多目标模拟退火：原理和算法变体

摘要

模拟退火是一种随机本地搜索方法，最初引入全球组合单体客观优化问题，允许逐渐收敛到近最佳解决方案。已经引入了用于多目标优化的扩展版本，以允许通过档案构建近帕累托最佳解决方案，该存档在探索可行域时捕获NondOminated解决方案。虽然模拟退火提供了探索和开发之间的平衡，但多目标优化问题需要一个特殊的设计来实现这种平衡，由于许多因素，包括目标函数的数量。因此，文献中引入了多种多目标模拟退火算法。本文评论了模拟退火算法的最新状态，重点在多目标优化场上。

1.介绍

模拟退火是求解全局组合优化问题的一种概率局部搜索方法，它允许逐步收敛到近似最优解。它由一系列的移动组成，根据一定的转换规则，从当前的解决方案移动到更好的解决方案，同时偶尔接受一些艰难的解决方案，以保证领域探索的多样性，并避免陷入局部最优。该过程由控制迭代次数的特定冷却计划管理。模拟退火在许多应用中显示出了鲁棒性和成功性，并自引入以来受到了广泛的关注。因此，我们引入了多目标模拟退火算法，其目的是在探索可行域的同时，通过逐步收集非支配解的归档方法来构造近似pareto最优解。虽然模拟退火提供了探索和开发之间的平衡，但多目标优化问题需要一个特殊的设计来实现这种平衡，由于许多因素，包括目标函数的数量。因此，文献中引入了多种多目标模拟退火算法。

本文对多目标优化的模拟退火算法进行了综述和讨论，并描述了一些算法变体。

2.单目标模拟退火综述

模拟退火是一种元启发式方法，可追溯到Kirkpatrick等人的著作[1]及Černý [2表明Metropolis算法[3.]（统计物理学的一种算法，包括构造马尔可夫链序列，以便从概率分布中进行抽样。该算法通常在称为Metropolis-Hastings算法的扩展版本下使用。）通过将能量状态作为目标函数，热力学平衡状态作为局部最优解，可以得到优化问题的最优解。模拟退火模拟仔细退火的冶金过程，包括冷却加热的金属或合金，直到达到称为基态的最固态。模拟退火被认为是爬山算法的一个扩展，爬山算法包括一系列跨解的转换，同时在每次迭代中改进某个能量目标函数，直到达到全局最优。为了深入探索可行域，避免陷入局部最优，模拟退火引入了上坡解的偶然接受机制。该过程由特定的冷却计划管理，该计划控制算法过程中的温度变化。图形1给出了通用的模拟退火算法流程图。

一般的模拟退火算法由两个嵌套循环组成。给定当前的解决方案和固定的温度，内环在每次迭代中生成一个候选邻近解决方案，该方案将进行能量评估，以决定是否接受它为当前解决方案。有时，一些非改进的解会根据一定的概率规则被接受。回路由一个平衡条件控制，该平衡条件限制了在每个温度水平上的迭代次数。它指的是当算法不期望在当前探索的邻近地区找到更多改进的解决方案时的热平衡。外回路是根据一定的冷却方案降低温度水平。温度应该反复地降低，直到达到通常与最终温度相对应的冷却条件。因此，该算法涉及两个主要考虑因素，即邻域结构和冷却计划。

邻域结构是指关于邻域解的表示和生成机制的一组概念性考虑。它应该是适当的，以考虑的问题，并提供一个有限数量的可能的过渡。为了便于处理，优化问题的解决方案通常被认为是由特定配置中的有限数量的组件组成的某种间接表示。因此，如果两个解决方案的配置相似，那么它们就是邻居;也就是说，这两种构型只在少数组分上有所不同，或者可能具有相近的能量值。邻域结构包括定义算法在每次迭代时可能移动到的候选解。甚至在早期的研究中经常被低估[4，5]邻域结构的选择对邻域大小甚至模拟退火性能都有重要影响。此外，它可能会影响局部最优性本身的概念[6，7，从而为每个社区确定一个最适宜的地方。因此，算法的目的是希望在每个温度水平上，在达到平衡条件之前达到局部最优。

冷却计划控制算法过程中的温度下降。它由四个实体组成，即初始温度、最终温度、平衡条件和由温度递减序列组成的冷却方案。虽然最终温度预设为零或左右，但其他参数的选择相当困难，且与正在调查的个案密切相关;没有特定的规则适用于所有情况，通常需要进行初步的实验。平衡条件是一个参数，它限制了在每个温度水平上的迭代次数。它可能仅仅是预设到这个数字的某个上限，似乎与当前解决方案的邻域基数成比例。为了完全模拟仔细的退火过程，从而得到满意的解决方案，任何参数的选择都应确保过程从一个足够高的温度值开始，并根据一个足够慢的冷却方案在一个足够低的温度值结束。

为了保证算法的成功，选择合适的冷却方案是至关重要的。文献中介绍了各种各样的冷却方案，有的是单调的，有的是自适应的。冷却方案是迭代指数的函数，它更多地依赖于先前的温度值和初始温度。单调格式由每次迭代时的静态温度降低组成，这与所找到的解的质量或当前探索的邻域结构无关，而自适应冷却格式则涉及根据跃迁质量降低温度的机制。因此，越令人满意的动作发生越多，减少跳数就越大。这将意味着出现一些重新退火的情况，使其更加多样化和加强。表中给出了经典格式的总结1．然而，Triki等人。[8]已经根据经验研究证明，几乎所有经典的冷却方案都是等效的;也就是说，它们可以被调优，以在算法过程中产生类似的温度下降。

在算法过程中，涉及到两种接受，即，当发现改进解时对应的规则接受和当发现非改进解时对应的概率接受，这意味着多样化和逃避局部最优。给出一个候选解决方案 ，候选人的接受搬家到用Metropolis规则表示，公式如下: 在哪里移动是能量变化和是当前的温度。被称为玻尔兹曼常数，通常假定为等于1。该规则允许在高温水平下频繁接受上坡溶液。也就是说，如果温度较高，几乎所有候选溶液都会被接受，而如果温度较低，则只会接受改进的溶液。此外，鉴于指数函数在增加，接受规则倾向于小劣化而不是大劣化。当以下两种情况中的一种出现时，该算法应停止：温度水平达到最终温度，或工艺结果导致在合理数量的退火情况下无法找到改进的解决方案。负责处理这两种情况的标准称为冷却条件。

模拟退火对许多应用表现出显着的成功，并自推出以来受到重大关注。此外，它是有问题的，并且适当参数的选择是一个具有挑战性的任务。更详细的审查可以在[14.- - - - - -19.］.

