通过解决电视来消除模糊^p使用分裂Bregman方法的正则化优化问题

摘要

图像去模糊是一个无约束的极小化问题，其惩罚函数是误差项与TV的和^p-regularizers与．虽然电视^p-regularizer是一个强大的工具，可以显著提高图像梯度的稀疏性，它既不凸也不光滑，从而使所提出的优化问题更难处理。为了有效地解决这个最小化问题，首先通过引入新的变量和新的约束，将这个问题重新表述为等价的约束最小化问题。然后，用split Bregman方法作为求解器，将新的约束极小化问题分解为子问题。对于每个子问题，采用相应的有效方法来保证闭型解的存在性。在仿真实验中，本文提出的算法和一些最新的算法被用于恢复三种类型的模糊噪声图像。实验结果表明，该算法对图像的去模糊是有效的，优于其他算法。

1.介绍

近半个世纪以来，图像去模糊技术在生物识别、遥感、视频监控等诸多领域得到了深入研究和广泛应用。图像去模糊是一个不适定逆问题，需要一个稳定的解。为此目的，Tikhonov等人[1]提出正则化技术，最初使用作为规范者，与作为吉洪诺夫算子。然而，Tikhonov正则化图像去模糊算法更倾向于重建过平滑图像，从而导致最重要的边缘丢失。为了保持边缘，Rudin等人[2]提出总变异(TV)模型:,电视()是一种电视正则化器，有两种形式，即各向同性电视正则化器()和各向异性电视正则化器(）.从自然图像的分段连续性来看，图像梯度中各元素的值大多为零;即自然图像的梯度是稀疏的。作为一个强大的工具，电视正则化器已经被许多最先进的图像去模糊算法[3.- - - - - -5，但最近的研究表明，为了建模图像梯度的稀疏性规范(),比规范()。[6］．此外,-regularizer在边缘保存和噪声抑制方面优于电视正则化器。

从的非凸性和非光滑性-norm，涉及成像逆问题-regularizer或-正则化算法普遍面临解的存在和算法效率低的挑战。为正则化图像去模糊，具体值， Levin等[7]最初采用迭代重加权最小二乘法(IRLS)将去模糊问题分解为等价子问题，然后采用共轭梯度法(CG)求解。卓等[8]，然后在盲去模糊中提出一种类似的模糊识别算法，该算法也采用了带CG迭代的IRLS方法。当应用IRLS去模糊图像涉及的问题正则化器，通常需要数百个CG迭代，因此会对图像去模糊的速度产生负面影响。为-正则压缩感知，一种常用的方法是内点，它可以在一定条件下在多项式时间内解决相应的优化问题[9］．然而，内点法不适用于具有等式约束的优化问题，且初始点难以选择。这些因素可以看作是内点法的两个主要固有缺陷。

变量分裂技术最近被提出并广泛应用于逆问题[10，11),包括-正则化图像去模糊问题[12］．通过在变量分割框架下引入新变量，将成像逆问题的优化任务转化为易于处理的子任务。对于每个子任务，应仔细选择相应的求解器，以确保额外的计算成本较低。

虽然-regularizer比TV-regularizer更适合提高图像梯度的稀疏性，统计数据表明，很少有图像去模糊算法考虑-regularizer。最有可能的原因是-正则化器，图像去模糊问题既不是凸的也不是平滑的，而且很难开发出有效的算法。充分利用-正则化方法，将图像去模糊建模为一个无约束极小化问题，其惩罚函数结合误差项和稀疏项-regularizers与．为了便于图像去模糊，将无约束极小化问题重新表示为具有新变量和新约束的等价约束极小化问题。然后，用split Bregman方法将约束极小化问题分解为子问题[13］．对于这些子问题，广义收缩/阈值(GST)函数[14]，快速傅里叶变换(fft)，以及其他方法。通过对不同类型的模糊噪声图像的恢复，表明了该算法的有效性和较好的性能1）.实验证明，该算法只需要几次迭代就能收敛到满意的解。

