文摘
在本文中,我们介绍的原始定义Smarandache统治表面根据Frenet-Serret帧的曲线 。它关注TN-Smarandache直纹曲面,结核病- - - - - -Smarandache直纹曲面,NB- - - - - -Smarandache直纹曲面。我们研究定理给予必要和充分条件那些特殊的表面可展和最小的统治。此外,我们目前的例子与插图。
1。介绍
在曲线和曲面的微分几何1- - - - - -3),直纹曲面定义一组直线取决于家庭的一个参数。提到的直线直纹曲面的裁决。一般的直纹曲面的参数表示 在哪里是一条曲线,通过它所有的裁决;它被称为基础表面的曲线;向量定义了执政的方向。
众所周知,统治表面最感兴趣的许多应用程序在多个领域做出了贡献,如数学物理、运动学、计算机辅助几何设计(用CAGD)。
统治的表面已经被一个重要的研究不同研究人员的数量。在[4],作者构造的直纹曲面裁决是常量替代移动框架向量的线性组合的基本曲线;他们研究了直纹曲面特性,描述它,给了例子插图的情况一般螺旋(5和斜螺旋6]基地曲线。在[7],作者构造的直纹曲面裁决是不变的规范框架向量的线性组合的常规曲线躺在常规表面的参考 。他们感兴趣的点是使两个表面之间的比较研究(参考的常规表面和新构造的直纹曲面)以及他们共同的曲线。同时,他们调查了直纹曲面构造的属性。此外,他们给的例子插图。
的概念可展性和极简主义是两个最重要的表面的性质。
的统治有消失的高斯曲率的曲面,可以转化为飞机没有任何变形和扭曲,被称为可展曲面;它们构成了一个相对较小的子集,包含气缸,锥,切表面(8- - - - - -10]。
极小曲面是一个表面局部最小化它的面积。它被称为固定边界曲线的表面积最小对其他表面相同的边界。这相当于在零平均曲率(11- - - - - -13]。
在曲线理论中,Smarandache曲线是一个特殊的创新曲线,介绍了作者在闵可夫斯基时空第一次在14]。它是关于曲线的位置向量由Frenet-Serret框架向量在另一个正则曲线。在[15- - - - - -17),我们可以找到许多研究工作大约Smarandache曲线根据不同的框架如Frenet-Serret框架,主教,在欧几里得和闵可夫斯基空间和规范框架。
这个工作的动机是受统治表面和Smarandache曲线。我们渴望引入新的定义,结合这两个重要的概念和研究它们的属性。我们还开放机会感知未来的作品相对于应用微分几何,物理,科学和医学。
在这篇文章中,我们感兴趣的统治所产生的表面Smarandache曲线根据Frenet-Serret框架。的确,我们构造和介绍的原始定义三个特殊统治TN-Smarandache曲线生成的表面,TB-Smarandache曲线,根据Frenet-Serret NB-Smarandache曲线框架的一个任意的正则曲线 。我们调查定理,给出充分必要条件这三个统治表面可展和最小。最后,我们举例与插图。
2。预赛
在欧几里得3维 ,我们考虑的通常的指标 (在哪里 )是一个直角坐标系的 。
一条曲线 据说是单位速度(或由弧长参数化)如果 对于任何 。对于这样的曲线,有一个框架 叫做Frenet-Serret框架,在哪里 , ,和 单元切线,校长正常,分别和曲线的副法线向量。的Frenet-Serret公式是由 在哪里 曲率和挠率的函数他们给出的 和 ,分别为(2]。
定义1(见[18])。根据Frenet-Serret TN-Smarandache曲线框架的曲线 是由
定义2(见[18])。根据Frenet-Serret TB-Smarandache曲线框架的曲线 是由
定义3(见[18])。根据Frenet-Serret NB-Smarandache曲线框架的曲线
是由
让
是一个直纹曲面
。
我们表示了
直纹曲面的单位法正常点
;我们有
在哪里
和
。
定义4(见[19])。分布参数 的直纹曲面是由
定义5(见[19])。直纹曲面可展如果其分布参数就消失了。
第一个我第二个二世直纹曲面的基本形式正常点
分别定义
在哪里
,和
。
定义6。的高斯曲率和平均曲率的直纹曲面正常点 分别给出了
命题7(见[19])。直纹曲面可展当且仅当其高斯曲率就消失了。
8号提案(见[19])。常规表面最小当且仅当它的平均曲率就消失了。
3所示。Smarandache统治表面根据Frenet-Serret正则曲线的框架
在第一步中,我们开始我们的部分给下面的新定义Smarandache统治表面根据Frenet-Serret帧的曲线 。
定义9。让 是类可微单元Frenet-Serret装置的速度曲线 在 。生成的统治表面Smarandache曲线Frenet-Serret表示 如下: 这些统治表面被称为TN-Smarandache直纹曲面,TB-Smarandache直纹曲面,和NB-Smarandache直纹曲面,根据曲线的Frenet-Serret框架 ,分别。
在本节中,我们研究定理,充分必要条件Smarandache统治表面(方程(10可展和最小)。同时,我们给一个例子说明每个Smarandache直纹曲面。
定理10。TN-Smarandache裁定表面方程(10)是可展当且仅当 是一个平面曲线。