3.多目标模拟退火

３．１．多目标优化和元启发式

多目标优化，也称为多准则或多属性优化，处理涉及多个目标函数同时优化的问题。所考虑的目标函数经常是矛盾的(或冲突的)，以这样一种方式，任何目标函数的改进都是不可能的，而其他任何目标函数都不会恶化——否则这个问题被认为是微不足道的，并被简化为一个单目标优化问题。给予目标职能 为 ，多目标优化问题(常说双目标，如果 和许多目标 ）一般可以表述为 在哪里 ，称为可行域，是一组等式和不等式的决策向量变量 ．多目标优化中的最优性概念基于优势二进制关系，其用作可行解决方案之间的比较函数。如果前者与后者相比，在没有其他目标函数值中的任何劣化的情况下，则据说一种解决方案将另一个解决方案占据另一个问题。给予和两个可行解 ,这是 ，以下是可能的替代方案:(我) ；就是，占主导地位 ，如果 对所有 和 （ii） ；就是，和是等同的，如果 对所有 (3) ；就是，和如果存在，是不可分割的和这样 和

一个非支配解被定义为一个不存在支配它的可行解的解，它对应于所有考虑的目标函数之间的最佳权衡。与单目标优化相比，最优性通常是通过一组称为帕累托集的非支配解获得的，而不是单个解。帕累托集合通常是通过它的图像来表示的，称为帕累托前沿或帕累托前沿，作为维数的图形表示 目标空间，即由目标函数构成的空间的最优性。每个帕累托最优解都是指偏好结构或效用函数。此外，帕累托解被认为是不可比的；也就是说，它们之间不能有任何偏好。尽管这一最优性概念在数学上具有重要意义，但在经济学中，人们认为广泛的研究促进了效用理论的许多进步，效用理论根据用户（顾客）满意度处理偏好结构。然而，找到多目标优化问题的所有最优解是相当具有挑战性和困难的，至少与单目标优化情况相比是如此。

在文献中已经讨论了处理多目标优化的各种技术，可分为三种方法:先验、后验和渐进。先验方法是将多目标数学模型转化为单目标数学模型。从这个角度介绍了许多方法，即目标规划、聚合或标量化和字典法，它们通常返回原始模型的一个(帕累托)最优解。一个后验方法包括构造帕累托集。然而，这样的构造通常是困难的和计算消耗。因此，近似算法是似是而非的建议在这种情况下。它们包括构建一个帕累托集合的子集，或者是一组有效的非支配(或近似帕累托最优)解，也就是说，可行解不被任何可以以合理的计算成本计算的解所支配。实际的或近似的帕累托集合的构造有时被称为帕累托优化。渐进方法又称交互式方法，是上述两种方法的混合，决策者对算法的执行提供了一种指导。它实际上是一种先验方法，只要算法进行，它就涉及到一个后验部分结果学习和偏好定义。 More details about progressive optimisation can be found in [20.，21］.

由于元启发式算法在单目标优化中的成功，特别是在组合问题中，当问题的信息（在可行域方面，在本文中称为搜索空间）经常可访问时，元启发式算法也被广泛应用于处理多目标组合问题。与构造性技术相反，元启发式是基于解决方案的，因此可以在解决方案的质量（效率）和执行时间（迭代次数）之间进行可管理的折衷。此外，元启发式有望为广泛的问题带来一个通用的、适应性强的框架。向量评估遗传算法[22]是文献中提出的第一个多目标元启发式算法，它包含了一种适应多目标优化情况的遗传算法。此后，发展了许多其他多目标元启发式算法，包括多目标禁忌搜索[23[多个蚁群系统，用于时间窗口的车辆路由问题[24]，多目标模拟退火[25，以及多目标分散搜索[26］.

元启发式适应已经发展成两种主要的范式:一次运行和多次运行。基于一次运行的技术包括调整原始的元启发式，使其仅在一次执行时返回一组解决方案。这种范式的重要优势之一是它遵循的主要原则metaheuristics组成的处理解决方案在每个迭代中,而不是一个解决方案组件,它在多目标优化的情况下指一组解决方案与一定程度的效率。然而，返回的解决方案的数量是相当难以控制的。事实上，如果潜在的接近最优的解决方案是逐步归档的，那么每个返回的解决方案都应该经过一个评估阶段，在这个阶段，它将与之前归档的潜在接近最优的解决方案进行比较，以消除任何主导的解决方案。如果近似最优解在算法终止时不稳定地返回，例如，对于基于种群的元启发式算法(如遗传算法)，在这个阶段将对解进行比较。

受先验多目标方法的启发，基于多运行的技术包括将原元启发式应用于所考虑的目标函数的某个聚合上。在每次运行时，元启发式被期望达到一个满足特定偏好结构的问题的近似最优解。假设该算法被执行的次数与所需要的接近最优解的次数相同。不幸的是，不能保证两种不同的偏好结构会导致两种截然不同的近乎最优的解决方案。再一次，将收集到的解进行比较，以消除任何占优势的解。然而，所找到的近似最优解应该是多样化的，也就是说，分散在帕累托前沿。达斯和丹尼斯[27]研究表明，即使有一组均匀分布的权重，也不能保证均匀分布的解决方案。因此，尽管基于多次运行的技术遵循的概念非常简单，但至少对于整个多目标问题而言，提前确定有效且相关的偏好结构并不简单。

