级联驱动的系列具有比其代表更窄的多重谱：乘数的标准偏差会改变尺度的相互作用

抽象的

多重分形(或奇异)谱宽允许通过比较原始系列宽度来诊断级联结构代理系列'宽度．但是，解释一直含糊不清。随机乘法器产生级联通过使用白噪声倍增器多样化串尺度相互作用。多重反应波动分析（MF-DFA）和Chhabra和Jensen的方法提供了两个估计每个值为200个模拟系列递增0.05。越来越多σ.画画远离朝向对于这两种方法，但对于MF-DFA来说更多。表明级联交互相互作用比级联级联更多样化．

1.介绍

多法分析为实证系列中的级联结构提供了优雅的测试[1-3.］．级联是涉及迭代分支，分裂或聚集结构的非线性过程[4.-6.］．多重分析计算了相对于测量规模的幂律增长的奇异性强度谱。该多法术（或奇点）谱的宽度随着估计的幂律关系的数量而异。取决于横跨尺度的级联相互作用的强度[7.］．

1.1。代理比较

但是，在跨尺度的级联交互之间不是透明窗口。代理测试是必要的，以便正确解释对于任何非线性度量[8.-11.］．测量系列的线性特征，虚拟性增加．多重分形的来源首先是非线性相关，其次是PDF和线性相关[12.那13.］．前者表示类级联源，后者则没有。级联结构的多重分形诊断需要比较原始测量序列的多重分形谱宽到，代理匹配匹配原始系列的均值，方差和自相关函数的宽度。当前优选的替代算法是迭代幅度调整后的傅里叶变换（IAAFT）算法，其保持线性属性，同时通过在原始系列中的值顺序进行随机化相位进行随机化相位。因为单独倾斜的直方图可以充气[14.]，IAAFT代理不需要生成非零．本条涉及解释结果的问题．

1.2。问题

为了我们的知识，使用多法分析诊断跨尺度的级联相互作用是一个简单的二分法：级联或不具备级联的证据。问题是，解释尤其各异，特别是诊断那些案件．根据一些[15.]，需要原始系列是单程的概念，而级联结构仅产生．其他解释推定了这一点表示非线性时间结构[1那16.-19.］．

我们提供目前的模拟工作，首先展示极其简单的瀑布会产生并且，第二，在这些级联中呈现跨时尺度的相互作用的操纵，要求更加双向，更加连续地解释级联结构时．下一部分简要评论二项式瀑布以及我们在这两个女儿级联框架中操纵乘法器。

1.3。瀑布

级联是对细胞几代可以重新分配比例包含在各项中生成中的亲本细胞（为了）在一代中的一些女儿细胞上每个包含， 为了．例如，标准二项式乘法级联[20.从包含单位比例的单个单元开始并通过不均匀地分割这个单元比例来继续进行，这样，后续的一代就包含两个子细胞和,这样和， 在哪里是一个常数。这种恒定比率定义跨所有世代的所有父母到女儿的关系;也就是说，对于含有比例的任何亲本细胞在一代中在二项式乘法级联，女儿细胞出现在下一代将包含比例和在整个一代中的相同序列。因此，二项式乘法级联使用确定性乘法器和．

我们的级联过程模拟涉及将父细胞分裂成两个子细胞。我们方法的关键差异是使用随机乘法器。而不是使用常数定义比例的不均匀性穿过女儿细胞，我们产生了一种新的添加剂高斯白噪声指定每一代新一代的过程;也就是说，重新分配比例生成中的亲本细胞，我们定义了作为长度的矢量， 在哪里是从高斯分布中随机选择的数字，这些随机数用作乘法器，以指定每个子单元中包含的比例。对于含有比例的亲本细胞，两个得到的子细胞将包含比例和比例．我们跨越常量的常量是1和标准偏差的平均值对于所有行．