2.Bregman方法家族

作为标准Bregman迭代法的变体，分裂Bregman方法(SBM)、线性化Bregman方法(LBM) [15]，以及Bregmanized算子拆分(BOS) [3.是Bregman方法家族的关键成员。SBM针对以下极小化问题提出: 在哪里一般是不光滑的，并且是一个线性算子，可以是可逆的，也可以不是。涉及新变量和约束的问题(1)重新拟订为下列等同形式: SBM用于解决问题(2)，将其分解为以下子问题: 的常数．子问题(3.) (5),如果是凸函数，闭型解一般存在。特别是,当和，子问题的解(4)分别为常用的软阈值函数和硬阈值函数。在求解其他类型的优化问题时，SBM也可称为乘子交替方向法(ADMM)或Douglas-Rachford分裂法。更多关于SBM、ADMM和Douglas-Rachford分裂方法之间联系的细节可以在文献中找到[16］．

当应用于最优化问题时，例如-TV优化问题或优化问题，SBM一般比两步迭代阈值法快[17和涅斯捷罗夫的方法[18，19］．因此，SBM在成像逆问题中的应用已成为一个活跃的研究领域。通过SBM，许多经典的图像去模糊/去噪问题[13，20.，21已经被有效地解决了。除SBM外，LBM和BOS也是成像逆问题的常用方法。LBM是标准Bregman迭代和不动点方法的结合，最初是针对压缩感知问题提出的，后来将其应用扩展到图像去模糊。解决问题(1),， LBM生成以下子问题: 那里的距离被定义为

如果在迭代中，“踢”[22在LBM中使用。但是，当问题(1)涉及电视调节器或多个-regularizers。针对电视和非局域电视(NLTV)模型的成像逆问题，提出了一种算法。BOS分解问题(1)分为以下子问题: 前后算子分裂(FBOS) [23然后用来解决问题(8)如下: BOS可视为Bregman迭代加FBOS，因为(8)和(9)表示标准Bregman迭代。与SBM相比，LBM和BOS更依赖于内求解器或内迭代，SBM通常只需一次内迭代就能获得较好的结果。因此，在图像去模糊问题中，LBM和BOS的效率都低于SBM。除了收敛速度快外，SBM的参数不需要随迭代而变化。因此，通过仔细选择参数，可以减少条件的数量。特别是SBM更适合于多正则化的图像去模糊问题。

3.提出的算法:SBMTV^p

图像的退化可以建模为: 在哪里，，,分别表示模糊噪声图像、模糊算子、矢量形式的未知锐图像和高斯加性噪声。显然不能仅根据(11),特别是当严重不适定的。因此，通常将图像去模糊问题转化为优化问题。本研究的图像去模糊处理方法如下: 在哪里和分别表示垂直和水平梯度运算符;是-regularizer与；和常数控制数据保真度和规则化之间的权衡。通过引入变量和和约束条件和问题(12)可以重新表述如下:

从不光滑规范,问题(13)是不能直接分析解决的。如果我们让，，，,在问题(2)，然后我们可以发现问题(2)和(13)都是相同结构的相同问题。因此，本研究使用SBM作为解决问题的“间接”方法(13）.按SBM，问题(13)分解为以下子问题: 的常数．

除了子问题(15)和(16)，其他子问题可以直接计算，子问题(14)(例如,子问题)有一个闭形式的解: 在哪里和．根据Tikhonov正则化理论，(19)提供了一个正则解，它是精确解的近似．选择合适的值,，我们发现正接近精确解[1］．在fft的帮助下(19)，，，,都能用的计算成本来计算吗．后预计算，，,，在fft的同等帮助下，可以用什么成本获得．一些数值方法，如IRLS和内点法，已被应用于子问题的最小化(15)和(16)，其具体值为，但这些方法通常不能收敛到令人满意的解，特别是对于大规模问题(如图像去模糊)。为保证子问题极小化的收敛性(15)和(16)，同时为了降低计算成本，采用GST函数作为求解器。当我们让接近,让和表示和然后分别和可以分析地计算