3.2。多目标模拟退火的原理

多目标模拟退火起源于Serafini的作品[28]其中，设计和讨论了许多概率接受规则，旨在提高接受非支配解的概率，即迄今为止任何生成解的非支配解。因此，提出了两种替代方法。鉴于目标职能分配给纯量值权重为 ，和一个候选解决方案 ，第一种方法包括肯定地接受改进解决方案，从而接受概率小于1任何其他解决方案。这种强烈的验收规则允许深入探索可行域，并已表示如下： 第二种方法是确定地接受任何主导或不可比较的解决方案，允许在可行域的探索中存在多样性。此弱接受规则表示为以下形式:

这两种方法得到的是完全不同的马尔可夫链，其中非支配解具有较高的平稳概率。提出了一个复合验收规则，由以下公式组成: 在哪里 和被认为是一个温度与每个目标函数有关 ，也就是说，每个目标函数都有自己的退火方案。此外，每个目标函数都考虑了权重的出现假设与某个偏好结构相对应。为了保证整个帕累托集的探索，在每次迭代中都提出了一个缓慢的权重随机变化。

3.3. MOSA方法

多目标模拟退火方法（MOSA）是对多目标优化的一类模拟退火扩展，其思想是通过收集在探索可行域时发现的非支配解来构造估计的帕累托前沿。归档被认为是用于维护这些高效解决方案的。因此，文献中提出了许多多目标模拟退火范式[25，29- - - - - -34这在常见的建议中，考虑到某种复合能量的变化通常是所考虑的目标功能的线性组合。在某些接受概率选择下，已经证明了对Pareto解决方案集的渐近融合[35］.

Ulungu等人[25，36]开发了一种MOSA方法，涉及捕获非主导解决方案的潜在有效的解决方案列表;它包含到目前为止，它不受任何其他生成的解决方案所占主导的所有生成解决方案。该方法使用加权函数来测量转换的质量。每个Scalarising函数都会促使特权搜索方向朝着相对最佳解决方案诱导。如果未达到该最佳解决方案，将考虑一些近最佳解决方案。已经提出了使用广泛多样化的重量，以旨在覆盖所有有效的前沿。假设潜在有效的解决方案列表在每次发生新的解决方案验收后都会更新，其中从列表中删除任何主导的解决方案。如果不存在主导的解决方案，则潜在有效的解决方案列表在基数中增加。

Czyżak和Jaszkiewicz [30.使用弱接受标准提出了帕累托模拟退火（PSA）程序，其中可以接受任何未被当前解决方案主导的解决方案。从遗传算法的启发，PSA是一种基于人群的成分型，其在每个温度下考虑一组（样本）产生的解决方案，以便有望改善。从样品中的每种溶液都以这种方式改进，这种方法应该远离最接近前溶液的最接近的解决方案。通过增加最近的解决方案的目标权重优于电流溶液，通过增加该方法来执行这种方法，从而降低了最接近的解决方案的目标权重。新重量组合将用于下一次迭代的评估步骤以及概率接受。PSA程序以算法总结1．

PSA试图在改善所产生的解决方案的样本的同时保持一种均匀性。也就是说，应该从起始样品中的某种溶液相关的改善溶液的每种序列应远离其他改善与起始样品的其他元素相关的溶液的其他序列。这希望提出样本基数保护，从而允许控制返回的高效解决方案的数量。此外，PSA在每个温度下涉及潜在解决方案样本的事实允许并行化。如图所示2当PSA是平行的，所有样本元素都与所有并行退火序列的提高解决方案同时更新。Baños等人。[37]就解决方案的质量和执行时间而言，我们调查了PSA的四种备选并行方案。此外，还对模糊多目标组合优化进行了推广[38和随机多目标组合优化[39已经在文献中讨论过了。

Li和Landa-Silva [40，41]提出了一种结合模拟退火（EMOSA）的自适应进化多目标方法。它是张和李提出的基于分解的多目标进化算法（MOEA/D）的杂交[42]提出的方法包括考虑一组假设均匀分布的起始解，其中每个解对应于某个子问题的初始解，即对应于聚合目标函数的问题。解决方案评估采用respect的概念，将加权聚集和帕累托优势结合起来 -由Laumanns等人引入的优势[43]：根据相应聚合函数的改进，执行候选解决方案的定期接受，而使用该归档的更新归档 -主导地位。此外，对于每个聚合函数，在最低温度下自适应修改权值，以保证搜索多样化。

supapitnarm等[32]建议扩展enggrand先前所进行的工作[44]其中包括使用对数复合目标函数： 对于给定数量的客观函数 ，以及生成的候选解的接受概率公式参考给定的电流解决方案定义如下: 除了考虑综合目标的乘法方案之外，除了综合综合目标的乘法方案之外，还缺乏任何重量，建议所有目标都具有相同的幅度。这意味着常规和概率模式中的接受问题。实际上，应该接受任何弱分子或不可分割的解决方案。然而，某些目标的幅度顺序可能会影响接受的方式，这些方式有利于对他人的一些目标。类似地，概率接受取决于所有目标的相对变化，从而受到高幅度顺序的目标的影响。suppapitnarm等。已提出不使用任​​何聚集目标函数进行候选解决方案评估，以便在任何目标中的任何减少系统地将系统视为定期接受。至于概率的验收，涉及每个目标函数的温度参数的概率规则如下介绍： 在哪里是目标函数的能量变化吗候选人和当前的解决方案之间的差距是分配的当前温度这是目标的重量。从这个角度来看，一些目标可以独立于它们的级别秩序受到青睐。该方法使返回到基本策略，该策略包括从存档的非目标解决方案期间会周期性地重新开始搜索。该策略允许在可行域的探索中进行多样性。此外，为了允许在较少探索地区的强化，Suppapitnarm等。提出从存档中从最多孤立的解决方案重新启动搜索。除了可以激活返回基地的速率的监测策略之外，还引入了隔离测量。

