我们认为具有半径的刚性粗糙球形压痕<一世nline-formula>
R.
，这是抛物线形状的叠加近似<一世nline-formula>
Z.
P.
（
X
那
y
）
=
（
X
2
+
y
2
）
/
（
2
R.
）
和名义上平坦的随机自助粗糙度<一世nline-formula>
Z.
R.
（
X
那
y
）
与赫斯特指数<一世nline-formula>
H
（数字
1）。功率谱<一世nline-formula>
C
2
D.
（
问：
）
随机粗糙的自酰胺统计学各向同性表面具有表单
（1）
C
2
D.
（
问：
）
=
C
0.
（
L.
问：
）
-
2
H
-
2
那
哪里<一世nline-formula>
L.
是系统大小和<一世nline-formula>
问：
是波矢量的绝对值<一世nline-formula>
问：
→
。根据功率谱根据的曲面形貌
（2）
H
（
X
→
）
=
σ.
问：
→
B.
2
D.
（
问：
→
）
exp.
（
一世
（
问：
→
·
X
→
+
φ.
（
问：
→
）
）
）
那
借
（3）
B.
2
D.
（
问：
→
）
=
2
π
L.
C
2
D.
（
问：
→
）
=
B.
-
2
D.
（
-
问：
→
）
和阶段<一世nline-formula>
φ.
（
问：
→
）
=
-
φ.
（
-
问：
→
）
，随机分布在间隔内<一世nline-formula>
[
0,2
π
）
。所有样品都在网格上产生<一世nline-formula>
513.
×
513.
离散，均匀间隔点。具有赫斯特指数的自助表面的典型例子<一世nline-formula>
H
=
0.6
如图所示
1，而数字
2显示了球体和粗糙度的叠加样本。
分形粗糙表面的图形表示<一世nline-formula>
H
=
0.6
：（a）灰度表示和（b）通过表面切割。
数值产生的粗糙球体，<一世nline-formula>
H
=
0.7
。
用正常力压制压制成弹性半空间<一世nline-formula>
F
。使用具有类似于[的迭代多级算法的边界元方法计算缩进深度和触点的配置。
15.那
16.]。增量正常刚度<一世nline-formula>
K.
通过评估力和压痕深度的差分商来计算。通过具有相同功率谱的50种表面实现的集合平均来获得所有值。
规范化的正常力量<一世nline-formula>
F
N
与正常僵硬相比<一世nline-formula>
K.
对于球形压痕，用随机粗糙度叠加（<一世nline-formula>
R.
=
0.5
那<一世nline-formula>
H
=
0.7
那<一世nline-formula>
L.
=
1
那<一世nline-formula>
H
rms.
=
9.
·
1
0.
-
3.
）。红色虚线是3D边界元素研究的结果。黑线是根据的理论预测（
16.）。此外，平原粗糙度的渐近行为（
11.）和平滑的赫兹案（
9.）显示。渐近的斜率是<一世nline-formula>
1
/
3.
在赫兹·案件中<一世nline-formula>
（
H
+
1
）
-
1
=
0.5882
对于粗糙度。交叉发生在<一世nline-formula>
F
TR.
/
（
L.
2
E.
*
）
=
8.
×
1
0.
-
5.
;看（
17.）。
3.2。分析估计
在[
12.[显示，对于随机粗糙的自仿照表面，接触刚度是形式正常力的功率函数
（4）
K.
α.
F
1
/
（
H
+
1
）
那
借<一世nline-formula>
0.
<
H
<
1
。在[
17.]表明，这一关系对赫尔斯特指数仍然有效<一世nline-formula>
0.
<
H
<
2
并且，唯一的财产是缩放法的有效性（
4.）表面是表面的自亲和力，这意味着在任意放大率下观察时，表面从原件上似乎不可贴于区别<一世nline-formula>
ψ
[
15.]：
（5）
Z.
R.
'
（
X
那
y
）
=
ψ
H
Z.
R.
（
X
ψ
那
y
ψ
）
。
在这里，表面是否随机粗糙或只是具有相同缩放特性的简单轴对称配置文件并不重要[
18.]：
（6）
Z.
S.
（
R.
）
=
问：
3.
D.
·
|
R.
|
H
。
因此，相对于接触刚度，随机粗糙，分形和自助表面可以用简单的轴对称形式等效地替换（
6.）。当然，此等效仅适用于多个随机粗略实现的平均值。在[
15.那
17.[表明，为了缩进具有形状的刚性压痕（
6.）进入弹性的半空间，下列正常接触刚度的关系<一世nline-formula>
K.
和正常的力量<一世nline-formula>
F
已验证：
（7）
K.
=
∂
F
∂
D.