定理11。TN-Smarandache裁定表面方程(10)是最小的,当且仅当曲线的曲率和扭 满足的方程 。
证明。微分方程的第一行(10)对和 ,分别,我们得到 这两个向量的crossproduct TN的法向量- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10): 所以正则性条件下,单位正常的 使方程(规范13),我们得到的第一基本形式的组件TN- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 微分方程(13)对和 ,分别,我们得到 因此,从方程(16)和(20.),我们得到的第二基本形式的组件TN- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 从方程(17)和(23),我们得到了高斯曲率和平均曲率的TN- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 这回答上面的定理。
示例12。让我们考虑正则平面曲线 。TN-Smarandache裁定根据曲线的Frenet-Serret框架表面是由 它是可展正则点但不是最小的。图1的插图是方程(27)画 。
定理13。TB-Smarandache裁定表面方程(10)是可展开的。
定理14。TB-Smarandache裁定表面方程(10)当且仅当曲线可以说是微不足道的 是一个通用的螺旋。
证明。微分方程的二线(10)对和 ,分别,我们得到 这意味着结核病的法向量- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10)是 给出正则性条件下,单位法 使方程(规范28),我们得到的第一基本形式的组件结核病- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),在常规点: 微分方程(28)对和 ,分别,我们得到 因此,从方程(31日)和(35),我们得到的第二基本形式的组件结核病- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10)定期点: 从方程(32)和(38),我们得到了高斯曲率和平均曲率的结核病- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 这回答上面的定理。
推论15。如果是一个通用的螺旋,TB-Smarandache直纹曲面的方程(10)是可展和最小。
示例16。在这里,我们选择了正则曲线 作为一个通用的螺旋。然后,TB-Smarandache直纹曲面的Frenet-Serret框架是 它是可展和最小的正则点。图2的插图是方程(42)画 。
定理17。NB-Smarandache裁定表面方程(10)是可展当且仅当 是一个平面曲线。
定理18。NB-Smarandache裁定表面方程(10)是最小的,当且仅当曲线的曲率和扭 满足的方程
证明。微分方程的第三行10)对和 ,分别,我们得到 实现这两个向量的crossproduct NB的法向量- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10): 所以正则性条件下,单位正常的 使方程(规范44),我们得到的第一基本形式的组件NB- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 微分方程(44)对和 ,分别,我们得到 因此,从方程(47)和(51),我们得到的第二基本形式的组件NB- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 从方程(48)和(54),我们得到了高斯曲率和平均曲率的NB- - - - - -Smarandache直纹曲面的方程(10),普通点,如下: 这回答上面的定理。
推论19。如果NB-Smarandache直纹曲面的方程(10)是可展开的,它是最小的。
20例。让我们考虑平面曲线 。因此,NB-Smarandache直纹曲面的Frenet-Serret框架参数化的 它是可展和最小。图3的插图是方程(58),是画 。
4所示。结论
现在工作的主要结果保证以下几点:(我)TN-Smarandache裁定表面根据Frenet-Serret框架是可展(分别地。,最小的)如果是一个平面曲线(分别地。和 ,满足特殊的方程)(2)NB-Smarandache裁定表面根据Frenet-Serret框架是可展(分别地。,最小的)如果是一个平面曲线(分别地。和 ,满足特殊的方程)(3)调查的定理证明可展性和最小化条件引入Smarandache统治表面根据Frenet-Serret参考系的微分属性相关曲线。因此,我们可以很容易地确定,构建一个可展Smarandache直纹曲面或最小Smarandache直纹曲面Frenet-Serret框架,我们只需要做出正确的选择的参考曲线
数据可用性
没有数据被用来支持这项研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。