改进的智能实验设计在混沌系统参数估计中的应用

摘要

计算建模在真实系统和过程的预测和优化中起着重要作用。模型通常具有一些参数，应设置为适当的值。因此，参数估计被称为建模和系统识别的重要部分。它通常是指使用采样数据来估计参数最佳值的过程。通过将其参数调整为需要更丰富数据集的最佳值，可以提高模型的准确性。具有更丰富数据集的一个简单解决方案正在增加数据量，但这可能是昂贵且耗时的。当使用动物或人的数据时，拥有适当的计划尤为重要。动态系统中有几种可用的参数估计方法;然而，由于它们对初始条件（蝴蝶效应）的敏感性，混沌系统存在一些基本差异。因此，在本文中，对混沌系统适当的新成本函数应用于混沌一维图。 Then the efficiency of a newly introduced intelligent method experimental design in extracting proper data is investigated. The results show the success of the proposed method.

1.导言

计算建模通过帮助我们预测、优化、模拟和研究复杂系统的行为，在科学进步中发挥着重要作用。有许多不同的方法来生成计算模型，但它们可以分为白盒模型和黑盒模型。白盒模型是指能够正确跟踪和分析系统输入和输出之间的每个连接的模型[1-3.]．不幸的是，了解现实世界中复杂系统的组成部分之间的相互作用带来了一些困难。因此，选择受到两个选项的限制：找到更合适的方式来建造和不使用任何模型。由于模特具有许多优点，因此提出了一种叫做黑匣子的替代模型[1]. 事实上，这些模型模仿原始系统的行为，因此需要对其进行训练，尽管其结构和参数可能与系统的实际结构无关。因此，最好为预期目的选择最合适的模型。例如，在实际应用中表现出良好性能的两种广泛使用的结构是神经网络[4.]神经模糊模型[5.]．虽然前者在外推和更强大的对高维问题的效率方面更有效，但后者对插值非常好，并提供更好的解释[1]．然而，所选结构的适当性能高度依赖于用于训练它的真实实验数据[6.-8.]．训练集的丰富程度提高了模型的准确性。如果数据集不够丰富，模型可能不准确，至少在训练数据缺乏的地区[8.]. 获取更丰富数据集的解决方案是增加数据点的数量。然而，在实际问题中，生成附加数据可能需要相当多的精力、时间和金钱[7.那8.]．因此，重要的是要找到一种使用实验设计（ED）方法尽可能丰富地生成数据集的方法[6.-8.]．虽然实验设计方法不直接参与建模程序，但它们同样重要。

混沌系统的控制和同步近年来吸引了许多科学领域的兴趣[9.那10.]. 它们通常需要调整模型的参数。然而，在实际系统中直接测量参数通常是困难的。因此，从观测到的混沌标量时间序列估计参数已成为一个活跃的研究领域[11.-14.]. 实现这一目标的基本方法包括优化，其中选择模型参数以最小化某些成本函数。在这项工作中，我们研究了最近提出的称为曙光法实验设计（TMED）的ED方法的效率[15.]从一维图中提取丰富的数据。TME的主要特征是利用从收集的数据中获得的先验知识，以在生物启发方式中提取新数据。我们表明这种方法不仅具有这种优势，而且还可以用于特殊目的，例如优化，这通常是建模中的主要目标[16.]．本文的其余部分如下所组织：在下一节中，我们介绍了涉及我们处理混沌映射的细节以及我们想要优化的适当成本函数的问题。在第三部分中，我们详细描述了TSMED。部分4.给出了数值计算结果，并给出了部分计算结果5.这是结论。

2.优化问题

已经应用了定期闪光以检查视觉系统的性质。作者在[17.]提出了一个简单的地图（1)它可以模仿蝾螈闪烁的视觉[17.]．该模型使用非线性反馈来解释ERG对周期性闪光响应的周期加倍。有关模型的更多细节，请参见[17.]． 这个系统在每个系统中都有定点这是正确的 这个方程有5个根，可以是实的，也可以是复的。对于每个定点，如果 该定点是稳定的，如果是的话 ，这是不稳定的。选择参数的值作为 ，及 根据 [17.]．

虽然混沌系统在时域中具有类似随机的行为，但它们在状态空间中是有序的，并且具有特定的拓扑结构。在这里，我们建议使用这些吸引子之间的几何相似性作为参数估计的目标函数[18.那19.]．

实现我们目的的第一步是基于一个真实观察时间序列和来自模型的数据构建返回地图。然后，我们执行以下步骤：（一种）对于真实返回图中的每一个点，我们找出其在模型返回图中最近邻的点，并计算其欧氏距离。（b）对于模型返回图中的每个点，我们找出其在真实返回图中最近邻的点，并计算其欧氏距离。我们将成本函数作为整个数据集上这些距离的平均值。

