具有访问时间窗的车辆路径问题求解方法的数学公式及比较

摘要

将可持续性原则应用于城市货运政策的执行，需要估计所涉及的所有成本和外部因素。我们在这里重点讨论访问时间窗口的情况，在许多欧洲城市，这种情况禁止货运车辆进入中心城区。尽管这一措施旨在减少一天中最拥挤时段的拥堵和排放，但它也会给航空公司带来额外的成本，导致更高的排放和能源消耗。本文提出了一个带访问时间窗口的车辆路径问题的数学模型，该模型是VRP的一种变体，适用于规划受这类可达性限制的城市的配送路线。我们使用该模型基于一个案例研究来找到小问题实例的精确解决方案，然后比较改进的节约算法、遗传算法和禁忌搜索程序在大实例中的性能，结果显示没有任何一种方法明显流行，但也证实了这些额外成本和外部性的重要性。

1.引言:城市货运政策可持续性的争议面

基于公路的货运运输的最后一英里链接是世界各地许多城市的社会，环境和经济负面影响的原因，包括交通拥堵，空气污染，噪音污染和安全相关问题，如交通意外 [1］.尽管如此，城市地区的生命和经济活动越来越多地依赖提供商品和服务以及消除产生的废物，从而取决于城市货运运输[2］.由于消费者和企业的货物需求的增长，随后的影响在世界各地的城市地区的过去几十年的影响发生了显着影响[3.]城市人口的指数增长[4］.这就是为什么可持续的城市物流被认为是城市中心问题的解决方案，其主要目标是在不损害城市社会和经济需求的情况下减少城市货运的影响[5，6］.政策制定者实施的举措往往具有广泛的思想可持续性，因为他们的最终目标，寻求改善环境（空气和噪音质量），安全的行人空间，防止拥堵和事故[7］.

沉浸在这一情景中，过去几年城市物流的主要研究领域之一[8- - - - - -11.]一直在评估这些政策对城市地区的影响，包括确定参与城市货运的不同利益攸关方群体的看法和利益（公民，居民，托运人，商人，运输公司，地方当局等）．这些利益的异质性在解决特定的交付相关问题时，协调和共识非常复杂，导致利益攸关方独立行动的典型情景，寻求最大化自己的经济利益（或者更加最大限度地减少其运营成本）和地方当局纳入寻求在整个系统中实现最大可持续性程度的政策。

继布伦特兰委员会发表的报告后[12.在环境与发展问题上，可持续发展的概念引起了全世界的关注。可持续性已被证明是一个持久和令人信服的概念，因为它指出了一个明确和直观的政治方向，也足够灵活，以适应新的挑战，无论是技术、经济或社会。它对公众特别是科学界具有吸引力，因为它意味着对经济和生态的系统观点，并需要保护后代利益的解决方案。对可持续性概念的深入分析强调了这一事实，即存在三个不同的系统(见图)1)，可描述为环境的、经济的和社会的，在不同的情景或所进行的活动中相互作用，互利或有害[13.，14.］.这种“可持续性三大支柱”的表现包括：可持续性本身的概念是三维之间的相互作用的结果，其重叠并且不可能或不应该，分别分析[15.］.

回到城市货运配送背景下的可持续性概念，特别是在欧洲城市，我们已经提到，地方当局和市政当局在实施政策和措施时将可持续性作为目标。然而，这些措施通常主要针对三个支柱中的两个，即与环境和社会可持续性有关的支柱。对环境可持续性的关注旨在减少车辆交通造成的排放和污染，通过优先分配公共交通或自行车道的空间等措施，提高城市的空气质量。社会可持续性涉及一系列目的，如增加城市的可达性，减少噪音，提高生活质量，保护历史中心(确切地说，商业和商业场所的密集度通常较高的地区)，以及在减少车辆数量的同时扩大步行区域。这些影响城市货物运输的政策主要分为六类，由Stathopoulos等人定义[11.]：(我)基于市场的政策试图调整其生产和/或消费产生负外部成本的商品的市场价格。道路收费或拥堵生态税是一项具有经济吸引力的措施，对城市中心的交通拥堵有积极的影响。然而，运输定价政策要求事先了解货运承运人和收货人相互补充、往往相互矛盾的作用。（ii）土地使用政策对城市内的货运具有重大影响，因为商业活动的集中或分散对供应的精简产生了重大影响，从而影响了运营商和居民。(3)基础设施的政策旨在促进运输方式的改变，寻求缓解无处不在的以化石燃料为燃料的公路货物运输。这方面最常见的政策之一是引入城市配送中心，追求货物的整合，通常由电动汽车或自行车负责最后的配送。这些配送中心的环境和社会可持续性得到了保证，但其经济可持续性依赖于私人和公共激励之间的微妙平衡，因为预期的里程数减少通常不足以弥补航空公司与客户失去联系所造成的损失。(iv)基于信息的政策重点关注利益攸关方之间的信息交流，以支持货车运输路线的规划和管理。（v）管理政策由私人和/或公开利益攸关方进行的，旨在促进运营商之间的某种形式的合作。（vi）可访问性政策参照管制系统或地方当局所施行之规章制度。基于引擎大小、重量或类型的访问限制和访问时间窗口是最常用的度量方法[16.］.他们在许多欧洲城市的实施表明，这些可访问性法规构成了减少城市中央地区排放和拥堵的最有效方法之一。