我们的总假设是替换由恒定比率定义的恒定乘数随着随机乘数在类似的两个女儿框架中可能提供一种减少一种方法进入范围．完全甚至从父母到子细胞的比例均匀分裂会产生理想的单级结构（即，Cantor Set）的级联，．它是跨子细胞恒定乘法器的不均匀性的确定性，重复模式，使单级级联级联多法分开．因此，我们怀疑随机乘法器可以立即提供异质性以产生多重级联级联，但也可以随机化异质性，以确定每个父母细胞的第一个和第二个女儿的相当于比例的更大。虽然二项式乘法级联通过所有尺度的所有相互作用强制执行相同的模式，随机乘法器可能会在导致级联的级别中进行交互更为不同。

我们设想这种发散的意义与我们希望级联生成系列中“跨尺度的相互作用”的承诺应该保持对非线性的早期声明的所有相同承诺。因为线性地需要对时断对称性的期望​​，因此非线性将门打开到不对称的人，这可能在跨时间跨越多个方向展开。这个问题激励了双面比较，即，对阵线性替代品的系列：我们不应该仅测试来自“非线性”分析的指标（例如，)超过为线性代理计算的值。从基线的非零多重分形谱宽度由于直方图偏斜，非线性交互作用跨时间可能会缩小谱宽度为了扩大它．非线性可能通过收缩或放大测量系列的复杂性来违反时间对称性。

我们用随机乘数操纵跨尺度的相互作用的规律性，以确定降低这种规律性是否可以重塑级联，从而逐渐产生更多的案例比．我们将操纵随机乘法器的方差和测试差异的测试- 表达差异之间的差异和相应的样本对于50个相应的IAAFT代理，即定义为比例到标准错误．根据固定比率，横跨尺度的相同相互作用的经典二项式乘法级联，它产生了具有宽度的多重谱[21.]（例如，图1）如此积极对于多术算法，正如我们将显示的那样，相对更有可能生成．这结果表明，我们的逐步逐渐产生的级联更加异质相互作用逐步产生更多以及越来越多的负值．

我们将随机乘法器作为一种方法，以使相同的双子框架中的尺度的相互作用多样化。只有两个参数和，添加剂高斯白噪声为操纵随机乘数提供简单的参数空间。我们定义了每一代新一代每一个级联通过随机选择独立的乘数从高斯分布．我们仅在级联之间操纵乘法器;例如，每个级联将从涉及具有相同标准偏差的乘法器的过程中展开跨越所有世代（图2）.使用更多自由参数来定义随机乘数的更精细的级联结构可能会实现类似甚至更强的跨尺度相互作用的异质性，但我们只寻求存在证明，跨尺度相互作用的多样化将显著改变多重分形结果的分布向．我们预测会产生更大的在足以产生足以产生比相应系列更窄的多分泌光谱串联的显着增加的尺度的多样性。

2.方法

2.1。生成模拟数据

我们操纵从0.1增加到1.1，递增0.05并模拟每个值的200个Cascade 12代系列．为了控制更大的幅度变化在迭代12代之后，我们将所有最终系列归一系列，以平均10和标准偏差1.归一化串联的最终步骤，以具有相同的均值和标准偏差，这需要所产生的时间序列的统计分布与之无关的概念。范围。换句话说，适用于所有级别，所生成的序列均具有相同的均值和标准差。

其他关于多重分形分析的文献通常使用更长的级数[7.那12.］．但是，我们的工作旨在解决有关在行为 - 科学研究中出现的发现的问题，涉及多重分析。频繁的行为科学研究的约束力较短的长度较近2^12.[1］．因此，我们选择的系列长度明确打算尝试解释可能在这一尺寸的系列中驱动多法的结果。但是，测试是否显着消极（IE。，）可能是由于多重分析结果的有限约束（例如，[13.]），我们从先前发布的DataSet中画出了一个系列的样本[22.]平均序列长度略高于2^16.．我们只使用了超过2的36系列^16.．我们没有详细地收集这些系列，因为我们只使用这些系列来确认足够的长度是否显着消极（IE。，） 不可能的。

2.2。多重分析：MF-DFA算法

MF-DFA集成了时间序列的长度构建轨迹， 如下： 线性配合到在长度的原始窗口中那，留下剩余的剩余贡献率波动统计根据指数而生长估计,从在双对数轴上： 通过Legendre变换得到多重分形谱， 作为 在哪里是．是多重谱宽度根据MF-DFA [2］．我们测试了并仅包括为哪个双重缩放是线性的，．