3.4.基于支配的MOSA方法

在上述方法中，手边溶液的质量是根据最后一个被接受的溶液作为唯一的参考标准来测量的。这种方法的另一种选择是将生成的解决方案与实际的帕累托前沿进行比较。然而，确定一个特定的性能指标来描述与帕累托前沿的接近程度是至关重要的。因此，文献中引入了许多性能指标，这些指标包括到帕累托前沿的一定距离，或者由结果档案控制的体积与由帕累托前沿控制的体积的比例。然而，这种方法面临着普遍缺乏关于实际帕累托前沿的先进信息。因此，通常使用测试问题来研究算法的性能，这些测试问题是具有已知性质的平均计算成本优化问题。关于测试问题的讨论和构建在多目标优化的不同背景下(例如，[45- - - - - -50])。

在概念上，解主要是决策变量的配置;然而，它们也可以被看作是目标函数的构型。这就产生了可行域的两种不同但等效的表示。数字3.说明了决策空间（由变量构成）和目标空间（由目标函数构成）中两种表示之间的对应关系（请注意，决策空间和目标空间的维数不必相同）。给定一个帕累托前沿某种优化问题和评估下的档案 ，假设任意解之间的距离是有限的，不失一般性从来 ，表示 ，是通过基于欧几里得距离的公式在目标空间中测量的: 在哪里是经典的欧几里得距离。然而，这种天真的距离公式和 返回距离最近的对之间的距离和 ，当然，这并没有反映出这两组人之间的亲密程度;事实上，如果只有一个解与帕累托集合非常接近，那么距离就会更低，从而提供一个令人困惑的接近度量。因此，一个复杂的距离公式将包括考虑到所有对之间的距离和(所考虑的优化问题是离散的还是连续的;只有一个实际的帕累托前沿的离散样本是可用的，而一个离散的近似帕累托前沿将被请求。)因此,史密斯(51]提出了使用两组配对之间的欧氏距离的中位数: 此外，文献中广泛使用的两个指标是代际距离[52]， ，以及反向代际距离[53]， ，其中包括以下内容: 在哪里和是基数和分别。文献中使用的另一个度量标准的例子是Hausdorff的距离，包括以下内容: 已在Schütze等人的作品中使用的扩展版本。[50和Bogoya等人[54］.

很简单，多目标优化应该得到一个足够覆盖的集合，并且有效地接近实际的帕累托集合。Deb等人[55]提出了一个价差度量参数来描述覆盖。然而，上述绩效指标中没有一个得到普遍认可，可以作为衡量亲密度和传播度的有效而准确的指标。文献中提出了体积控制[56- - - - - -58]作为有效评估已构建档案的一个有前途的替代方案。

Hypervolume是一个有用的指标，用于描述档案的覆盖范围及其与帕累托前线的接近程度。这个指标可以追溯到齐兹勒和蒂勒的作品[58，这包括在客观空间中计算档案元素所覆盖面积的大小。所考虑的优化问题将简化为最大化此类度量。类似地，由结果档案所主导的体积与由帕累托前端所主导的体积的一定比例将是一个替代的性能指标。史密斯(51]已经考虑了由帕累托前线主导的区域，而不是由评估中的档案主导的区域。图形4说明了由帕累托前线和档案划定的概念区域。当然，支配与接受规则(弱或强)有关。但在实践中，可以划分出三种区域，即可用Pareto样本和待评估档案共同主导的区域(孵化灰色区)、仅由Pareto样本主导的区域(孵化深灰色区)和未开发区域(灰色区)。

许多MOSA方法使用了一个或多个面向主导地位的性能指标，以提供一个高级的元启发式。南某和朴某也进行了初步讨论。59提出并评估了六个验收标准。此外，Smith等人[60]提出了一种基于支配的复合能量函数，作为目标函数经典加权组合的替代。而后一种方法允许对帕累托前沿的某个区域进行先验偏差引导，从而使算法对竞争目标函数的加权敏感，建议的方法旨在避免任何关于可行领域探索的限制性建议，支持优势概念。

桑卡拉饶和柳[61]提出了一种鲁棒多目标模拟退火算法（rMOSA），目的是加快收敛速度，获得一致的Pareto集逼近。该方法已应用于化工问题。

已经提出了一种被称为存档的多目标模拟退火方法（Amosa）的统治的方法[62使用一个称为支配量的参数。对于给定数目的目标函数并考虑归档解决方案和一个候选解决方案 ，以下给出了两种解决方案之间的支配地位: 在哪里是这个范围目标函数。这个支配量代表了一个超体积，它的每一面都是由特定的两个目标函数构成的和 ，是一个矩形的矩形 ， ， ，和 ．在每次迭代中，AMOSA从手边的当前解决方案构建一个候选解决方案，该解决方案将对存档和当前解决方案进行评估——占主导地位的平均数量根据候选解决方案或其主要解决方案计算。当前解决方案或存档中任何其他解决方案未占主导地位的任何候选解决方案将被接受为当前解决方案并添加到存档中。同时，存档中的任何主要解决方案将被删除。如果候选解决方案n由存档中的一定数量的解决方案主导，考虑的验收规则包括以下内容： 在哪里是温度参数的当前值。如果候选解决方案主导当前解决方案（其中不需要属于存档），而在其由一定数量的存档解决方案主导时，则以某种概率执行到存档解决方案的转换。总的来说，可能的转换包括接受候选解决方案，保持当前解决方案，或从存档中移动到解决方案。为了决定结果存档大小，Amosa定义了两个称为硬限制和软限制的限制参数。允许归档大小增加到软限制，之后通过某种聚类过程将解决方案的数量减少到硬限制。