2.城市货运路由:访问时间窗口

在本文中，我们的重点放在最后一类，特别是访问时间窗口策略的考虑。在整个欧洲，它们都存在于一段时间(在两者之间)的建立中和在图2）访问窗口在其中关闭货运车辆禁止进入城市指定的中心区域。这一公共政策，加上位于该中心区的接收器的正常工作时间的限制，使一天的大部分时间都被占用，迫使航空公司相应地调整航线和投递。

可持续性又是这些访问时间窗口限制背后的驱动力。在一天中最繁忙的时段，它们将城市中心区域从配送车辆的流通中解放出来，从而缓解了拥堵和停车问题，同时避免了污染物在该敏感区域的高浓度。然而，虽然社会可持续性似乎在这方面取得了胜利(因为只有当居民占用率较低时，卡车才被迫使用街道空间)，但对于图中的其他两个支柱，有些评论是必要的1．例如，虽然这一政策可能会降低配送车辆造成的排放里面中心地区，对交付路线规划的新限制将使它们减少效率较长，需要船队中的更多车辆，从而导致更大全面的能源消耗和排放。另一方面，这也意味着航空公司的运营成本更高，这损害了系统的经济可持续性。

然而，欧洲城市访问时间窗口政策的分析和评估往往忽略了这些强加在系统上的额外环境和经济成本，尽管一些研究工作承认它们的存在[8，17.］.我们的工作旨在为估计这些成本进行贡献，以便他们可以纳入可访问性规定的分析和评估，从而完成可持续性方案。由于环境和经济成本都与交付路线的配置相关，因此我们开发了一种过程来估计在其路线规划过程中的访问时间Windows影响运营商的程度。我们指的是，当窗口规则约束时，指的是该计划过程，作为访问时间窗口（VRPatw）的车辆路由问题，该问题在运营研究哲学中，影响所有客户在受限制内部的所有客户的地位和时间因素城市中央区。

cattaruzza等。［18.]提供了城市物流中出现的路线问题的完整回顾，确定了四个主要挑战，反映了城市环境的复杂性:考虑时间依赖的旅行时间[19.，20.，多层次分布[21.，22.]动态路由[23.，24.]和多消费者[25.］.其他最近用于城市货运的VRP应用包括制定一种反车辆路线方法来估计城市运输车辆流量[26.，或将出行时间作为随机变量考虑，从而制定出路线方法，以最大限度地在客户指定的时间窗口内为客户提供服务的概率[27.］.

本文完成了Muñuzuri等人的工作[17.]，我们将VRPATW作为一种新型城市货运车辆路由问题，基本上与其他城市提供方法不同。我们这里的目标是为VRPATW制定一个数学模型，为验证缩减尺寸问题实例提供不同的解决方案程序的基准。此外，对于较大的案例，我们基于启发式和成群质方法来比较不同解决方案技术的性能。虽然解决方案构建技术是标准的，但我们的方法的新颖性与对健身功能的评估相关联，这通过分析数学模型进行分析描述。