3.暮光法法实验设计

tm (15.]一种由进化算法启发的顺序实验设计。在该算法中，我们首先根据成本和时间等限制确定我们想要提取的数据点数（调用此号码）。然后我们通过提取其中一些来获得系统行为的初始阴影数据点以一种方式涵盖输入空间区域（这里我们使用的因子设计）。这些初始数据点的数量是（明显地 ）。换句话说，这些数据是TMED的初始条件。我们将每个数据点视为蜂蜜蜜蜂群体中的个人。现在我们想使用当前人口制作新的个人（数据）。为此，个人被选为女王以重现新的后代。像几乎所有的进化算法一样，我们需要定义健身功能（FF），以便我们可以选择最好的个人作为女王。我们可以根据我们想要的ed来完成FF来自由定义FF。但它们可以分为两个类别，它是用于在系统的非表面区域中提取数据的FF，另一个ff用于在系统的最佳区域中提取数据（见[15.)。在这里，我们的目标是实现模型参数的最优值，因此我们使用第二组FFs，它用于在系统的最优区域提取数据。上述过程的流程图如图所示1。

3.1。用于在系统的最佳区域中提取数据的FFS

在这个阶段，设计了一个新的术语，使当地最佳（没有失去一般性，最小）点变得突出。

启发式地说，值大于所考虑点的相邻点的数量越多，该点的突出程度就越大。因此，适应度函数乘以修正项，如下所示： 在哪里表示最接近的整数函数，是考虑过的数据，是它的邻居，和是成本函数。

如果函数的值在里面小于的值在那一点的邻居，所有的等于-1. 最接近的整数函数在两个值之间更改数字−1和0进入−1.此外，0和1之间的值（表示大于正在考虑的点处的值）映射为0。因此(3.）描述了一个值的邻居数量小于那个点。最后，FF将是 在哪里表示最接近的整数函数，是考虑过的数据，是它的第四个邻居，是成本函数，以及是欧几里德之间的距离和。

对于(a)局部最小值，(b)与其相邻点斜率更大，以及(c)位于数据密度较低的区域的点，FF给出的分数更高。

3.2. 改进的TMED（MTMED）：寻找最优值的新方法

本节提供了一种替代方法。在这种方法中，我们选择每次迭代的最佳答案为女王。然后添加新术语（噪声）以构建新数据。这个新的术语就像一个寻求邻居点以获得更好的答案的扰动。由于实验设计方法对局部最小非常敏感，因此通过在搜索空间中产生湍流来解决这个问题。So the only difference is that when the queen is selected (here queen is the point which has optimum value) and the best neighbor of queen is calculated, a little perturbation (white Gaussian noise) is added to the queen in the direction of the best邻居实现新数据。

结果

我们已经在系统上应用了TMED和MTMED（1），以找到参数的最佳值。在两者中，算法以36个初始数据项开始，然后创建15个更多数据项。

数字2显示使用TEDM算法找到最佳参数的过程。零件（a），（b），（c）和（d）分别代表第一，第5，第10和第15次迭代。可以看出，个体(点)收敛于最优区域。红色，绿色和黑点显示每次迭代中的第一个，新生成和女王数据。

最终群体如图所示3.。

数字4.显示使用MTEDM算法找到最佳参数的过程。零件（a），（b），（c）和（d）分别代表第一，第5，第10和第15次迭代。可以看出，个体(点)收敛于最优区域。红色，绿色和黑点显示每次迭代中的第一个，新生成和女王数据。

最终群体如图所示5.。

比较数据3.和5.可以看出，尽管TMED试图收敛到更好的领域，但它不能在51个步骤（36+15）中完成，而MTMED做得很好。

5.结论

系统和过程的建模在它们的优化和预测中起着至关重要的作用。由于许多真实的系统是复杂的，我们不知道它们的组件之间的确切关系，黑盒模型越来越成为建模的兴趣所在。一个合适的黑盒模型需要一个丰富的训练数据集。由于成本和时间的原因，拥有一个丰富的数据集可能会很困难。在本文中，我们研究了一种新提出的实验设计方法在收集适当的数据用于混沌一维映射的参数估计方面的效率。该方法是一种生物启发的智能方法，可以根据建模的目的进行调整以选择数据。我们不知道有这样的智能ED方法。考虑到收集与人类健康有关的生物数据的可能成本，我们认为ED技术的任何改进都是非常有价值的。此外，混沌系统的参数估计由于对初始条件或蝴蝶效应的敏感性而存在一些基本的差异。在此基础上，提出了一种适用于混沌系统的新的代价函数。 We have tested the proposed methods on a chaotic one-dimensional map which is a simple model of nonlinear feedback to account for period doubling in the ERG response to periodic flashes, and the results clearly show its efficiency.

的利益冲突

作者声明，本论文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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