2.3。多重分析：Chhabra和Jensen（CJ）算法

Chhabra和Jensen的（CJ）[23.]规范的“直接”算法样本测量系列在逐步更大的尺度上。部分在箱内规模是 CJ方法估计为了nonoverpapp.-Sized垃圾箱使用参数将他们转化为弥撒： 对于每一个人，每次估计仅在Shannon Entropy的当Shannon Entropy时出现在多法谱中鳞片根据Hausdorff Dimension， 在哪里 在哪里 为了并且只包含有相关系数的线性关系为了 （6.） 和 （7.），一般单次曲线是多法谱。是多重谱宽度根据CJ算法。

２.４.计算从比较迭代幅度调整傅立叶变换代理

5.0 IAAFT surrogates were produced for each original simulation series, using 1000 iterations of randomizing the phase spectrum from the Fourier transform, taking the inverse-Fourier transform of the original series’ amplitude spectrum with the randomized phase spectrum, and replacing the inverse-Fourier series with rank-matched values of the original series. We calculated差异除以标准错误．因此，积极或消极分别表示更宽或更窄，光谱比代理人。我们评估了重要性等级。

级联直接涉及非线性相关性，其仅出现在傅里叶变换的相位谱中仅部分地反映，但是级联不需要产生由傅里叶变换的幅度频谱指定的线性相关性。因此，用于识别来自多重分族结果的级联过程的最严格的测试确实需要IAAult代理的样本来保留概率分布函数（PDF）和线性相关性[13.］．如果我们仅通过洗牌生成代理，可能保留PDF，但它不会保留线性相关性，并且在这种情况下，我们的实际零假设没有级联驱动的非线性相关性将被混淆，并且没有线性假设的零假设会混淆相关性。可能有充分的原因来测试线性和非线性的相关性的零假设，但是，鉴于演示级联驱动的起源，特别是仅是非线性交互，那么我们没有理由省略线性相关性作为空缺的重要组成部分假设。

2.5。消极计数的回归

我们建模了频率变化显着消极使用普通的最小二乘（OLS）回归，拟合线性术语估算递增乘法器的标准偏差的效果，截取术语估计平均差异由CJ算法而不是MF-DFA算法和交互项计算来估计的任何差异CJ算法响应于递增计算计算．

2.6。所有人排序的回归- 最低

再次使用OLS回归，我们模拟了这些分布随增长的变化通过拟合所有值为负三次阶函数， 从最高到最低（即，最积极到最负面）的值， 在哪里是一个由四个回归权值组成的向量，用于处理三阶多项式的截距以及线性、二次和三次分量。目视检查顺序表明，这些分布的中位数的两侧的极值相对较少，大多数值聚集在中位数。立方近似值适用于使用这些特征建模秩序值，因为立方函数的导数接近零附近的中值值并且在原产地两侧的速率上增加（或为负立方）增加（或减少）。我们没有明确强制回归模型的立方体术语，以取负值。我们提交了排名对于具有正交多项式术语的回归模型，以确保截距和线性，二次和立方术语不会是共线。

我们试图测试是否显着改变了函数的形式（8.）在所有模拟中;例如， 在那里,与介绍（8.),系数是回归权重的矢量，解决截距如何以及排名的三阶多项式变化的线性，二次和立方组件和．我们同时模拟了这种立方关系使用多重曲线算法计算，拟合附加但类似的术语和来模拟在CJ算法与MF-DFA算法之间。

结果

3.1。越来越多增加光谱数量明显窄于相应的代理人

数字3.描述观察到的显著负的频率对于每个模拟值．普通的最小二乘（OLS）回归证明了标准偏差增加产生级联的乘法器导致显着负数的增加．具体而言，表中的系数1为了37.14表示上升乘法器1将产生大约37个新的显着负值．因为我们增加每个连续模拟达到0.05，这种系数意味着平均每次连续模拟，0.05更高制作约1.86≈2新的负值．这相当于2个新系列，每次递增0.05，．

表中OLS模型的附加功能1通过多法算法解决差异。我们已经应用了MF-DFA和CJ的直规范算法。的显着效果（= 23.50, se = 7.71，）表示显着负值最初更频繁地使用CJ算法计算的多分泌光谱。的效果（，se = 6.98，）表示，负数的数量随着增加的增加而显着增加，大致（=1.86≈）2新的多重谱在每个新模拟中，具有.05递增．重大互动术语（=−25.27,se = 11.46，）表示频率显着消极对于使用CJ算法计算的多法半谱比较慢得多。这种速度增加导致每个新的模拟递增的概念到0.05时，平均数量增加显著为负实际上是可忽略的（）.