3.问题描述:VRPATW模型

我们考虑一个城市中的送货车队的路线优化问题，其中心区域受到时间相关的获取限制。我们将把这个中心区域称为受限制区（RZ）。该RZ处于访问时间窗口（TW）的影响，在TW关闭时不允许访问RZ。对应于时间间隔的时间地平线 是这样定义的，所有的结果路由都需要包含在其中，以及两个时间瞬间，标记开始( ）和结束（ ）闭合间隔。然后当时间瞬发时，将时间窗口置于打开（OTW）是这样的 要么 和关闭(CTW)时 ．在整个城市传播了一系列具有预定义需求的客户，我们考虑了一个单一的仓库，其中所有送货车必须开始和结束各自的路线。客户的一小部分将位于RZ内（其实，客户的密度可能在RZ内部比外部更高），因此送货车辆将不得不调整他们的路线以遵守访问限制规定（见图3.）.因此，问题的建模将不得不特别注意时间因素，并且涉及问题建模的所有成本将按时间单位进行测量。

在图上定义了具有访问时间窗的车辆路径问题 ,在那里表示节点和的集合这组链接。仓库的表示使用了两个虚拟节点的子集和 ，在哪里 表示交付路由将从何处开始的节点子集 以。结尾的子集 与车队中的车辆数量相对应，每辆车辆有一个固定的使用成本C，车队里的所有车辆都是一样的。节点集定义为 ,在那里为表示客户位置的正需求节点的子集。图中的每个节点都有一个成本(以时间为单位) ， ，从而对卸载或交付时间建模，对于表示仓库的虚拟节点( ）.我们还定义了另外两个节点子集，包括位于RZ和的所有节点对于位于RZ之外的所有节点，用 ．鉴于仓库通常位于RZ之外，我们定义了包含在内的两个额外的节点子集 ，也就是说, ，包括车辆可以从其开始向另一个节点的连杆位移的所有节点，以及 ，包括所有的节点，在这些节点上，车辆可以终止在另一个节点上启动的位移。

每个链接 有四种置换成本，同样以时间单位计算(见图4)：1. 是节点的位移成本到节点当访问时间窗口关闭时。2. 是节点的位移成本到节点访问时间窗口时，打开。3. 和 是与路线路径与RZ的边界的交叉有关的成本，如下制定：1. 是节点之间的位移代价吗 ，位于RZ之外，当路由进入RZ进入节点时 ，位于里面。参数值 代表该路线“进入”RZ的事实。2. 是节点之间的位移代价吗 ，当路线在朝向节点的路上离开RZ时，位于RZ内部 ，位于外面。价值 代表了路线“离开”的事实。

模型中考虑的最后一个术语是二进制参数 ，当链接经过RZ时，取值为1，即， 和 和 ．的价值否则为0。在上述所有情况下，VRPatw可以由以下数学模型表示： 多变的表示配送车辆到达节点的时间瞬间 ，和是一个二进制决策变量，该变量设置为1，当车辆从节点进行行进时设置为1到节点否则为0。目标函数（1）寻求最小化整体路线持续时间和额外车辆的使用。第一项对应于不同的路径持续时间的总和，第二个术语惩罚每个车辆的使用以固定成本（以时间为单位测量） 两个限制（2） 和 （3.）是典型的VRP配方，强迫恰好一个车辆进入并离开每个节点。限制(4）迫使到达节点的瞬间 ，加上交货时间 ，加上相应的旅行成本（二进制参数还有二进制变量导致加法，视情况而定，两者之一或)小于或等于到达下一个节点的瞬间在路线。固定值 仅在节点遵循节点在任何一个传送路线中。限制(5)补充上一个，确保两个节点之间的路径尽可能短，并使用旅行成本对其计算。限制(6）确保所有路线都在既定的时间范围内结束。关于限制（7） 和 （8），它们确保到达到节点 ，此时该路由将被绑定到另一个节点 ，不会干扰tw。辅助二进制变量和控制节点之间的位移是否和与Rz互动。限制 （9） 和 （10.)强加两种不同的要求。一方面，到达一个节点的瞬间 当来自另一个节点时 必须对应于OWT，另一方面，当路线交叉从节点行驶的RZ 到节点 ，TW期间的访问限制必须保持。限制(11.）包含在模型中，以更好地理解以下限制，用于定义变量，表示路由时的瞬时时间输入或离开RZ，只要出现这两种情况。限制 （12.） 和 （13.)保证进入或离开RZ的路线符合TW限制，也允许车辆在RZ边界外等待，直到TW开放，以便继续其路线。最后,限制(14.）将所有辅助二进制变量与二进制参数相关联。如果路由在RZ和TW在该位移期间关闭时，则该限制可确保在CTW间隔期间车辆不在RZ内，强制瞬间位于该间隔之外。

