拟计算 让3 d分数阶系统的一般形式被定义为 为了模拟系统(8)使用GL方法我们使用离散化方法讨论34,35), 在哪里二项式系数计算使用(11)。的价值作为截断窗口大小吗当当所有的可用内存使用元素。
让我们定义FO2DOFSMA振荡器 使用(9)(10)的离散形式FO2DOFSMA给出 的价值作为截断窗口大小吗当当所有的可用内存使用元素。
的参数值(2)和表2,FO2DOFSMA振荡器显示不同的行为就像整数阶SMA。对初始条件 相应的订单 ,步长 的不同的行为FO2DOFSMA图4。
(一)
(b)
(c)
(d)
我们研究的分歧与分数阶FO2DOFSMA和参数 。的分岔与分数阶FO2DOFSMA振荡器如图5(一个)。作为初始条件在每个迭代中进行初始化,最后一个状态变量的值。FO2DOFSMA显示混沌振荡 。图5 (b)显示了分岔的振荡器并显示混沌振荡 , 。看到现有超混沌振荡 准周期的振荡, ,4振荡 。对图5 (b),我们使用没有仅初始条件。图6与仅显示了振荡器的分岔图的初始条件。图6(b)显示了图的放大部分6(一个)显示了加倍的路线混乱时期。
(一)
(b)
4所示。结论
两个自由度的多项式本构形状记忆合金振荡器是调查表明,周期,准周期的,混沌和超混沌行为是由振荡器激发参数的不同值和温度。分岔图推导显示混乱和周期性振荡的存在。Grunwald-Letnikov导数用于获得的分数阶模型振荡器和分数阶分岔图和参数推导研究振荡器的动力学行为。整数阶模型相比,分数阶模型显示了更复杂的混沌行为和准周期的地区扩展混乱的区域和振荡器显示更多的扩展区域的混乱与参数。这证明了分数阶模型显示了更复杂的行为,因此设计控制器来抑制部分订单混乱是安静的复杂。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突的发布。