模糊强迫Duffing方程的参数估计：数值演出扩展龙格 - 库塔法

抽象

在这项工作中，强迫Duffing方程与继发产生共鸣，会被认为是通过假设初始值在模糊数量方面的不确定性我们的主题。所得模糊车型将三个模糊差来研究方法，即，Hukuhara差及其推广和模糊差包容。模糊算术到模型中的应用导致一组与一些附加方程阿尔法切确定性系统。这些系统然后由扩展Runge-Kutta方法求解。扩展Runge-Kutta方法被选择作为我们的数值方法，以便通过包括两个功能和计算其一阶导数的值，以提高溶液的精度的顺序。在我们的模糊的方法，我们的模拟表明，模糊微分包含是最合适的方法对模型的捕获振荡行为。使用上述模糊方法，我们再演示如何估计参数，我们产生模糊的模拟数据。

1.简介

在现实世界中复杂系统的动态行为早已被广泛的研究人员通过数学建模研究，通过假设变量和参数是实数集。这当然是太严格（脆）的将被用作从通过包含不确定性的测量所获得的数据源的变量或参数。为了适应在建模这些不确定因素，需要深入的研究来形容数学模型的结构，发展的方法来确定模型的解决方案，使程序估计模型的参数。

在系统中可以观察到许多有趣的行为，如非线性振荡行为。根据初始值和参数，此行为可能显示复杂的动力学。描述这种行为的数学模型之一是由乔治达芬奇于1918年首次提出的达芬奇方程。这个方程在物理学和生物学中都有广泛的应用[1个]，疾病的预测[2个]，以及人口动力学问题[三]. Duffing方程为研究非线性振动和混沌动力系统提供了一个有用的模型。另一个值得注意的方面是，外力的存在会导致共振现象，无论是一次共振还是二次共振[4个,5个]。这个备受关注的许多研究人员进一步研究确定模型的解决方案，无论是分析和数值方法[6个–八]。

除了振荡现象的系统的出现，不确定性系统中的参与，必须考虑在模型中。它可以通过几个因素，包括或可用数据的限制，系统的复杂性，或环境的变化超出人口进行实验时，研究人员的控制造成的。可以描述的不确定性模型在过去几十年中已经知道，所谓模糊微分方程。这个概念最早是由Chang和扎德[出台9个]，目前已经开发了许多其他研究人员用几个扩展。第一项建议是由Hukuhara中给出10]，它是基于一个区间值的功能，被称为Hukuhara差。此外，Seikkala提出了基于阿尔法切概念模糊差，被称为Seikkala差动[11]。然后，卡勒瓦[12,13]证明了Hukuhara差动溶液相当于Seikkala差动溶液及其衍生物是相同的。此外，Hukuhara差的概念，后来扩大到所谓广义H​​ukuhara差[14]. 后来，拜多索夫[15,16]使用微分包含的概念的概括，以产生一个新的概念，称为模糊微分包含[17–20个]。原则上，所有上述概念将改造模糊模型转换成所谓的阿尔法切确定性方程，利用模糊数学运算的方法[21岁,22个]。

为了深入了解由不确定性因素引起的振动现象，本文将具有二次共振的强迫Duffing方程作为一个模型，来描述一个初值不确定性的振动系统。我们选择二次共振类型来提供不同于我们先前的研究的振荡行为，即具有倾倒的振荡行为[23个]和初级谐振[24个]类型。这种不确定性可以被分类为模糊数，从而使方程然后由模糊被迫杜芬方程调用。我们将介绍如何利用这三种类型的模糊差异，即Hukuhara差，广义Hukuhara差，模糊微分包含从模糊被迫杜芬方程解的比较。从这三种类型的所产生的α切割确定性方程将然后使用四阶来解决延长Runge-Kutta方法[25个–28个]。与此相反的标准四阶Runge-Kutta方法，这个扩展的方法使用新的参数通过将主函数的一阶导数在计算中进行评估，以提高溶液的精度。这被选择，因为它已被证明是接近比标准方法的精确解，在数种类型的系统行为（脆），如生长，物流，和周期性模式[29个]。最后，我们展示如何使用最小二乘非线性方法中，通过选择正确的模糊差分类型，并使用模拟模糊数据来估计参数。模糊数据将通过强制Duffing方程与随机噪声的多尺度方法的近似解来确定。