Suman等人[63]在正交试验设计(OED)的基础上，提出了一种对AMOSA方法的扩展，称为正交模拟退火(OSA)。这种方法的主要贡献在于使用《牛津英语词典》，通过正交表和分数阶乘分析来指导选择好的邻解。OED的目标是在降低计算成本的同时实现有效的搜索。数字5呈现OSA方法流程图。设定平衡条件以在每个温度水平下对应于相同电流溶液执行的迭代次数上的上限。

基于AMOSA方法，Sengupta和Saha [64]提出了一种基于参考点的多目标模拟退火算法，称为RSA。该工作引入了存档到存档的概念，即从一个解决方案存档移动到另一个解决方案存档，而不是从一个解决方案移动到另一个解决方案存档。该思想类似于geneti中解决方案总体的使用c算法。该方法还涉及一种称为变异切换的切换策略，该策略包括在不同变异技术之间定期切换。此外，该方法使用基于参考点的聚类算法，以获得返回档案的均匀分布。

由于其计算效率和简单性，模拟退火已被广泛用于解决多目标优化问题，以及单一目标，在包括聚类的各个领域中[65- - - - - -67]、工场问题[68]和安排[69］.此外，近年来，遗传算法和粒子群优化方法受到了广泛的关注，许多商业求解器允许这些方法的简单实现。因此，文献中很少引入多目标模拟退火与前述元启发式之一的混合[70，71]除了在供应链中的许多应用之外[72，73]，分销网络[74，75]、设施布局设计[76，77]，设计优化[66]和安排[69，78- - - - - -80］.

4.总结及结束语

模拟退火是一种属于局部搜索方法家族的元启发式算法。它保证逐渐收敛到接近最优的解，并提供逃离局部最优和无记忆的能力。由于其对许多组合优化和连续优化问题的适应性，迄今为止出现了广泛的适应性。这一成功推动了模拟退火元启发式在多目标优化环境中的扩展，即通过保存在探索可行域时发现的非优势解的存档来近似最优解集。因此，文献中引入了许多多目标模拟退火的变体。尽管如此，仍有以下评论：(我)与其他半导体相比，模拟退火是由于其渐近收敛导致许多应用的强大工具。然而，算法过程特别慢，特别是对于一些冷却方案，并且使用另一个启发式似乎为少数Optima的问题提供更好的结果。（ii）在顺序存储过程中使用存档几乎在所有帕累托优化中都出现过，包括群优化和进化算法（例如[81，82])。该过程涉及一种更新机制，当非支配解决方案的数量变大时，该机制将受到限制。已就存档在帕累托优化中的性能进行了讨论[83］.(3)在多目标模拟退火中，控制返回解的数量一直是一个难题。一般来说，所有涉及到表示实际Pareto解集近似的归档的元启发式都应该努力使该归档有界且大小有限[84］.然而，在实践中可能很难确定归档基数，同样的元启发式方法可能会导致对某个问题的归档非常简洁，而对其他问题的归档则非常庞大。诺尔斯和科尼[84]我们对作为顺序存储过程的元启发式归档进行了理论研究，到目前为止，任何控制归档大小的拟议方法都没有显著的性能。然而，Gaspar Cunha等人[85]提出了一种求解聚类机制，目的是在返回的近帕累托前沿较大的情况下减少其数量。(四)调整模拟退火参数在单一和多个标准优化方面都具有挑战性。作为一个明智的参数选择将导致帕累托最优解决方案集的相当代表性近似，许多作品[86- - - - - -88]需要初步实验。然而，实验需要在范围或基数方面需要一些关于实际帕累托前面的知识，这是不常见的。如果实验涉及与其他成形管道的比较，情况变得更加问题。