目标函数的第一项（见（1））对应于舰队中所有车辆的路线持续时间（到达时间减去时间）的总和。关于第二个术语，当给定的车辆离开其原点节点时（包含在子集中)，它可以移动到另一个节点或者 ．在第一种情况下，车辆将遵循“虚拟”路由，这意味着它不会在实践中使用，并且目标函数的最小化将导致其到达时间等于其出发时间。在第二种情况下，车辆将遵循“真正的”路线，访问该客户之后可能还会有其他顾客。通过计算所有离开的弧的和节点朝向节点，我们正在计算“真实”路由后的车辆数量，即有效使用的车辆数量。然后将该号码乘以固定成本要考虑解决方案应包括最小可能数量的“真实”路由。由于必须访问所有客户位置的限制力，因此目标函数将确定（a）使用最小可能数量的车辆和（b）尽可能短的路线集。

4.软计算解决方案方法

本节介绍实施的启发式和成逐程序，以解决VRPATW的大型实例，鉴于问题的NP - 难以解决的问题。这包括首先是克拉克和赖特储蓄算法的修改，然后是遗传算法和禁忌搜索方法。每个过程的描述将在以下标题下提供。值得注意的是，三个程序使用相同的健身功能，对应于目标函数（1）上一节中描述的数学模型。根据图中所示的程序评估健身功能5，详情见Muñuzuri等[17.］.

4．1.改进的克拉克和赖特储蓄程序

在寻找解决VRPATW的快速启发式方法中，我们调整了古典克拉克和赖特储蓄算法（Clarke和Wright，1964），最初适用于VRP。修改的程序工作生成两个分类的客户对列表。第一个 （）按照在打开时间窗口期间排序每个客户对时，以总线长度的潜在节省的降序排序。另一个（)以相同的方式排序，但是针对关闭的时间窗口时间段。该算法首先计算列表，生成一个空解决方案，并将第一对客户插入其中 ．然后使用健身功能来评估部分解决方案，并且该过程继续使用顾客顺序插入和评估，直到解决方案完成。执行新插入后的每个部分解决方案的重新评估，以便确定下一个插入是否对应于或 ．一旦使用这种贪婪方法构建了解决方案，就可以通过局部搜索操作符的应用来探索进一步的改进 ， ， ，和搬迁［28.- - - - - -30.］.

4.2。遗传算法

该算法的主要特征，类似于穆拉尔里等施用的算法。［17.]，可以简要描述如下：(我)初始种群被随机生成（ii）交叉:典型的单点交叉算子(3)突变：随机选择和序列中的两个停止交换(iv)选择:遵循基于轮盘赌的方法（v）人口重启：当最佳健康值低于平均健身价值的5％，只能保持人口中最好的个人（vi）停止条件只与迭代次数有关（vii）该过程在最后结合了一个局部搜索程序，寻找可能已经逃脱遗传算法迭代的潜在改进。这个局部搜索过程再次结合了2-opt，或者选择，3-选择,搬迁运营商。

4.3。禁忌搜索

在与应用于VRP的其他成形机相比的良好性能之后，我们测试了一个禁忌搜索（TS）程序来解决VRPatw。这些以前的结果[31.，32.]证明了这种成分培育症的能力来解决所有VRP变体，从解决方案质量和计算时间方面获得良好的结果。然而，VRPATW在同一路线段可能是非常有益的或成本的意义上的其他VRP类别不同，这取决于其在整体路线内的位置。因此，目前尚不清楚用于求解VRP实例的最佳成分训练也将在应用于VRPATW时表现最佳，这使我们开展并测试了该TS程序的实施。

我们的TS算法遵循典型的结构，使用贪婪最近邻的启发式确定的初始解决方案。然后，TS过程中的邻域空间被定义为路线中任意两个客户的位置交换。在每次迭代中，当前解决方案（CS）中的所有客户都被交换成对，并且存储了最佳的新解决方案（BNS）。如果该BNS提高了到目前为止发现的最佳解决方案（BS），则更新BS。禁忌列表（TLIST），按照定义的邻居标准，存储在最后一次迭代中交换的客户。在TLIST或短期记忆中的这些动作的持久性取决于迭代的数量完成以来他们输入了列表。

如前所述，VRPATW的特性可能会导致解决方案中两个客户的交换，从而导致目标函数的显著变化（健康）。这些显着的改变通常会使路线长度最小化的过程扰乱，但它们也可能有助于找到对当前解决方案的意外改进。这就是为什么我们纳入一个愿望标准，以允许禁忌掉期，只要它们改善整体最佳解决方案BS即可。