3.2。越来越多移动和重塑的整个分布对于使用MF-DFA计算的光谱，使用CJ算法计算的光谱较少

图4.和5.描绘了两个分布，这些统计数据分别出现使用MF-DFA和CJ计算的光谱。桌子2包含来自上述模型的所有单独系数（9.）和随后的相互作用。

3.3。拦截条款显示递增驾驶中位数的变化对于MF-DFA算法，但中值变化较慢对于CJ算法

截取效果在此模型中地址预测的中位数．越来越多导致大幅减少（，se = 0.50，)，表示的中位数使用MF-DFA计算粗略地减少0.47，每个增量为0.05．该模型的显着拦截（，se = 0.34，）表示中位值使用MF-DFA算法计算级联算法大致（12.39)。显著的截距效应（，se = 0.47，)表示中位数使用CJ算法计算的统计上与零（即，）.重要的相互作用（= 7.90，那)表示增加计算使用CJ随着增加的增加，抵消了前述的负面影响表明减少使用MF-DFA计算。每增加0.05，而中位数使用MF-DFA算法计算0.47，中位数下降使用CJ算法计算（）0.08。

3.4。第一阶三阶多项式术语显示- 整个依存用于MF-DFA算法的分布，但CJ算法少

超越对预测中位值的影响所有上面的截距术语表示，回归建模证实了立方近似的全部分布的立方近似值．回归模型产生了调整后的0.72，表明该模型预测了72％的变异性，作为表2显示，所有个体效果都很重要，．立方近似的基本形式涉及负三次术语（那那)，一个正二次项(那那）和负线性术语（那那）.增加的效果服务抵消基本三阶多项式的每个组件（例如，正线性和负二次术语，和−430.98， 两个都)，该多项式的最强反作用力为是一个积极的立方体术语（那那）.这些一阶到三阶多项式项的相互作用与随后是略微较小的绝对值，但对应于线性，二次和立方术语的所有系数的相反标志。这些重要但相反签署的术语表明了价值使用CJ算法计算的结果显示了类似的三次项，但显著地减少了任何变化在分布的形状。

有限尺寸的效果不解释负面因为较长的系列没有显示负面的任何频率（IE。，）.从[36系列22.长度大于2^16.，这些系列中只有12种显着更广泛的光谱比其相应的替代品显着，两种系列没有显着差异，并且剩余的61％的系列率比其相应的代理产生明显较窄的光谱。防止负面变化的可能性变化长度更长，我们发现没有导致的线性关系长度统计，．

4。讨论

我们假设带有被定义为加性高斯白噪声的随机乘子的级联将产生多重分形谱，其计算值明显小于相应的代用谱。我们进一步假设增加标准差随机乘数将增加比其相应替代物显着窄的光谱数量。结果支持了这一假设，这些较窄的替代光谱的数量越来越大由MF-DFA而不是CJ算法计算。更高标准偏差的影响对于随机乘法器而不仅可以改变显着较窄的替代光谱的数量，而且还要促进光谱整个分布的更广泛的迁移，以比相应代理人更窄。

目前的工作只是一个初步存在证明，在操纵更广泛的参数集的级联模拟中可能是一个更大的程序。但是，我们已经表明，它不需要精心制作参数化，以产生比相应代理的逐渐增加的级联级联．它足以将整个代代定义为相对简单的级联形式，其中每个父母细胞在下一代中产生两个女儿。

而不是多法分析，而不是提供对级联结构的二分法诊断，而不是提供二分法诊断差异可能表示跨尺度的级联相互作用形式的连续差异。

利益争夺

提交人声明没有关于本文的出版物的竞争利益。

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