利益冲突

作者宣布他们没有利益冲突。

工具书类

1. S.Kirkpatrick，C.D.Gelatt和M.P.Vecchi，“模拟退火优化，”科学类，第220卷，第4598号，第671-680页，1983年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
2. V.Černý，“旅行商问题的热力学方法：一种有效的模拟算法，”最优化理论与应用杂志，第45卷，第1期，第41-511985页。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
3. N.Metropolis，A.W.Rosenbluth，M.N.Rosenbluth，A.H.Teller和E.Teller，“快速计算机器的状态方程计算，”化学物理学报，第21卷，第6期，第1087-1092页，1953年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
4. S.Alizamir、S.Rebennack和P.M.Pardalos，“使用最优停止问题改进模拟退火中的邻域选择策略”，年模拟退火， C. M. Tan, Ed.， pp. 363-382, InTech, Rijeka，克罗地亚，2008。浏览：谷歌学者
5. L.Goldstein和M.Waterman，“模拟退火算法中的邻域大小，”美国数学与管理科学杂志，第8卷，第3-4号，第409-423页，1988年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
6. E. AARTS，J.Korst和W. Michiels，“模拟退火”搜索方法:优化和决策支持技术导论教程伯克(K Burke)和埃德斯(Eds)的G. Kendall。，pp. 91–120, Springer US, Boston, Mass, USA, 2nd edition, 2014.浏览：谷歌学者
7. 例如，塔尔比，元启发式：从设计到实现，约翰威利和儿子，霍博肯，新泽西州，美国新泽西州，2009年。
8. E. Triki，Y. Collette和P. Siarry，“对新冷却时间表的模拟退火行为的理论研究，”欧洲运筹学研究杂志第166卷第1期1，页77-92,2005。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
9. P. N. Strenski和S. Kirkpatrick，“有限长度退火计划的分析”，算法，第6卷，第2期1，页346-366,1991。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
10. S.Geman和D.Geman，“随机松弛、吉布斯分布和图像的贝叶斯恢复，”关于模式分析和机器智能的IEEE交易，第6卷，第2期6，第721-741页，1984。浏览：谷歌学者
11. K.Sekihara，H.Haneishi和N.Ohyama，“利用生物磁学数据估计多个电流偶极子参数的模拟退火算法的细节，”IEEE医学影像汇刊，第11卷，第5期。2，pp。293-299,1992。浏览：出版商的网站|谷歌学者
12. M. Lundy和A. Mees，《退火算法的收敛性》，数学规划第34卷第3期1，页111-124,1986。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
13. L. Ingber，“非常快的模拟退火”数学和计算机建模，第12卷，第2期8，第967-973页，1989。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
14. K.胺，“洞察模拟退火”自然启发性血管算法的建模，分析和应用研究手册，S. Dash，B. K. Tripathy和A. Rahman，EDS。，计算智能和机器人的进步，PP。121-139，IGI Global，Hershey，Pa，美国，2018年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
15. K.A.Dowsland和J.M.Thompson，“模拟退火”，摘自自然计算手册G. Rozenberg, T. Bäck和J. N. Kok, Eds。，pp. 1623–1655, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 2012.浏览：出版商的网站|谷歌学者
16. D.Fouskakis和D.Draper，“随机优化：综述，”国际统计审查，第70卷，第2期3，页315-349,2002。浏览：出版商的网站|谷歌学者
17. A. Franzin和T.Stützle“，”重新审视模拟退火：基于组件的分析“，计算机与运营研究，第104卷，第191-206页，2019年。浏览：谷歌学者
18. N.Siddique和H.Adeli，“模拟退火及其变体和工程应用，”国际期刊人工智能工具，第25卷，第2期6、文章编号1630001,2016。浏览：谷歌学者
19. B. Suman, N. Hoda，和S. Jha，“正交模拟退火多目标优化”，计算机与化学工程第34卷第3期10, pp. 1618-1631, 2010。浏览：出版商的网站|谷歌学者
20. J. Korhonen和Y. Wang，“包大小对无线链路损失和延迟的影响，”IEEE无线通信与网络会议论文集(WCNC’05)，第3卷，1608-1613页，新奥尔良，路易斯安那州，美国，2005。浏览：出版商的网站|谷歌学者
21. K.Sörensen和J.Springael，“渐进式多目标优化，”国际信息技术与决策杂志，第13卷，第2期5, pp. 917-936, 2014。浏览：出版商的网站|谷歌学者
22. “基于向量评估遗传算法的多目标优化”第一届遗传算法国际会议论文集， J. J. Grefenstette, Ed.， 93-100页，Lawrence Erlbaum Associates, Inc.， Hillsdale, NJ, USA, 1985。浏览：谷歌学者
23. “多目标优化的禁忌搜索:MOTS”，刊于第13届多标准决策国际会议论文集(MCDM 97)，南非开普敦，1996年。浏览：谷歌学者
24. L.M.Gambardella，É.Taillard和G.Agazzi，“MACS-VRPTW：具有时间窗的车辆路径问题的多蚁群系统”，年优化的新思路，D.Corne，M.Dorigo，F.Glover等人主编，第63-76页，麦格劳·希尔有限公司，英国迈登黑德，1999年。浏览：谷歌学者
25. E.L.Ulungu，J.Teghem，P.H.Fortemps和D.Tuyttens，“MOSA方法：解决多目标组合优化问题的工具，”多标准决策分析杂志，第8卷，第4期，第221-236页，1999年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
26. R. P. Beausoleil，“‘MOSS’多目标分散搜索应用于非线性多准则优化”，欧洲运筹学研究杂志，第169卷，第2期，第426-449页，2006年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
27. I. Das和J. E. Dennis，“在多准则优化问题中Pareto集生成中最小化目标加权和的缺点”，结构优化学报第14卷第2期1，pp。63-69,1997。浏览：出版商的网站|谷歌学者
28. P.Serafini，“多目标优化问题的模拟退火”，年多准则决策:第十届国际会议论文集:拓展和丰富思维和应用领域，曾国海，王汉福，温国斌和余宝林主编，第283-292页，美国纽约州斯普林格·维拉格，1994年。浏览：谷歌学者
29. M.H.Alrefaei和A.H.Diabat，“用于多目标模拟优化的模拟退火技术，”应用数学与计算第215卷第1期8, pp. 3029-3035, 2009。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
30. P.Czyżak和A. Jaszkiewicz，“Pareto模拟了多目标组合优化的成群质技术，”多标准决策分析杂志，第7卷，第5期1，第34-47页，1998。浏览：谷歌学者