=
2
E.
*
（
（
H
+
1
）
F
2
问：
3.
D.
E.
*
H
κ..
（
H
）
）
1
/
（
H
+
1
）
α.
F
1
/
（
H
+
1
）
那
借
（8）
κ..
（
H
）
=
H
∫
0.
1
ξ
H
-
1
1
-
ξ
2
D.
ξ
=
π
2
H
γ.
（
H
/
2
）
γ.
（
H
/
2
+
1
/
2
）
。
例如，赫斯氏触点是一个特定的自助曲面的情况<一世nline-formula>
H
=
2
和<一世nline-formula>
问：
3.
D.
=
1
/
（
2
R.
）
，给予古典结果[
14.]：
（9）
K.
E.
*
=
（
6.
R.
F
E.
*
）
1
/
3.
或者，关于力量解决，
（10）
F
E.
*
=
1
6.
R.
（
K.
E.
*
）
3.
。
分形粗糙表面也是如此[
12.那
15.]：
（11）
K.
E.
*
L.
=
ζ
（
H
）
（
F
E.
*
H
L.
）
1
/
（
H
+
1
）
α.
F
1
/
（
H
+
1
）
要么
（12）
F
E.
*
=
H
L.
（
K.
ζ
（
H
）
E.
*
L.
）
H
+
1
。
常数<一世nline-formula>
ξ
（
H
）
必须（直到现在）从数值计算中发现。最新研究表明
（13）
ξ
（
H
）
≈
1.7
H
+
1
。
相对比 （
7.）和（
11.）如果以下主管，可以使自助粗糙度和相应的轴对称轮廓的接触性能相同<一世nline-formula>
问：
3.
D.
在（
6.）被选中：
（14）
问：
3.
D.
=
（
2
ζ
L.
）
H
+
1
（
H
+
1
）
L.
H
2
H
κ..
（
H
）
。
在随机粗糙表面和轴对称配置文件之间使用该类比，我们建议粗糙的球体被建模为抛物线形状的叠加<一世nline-formula>
Z.
P.
具有等效旋转对称的形状<一世nline-formula>
Z.
S.
：
（15）
Z.
C
（
R.
）
=
R.
2
2
R.
+
（
2
ζ
L.
）
H
+
1
（
H
+
1
）
L.
H
2
H
κ..
（
H
）
|
R.
|
H
。
数字
4（c）示出了通过产生的三维旋转对称的压痕形状切割。
（a）抛物线形状<一世nline-formula>
Z.
P.
;（b）压紧形状<一世nline-formula>
Z.
S.
根据 （
6.）有<一世nline-formula>
H
=
0.7
;（c）叠加<一世nline-formula>
Z.
C
两者。
由于接触刚度仅取决于电流接触半径[
17.]叠加原理对力量有效（
10.）和（
12.）在给定的接触刚度：
（16）
F
（
K.
）
=
E.
*
[
1
6.
R.
（
K.
E.
）
3.
+
L.
H
（
K.
ζ
E.
L.
）
H
+
1
]
。
对于我们预期的正常力或接触刚度的小值（
11.），虽然较高力量猛烈的行为（
9.）预测。预计交叉将在两种渐近曲线的交叉点发生：
（17）
F
TR.
E.
*
=
[
ζ
（
H
）
3.
H
+
3.
H
-
3.
L.
3.
H
（
6.
R.
）
-
H
-
1
]
1
/
（
H
-
2
）
。
依赖（
16.）如图所示
3.与边界元法的数值结果一起。实线是根据的理论预测（
16.）。此外，平原粗糙度的渐近行为（
11.）和平滑的赫兹案（
9.）显示。渐近的斜率是<一世nline-formula>
1
/
3.
在赫兹·案件中<一世nline-formula>
1
/
（
H
+
1
）
对于粗糙度。
4。结论
我们通过BEM调查了球体的正常接触问题，并通过BEM提出了一种计算任意正常力的接触刚度的简单分析方法。该方法可以在没有改变的情况下应用于与自我仿射粗糙度的任意革命体压缩，并且在范围内任何肿瘤指数<一世nline-formula>
0.
<
H
<
2
。
所有尺度上的弹性假设在目前的调查结果中都不发挥至关重要的作用。原因是任何特定规模的接触应力都有幅度<一世nline-formula>
σ.
≈
E.
*
∇
Z.
/
2
，在哪里<一世nline-formula>
∇
Z.
是否对应于该规模的rms表面梯度[
19.]。因此，弹性行为的击穿发生在对应于最大RMS表面梯度的最小刻度。相反，接触刚度由表面粗糙度的功率谱中的大波长决定，并且对原子尺度的发生不敏感。
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