文摘
广义多项式混沌展开法(gPCEM),这是一个随机不确定性分析方法采用的正交多项式基地Askey计划代表随机空间,已广泛应用在工程应用中由于其良好的性能在计算效率和精度。但在gPCEM,随机变量的非线性变换应该适应广义多项式混沌理论用于分析复杂的概率分布随机问题,这可能会引入非线性过程的随机不确定性传播以及导致近似误差随机变量的概率分布函数(PDF)。本文旨在开发一个灵活的多项式展开法响应的有限元分析系统的有界随机变量后任意概率分布。基于雅可比多项式的大家庭,一种改进的雅可比混乱展开法(IJCEM)提出。IJCEM,响应的随机系统雅可比扩张与雅可比多项式来近似基础上的权函数是最接近(PDF)的概率密度分布的随机变量。随后,响应的时刻可以有效地计算雅可比扩张。PDF的IJCEM避免必要性应该代表的权函数的多项式的基础上利用变量变换,非线性和错误将在IJCEM随机模型。数值例子表明,相比之下,两个随机问题gPCEM, IJCEM可以达到更好的效率和准确性与复杂的概率分布随机问题。
1。介绍
如今,工程设计和优化系统严重依赖行业中的数值方法。在声学领域尤其如此,实验时间和经济成本特别贵。在过去的十年中,不确定性分析方法预测的声场大大开发(1- - - - - -5]。一般来说,不确定性分析方法可以分为两个不同的组:概率方法(6,7)和非概率方法(8- - - - - -12]。不确定性分析的概率方法是最佳的选择,一旦PDF导出(13]。
蒙特卡罗方法(MCM)是一个简单的和健壮的概率统计方法,因此它被广泛用于随机分析(14]。然而,MCM的收敛速度相当缓慢,相应的计算的MCM成本巨大的工程项目的不确定性分析是巨大的。为了提高MCM的效率,开发了一些先进的反水雷舰,如拉丁超立方体抽样模拟方法(15),拟蒙特卡罗方法(16),另一个扩展方法(17- - - - - -19]。先进的反水雷舰的收敛速度比普通的MCM将变得更快。然而,额外的限制提出了对这些先进的反水雷舰的设计及其适用性通常是有限的(20.]。一般来说,为了验证的准确性不确定方法,普通MCM仍被视为是最健壮的抽样方法。
摄动随机方法也是一个主要类别的概率方法,响应的随机系统展开为泰勒级数在随机变量的均值和截断在一定的顺序21- - - - - -23]。通常,一阶泰勒级数扩张是受雇于,应用高阶泰勒展开不允许精度的显著改善。由于计算效率高,摄动随机方法被用于各种工程领域(24- - - - - -26]。摄动随机方法固有的局限性是它仅限于小随机问题的不确定性水平。
在过去的几十年中,广义多项式混沌展开法(gPCEM)已经获得了大流行领域的随机不确定性分析(27]。gPCEM的发展始于r·加尼姆的工作等,用埃尔米特多项式作为随机过程分析的基础(28,29日]。随后,埃尔米特的延伸的gPCEM扩张方法,推导基于Askey计划(30.- - - - - -32]。gPCEM内,可以选择不同的正交多项式作为基础建立代理模型的随机响应。因此,gPCEM可以达到更高的精度比埃尔米特多项式展开一些随机的问题,如贝塔分布和均匀分布的随机问题。的方差和标准偏差可有效地获得gPCEM相比传统的罗马数字。此外,法律的近似广义多项式混沌扩张相当成熟的33- - - - - -35]。由于上述优点,gPCEM解决随机问题的概率统计方法(非常重要36- - - - - -39]。