31. B. Suman，“基于模拟的基于退火的多目标算法及其用于系统可靠性的应用，”工程优化第35期4，页391-416,2003。浏览：出版商的网站|谷歌学者
32. A.Suppapitnarm，K.A.Seffen，G.T.Parks和P.J.Clarkson，“多目标优化的模拟退火算法，”工程优化第33卷第3期1，页59 - 85,2000。浏览：出版商的网站|谷歌学者
33. 刘志强，“基于启发式的多目标组合优化方法”，同济大学学报(自然科学版)计算机与运营研究第27卷第2期7-8页，621-634页，2000。浏览：出版商的网站|谷歌学者
34. O. Tekinalp和G. Karsli，“一种新的多目标模拟退火算法”，全局优化学报第39卷第3期1，页49-77,2007。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
35. M.Villalobos Arias、C.A.Coello-Coello和O.Hernández Lerma，“多目标优化问题模拟退火算法的渐近收敛性，”作业研究的数学方法，第64卷，第2期，第353-362页，2006年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
36. E.L.Ulungu，J.Teghem和P.Fortemps，“模拟退火多目标组合优化问题的启发式”，年MCDM：理论和应用陈刚，魏庆，王思生，王志强，王志强，王志强。，页229-238，科技，1995。浏览：谷歌学者
37. R.Baños，C.Gil，B.Paechter和J.Ortega，“基于人口的多目标元 - 启发式的并行化：实证研究”应用数学建模，第30卷，第7期，第578-5922006页。浏览：出版商的网站|谷歌学者
38. “模糊多目标组合优化的Pareto模拟退火算法”，北京大学学报(自然科学版)，启发学杂志，第6卷，第2期3，页329-345,2000。浏览：出版商的网站|谷歌学者
39. W.J.Gutjahr，“多目标随机组合优化的两种超启发式”，年随机算法:基础与应用，O. B. Lupanov，O. Kasim-Zade，A.V.Cakin，以及K.Steinhöfel，EDS。，PP。116-125，Springer，柏林，德国，2005年。浏览：谷歌学者
40. H. Li和D. Landa-Silva，“基于模拟退火的自适应进化多目标方法”，进化计算第19卷第2期4, pp. 561-595, 2011。浏览：出版商的网站|谷歌学者
41. H.Li和D.Landa Silva，“具有自适应和竞争搜索方向的进化多目标模拟退火”，年2008年IEEE进化计算大会论文集，2008年6月，香港Ieee。浏览：谷歌学者
42. 张骞，“基于分解的多目标进化算法，”IEEE进化计算汇刊，第11卷，第5期。6，页712-731,2007。浏览：出版商的网站|谷歌学者
43. M. Laumanns, L. Thiele, K. Deb, E. Zitzler，“在进化多目标优化中结合收敛和多样性”，进化计算，第10卷，第3期，第263-282页，2002年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
44. “基于模拟退火的多目标方法及其在核燃料管理中的应用”，国立中山大学管理科学研究所硕士论文第五届国际核工程会议记录：ICONE-5，第416-423页，美国机械工程师学会，纽约，美国，1997。浏览：谷歌学者
45. K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal，和T. Meyarivan，“一种快速和精英的多目标遗传算法:NSGA-II，”IEEE进化计算汇刊，第6卷，第2期2，页182-197,2002。浏览：出版商的网站|谷歌学者
46. K.BED，“多目标遗传算法：问题困难和测试问题的构建”进化计算，第7卷，第5期3，页205-230,1999。浏览：出版商的网站|谷歌学者
47. S. Huband, P. Hingston, L. Barone, and L. While，“对多目标测试问题和可扩展测试问题工具包的回顾，”IEEE进化计算汇刊，第10卷，第5期，第477-506页，2006年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
48. Y.Jin和B.Sendhoff，“使用多目标优化概念构建动态优化测试问题”，年进化计算的应用，G.R.Raidl，S.Cagnoni和J.Branke编辑，第525-536页，德国柏林斯普林格，2004年。浏览：谷歌学者
49. G.Rudolph，O.Schütze，C.Grimme，C.Domínguez-Medina和H.Trautmann，“双目标问题的最佳平均Hausdorff档案：理论和数值结果，”计算优化与应用，第64卷，第2期，第589-618页，2016年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
50. O. Schütze, X. Esquivel, a . Lara，和C. a . C. Coello，“在进化多目标优化中使用平均Hausdorff距离作为性能度量，”IEEE进化计算汇刊，第16卷，第4期，第504-522页，2012年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
51. k·史密斯,多目标优化模拟退火技术研究[博士论文]，英国英国埃克塞特大学，2006年。
52. D. a . van Veldhuizen和G. B. Lamont，“进化计算和收敛到帕累托前沿”1998年遗传编程会议的延迟突发论文的诉讼程序， J. R. Koza, Ed.， Omni出版社，威斯康星大学，麦迪逊，美国威斯康星州，1998年7月。浏览：谷歌学者
53. H. Ishibuchi, H. Masuda, Y. Tanigaki, Y. nojimy， "代际距离和倒代际距离的修正计算"，在进化多标准优化加斯帕-库尼亚，安图内斯，柯罗编。，第9019卷计算机科学课堂讲稿， pp. 110-125，施普林格International Publishing, Cham, Switzerland, 2015。浏览：出版商的网站|谷歌学者
54. J.M.Bogoya，A.Vargas，O.Cuate和O.Schütze，“任意可测集的A（p，q）-平均Hausdorff距离，”数学和计算应用，第23卷，第2期。3、2018年第51条。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
55. k . Deb,使用进化算法的多目标优化，威利，奇切斯特，英国，2001。浏览：MathSciNet
56. A. Auger，J. Bader，D. Brockhoff和E. Zitzler，“超级型多目标优化：理论基础和实际意义”理论计算机科学，第425卷，第75-103页，2012年。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
57. J.Wu和S. Azarm，“质量评估质量评估标准”，“机械设计杂志，第123卷，第1期，第18-25页，2001年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
58. E. Zitzler和L. Thiele，《多目标进化算法:比较案例研究和帕累托方法的优势》，IEEE进化计算汇刊，第3卷，第4期，第257-271页，1999年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
59. D. Nam和C. Park，《多目标模拟退火:对进化算法的比较研究》，国际期刊模糊系统，卷。2，不。2，pp。87-97,2000。浏览：谷歌学者
60. K.I.Smith、R.M.Everson、J.E.Fieldsend、C.Murphy和R.Misra，“基于优势的多目标模拟退火，”IEEE进化计算汇刊，第12卷，第3期，第323-3422008页。浏览：出版商的网站|谷歌学者