2。材料

这里提到与我们讨论有关的一些概念。

2.1条。强迫Duffing方程

Duffing方程是描述非线性振荡行为和混沌动力系统的数学模型。值得注意的一个方面是，外力的存在会导致共振现象，无论是主共振还是次共振。具有二次共振的受迫Duffing方程如下： 其中，是坐标位置的变量，是时间的函数 ;这个是波函数的振幅（或位移）;这个是角速度;这个是阻尼力（强度）；以及是阻尼控制器。

方程的近似解（1个）由多尺度方法给出如下： 同 和 进行数值由来自系统的Runge-Kutta方法获得的：

2.2条。模糊概念

模糊理论的一些概念如下。

定义1。模糊子集宇宙的特征在于功能 ,所谓的隶属函数 ,表示元素的成员资格在模糊子集度 .（一）该模糊子集可以通过由元素的一组有序对中表达 并有一定的隶属函数形式： （二）的α-切 ,记 ,在清晰的集合中的所有元素的属于模糊集的至少程度 :

定义2。让 是所有实数的集合模糊子集 .该模糊子集当（一） 是正常的，是 （二）所有的α-削减是的闭区间（三）支持 ,那是 ,是有界的

所有模糊子集的集合由记 ,和阿尔法切割 通过缩短 ,同 .

基于可拓原理给出了模糊数的模糊算法，具体如下：

定义3。让和是与α-削减模糊数 和 ,分别与是一个实数。（一）之和的差和 : （二）乘通过 : （三）乘和 : 同 （四）分工通过 ,如果 : 同

2.3。模糊微分方程（泛函微分方程）

泛函微分方程，即，模糊函数，模糊差别，Seikkala差，和Hukuhara和广义Hukuhara微分的一些基本概念将在下面介绍。

定义4。让 ; 是与模糊函数 .然后， ; 和 ,这是由Seikkala衍生物称为 .模糊函数由Seikkala可微调用。

引理5（见[11–13]).让 ; 是模糊的功能。如果和是Seikkala微，然后 和 ; .

定义6。让 是所有模糊数和 .如果某些对的限制：（一） 和 ,要么（二） 和存在并且是等于一些元件 ,然后是强广义可微的和是在 .

该Hukuhara差异有规则：如果 ,然后 ,假如存在。这里，那个符号是模糊数的标准加法运算。就α切而言， 同 和 .

如果函数满足定义6个（1），然后被称为Hukuhara微（HD），如果它满足定义6个（2）然后被称为广义Hukuhara微分（GHD）。

引理7（见[12]).让 .为了 同 ; 然后（一）如果是高清的 （二）如果是GHD，然后

2.4条。模糊差异包含（FDI）

微分包含可以用一般形式表示： 哪里 ; 是所有子集的族和 .方程的解（11)是通过解微分方程得到的 , ,哪里是的选择取决于 .

的FDI是差分夹杂物的概括，其通过[定义19,20个]： 被解释为微分包含族 为所有人 .这里， 和 ,哪里是所有非空紧和凸子集的家庭 .

方程的解（6个)是一个绝对连续的函数 即满足列入 和 .这组方程全部解决方案（6个）由表示 而实现的，在集 通过 .钻[19]已经证明了 是问题模糊解的α截(5个). Gomez等人。[20个]已经保证如果是连续的，有界的，然后 是有定义的。

2.5。古典和扩展龙格 - 库塔（RK）方法

我们常微分方程的系统

经典RK方法的一般形式是由[给定28个]： 与评价功能是 哪里 , 和是常数。

扩展RK方法的一般形式由（Wu和Xia）给出[25个]): 与评价功能和存在 哪里 ,和是常数。这个通过前向差分法近似。特别，嵌入 ,即。，用过去和现在的差商来近似[27个] .

三。主要成果

3.1。确定性系统

在初始值问题的形式，用于 和 ,方程（1个)可以表示为： 同 .