一般来说,gPCEM已广泛推广于随机问题分析。然而,似乎gPCEM只能直接用来扩大与所谓的随机系统的响应基本随机变量的PDF可以在Askey正交多项式的计划。非基本随机变量的随机问题,应采用非线性变换,通过非基本随机变量可以近似表示为基本随机变量的非线性函数。然而,两个固有问题会遇到非基本随机变量的变换。首先,非线性将通过使用非线性变换,这可能导致收敛速度慢的扩张。其次,即使使用高阶非线性变换近似真实的PDF的权函数,近似之间的一些配件错误PDF和真正的PDF介绍,特别是当随机变量并不是一个真正的PDF光滑函数。如果有大的拟合误差,反应得到的时刻gPCEM可能无法收敛到精确的结果。减少拟合误差通过非线性变换,提出了多元素gPCEM秀et al。可以申请多元素gPCEM具有任意概率分布的随机问题离散化随机空间分成分段随机元素和构造多项式扩张在每个随机元素(39- - - - - -43]。然而,概率分布的离散化可以导致巨大的计算工作量与多个输入变量的随机问题[44]。关于工程问题的解决方案,不确定的问题总是涉及复杂的概率分布以及大量的变量。因此,它是理想的改进广义多项式理论的应用价值随机问题,好坚固性和适应性强。
此外,尽管gPCEM最近受到关注,一些工程问题进行了分析与广义多项式混沌理论(45]。振动和噪声的影响的分析是一个关键的点与高水平的噪音工程系统的设计性能。在过去的几十年里,大量的不确定性分析方法的基础上,提出了微扰理论的随机响应分析声学问题[46- - - - - -50]。然而,基于微扰的方法只能解决随机问题小的不确定性水平(50]。最近,在声的间隔和随机分析系统中,介绍了Gegenbauer系列建立代理模型(45]。Gegenbauer级数展开的准确性明显提高。然而,Gegenbauer级数展开方法只适用于简单的不确定问题,这可能会限制其应用在真实声学问题。
本文的主要目的是发展一个强大的多项式展开法对声学系统的响应分析与随机变量后任意概率分布。作为声学系统总是有界的不确定参数在现实工程中,雅可比多项式的定义在有界区间将被引入。雅可比多项式的基础上,改进了雅可比混乱展开法(IJCEM)提出。IJCEM声学系统的响应,随机变量的变化范围是近似的雅可比扩张。建立一个多项式的选择标准是为了找到最好的多项式基大家庭的雅可比多项式近似的声学系统的响应不同概率分布的随机变量。响应的均值和方差计算雅可比扩张。贝塔分布的随机变量的均值和方差的雅可比扩张可以获得分析和表达了雅可比系数的扩张。non-Beta分布的随机变量的均值和方差的雅可比使用蒙特卡罗模拟得到扩张。注意,雅可比扩张是一个简单的函数,因此,计算负担遭受雅可比扩张的蒙特卡罗模拟是可以接受的。该方法采用预测声学系统与随机变量的反应后复杂的概率分布。 Numerical results have shown that the proposed IJCEM can achieve higher accuracy and efficiency than that of the gPCEM.
本文的主要内容如下:部分2提出了一种随机模型的声学响应。部分3简要总结了gPCEM的特性和缺陷分析。节4,ITJEM的操作说明。的特点和部分中描述了这种方法的可行性5。部分6总结了本文的研究工作。
2。随机模型不确定的声学问题
受谐波影响平衡方程可以表示为 在哪里 是一个虚构的单一, 是波数,是角频率,是流体的声波速度,是声学系统刚度矩阵;是声学系统质量矩阵;是声学系统阻尼矩阵;代表声压向量;代表声学系统负载向量。方程(1可以查询)(47]。
有很多工程声场固有的不确定性,如不确定的物理性质的变化所导致的声学介质温度和不可预测的环境中产生的不确定的速度令人兴奋。在大多数情况下,这些不确定性可以通过随机变量进行建模。此外,声学系统总是有界的不确定参数在实践和声场的不确定参数可以被描述为有界随机变量。使用有界随机变量向量 ,(1)可以写成
在哪里随机力矢量和吗是不确定的动态刚度矩阵,它可以表示如下:
在哪里代表随机波数和 , ,和支持随机刚度、质量和阻尼矩阵,分别。
为了方便起见,我们可以把随机变量 成一个统一的有界随机变量 这是定义在 。一个随机向量的线性变换可以表示为 在哪里