TS程序的长期记忆使用不同客户交换(fTl)发生频率的记录。当算法在固定的迭代次数中无法找到对解的改进时(），它朝向替代搜索路径移动，交换具有较低参与频率的客户对。这有助于多样化搜索过程。如果这也失败，则二次长期内存过程随机重启解决方案，同时保持到目前为止找到最佳解决方案BS。根据问题的大小，执行此重新启动的固定次数（）.最后，停止标准与最大迭代次数相关（)，然后再应用本地搜索程序。

5.结果应用到一个案例研究

基于Muñuzuri等人提供的相同案例研究，我们将上述方法应用于不同的问题实例。[17.］.它源于基于西班牙塞维利亚的小型载体的运行，目前受到访问时间窗口限制，并假设车辆的平均速度为20公里/小时，每位客户的20分钟卸载时间，和10小时的时间地平线。测试的60个问题实例由以下参数值定义：(我)客户数量（No.C）：范围从10到150（ii）限制区域(RZ)的大小:1.1、1.6和2公里半径(3)关闭时间窗口周期(CTW): 2、4、6小时。

遗传算法和禁忌搜索的先前校准导致以下参数值：(我)对于遗传算法，（一种）人口规模为2·客户数量;（b）最大迭代次数为6·客户的数量;（C）突变的概率为0.5。（ii）对于禁忌搜索，（一种）最大迭代次数为150;（b）禁忌列表的长度为5，对于最大25个客户的实例为5，对于更大的实例为7;（C）随机重启的数量是2个，可用于25顾客的25级，4个用于更大的实例;（d）该算法在不改进所找到的最佳解决方案(激活随机重启)的情况下可以运行的最大迭代次数为10。

对于每个客户数量，我们还测试了没有访问时间窗口限制的基本场景，因为与该基本场景比较的其他解决方案提供了由规则生成的路径长度的增加。我们还使用数学模型和Gurobi优化器解决了10个客户的实例组，使用2.40 GHz CPU和8 GB RAM在大约2小时内获得了确切的最佳解决方案。较大的实例无法在一周内通过模型求解，我们仅采用了软计算方法。数字6显示他们的计算时间，GA需要最大的问题实例和表格超过5天1总结了60个问题实例的描述和得到的结果。

这些结果在最佳解决方法方面不是定论，这与FioFzzi获得的结果相同[33.，在这种情况下，不存在普遍的求解技术。遗传算法在大多数问题实例中获得了稍好的结果，但它也需要更大的计算时间。在任何情况下，在所有问题实例中，总路径长度相对于基本场景的增加是明显的，并且与限制区域的大小和时间窗口限制的持续时间相关。

6。结论

在执行旨在提高城市货运可持续性的城市货运政策时，必须考虑到所涉及的所有外部因素和费用。特别是，访问限制政策往往导致航线更长、效率更低，这反过来意味着航空公司的能源消耗和排放更高，运营成本更高。不用说，这是因为货运需要不断地进入市中心，而且会继续这样做，尽管有监管障碍。

在这种情况下，运营研究可以帮助城市规划者估计在运营商上施加的额外成本，并且当他们受到城市访问时间窗口的影响时，还可以帮助这些运营商优化他们的路线。我们在这里介绍了访问时间窗口的车辆路由问题的数学模型，这概念化了问题并为构建解决方案技术设置了基础。然而，该数学模型的直接应用仅限于小问题实例，因此我们已经测试并比较了三种软计算方法，表明决策者需要在计算时间和解决方案质量之间进行选择。尽管如此，这些软计算方法的应用到我们的案例研究的较小问题实例以及他们要么找到最佳解决方案或达到非常接近的问题，并将其后续应用到更大的问题的应用程序提供了量化通过访问时间窗口规则，运营商施加的额外费用。

我们的工作提供了一个评估访问时间窗实现的框架，从而为进一步发展这一措施打开了大门。例如，在对这些额外成本有了更好的了解和理解之后，承运人可能愿意支付费用，以便允许在预定期限以外的限制区域内交货，为客户提供更好的服务，同时降低成本。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

作者希望感谢西班牙经济、工业和竞争力部(Project Ecotransit, Ref. TEC2013-47286-C3-3-R)对完成这项工作的财政支持。

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