粗糙球的接触力学:从分形到赫兹行为的交叉

摘要

利用三维边界元计算方法研究了含弹性半空间的粗糙球接触时的法向接触刚度。对于小法向力，在名义上平坦的自仿射曲面上，其刚度表现为Pohrt/Popov定律，而对于大法向力，其刚度则转变为赫兹特性。推导了描述任意力作用下接触行为的解析模型。

1.介绍

自从鲍登和塔博尔[1，众所周知，表面粗糙度在接触、粘附、摩擦和磨损中起决定性作用。对名义上平坦粗糙表面的接触力学的主要理解是在20世纪中叶，由于Archard [2]、格林伍德和威廉姆森[3.]。在过去的几年里，粗糙表面的接触力学再次成为一个热门话题[4- - - - - -6]。以前的大部分工作都致力于研究名义上的平面。然而，在许多摩擦学应用中，具有宏观曲面的粗糙体的接触特性是非常有趣的。Greenwood和Tripp对包含曲面但粗糙表面的接触问题进行了首次分析[7]。他们采用了Greenwood/Williamson (GW)模型[3.与一个高斯分布的抛物线形状的独立的艰苦的]。在这个模型中，粗糙度可以看作是附加的可压缩层。他们计算了平均压力作为半径的函数，并发现在低负荷下最大压力降低和明显接触面积扩大。对于高负载，发现的压痕行为是赫兹的。

在本文中，我们将研究不受GW模型限制的粗糙球在弹性半空间中的压痕问题。我们计算了接触点的增量法向刚度，它不仅决定了摩擦学系统的动态特性，还决定了其电学和热导率[8,9]。为了得到结果的纯粹性，我们假定物体在所有尺度上都是弹性的，并且将自身限制在没有截止的自仿射粗糙度范围内。这种表面的接触刚度最近已经用数值和解析方法进行了详细的研究[10,11]。我们表明，分形表面的典型行为有明显的交叉[12,13到类似赫兹行为[14]，与GT相似[7]。此外，我们导出了力的整个范围的解析逼近。

2.方法

我们考虑具有半径的刚性粗球面压头，可近似为抛物线形的叠加和名义上平坦的随机自助粗糙度用赫斯特指数(图1)。的功率谱随机粗糙自仿射统计各向同性曲面的形式 在哪里系统大小和波矢量的绝对值是多少。利用功率谱计算表面形貌 与 和的阶段，随机分布在间隔内。所有的样本都在一个网格上生成离散的，均匀间隔的点。具有赫斯特指数的自仿射曲面的一个典型例子如图所示1,而图2显示了一个球体和粗糙度叠加的样本。

用法向力将压头压入弹性半空间。压痕深度和接触形态采用边界元法，采用迭代多级算法，类似于[15,16]。增量法向刚度通过计算力与压痕深度的微分商来计算。所有的值都是通过对50个具有相同功率谱的表面实现进行集成平均得到的。

3.结果与讨论

3.1。数值结果

数字3.显示结果依赖性(红色点)。对于小的法向力，系统受粗糙度控制，而刚度与斜率渐近相关名义上平坦的分形表面的特性[12]。对于较大的法向力，粗糙度的影响消失，系统表现为光滑的球形赫兹压头(斜率为1/3)。

3.2。分析评估

在[12[显示，对于随机粗糙的自仿照表面，接触刚度是形式正常力的功率函数 与。在[17]，它被证明，这种关系仍然有效的赫斯特指数而缩放律的有效性所需要的唯一属性(4)是表面的自亲和性，这意味着在任意放大的情况下，表面看起来与原始表面没有区别(15]: 在这里，表面是随机粗糙的还是具有相同缩放特性的简单轴对称剖面并不重要[18]: 因此，对于接触刚度，可以将随机粗糙、分形和自仿射表面等效为简单的轴对称形式(6)。当然，这个等价性只适用于多个随机粗略实现的平均值。在[15,17]，研究表明，对于具有形状(6)进入弹性半空间，法向接触刚度关系如下和正常的力量是有效的: 与 例如，赫兹接触是自仿射曲面的一种特殊情况和，得到经典结果[14]: 或者，关于力的解， 分形粗糙表面也是如此[12,15]: 要么 常数必须(直到现在)从数值计算中找到。最新研究表明 的比较(7)和(11)表明，自仿射粗糙度和相应的轴对称轮廓的接触特性可以相同，如果以下的前因子在(6)选择: 利用随机粗糙表面和轴对称轮廓之间的类比，我们建议将粗糙球面建模为抛物线形状的叠加具有等效的旋转对称形状: 数字4 (c)显示通过产生的三维，旋转对称压头形状的切割。

由于接触刚度仅取决于电流接触半径[17]，叠加原理适用于力(10)和(12)在给定接触刚度时: 对于小的法向力或接触刚度值，我们期望看到根据(11)，而在较高的力下，赫兹行为(9)是预测。交叉预计发生在两条渐近曲线的交点: 依赖(16)如图所示3.结合边界元法的数值结果。实线是根据(16)。此外，平原粗糙度的渐近行为（11)和平滑的赫兹案例(9)所示。渐近线的斜率是在赫兹的例子中粗糙度。

4.结论

利用边界元法研究了具有自仿射粗糙度球面的法向接触问题，提出了一种计算任意法向力接触刚度的简单解析方法。该方法适用于任意具有自仿射粗糙度且赫斯特指数在范围内的旋转体的压痕不受影响。

在本文中，我们认为接触伙伴在所有尺度上都是弹性的，并将自身限制在无截断的自仿射粗糙度范围内。对于这类接触问题，我们证明了剖面叠加原理的有效性。考虑到覆盖包括系统大小在内的所有尺度的粗糙度意味着该方法没有实际的限制，作为一种更普遍的情况下具有多重分形粗糙度或任意功率谱的表面是直接的。

在[17[结果表明，GW模型对于有阻尼的表面是有效的。因此，我们可以通过假设将Greenwood和Trip的结果与当前的发现进行比较。在这种情况下，16)预测法向力和接触刚度之间的线性关系，就像GT一样，虽然在后者中，这并没有明确说明。向赫兹行为的转变发生在 与(17)或(GT, [7分别])。

从两种结果的比较中可以得到另一种见解。在GT文件正本[7相比，与平滑的赫兹壳体相比，表观接触区域被发现随着粗糙的增加而变大。记住，接触半径与浓缩触点中的接触刚度成比例，可以期望接触刚度也变得更大。然而，当前结果表明，这不是这种情况。对于小于特征过渡力的负载（17)，与光滑的赫兹情况相比，增加的粗糙度总是会导致接触刚度下降;参见图3.。

所有尺度上的弹性假设在目前的研究结果中并没有发挥关键作用。原因是接触应力在任何特定尺度上都有数量级,在那里是否对应于该规模的rms表面梯度[19]。因此，弹性行为的破坏发生在与最大的表面rms梯度相对应的最小尺度上。而接触刚度则由表面粗糙度功率谱中的大波长决定，对原子尺度上的发生不敏感。

致谢

作者非常感谢与Lars Pastewka的讨论。本材料基于德意志银行(DFG，批准号no. 0)支持的工作。阿宝810/24-1)。

参考资料

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