和站的上下界 ,分别。结果,响应随机模型的声学系统可以表示为
3所示。gPCEM为随机变量
在gPCEM Askey多项式作为解释的基础。秀等人提出,任何二阶L2意义的过程可以用这样的方法来实现。(20.]。为了分析计算响应的时刻,gPCEM PDF的权函数多项式表达的基础。为了方便起见,PDF的概率分布是一样的一个加权函数多项式Askey方案命名为依据的基本概率分布。
3.1。gPCEM与基本的概率分布随机不确定性分析
基本的概率分布的随机问题,响应的随机系统可以扩展
在哪里代表了扩张系数估计和表示的广义多项式基础属于Askey计划。的类型随机的不同而变化的问题。随机变量中定义 ,基地是广义的埃尔米特多项式;为随机变量定义在一个semibounded域 ,基地是广义拉盖尔多项式;为随机变量定义在有界区间 ,基地是雅可比多项式;和更多的基地可以找到其他类型的随机变量(27]。
随机变量的声音通常受到限制。可以给出一维雅可比多项式 在哪里
和的雅可比参数满意吗 。L-dimensional随机变量,雅可比多项式可以表述为一维雅可比多项式的张量积,可以给出的
雅可比多项式正交对 ,可以表示为哪一个
在哪里
表示的统计平均值希尔伯特空间中的内积的随机变量 ,可以表示为哪一个
雅可比多项式相关加权函数,给出的是哪一个
雅可比多项式的基础上,对一维问题的响应可以写成的雅可比扩张
基于雅可比理论扩展,系数可以推导出
自权函数等于随机变量的PDF, Y的均值和方差可以来源于正交分析如下(30.]:
3.2。gPCEM与非基本概率分布随机不确定性分析
在广泛的工程应用中,基本的概率分布是不足以描述随机过程。处理其他的概率分布,采用非线性变量变换,这样一个复杂的概率分布可以表示为多项式基的权函数。例如,非线性变换的任意随机变量x可以写成
在哪里与基本随机变量的概率分布和 的常系数非线性变换,可以得到
在上面的方程中,最初的PDF吗和的PDF功能 。
通过变量变换,gPCEM也可以扩展到计算和非基本变量的不确定性问题。然而,计算效率gPCEM将严重恶化时,变量转换为高阶多项式函数的基本随机变量。主要原因是变量变换可以引入非线性传播过程中的不确定性。另外,变量之间的转换可能会导致一些配件错误近似PDF和原始的PDF,特别是当随机变量不是一个光滑函数的PDF。如果有大的拟合误差,响应平均值和方差导出了gPCEM可能无法收敛到精确的结果。
4所示。IJCEM具有任意概率分布的随机不确定性分析的声音
避免变量变换在使用广义多项式混沌理论来解决随机问题复杂的概率分布,一种改进的雅可比混乱扩张方法(IJCEM)是发达国家在这一节中。发达的方法,声音的反应是直接在应用程序中扩展雅可比多项式。该方法的核心是实现反转随机多项式扩张声学系统的问题。
4.1。雅可比多项式参数确定扩张
从理论上讲,所有雅可比多项式定义可用于扩张,然后反转的不确定响应声学系统,但雅可比方法具有不同参数的准确性相应的多项式基地可能差别很大的加权投影是一种控制残余雅可比方法的偏差(30.]。文献[24)已经表明,如果使用多项式的类型匹配导入变量分布,将实现最快的收敛速度。换句话说,最优多项式的基础上,可以由相同数量的PDF随机问题分析。然而,在大多数工程情况下,变量权重值等于不确定变量的PDF无法找到从Askey sckeme。因此,雅可比方法的权重函数多项式的基础来解决随机问题可能总是偏离实际不确定变量的PDF如果变量变换不工作。本文允许偏差加权函数和PDF和将建立一个多项式选择标准选择雅可比扩张的基础。之前建立一个多项式的选择标准,残余的影响变量权重值和PDF的扩张将讨论。剩余的程度之间的权重因变量和随机变量的PDF可以以接近指数定义如下:
表示x的PDF格式;是相关的权函数与雅可比的雅可比多项式参数和 ; 表示距离指数为 。
一个简单的数学例子将被认为是调查的影响随机不确定性的雅可比扩张的收敛行为资格。
的例子。考虑一个函数 ,x是一个不确定性限制在哪里 。x的概率分布函数图所示1。雅可比扩张与不同的多项式参数用于近似函数y,然后y的均值和方差计算通过MCM y。雅可比参数时三种情况 , 和 ,将被考虑。相比之下,雅可比多项式的权函数与每组的雅可比参数也绘制在图1。根据情商。21),距离指数的权重函数与不同的PDF的雅可比参数如图1可以获得,如表所示1。雅可比的扩张与不同的雅可比参数用于推导y的均值和方差。的收敛行为扩张如图2。
(一)
(b)
从图2,我们可以发现雅可比扩张的收敛速度提高的减少 。y的误差均值和方差的计算通过使用雅可比任何扩张最终会降低到1 e 03时保留订单到7。因此,我们可以从图的结论2(1)雅可比的扩张与任何雅可比参数可以实现高精度如果保留序列是足够大;(2)的收敛速度雅可比方法可以提高通过减少扩张 。
基于上述结论,我们可以定义多项式的选择标准的优化解决方案如下:
通过上面的优化过程中,雅可比扩张的雅可比参数声学系统的随机不确定性分析具有任意概率分布。
4.2。通过建立扩展雅可比矩阵转化反应法
随机的声音通过进化模型可以安装相关的参数变量,如下:
在哪里 表示声场的声压在k节点,声场的节点的数量,然后呢是雅可比膨胀系数估计。在实践中,雅可比扩张应该被截断在一个有限的秩序。一般来说,雅可比扩张可以通过使用全序扩张理论被截断或张订单扩张理论。张量积理论可以有效地解决不确定问题当随机变量的相关保留顺序发生变化(50]。雅可比扩张随机响应的声学模型可以表示为
在哪里 雅可比扩张的保留订单相关吗 。
的张量积,高斯积分方法非常适合估计扩张特征(51]。通常,Gauss-Jacobi集成方法能够实现可靠的精度估计的扩展雅可比膨胀系数时Gauss-Jacobi集成点等于扩张量(35]。的系数可以来源于Gauss-Jacobi积分
在哪里 插值点和吗 点的数量吗 。减少偏差,参数是设置为+ 1。Gauss-Jacobi集成的权重值,可以表示为
在上面的方程中,重量 是由(35]
4.3。均值和方差的估计
雅可比膨胀系数后,响应的均值和方差可以计算大约通过雅可比方法。雅可比多项式基的权函数可以是相同的随机变量的PDF。在这种情况下,传统gPCEM IJCEM是相同的。因此,均值和方差可以计算(30.]
非基本概率分布的随机问题,无法获得响应的均值和方差分析。获得雅可比扩张与不确定变量的均值和方差,可以利用一些数值动力学。摘要均值和方差的雅可比扩张相关和非基本随机变量的概率分布是通过蒙特卡罗模拟计算由于其简单性。额外的计算成本遭受MCM可以接受在大多数实际工程应用程序由于函数的简化。
有时,基本和非基本概率分布可以同时存在。随机响应分析的基本和非基本概率分布的问题包括两个主要步骤。首先,非基本概率分布的随机变量是视为一个固定值,与雅可比扩张的条件均值和方差可以获得基本的概率分布。为清晰起见,雅可比扩张基本和非基本概率分布可以表示为
在哪里
在上面的方程,和分别表示非基本和基本随机变量;的数量是和为 。
由于雅可比多项式的正交性,均值和方差相关的基本随机变量如下所示
然后,无条件的意思和均方值( )随机响应的完整可以评估使用条件概率的法律
在哪里现在被认为是随机的,所描述的一个联合PDF吗 。方程(35)可以写成
用 到(36),无条件方差如下所示
随后,表达的均值和方差(34)和(37用蒙特卡洛方法)可以导出。特别是,每个项目(34)和(37)可以计算(32)或(33)。
4.4。IJCEM程序具有任意概率分布的随机分析的声音
程序IJCEM声学系统的响应分析的随机参数如下所示:
(1)计算雅可比参数和对每个随机变量通过优化解决方案所示(22);
(2)解决膨胀系数(25)
(3)积分重量是解决(27)
(4)响应的解决方案是由(6)
(5)计算响应的均值和方差的声场与不同类型的随机变量。与基本随机变量的分布,通过(响应的均值和方差计算28)和(29日);与非基本随机变量分布的均值和方差的反应通过蒙特卡罗模拟计算;随机变量的基本和非基本分布和响应的均值和方差计算(34)和(37)。
5。数值例子
5.1。声管
5.1.1。声管的随机模型
如图3,严格的二维声管有限元模型构建和间歇加载应用于模型的内部。
考虑环境温度的不可预测性, , ,和是不确定的因素。为简单起见,这些因素被认为是作为一个固定的变量的函数在某一区间。
在上面的方程中, , ,和与β分布统一的随机变量。贝塔分布的方程
a和b是测试参数,测试参数的 , ,和是 , ,和 ,分别。
5.1.2中。比较IJCEM的准确性和gPCEM在相同保留订单
根据多项式IJCEM的选择标准,雅可比扩张的雅可比参数 , ,和可以获得,即: , ,和 。相对好转标准将与IJCEM[随机不确定性分析51]。多元随机问题,反应的相对进步是由(51]
在哪里 是保留顺序向量,j保留订单表示响应计算通过使用雅可比的扩张保留订单。是一个L-dimensional向量中只有第j元素等于1,而其他人则等于零。IJCEM被认为是聚合时 小于按惯例规定的公差。更详细的晋升标准确定保留秩序的过程中可以找到(51]。假设允许相对误差 ,通过晋升标准,顺序的随机分析模型IJCEM f = 150赫兹和f = 300 hz
声压计算结果保留订单 如数据所示4和5,分别。参考解决方案是通过使用罗马数字,采样点的数量是105。注意,雅可比扩张的均值和方差也通过使用蒙特卡罗模拟计算。蒙特卡罗模拟的雅可比扩张,采样点的数量也是105。此外,显示的准确性IJCEM gPCEM更清楚,相对误差的均值和方差的反应以不同的方式集成在f = 150赫兹列在表中2。
(一)
(b)
(一)
(b)
从数据4和5和表2,我们可以发现IJCEM是一个高精度的方法。此外,表2表明,相对误差产生的最大值IJCEM不超过2%,保留高可靠性。它说明了应用改进的相对标准的可行性。比较的结果通过IJCEM gPCEM,证明IJCEM优于gPCEM相同的条件。从表2的相对误差的方差反应产生了由gPCEM超过10%。这表明,高阶多项式时应保留gPCEM用于获得响应模型的随机变量的方差。
5.1.3。比较的效率IJCEM和gPCEM相同的精度
gPCEM,需要保留订单也可以验证通过优化准则。随机分析f = 150赫兹的声波管所需的保留订单gPCEM估计 。响应的方差的声管通过gPCEM表中列出3。
从表3,我们可以发现相对误差产生的最大值gPCEM是1.4%。因此,我们可以得出结论,则也可以用于gPCEM。此外,结果见表3表明gPCEM也可以实现高精度响应分析的声管与随机变量保留订单是否足够大。然而,需要保留顺序gPCEM高于IJCEM当相同的精度。
gPCEM详细的执行时间和IJCEM计算响应f = 150赫兹的声波管是列在表中4。它可以从表中找到4的计算效率IJCEM与gPCEM相比大大提高了。主要原因是需要保留的顺序IJCEM低于gPCEM,因此相应的计算时间构造多项式扩张与gPCEM相比可以减少。此外,从表可以看出4蒙特卡罗模拟的计算时间的雅可比扩张比IJCEM的总执行时间短得多。它表明,提出的主要计算负担IJCEM随机问题患上了多项式的建设扩张。换句话说,额外的时间遇到MCM的雅可比扩张是可以接受的。
5.2。声学空腔的一辆车