61. B. Sankararao和C.K. Yoo，“开发一种鲁棒多目标模拟退火算法，用于解决多目标优化问题，”工业与工程化学研究，第50卷，第5期。11, pp. 6728-6742, 2011。浏览：出版商的网站|谷歌学者
62. S. Bandyopadhyay, S. Saha, U. Maulik, K. Deb，“基于模拟退火的多目标优化算法:AMOSA”，IEEE进化计算汇刊，第12卷，第2期3，页269-283,2008。浏览：出版商的网站|谷歌学者
63. B. Suman和P. Kumar，“一项调查模拟退火作为单一和多目标优化的工具，”运筹学学会杂志(第57卷)10，第1143-1160页，2006。浏览：出版商的网站|谷歌学者
64. R. Sengupta和S. Saha，“基于参考点的许多客观模拟退火存档”，信息科学，第467卷，第725-749页，2018。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
65. S. G. Devi和M.Sabrigiraij，“用于大数据分类的混合多目标萤火虫和模拟退火算法”并发和计算：实践和经验，物品编号E49852018。浏览：出版商的网站|谷歌学者
66. 王洪昌，倪国栋，“电磁器件多目标优化的模拟退火算法，”IEEE磁学汇刊第39卷第3期3，pp。1285-1288,2003。浏览：出版商的网站|谷歌学者
67. S.Saha和S.Bandyopadhyay，“基于稳定性和对称性概念的新多目标聚类技术，”知识和信息系统，第23卷，第1期，第1-27页，2010年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
68. R. K. Suresh和K. M. Mohanasundaram，“Pareto存档用于与多目标的工作商店的模拟退火”，“国际先进制造技术杂志，第29卷，第2期1-2，页184-196,2006。浏览：出版商的网站|谷歌学者
69. V.Yannibelli和A.Amandi，“将多目标模拟退火算法与多目标进化算法混合，以解决多目标项目调度问题，”具有应用的专家系统，第40卷，第7期，第2421-24342013页。浏览：出版商的网站|谷歌学者
70. A. Abubaker, A. Baharum, M. Alrefaei，“实践中的多目标粒子群优化和模拟退火”，应用数学科学，第10卷，第42期，第2087-2103页，2016年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
71. P. Vasant，“工业生产管理问题的混合模拟退火和遗传算法”，国际计算方法杂志，第7卷，第5期2，pp。279-297,2010。浏览：出版商的网站|谷歌学者
72. V. Babaveisi, M. M. Paydar，和a . S. Safaei，“使用NSGA-II、MOSA和MOPSO元启发式算法优化多产品闭环供应链”，国际工业工程学报第14卷第2期2, pp. 305-326, 2017。浏览：出版商的网站|谷歌学者
73. T.Dereli和G.Sena Das，“用于解决多目标集装箱装载问题的混合模拟退火算法，”应用人工智能，第24卷，第5期，第463-486页，2010年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
74. C. H. Antunes, P. Lima, E. Oliveira, D. F. Pires，“无功补偿的多目标模拟退火方法”，工程优化号，第43卷。10，第1063-1077页，2011。浏览：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
75. J.Marques、M.Cunha和D.Savić，“给水管网柔性设计的多目标优化模型，”环境管理杂志，第226卷，第308-319页，2018年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
76. S. Turgay，“用于设施布局设计的多目标模拟退火方法”，国际数学，工程和管理科学期刊，第3卷，第4期，第365-380页，2018年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
77. U.R.Tuzkaya，T.Ertay和D.Ruan，“多目标设施布局问题的模拟退火方法”，年智能数据挖掘D. Ruan, G. Chen, E. E. Kerre, G. Wets, Eds。，计算智能研究，pp. 401–418, Springer, Berlin, Germany, 2005.浏览：出版商的网站|谷歌学者
78. C.Akkan和A.Gülcü，“具有稳健性目标的双标准混合遗传算法，课程时间表问题”计算机与运营研究，卷。90，pp。22-32,2018。浏览：出版商的网站|谷歌学者
79. H. J. Fraire Huacuja，J.Fausto-Solís，J.D.Terán-Villanueva，J.C.C.Soto-Monterrubio，J.J.GonzálezBarbosa和G.Castilla-Valdez，“Amosa，具有分析调整参数，用于异构计算调度问题，”自然启发的混合智能系统设计P. Melin, O. Castillo, J. Kacprzyk, Eds。，第667卷计算智能研究，pp.701-711，斯普林斯国际出版社，秋季，瑞士，2017年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
80. B.Shahul Hamid Khan和K.Govindan，“置换流水车间调度问题的多目标模拟退火算法，”国际先进运营管理杂志，第3卷，第1期，第88-1002011页。浏览：谷歌学者
81. S.Agrawal、B.K.Panigrahi和M.K.Tiwari，“用于电力调度的模糊聚类多目标粒子群算法，”IEEE进化计算汇刊，第12卷，第2期5，页529-541,2008。浏览：出版商的网站|谷歌学者
82. “基于分解的多目标进化算法的组合优化，”IEEE进化计算汇刊，第19卷，第4期，第508-523页，2015年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
83. A. Jaszkiewicz和T. Lust，“基于ND-Tree的更新：动态非常规问题的快速算法”IEEE进化计算汇刊第22卷第2期5, pp. 778-791, 2018。浏览：出版商的网站|谷歌学者
84. J. Knowles和D. Corne，《有界帕累托档案:理论与实践》，载多目标优化的陨素学，X. Gandiblyux，M. Sevaux，K.Sörensen和V.T'Kindt，EDS。，PP。39-64，Springer，柏林，德国，2004年。浏览：谷歌学者
85. A.Gaspar Cunha，P.Oliveira和J.A.Covas，“在多准则优化中使用遗传算法解决工业问题”，年第七届遗传算法国际会议论文集：密歇根州立大学，东兰辛，密歇根州，1997年7月19-23日T.Bead，Ed.，第682 - 688页，摩根Kaffman出版社，旧金山，Calif，美国，1997。浏览：谷歌学者
86. P. Cabrera-Guerrero, G. Guerrero, J. Vega，和F. Johnson，“通过自动参数调整改善模拟退火性能”，信息和控制中的研究，第24卷，第2期4, pp. 419-426, 2015。浏览：谷歌学者
87. W. G. Jackson, E. Özcan，和R. I. John，“跨域搜索的模拟退火元启发式优化”，在2017年IEEE进化计算大会论文集San Sebastián，西班牙，2017年6月。浏览：出版商的网站|谷歌学者
88. 萨特和约瑟夫，迭代计算机算法及其在工程中的应用：解决组合优化问题， IEEE计算机学会出版社，美国加州，Los Alamitos, 1999。浏览：MathSciNet

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