具有二次和双曲线潜力的波浪方程的非线性绿色功能

摘要

最近已经为非均匀线性方程开发的有利的绿色功能方法已被Frasca扩展到非线性方程。本文致力于通过Frasca方法对一些二阶微分方程的新非线性进行严格和数值分析。更具体地，我们考虑具有二次和双曲线非线性的一维波动方程。提前报道了指数非线性的情况。使用变量的广义分离方法，示出了非线性波动方程的层次可以减少到二阶非线性常微分方程，弗拉斯卡的方法适用。对于支持该方法优势的各种源功能，对两种非线性情况进行了数值误差分析。

1.介绍

在线性约束方面配制了现实生活对象和现象最简单的模型。为了更好地理解具有非线性特征的各种现象，必须涉及强烈的非线性约束。然而，对非线性约束的数值尤其严谨地分析可以显着复杂，并且可能需要繁琐的计算成本。在这种情况下，所谓的半角质方法如Adomian分解方法[1] Hirota直接方法[2]， 和扩展方法[3.通常变得非常方便。原因是它们允许导出非线性约束的近似分析解决方案，并且在其基础上执行解决方案依赖性的敏感性分析，例如边界/初始数据和外部影响。

对于线性约束，灵敏度分析通常由绿色的功能方法进行[4.］．非均匀微分方程的解决方案以绿色函数的卷积和等式的右手侧的形式表示。在此，格林的表示公式是在叠加原则的基础上得到的。因此，它适用于线性约束。然而，存在几项研究试图概括绿色的功能概念和绿色的表示公式到非线性系统。[5.-7.]（参见Cacuci的其他作品）。假设状态方程的第一Gatoux衍生物存在时，向前和向后的传播子的概念被引入和普通溶液被表示为与右手侧的传播者的内积（非线性格林表示式）。换句话说，传播者对非线性系统发挥相同的作用，因为绿色的功能为线性系统。

另一个扩展在10年前由Frasca在[8.那9.］．已经表明，形式的非线性“振荡”方程的一般解 对于通用非线性功能 那给定的右手 那和适当的Cauchy条件可以在短时间扩展方面代表如下： 在哪里 那 ，是在数量方面确定的未知扩展系数 ．通常，在数值计算中，截断部分的扩展（2一旦实现所需的精度就被认为是考虑的。在 [10.已经证明，如果考虑仅限于区间 ，一阶术语 提供有效的近似。

以上，是绿色功能的正式延伸，即相应的非线性微分方程的一般解 在适当的Cauchy条件下;是DIRAC功能 和是最小化近似误差的规模因素。值得注意的是，在弗拉斯卡的原文中 ．它是在[10.[进一步降低近似误差。此外，对于使用功能迭代方法的短时间扩展进行比较，请参阅[9.］．

在这里我们学习新的形式 那其中非线性格林函数由(4.）完全。更具体地，我们考虑了二次和双曲线非线性的情况（参见第四部分3.）.此外，我们还证明了存在一阶非线性波动方程，该波动方程可降为二阶非线性微分方程，其解可表示为非线性格林公式(2）.为了简单起见，在本文中，我们只通过一阶近似限制自己（3.）.数值误差分析（见部分4.)，并与众所周知的直线法(MoL)进行了比较。证明了即使是一阶近似也能得到与数值近似相容的解。在上述短时间展开式中考虑高阶项可以进一步减小近似误差。

这种技术对于更深入的实际分析是非常有用的，因为它们可以避免状态方程的任何线性化，而线性化往往会导致关于非线性过程本质的一些关键信息的丢失[11.那12.］．注意，只要非线性格林方程(4.）在相应的Cauchy条件下可分解。还要注意[13.那14.]可以应用于本文的结果上，以考虑由“振动”方程(1）和相关部分微分方程。

2.完全可达的案例

两种特定的非线性被认为是在[8.]允许构建（4.）.特别是，立方非线性 提供 在哪里是Heaviside函数吗 和为雅可比snoidal函数。这里考虑的是分布的意义

此外，三角非线性 承认（4.） 如下： 这里是Jacobi幅度函数。

本文研究了一些新的非线性问题。10.］．特别地，倒数非线性和指数非线性被证明是完全可积的情况。例如，在指数非线性情况下(刘维尔方程) 非线性绿色的功能如下：

3.具有非线性电位的广义可变分离和波动方程

考虑一维波动方程 用二次非线性描述非均匀介质中的非线性波传播 转变[15.那16.] 减少波浪方程（14.) 在哪里 在这种情况下，绿色的功能如下确定： 受适当的Cauchy条件。这里是威尔斯特拉斯椭圆函数吗 和和 那和下面的所有情况一样，都是积分常数必须由相应的柯西条件决定。

同样的转换可以减少(14.), 到 在这种情况下，格林的功能读取为 在哪里 是高斯误差函数的逆函数吗

考虑案件 领导(14.) 这种情况是有趣的，从对应的格林函数隐式地发现作为的解

如果上述常微分方程的解近似（3.），然后是波浪方程的一般解（14.)可以近似为 在哪里 和表示边界/初始数据或右侧。

非线性波等式（如）（14.出现，例如在生物学上[17.，在物理学、力学和工程学的许多领域，它通常描述固体或流体中的非线性振动[18.］．特别地，它们描述了摆锤的振动，非线性弹性棒的振动，非线性电磁振荡，非线性重力波等。

4.数值与绿色的解决方案

在本节中，我们研究了近似的误差（3.）数字地用于上一节中考虑的一些非线性。考虑各种源功能。近似误差由对数函数评估 测量非线性格林解之间的绝对误差和数字解决方案 那借助于线条的方法，以度为单位 ．为了我们使用一阶近似(3.）.

4.1。二次潜力

让非线性电位由（15.）.首先，考虑案例 ．数字1，其中离散情节和和对数误差函数，显示出非常小的近似误差。此外，考虑其他几个源函数，如开关、三角、指数、多项式和对数影响，也显示了很高的效率(见图)2-6.）.

表中报告了所考虑的源功能的最小和最大对数误差1．规模因素和选择最小化ER功能。

4.2。双曲线潜力

现在考虑势为(26.）.图中给出了相同源函数的误差分析7.-12.和表格2．我们观察到，当我们使用相同的比例因子的值对于两个非线性，则对应的值也彼此靠近。

5.结论

弗拉斯卡短时间扩张（非线性绿色的代表公式）最近开发的二阶开发的有效性普通的针对新的非线性方程类别建立特定形式的微分方程。结果表明，借助于变量的广义分离的方法，可以减少到二阶非线性常微分方程的非线性波动方程的层级，其解决方案可以在非线性绿色的功能方面表示。

在二次和双曲非线性情况下，用直线法求得的数值解与用非线性格林函数表示的近似解进行了比较。考虑不同类型的源影响确保了技术的稳健性。可以看出，这两个解的对数误差很大程度上取决于方程的右边，对应于影响现实物体或现象的源。在格林函数的非线性方程的右边和弗拉斯卡的短时间展开的一阶项中，近似误差是最小的。该方法可用于推导其它各种非线性偏微分方程的显近似解。

数据可用性

没有数据支持本研究。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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