在媒体断裂数值Fractional-Calculus两相流模型

文摘

两相流的数值模拟裂隙多孔介质在地下流是一个重要的话题,环境问题,和石油油藏工程。传统的模型并不适用于很多情况下,因为它缺乏记忆裂隙介质的性质。在本文中,我们开发一个新的数值与部分时间导数公式裂隙多孔介质中两相流。在拟议的配方,不同的部分时间衍生品应用于骨折和矩阵区域,因为他们有不同的内存特性。我们进一步发展二级时间离散方法,它使用一个压力大时间步和一个小的时间步长饱和度。压力方程的隐式地在每一个大的时间步长,而饱和度是由一个显式的更新部分时间在每次分步计划。最后,进行数值试验验证了该数值模型的有效性。

1。介绍

多相流的数值模拟裂隙多孔介质在地下流动非常重要,环境问题,和石油油藏工程。与通常的异构多孔介质相比,媒体有两种截然不同的两个空间尺度:骨折骨折和矩阵。比矩阵骨折具有较高的渗透率,但他们的体积相比非常小的矩阵。几个概念模型(1- - - - - -11)开发了模拟多孔介质中的多相流动,例如,single-porosity模型,双孔隙度/双重渗透率模型,discrete-fracture模型。可以找到这些模型的评估(4]。

这些模型可以用常数处理好两相流的物理参数。然而,流体可能扰乱多孔形成导致粒子迁移导致毛孔堵塞或化学反应中扩大毛孔或减少毛孔的大小(12]。事实上,孔隙度和渗透率通常取决于流体压力和饱和度。不可压缩的两相流在石油油藏工程、孔隙度变化小的压力。然而,注入流体孔隙度在很大程度上可以改变。位移过程中石油通过水、注入水会使媒体湿,然后将增大孔隙度,渗透率的变化。因此,应该考虑物理参数的可变性建模现实的两相流。在多孔介质流,卡普托(13]研究了通量的行为在多孔介质使用记忆形式,取而代之的是一个普通的时间导数的分数阶导数。”(14]研究了部分时间导数的泛化先前Natale-Salusti模型非线性温度和压力波,流体多孔岩石中传播。

在本文中,我们将研究一个部分时间导数经典的两相流模型的泛化。普通的时间导数取代卡普托分数导数积分变量的下限。因为卡普托分数导数由卷积幂律的内核和普通函数的导数,它是一个有用的工具来描述一个幂律的频率变化的物理系数。由于孔隙度和渗透率的对比矩阵和骨折,建议制定使用不同的部分时间衍生品流的断裂和矩阵区域代表不同的内存性能。

研制了许多数值方法在文献中,例如,(15- - - - - -17]。为了模拟分数两相流,我们提出一种两级时间离散方法基于物理属性的压力快速变化小于饱和(18];也就是一个大时间步用于压力,以及一个小的时间步长饱和度。当地的分数微分方程广泛研究[19]。在我们的方法中,内存的饱和度限制在每个大时间步自压力取决于饱和度没有历史记忆。该方法也被视为经典的部分概括隐式压力显式饱和度(IMPES)方法(20.,21),这是一个受欢迎的时域方法用于多相流模拟。像IMPES,我们将耦合系统分为压力方程和饱和度方程基于两相流的物理过程的性质和治疗的饱和度和毛细管压力压力方程显式地消除其非线性。每个大时间步进一步分为几个子步骤,饱和度是由一个显式的更新部分时间计划。cell-centered有限差分方法(22)是用于空间离散化。最后,给出数值结果验证了该数值模型的有效性。

2。分两阶段模型不可压缩流

2.1。分级模型

卡普托分数阶导数给出的卷积幂律内核和普通函数的导数。所以这是一个有用的工具来考虑一个幂律的频率变异系数的一个简单的卷积。我们现在介绍卡普托分数阶导数的定义(17] 在哪里是一个函数,。在这里,我们使用修改卡普托分数阶导数;也就是说,积分下限的(1)的函数而不是像往常一样不断;也就是说,。分数阶导数可以用来描述复杂的问题,涉及到记忆的时间,因为外地的财产。从这个,表示时间的内存范围,这记忆属性随时间。

使用卡普托分数导数,我们引入一个记忆形式为两阶段不可压缩和非混相流体在多孔介质中。由一个下标表示润湿阶段和非润湿相。让的饱和阶段。两阶段饱和度受到以下限制:

在多孔介质流动速度的每个阶段被达西定律描述为 在哪里多孔介质的绝对渗透率张量,重力加速度,是深度,,,,相对磁导率、粘度、压力,和密度分别为每个阶段。

每个阶段的质量守恒方程给出 在哪里介质的孔隙度和吗是外部的质量流率。

非润湿相之间的差异和润湿相压力毛细管压力所描述的:

表示和。用(3)(4),我们得到 求和的形式(6)两个阶段,考虑到(2),我们可以达到 在哪里,和。此外,定义和。然后,我们有 因此,润湿相饱和度的方程

我们注意到上述两相流公式是一个分级扩展的配方4]。我们认为不可压缩两相流的质量古典保守配方: 孔隙度往往取决于流体压力和饱和度。在一些不可压缩的两相流问题,石油油藏工程,例如,孔隙度变化小的压力。然而,注入流体孔隙度在很大程度上可以改变。位移过程中石油通过水、注入水会使媒体湿,然后是孔隙度将会扩大。总结两个阶段的大规模保守的配方,我们获得 由于孔隙度与压力变化小,我们假设在(11),因此,压力方程得到相同的形式(9)。润湿相饱和度方程可以表示为 由于孔隙度取决于由链式法则,我们得到 在哪里。一般来说,可以用幂指数定律描述。有了这个论点,我们可以推断出部分经典的两阶段模型的泛化。这清楚地解释了使用分级模型的物理原因。

最后,我们完成了我们的模型的边界和初始条件。我们把边界计算域的分成两个不重叠的部分:Dirichelt部分和牛曼部分,在那里。压力方程(6)是受如下边界条件: 在哪里是压力,向外单位法向量,对流入率吗。边界条件的饱和度 给出的初始饱和度润湿相

2.2。Discrete-Fracture模型部分衍生品

在这里,discrete-fracture模型(4)扩展到的部分时间导数。将矩阵和骨折gridcell的discrete-fracture模型不同的几何尺寸;也就是说,如果域维空间,矩阵区域维空间,但骨折是简化为矩阵gridcell接口(维。这种治疗将产生的长度尺度的对比的显式表示骨折孔径single-porosity模型,所以它能够大大提高计算效率,方便在实际实现。

我们现在整个域分解为两部分:矩阵和断裂。骨折是矩阵块包围。我们使用下标表示矩阵的下标代表断裂系统。在矩阵域是由的压力 这是受matrix-fracture接口条件: 在断裂系统,我们表示的裂缝宽度和假设势常数沿裂缝宽度,然后获得骨折的压力方程 在哪里是整个matrix-fracture界面传质。上面的公式类似于经典的模型。

如前所述,部分属性代表了孔隙度和渗透率的变化,有非凡的对比矩阵和骨折。结果,不同的部分时间衍生品应该用于流矩阵地区和断裂系统。利用部分时间导数,我们可以表达区域的饱和度方程矩阵 随着界面条件 同样,在断裂系统是由饱和度方程 在哪里代表了整个matrix-fracture界面传质。

3所示。数值方法

在本节中,我们将分两阶段模型的数值方法不可压缩流。在下面,我们专注于时间离散化方案。

我们首先把总时间间隔成相等的时间步骤和表示时间步长。这一次部门用于压力。自饱和比压力变化更快,我们使用一个较小的时间步长饱和度。每个子区间被划分到sub-subintervals作为,在那里和,表示sub-subinterval长度。表示一个变量的值在时间点,和一个通过。

对压力方程,饱和度值之前的时间步骤,和毛细管的潜力在每一个细胞通过细胞显式计算饱和度从以前的时间步长和毛细管压力的功能。的变量,,压力方程也通过细胞显式计算饱和度的前一个时间步。由此,我们获得的压力方程矩阵域: 的上标代表了时间步。方程(17)受matrix-fracture接口条件: 相似的表达形式在骨折(引用下标),

一旦压力和计算,速度可以评估

如前所述,下限的积分(1随着时间的推移)是一个函数。这个函数可以选择根据实际问题。在多孔介质两相流压力快速变化小于饱和的时间(18),因此一个大时间步的压力。我们也可以看到,压力由饱和度但没有任何历史记忆。因此,内存的饱和度可以限制在每个时间步的压力。描述该内存的财产,我们定义 因此,卡普托分数导数的饱和度被定义为 我们现在介绍显式时间近似的离散化方案在作为 在哪里

显式方案用于饱和度方程的矩阵域 和裂缝网络

空间离散化方案,cell-centered有限差分方法用于压力方程,而逆风有限体积方法对饱和度方程。对空间离散化方案的详细描述,我们指的是(23]。

4所示。数值测试

在本节中,提供了两个数值例子证明拟议的两相流数值模型随着时间部分衍生品。

在所有的测试中,绝对渗透率是斜张量和多孔介质是各向同性的。我们使用下面的毛细管压力函数(24]: 在哪里是一个积极的绝对渗透率参数相关。两个阶段的相对渗透率计算

我们考虑一个水平多孔介质与多个相互关联的骨折(23),如图所示1。骨折的宽度是0.01米。骨折的疏密度矩阵和媒体0.15和1,分别。渗透率的矩阵块和50个md和骨折医学博士。水和油的粘度都等于1 cP。注射速率为0.2 PV /年。

因为中等水平,它是合理的忽略重力的影响。我们注入水的左端介质,最初是谁的空隙完全饱和油,生产石油在右边。没有其他的注入和没有提取领域的内部。通量向外面的其他边界消失。

图2显示部分的影响时间泛化平均含水饱和度元太的不同点。的传奇人物2,这个案子代表了部分的订单时间导数的含水饱和度断裂和矩阵区域。从图2,我们观察时间衰减较慢,相比普通的情况。

数据3,4,5,6,7,8,9,10,11显示了含水饱和度轮廓在不同时间与间歇时间导数的三双。从这些数据,我们可以看到的存在时间延迟效应当分数阶小于1。这表明,孔隙度和渗透率变化由于注入水润湿媒体,使流体流动缓慢。

确认

这项工作是由上海市教育委员会的关键程序下格兰特(没有。12 zz084)和中国教育部(没有的关键项目。212109)。

引用

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