在(20.)的定义为 在哪里为signum函数;；是由 和阈值．当，则GST函数为 这就是著名的软阈值函数。当， GST函数为 这就是著名的硬阈值函数。因此，软阈值函数和硬阈值函数可以看作是GST函数的特殊情况。两个函数的计算代价是因为和计算中的元素。

所提出的迭代算法由(17) (22）.所提出的算法称为““因为它解决了-正则化图像去模糊使用分裂Bregman方法。该算法的效率主要取决于子问题的计算，,，如上所述，它们的计算成本都很低。因此，本文提出的算法效率高，将通过实验验证。如[14， GST函数有以下四个属性: ， 如果， , 为．因此，根据[24]，保证了商品及服务税的收敛;也就是说,子问题和和迭代收敛。

4.实验和结果

如图所示1，选取四幅不同类型的标准灰度图像作为实验用的锐利图像。创建如图所示的模糊噪声图像2，则根据(11)，首先使用表中的模糊算子对清晰图像进行滤波1,在那里fspecial的MATLAB函数，然后将不同等级的高斯噪声添加到这些图像中。在图2，模糊信噪比(BSNR)定义为 在哪里为噪声的方差。采用BSNR作为退化的客观标准。被提议的，用于恢复图2以验证其有效性。[中的算法3.，7]，以恢复相同的模糊噪声图像进行比较，以验证算法的优越性．实验在一台Windows XP、Intel Duo 2 CPU @ 2.10 GHz、2gb RAM的笔记本电脑上进行，所有算法在MATLAB R2011b平台上实现。为的价值，,设为2，,,分别。只有几次迭代，能得到满意的结果。因此,设置为10。至于[3.，7，所有参数保持默认值。DeblurSps和_BOS是“和”和“或（为噪声级)，”，这是它们的参考文献采用的默认标准。和分别表示外部迭代和内部迭代(CG迭代)。所有算法的恢复结果如图所示3.来5和表3.，4,5，峰值信噪比(PSNR)定义为 采用PSNR作为恢复图像质量的客观标准。为，几个典型值，即，，,,被认为是。“DeblurSps”表示[7，它解决了正规化()图像去模糊问题使用IRLS和CG。“TV_BOS”和“NLTV_BOS”表示[3.，将Bregmanized运营商拆分应用于TV和NLTV模型。为了比较所有算法的速度，分别运行10次以恢复模糊噪声图像，各算法的平均时间如表所示2．

图中的结果3.来5和表3.来5证明能有效地恢复不同类型的模糊噪声图像，表现出优于其他算法的性能，特别是在速度方面。IRLS作为一种近似方法，不能保证DeblurSps得到图像去模糊问题的最优解。此外，为了解决IRLS生成的一系列子问题，需要数百次CG迭代。因此，DeblurSps的恢复效果较差．此外，该算法比和TV_BOS。然而,作为一个-regularized algorithm, DeblurSps在恢复结果上优于TV_BOS和NLTV_BOS。将BOS应用于tv正则化和nltv正则化图像的去模糊问题时，所产生的子问题无法用简单的方法(如收缩法)来解决，使得图像去模糊的过程变得更加复杂，效率降低。特别是对于nltv正则化的图像去模糊问题，更新权函数需要额外的时间。因此，如表所示2来5和数字3.来5， [3.]在恢复结果的性能和速度方面都不如其他算法。的融合这在理论上无法证明。因此，分析其收敛性，图6展示了在迭代过程中，其中代表Frobenius规范。这些曲线清楚地表明，通过迭代，正在接近，即是收敛的。一般来说，经过2到4次迭代，能得到满意的解。

5.结论

本文提出了一种新的图像去模糊算法-使用SBM的正则化最小化问题。为了有效地得到由SBM生成的子问题的闭型解，引入了fft函数和GST函数。在实验中，三种类型的模糊噪声图像被恢复以及几种最先进的算法。对比结果表明在恢复结果和速度方面优于其他算法。虽然本研究没有证明收敛性,图6清楚地说明了这一事实。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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