通过假设初始值是模糊数，从等式（1个），我们的形式获得模糊初值问题如下： 同 .方程问题(11)被称为模糊强迫Duffing方程。

让 .然后，我们得到 与初始条件：

引理中的Hd概念7个(1个），那么，我们可以得到方程的确定性系统（2个）： 并通过引理使用GHD概念7个(2个)，然后，我们得到 同 以及初始条件：

对于我们的模拟，我们采用[4个]： 和初始值：

模糊解决方案的图表和方程及其相平面（23个)以及(24个）通过使用扩展RK方法在图中给出1个和2个，分别是。

从图1（甲）的曲线图从一开始就降低，而曲线图的一会儿下降，然后上升;然后，无论是从近似解的图表移开迅速地。这个由Hd概念产生的解中没有显示出振荡行为。这意味着即使从进化开始，解的不确定性也会增加。这也在图中通过相位平面显示1（b）.相平面曲线的坐标开始在原点 ,那么曲线减少，反之，曲线先减少一会儿再增加。

在数字中2个，和数字差不多1个发生在该解决方案的结果由GHD概念。所不同的是，有一次振荡前的不确定性增加。这一结果并不表示一个转换点，这与我们以前的结果不同[23个,24个]，其中两者也检查非线性模糊模型的振荡行为。在Karim等人。[23个]，使用gHd概念的模糊谐振子模型的解随着开关点的出现而产生若干振荡，而在Karim等人中。[24个]中，模糊模型古德温的使用相同的差分类型的溶液整个进化过程中产生的振动与切换点在每个周期中的出现。

另一方面，FDI的一个等式概念(2个)是所有微分包含的族 为所有人 ,和 .系统的模糊解(17）被获得为 只要系统是连续的并且是有界的给定 .

通过解方程(29个）使用扩展RK方法，在方程中的参数（23个）和在公式（初始值24个)，的图形 公式（18）作为在图获得三.通过使用这个概念，我们可以捕捉方程的近似解的振荡行为（2个），与同样振荡的不确定性。

3.2条。参数估计

起始部分3.1我们发现，外国直接投资的概念是能够捕捉振荡行为，并保持模糊被迫杜芬方程组的解的不确定性。这使我们选择公式（29个）作为估计模型的参数的基础。参数估计是通过使用至少一个非线性平方（lsqnonlin）法进行。

为了说明这个过程中，我们设置了数据模糊模拟的，即，

方程（31个）从等式（近似溶液模拟2个），与它们在方程中的参数（27个）和初始值 ）。这个数据的模糊模拟如图所示4个.

通过使用最小二乘法非线性，目标函数进行参数估计待优化给出如下： 哪里 是数据序列的数目 , 和是波函数的振幅和（分别）要估计的阻尼，和在方程式模糊的解决方案（30个），和和数据是否如图所示为模糊模拟4个.

优化利用目标函数公式（32个）需要的初始值，并且，可选的下边界和上边界LB和所述参数UB将被估算。因此，参数和公式（27个)，用于方程的近似解(2个），被选择作为初始参数，即 和 .然后，通过选择 为了并且 为了 ,用方程优化(32个）产生参数：

利用方程中的参数(33个)以及初始值 和 如公式（28个)，方程解的图(29个)图中给出了使用扩展Runge-Kutta方法执行的5个.此外图形与所述初始值 ( 仍然存在）和方程解的相平面(29个)如图所示6个.

四，结束语

利用扩展的Runge-Kutta方法研究了三个模糊微分概念，得到了二次共振强迫Duffing方程的振动特性。Hd和gHd概念都不能捕捉振荡。相反，FDI的概念能够捕捉方程的振荡，保持fuzzy-forced-Duffing方程的不确定性。这促使我们将FDI的概念应用于模糊方程的参数估计，并用非线性最小二乘法对一组数据进行模糊仿真。采用多尺度法对近似解进行模糊模拟。

数据可用性

没有数据来支持这项研究。

利益冲突

作者宣称，他们没有利益冲突。

致谢

第一作者要感谢数学与自然科学高教在线Lambung Mangkurat与数学学院和自然科学，研究所万隆的教师，他们的支持，以促进这一合作研究。这项研究是由数学系和自然科学，高教在线Lambung Mangkurat，号797 / UN8.1.28 / 2019资助。