建立了有限元模型,如图6。声学空腔周围是空气的密度和声波速度 。前挡风玻璃,沿着罗宾边界导纳系数 。根据前引擎的特点,不连续的正常速度是外面的声音腔。剩余的边缘是完全刚性的。有限元法用于分析声波的声压腔的车。
随机参数 , , ,和被假定为一个函数中定义的单一随机变量如下:空气密度: 声速: 导纳系数: 令人兴奋的速度:
为了比较该方法的准确性和gPCEM随机响应分析的声学问题复杂的PDF文件,PDF和被假定为一个分段函数。最初的pdf文档和如图7。为和 ,Askey方案很难的权函数近似原始的PDF。结果,可能会引入一些错误使用gPCEM PDF的随机变量。相比之下,PDF的权函数近似多项式gPCEM依据也绘制在图7。
(一)
(b)
拟议中的IJCEM gPCEM是用来计算声学空腔的汽车的响应与随机变量。规定的精度设置为 。通过使用相对标准提高,所需的IJCEM保留订单和gPCEM随机不确定性分析声学空腔的汽车可以得到如下:
提出IJCEM,雅可比多项式参数获得根据选择标准 为 , ,和和 为 。仿真结果得到IJCEM和gPCEM是绘制在图8在100赫兹和图9在200赫兹。利用MCM的参考结果采样点也在数据绘制8和9。
(一)
(b)
(一)
(b)
从数据8和9,我们可以发现IJCEM可以完成高精度计算声学空腔分段pdf后汽车的随机变量。相比之下,反应得到的方差gPCEM明显偏离了参考的解决方案。主要原因是使用的近似PDF是gPCEM计算响应的均值和方差的音响系统。因此,我们可以得出结论,提出IJCEM更适合比gPCEM声学问题的随机不确定性分析,特别是当PDF权函数的随机变量不能接近完美。
6。结论
雅可比多项式的大家庭的基础上,提出了IJCEM解决任意概率分布随机声学问题。雅可比扩张是用来适应随机问题。雅可比扩张的系数计算了Gauss-Jacobi集成由于其鲁棒性以及其良好效率的估计系数张量阶多项式扩张。通过确定有效的多项式选择标准、相关加权函数和多项式的基础上获得的,可以有效地计算和响应结果。PDF的随机变量不需要的权函数被表示为多项式的基础上,提出IJCEM可以避免非线性转换为随机变量的问题与任何复杂的PDF文档。IJCEM提出的另一个优点是,只有雅可比参数应该改变构造的雅可比扩张声学系统的响应分析与不同的随机变量。因此,该方法可以很容易地处理的数值实现。
两个典型的声学问题是用来调查提出的方法的有效性。数值结果表明,IJCEM和gPCEM都可以达到一个理想的精度对声学系统的随机不确定性分析随机变量可以表示的PDF的权重函数多项式的基础。然而,gPCEM的计算效率低于该IJCEM作为随机变量的非线性转换使用gPCEM。此外,它可以从随机的数值研究得出的声学问题复杂的分段概率分布的准确性gPCEM可能恶化时,介绍了一些错误的pdf文件,利用随机变量的变换。相比之下,提出IJCEM可以实现高精度任意概率分布的随机问题如果雅可比扩张是足够大的保留订单。注意,雅可比扩张的均值和方差计算的蒙特卡罗模拟的权函数多项式的基础不是相同的随机变量的PDF。然而,相比之下,准确性和效率的改进建设雅可比扩张,额外的计算成本遭受雅可比扩张的蒙特卡罗模拟是可以接受的,特别是对大型工程问题。它应该还指出,该IJCEM并不局限于声学系统的响应分析。一个合适的扩展,它可以用于在多学科计算力学响应分析。
有人指出IJCEM的计算成本将与随机变量的数量迅速增加。因此,IJCEM不适合大量随机变量随机问题。
数据可用性
研究人员使用的数据是用于科学研究,而不是商业目的。大部分的数据生成或分析在这项研究包含在这个手稿和所有的数据可从相应的作者以合理的要求。
的利益冲突
这项研究的作者,没有利益冲突的披露。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(51774323)。